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4.2.1 指数函数的概念
一、单选题
1．如果指数函数的图象经过点 ，则 的值等于（　　）
A． B．2 C． D．16
2．人工放射性核素碘-131可发射射线治疗某种疾病．已知该物质的半衰期为天，设质量为的碘-131经过天后剩余的质量为，则关于的函数解析式是（　　）
A． B．
C． D．
3．某工厂产生的废气经过滤后排放，过滤过程中废气的污染物含量（单位：）与时间（单位：）间的关系为，其中是正的常数，如果在前消除了的污染物，那么污染物还剩81%时，需要（　　）小时？
A．9 B．10 C．11 D．12
4．函数，则（　　）
A． B．0 C．1 D．4
5．已知函数的图象恒过点，若点也在函数的图象上，则（　　）
A． B． C． D．
6．已知指数函数的图像经过点，则（　　）
A．4 B．1 C．2 D．
7．已知则（　　）
A． B． C． D．
8．若函数 是指数函数，则（　　）
A． 或 B．
C． D． 且
9．已知指数函数 过点 ，则函数 的值域为（　　）
A． B．
C． D．
10．下列各函数中，值域为 的是（　　）
A． B． C． D．
11．函数的图象向右平移个单位长度，所得图象与关于轴对称，则（　　）
A． B． C． D．
12．已知函数，则的值为（　　）
A． B．2 C． D．
二、填空题
13．满足方程 的 值为　 　．
14．请写出一个同时满足下列两个条件的函数：　 　.
（1） ，若则（2）
15．已知指数函数，若时，总有，则实数的取值范围是　 　.
16．若指数函数的图象经过点，则其解析式为　 　．
三、解答题
17．若长方体的相邻三个面的面积分别为 ，求长方体的体对角线的长.
18．函数f（x）的图象如图所示，曲线BCD为抛物线的一部分．
（Ⅰ）求f（x）解析式；
（Ⅱ）若f（x）=1，求x的值；
19．定义在（﹣1，1）上的减函数f（x）且满足对任意的实数x，y都有f（x+y）=f（x）+f（y）
（Ⅰ）判断函数f（x）的奇偶性；
（Ⅱ）解关于x的不等式f（log2x﹣1）+f（log2x）＜0．
20．已知函数，.
(1)当时，求函数的最大值；
(2)如果对于区间上的任意一个，都有成立，求的取值范围.
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】指数函数的概念与表示
2．【答案】A
【知识点】指数函数的概念与表示
3．【答案】B
【知识点】指数函数的概念与表示
4．【答案】D
【知识点】指数函数的概念与表示
5．【答案】C
【知识点】指数函数的概念与表示
6．【答案】A
【知识点】指数函数的概念与表示
7．【答案】D
【知识点】指数函数的概念与表示
8．【答案】C
【知识点】指数函数的概念与表示
9．【答案】C
【知识点】函数的值域；指数函数的概念与表示
10．【答案】A
【知识点】二次函数的性质；指数函数的概念与表示
11．【答案】B
【知识点】函数的图象与图象变化；指数函数的概念与表示
12．【答案】D
【知识点】指数函数的概念与表示
13．【答案】0
【知识点】指数函数的概念与表示
14．【答案】，答案不唯一
【知识点】指数函数的概念与表示
15．【答案】
【知识点】指数函数的概念与表示
16．【答案】
【知识点】指数函数的概念与表示
17．【答案】设长方体的相邻三边的长分别为： ，
根据题意得： ，
解得 ，
所以长方体的体对角线的长 .
【知识点】棱柱的结构特征
18．【答案】解：（Ⅰ）当-1≤x≤0时，函数图象为直线且过点（-1，0）（0，3），直线斜率为k=3，
所以y=3x+3；
当0＜x≤3时，函数图象为抛物线，设函数解析式为y=a（x-1）（x-3），
当x=0时，y=3a=3，解得a=1，所以y=（x-1）（x-3）=x2-4x+3，
所以 ．
（Ⅱ）当x∈[-1，0]，令3x+3=1，解得 ；
当x∈（0，3]，令x2-4x+3=1，解得 ，
因为0＜x≤3，所以x= ，
所以 或 ；
【知识点】函数解析式的求解及常用方法；一元二次方程的解集
19．【答案】解：（1）：（Ⅰ）证明：令x=y=0得，f（0）+f（0）=f（0），即f（0）=0；令y=﹣x得，f（x）+f（﹣x）=f（0）=0；故f（x）为奇函数；（Ⅱ）令 log2x=t ，则不等式f（log2x﹣1）+f（log2x）＜0化为不等式f（t﹣1）+f（t）＜0，即f（t﹣1）＜﹣f（t）＜f（﹣t），∵f（x）在（﹣1，1）上是减函数，∴﹣1＜﹣t＜t﹣1＜1，解得＜t＜ 2，又log2x=t，所以＜ log2x ＜ 2解得，＜x＜4所以，不等式的解集为（， 24）
【知识点】抽象函数及其应用
20．【答案】（1）；（2）
【知识点】含三角函数的复合函数的值域与最值
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