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3.4 函数的应用（一）
一、单选题
1．已知函数 的值域为 ，那么实数 的取值范围是（　　）
A． B．[-1，2） C．（0，2） D．
2．函数 ，
A． B． C．2 D．4
3．已知某停车场规定：停车时间在3小时内，车主需交费5元，若停车超过3小时，每多停1小时，车主要多交3元，不足1小时按1小时计算.一辆汽车在该停车场停了7小时20分钟，在离开时车主应交的停车费为（　　）
A．16元 B．18元 C．20元 D．22元
4．函数 是R上的减函数，则a的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
5．设 （　　）
A． B． C． D．
6．设函数 ，则 （　　）.
A．1 B．3 C．-1 D．9
7．拟定从甲地到乙地通话m分钟的电话费由f(m)=1.06(0.5·{m}+1)（元）决定，其中m>0，{m}是大于或等于m的最小整数，（如：{3}=3，{3.8}=4，{3.1}=4），则从甲地到乙地通话时间为5.5分钟的电话费为（　　）
A．3.71元 B．3.97元 C．4.24元 D．4.77元
8．函数在上的值域为（　　）
A． B． C． D．
9．设函数 ，则 的值为（　　）
A． B． C． D．
10．已知函数 ，若f(x)在R上是增函数，则实数a的取值范围是（　　）
A．( ，1] B．[ ， ]
C．( ，+∞) D．[1，2]
11．定义运算为： ，如 ，则函数 且 的值域为（　　）
A． B． C． D．
12．已知 ， 是互不相同的正数，且 ，则 的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
二、填空题
13．已知函数 ，则 的值是　 　
14．已知函数 ，若 ，则实数a的范围为　 　.
15．为了保护水资源，提倡节约用水，某城市对居民生活用水实行"阶梯水价".计费方法如下表∶
每户每月用水量 水价
不超过的部分 3元/
超过但不超过的部分 6元/
超过的部分 9元/
若某用户本月缴纳的水费为60元，则此户居民本月用水量为　 　.
16．已知函数 ，若方程 有4个不同的实根 ， ， ， 且 ，则 　 　
三、解答题
17．A城市的出租车计价方式为：若行程不超过3千米，则按“起步价”10元计价；若行程超过3千米，则之后2千米以内的行程按“里程价”计价，单价为1.5元/千米；若行程超过5千米，则之后的行程按“返程价”计价，单价为2.5元/千米．设某人的出行行程为x千米，现有两种乘车方案：①乘坐一辆出租车；②每5千米换乘一辆出租车．
（Ⅰ）分别写出两种乘车方案计价的函数关系式；
（Ⅱ）对不同的出行行程，①②两种方案中哪种方案的价格较低？请说明理由．
18．某商场在近30天内每件的销售价格P（元）与时间t（天）的函数关系是P= ，该商场的日销售量Q=﹣t+40（0＜t≤30，t∈N），求这种商品的日销售金额的最大值，并指出日销售金额最大的一天是30天中的第几天．
19．已知函数f（x）对任意实数x均有f（x）=kf（x+2），其中k为常数．
（1）若k=﹣1，函数f（x）是否具有周期性？若是，求出其周期；
（2）在（1）的条件下，又知f（x）为定义在R上的奇函数，且当0≤x≤1时，f（x）=x，则方程f（x）=﹣在区间[0，2016]上有多少个解？（写出结论，不需过程）
（3）若k为负常数，且当0≤x≤2时，f（x）=x（x﹣2），求f（x）在[﹣3，3]上的解析式，并求f（x）的最小值与最大值．
20．某学习小组在暑期社会实践活动中，通过对某商店一种商品销售情况的调查发现：该商品在过去的一个月内（以30天计）的日销售价格 （元）与时间 （天）的函数关系近似满足 （ 为正常数）.该商品的日销售量 （个）与时间 （天）部分数据如下表所示：
（天） 10 20 25 30
（个） 110 120 125 120
已知第10天该商品的日销售收入为121元.
（I）求 的值；
（II）给出以下二种函数模型：
① ，② ，
请你根据上表中的数据，从中选择你认为最合适的一种函数来描述该商品的日销售量 与时间 的关系，并求出该函数的解析式；
（III）求该商品的日销售收入 （元）的最小值.
