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4.4 对数函数
一、单选题
1．已知，，，则a、b、c的大小顺序为（　　）
A． B． C． D．
2．已知函数 ，当 时 ．方程 表示的直线是（　　）
A． B．
C． D．
3．若 ，则（　　）
A． B． C． D．
4．已知a>1，函数在区间上的最大值与最小值的差为2，则a=（　　）
A．9 B．3 C．2 D．
5．函数与的图象关于（　　）
A．轴对称 B．轴对称
C．坐标原点对称 D．直线对称
6．四个函数在第一象限中的图象如图所示，则a，b，c，d所表示的函数可能是（　　）
A．
B．
C．
D．
7．函数y=loga(3x－2)+2(a>0，且a≠1)的图象必过定点（　　）
A．(1，2) B．(2，2) C．(2，3) D．
8．设，，，则（　　）
A． B． C． D．
9．已知x=ln π，y=log52，z=log e则（　　）
A．x＜y＜z B．z＜x＜y C．z＜y＜x D．y＜z＜x
10． 若，则的取值范围是（　　）．
A． B．
C． D．
11．已知a、b∈R，且满足0＜a＜1＜b，则下列大小关系正确的是（　　）
A．ab＜ba＜logab B．ba＜logab＜ab C．logab＜ba＜ab D．logab＜ab＜ba
12．函数 的零点所在的大致区间是（　　）
A．（0，1） B．（1，2） C．（2，e） D．（3，4）
二、填空题
13．函数 的图像恒过定点的坐标为　 　.
14．反函数
指数函数 (，且)与对数函数 (，且)互为反函数，它们的定义域与值域正好互换，与的函数图象关于直线　 　对称．
15．若 ，则实数a的取值范围是　 　。
16．关于函数 ，有下列命题：
①其图象关于原点对称；②当x＞0时， f(x)是增函数；当x＜0时， f(x)是减函数；③f(x)的最小值是ln2；④f(x)在区间(0，1)和(－∞，－2)上是减函数；⑤f(x)无最大值，也无最小值.其中所有正确结论的序号是　 　．
三、解答题
17．设，且.
（1）求实数的值及函数的定义域；
（2）求函数在区间上的最小值.
18．已知函数的定义域为D．若对于任意，且，都有，则称函数为“凸函数”．
（1）判断函数①，②与③是“凸函数”的序号是（只需写出结论）；
（2）若函数（a，b为常数）是“凸函数”，求a的取值范围；
（3）写出一个定义在上的“凸函数”，满足．（只需写出结论）．
19．已知函数.
（1）若的定义域为，求实数的取值范围；
（2）若的值域为，求实数的取值范围.
20．已知函数，.
(1)当时，求函数的最大值；
(2)如果对于区间上的任意一个，都有成立，求的取值范围.
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】利用对数函数的单调性比较大小
2．【答案】C
【知识点】一次函数的性质与图象；对数函数的图象与性质
3．【答案】A
【知识点】对数函数的单调性与特殊点
4．【答案】D
【知识点】对数函数的值域与最值
5．【答案】D
【知识点】互为反函数的两个函数之间的关系
6．【答案】C
【知识点】一次函数、指数函数、对数函数的增长差异
7．【答案】A
【知识点】对数函数的图象与性质；对数函数的单调性与特殊点
8．【答案】B
【知识点】利用对数函数的单调性比较大小；利用三角函数的单调性比较大小
9．【答案】C
【知识点】利用对数函数的单调性比较大小
10．【答案】D
【知识点】对数函数的单调性与特殊点；指、对数不等式的解法
11．【答案】D
【知识点】利用对数函数的单调性比较大小
12．【答案】B
【知识点】对数函数的单调性与特殊点；函数的零点
13．【答案】(1，2)
【知识点】对数函数的图象与性质
14．【答案】
【知识点】互为反函数的两个函数之间的关系
15．【答案】（0， ）∪（1，＋∞）
【知识点】对数函数的单调性与特殊点
16．【答案】③④
【知识点】对数函数图象与性质的综合应用
17．【答案】（1），； （2）
【知识点】对数函数的图象与性质
18．【答案】（1）③；（2）；（3）.
【知识点】一次函数、指数函数、对数函数的增长差异
19．【答案】解：（1）因为函数的定义域为
所以在上恒成立，
所以当时，得或.
当时，显然在上不能恒成立，故舍去；
当时，恒成立；
当，即时，则.
解得或.
综上可得，实数的取值范围为.
（2）设因为的值域为，
所以的函数值要取遍所有的正数，
即是值域的子集.
当时，得或.
当时，符合题意；
当时，不符合题意；
当时，函数为二次函数，
即函数的图象与轴有交点且开口向上，
则，解得.
综上可知，实数的取值范围为
【知识点】对数函数的概念与表示；对数函数的图象与性质
20．【答案】（1）；（2）
【知识点】含三角函数的复合函数的值域与最值
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