（函数 ，在区间 上单调递减，在区间 上单调递增.性质直接应用.）
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】分段函数的应用
2．【答案】A
【知识点】分段函数的应用
3．【答案】C
【知识点】分段函数的应用
4．【答案】B
【知识点】分段函数的应用
5．【答案】B
【知识点】分段函数的应用
6．【答案】D
【知识点】分段函数的应用
7．【答案】C
【知识点】分段函数的应用
8．【答案】C
【知识点】函数的值域；分段函数的应用
9．【答案】A
【知识点】分段函数的应用
10．【答案】B
【知识点】分段函数的应用
11．【答案】D
【知识点】函数的值域；分段函数的应用
12．【答案】D
【知识点】分段函数的应用
13．【答案】
【知识点】分段函数的应用
14．【答案】
【知识点】分段函数的应用
15．【答案】16
【知识点】分段函数的应用
16．【答案】9
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系；分段函数的应用
17．【答案】解：（Ⅰ）方案①计价的函数为f（x），方案②计价的函数为g（x），
则f（x）= ；
g（x）= ；
（Ⅱ）当0＜x≤5时，f（x）=g（x），
x＞5时，f（x）＜g（x）即方案①的价格比方案②的价格低，
理由如下：
x∈（5k，5k+3）（k∈N），f（x）﹣g（x）=2.5x﹣13k﹣9.5≤﹣0.5k﹣2＜0；
x∈（5k+3，5k+5）（k∈N），f（x）﹣g（x）=x﹣5.5k﹣5≤﹣0.5k＜0．
【知识点】分段函数的应用；函数模型的选择与应用
18．【答案】解：当0＜t＜15，t∈N+时，y=（t+30）（﹣t+40）=﹣t2+10t+1200=﹣（t﹣5）2+1225．
∴t=5时，ymax=1225；
当15≤t≤30，t∈N+时，y=（﹣t+60）（﹣t+40）=t2﹣100t+2400=（t﹣50）2﹣100，
而y=（t﹣50）2﹣100，在t∈[15，30]时，函数递减．
∴t=15时，ymax=1125，
∵1225＞1125，
∴最近30天内，第5天达到最大值，最大值为1225元
【知识点】分段函数的应用
19．【答案】解：（1）若k=﹣1，则f（x）=﹣f（x+2），即f（x+2）=﹣f（x），
即f（x+4）=﹣f（x+2）=f（x），
即函数f（x）是周期为4的周期函数．
（2）当0≤x≤1时，f（x）=x，
设﹣1≤x≤0，则0≤﹣x≤1，
∴f（﹣x）=（﹣x）=﹣x．
∵f（x）是奇函数，
∴f（﹣x）=﹣f（x），
∴﹣f（x）=﹣x，即f（x）=x．故f（x）=x（﹣1≤x≤1）
又设1＜x＜3，则﹣1＜x﹣2＜1，
∴f（x﹣2）=（x﹣2），
又∵f（x﹣2）=﹣f（2﹣x）=﹣f[（﹣x）+2]=﹣[﹣f（﹣x）]=﹣f（x），
∴﹣f（x）=（x﹣2），∴f（x）=﹣（x﹣2）（1＜x＜3）．
∴f（x）=
由f（x）=﹣，解得x=﹣1．
∵f（x）是以4为周期的周期函数．
故f（x）=﹣的所有x=4n﹣1（n∈Z）．
令0≤4n﹣1≤2016，则≤n≤504，
又∵n∈Z，∴1≤n≤504（n∈Z），
∴在[0，2016]上共有504个x使f（x）=﹣．
（3）对任意实数x，f（x）=kf（x+2），
∴f（x﹣2）=kf（x），
∴f（x）=f（x﹣2）．
当﹣2≤x＜0时，0≤x+2＜2，f（x）=kf（x+2）=kx（x+2）；
当﹣3≤x＜﹣2时，﹣1≤x+2＜0，f（x）=kf（x+2）=k2（x+2）（x+4）．
当2≤x≤3 时，0≤x﹣2≤1，f（x﹣2）=kf（x）=（x﹣2）（x﹣4），故f（x）=（x﹣2）（x﹣4）．
综上可得，f（x）=
∵k＜0，
∴f（x）在[﹣3，﹣1]与[1，3]上为增函数，在[﹣1，1]上为减函数．
则函数f（x）在[﹣3，3]上的单调性可知，
f（x）在x=﹣3或x=1处取最小值f（﹣3）=﹣k2或f（1）=﹣1，
而在x=﹣1或x=3处取最大值f（﹣1）=﹣k或f（3）=﹣，
故有：①k＜﹣1时，f（x）在x=﹣3处取最小值f（﹣3）=﹣k2，在x=﹣1处取最大值f（﹣1）=﹣k；
②k=﹣1时，f（x）在x=﹣3与x=1处取最小值f（﹣3）=f（1）=﹣1，在x=﹣1与x=3处取最大值f（﹣1）=f（3）=1；
③﹣1＜k＜0时，f（x）在x=1处取最小值f（1）=﹣1，在x=3处取最大值f（3）=﹣．
【知识点】函数解析式的求解及常用方法；分段函数的应用
20．【答案】解：（I）依题意知第10天该商品的日销售收入为
，解得 .
（II）由题中的数据知，当时间变化时，该商品的日销售量有增有减并不单调，故只能选② .
从表中任意取两组值代入可求得
（III）由（2）知
∴
当 时， 在区间 上是单调递减的，在区间 上是单调递增，
所以当 时， 取得最小值，且 ；
当 时， 是单调递减的，所以当 时， 取得最小值，且 .
综上所述，当 时， 取得最小值，且 .
故该商品的日销售收入 的最小值为121元.
【知识点】分段函数的应用；函数最值的应用；函数模型的选择与应用
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