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4.4.3 不同函数增长的差异
一、单选题
1．四个函数在第一象限中的图象如图所示，则a，b，c，d所表示的函数可能是（　　）
A．
B．
C．
D．
2．在2h内将某种药物注射进患者的血液中，在注射期间，血液中的药物含量呈线性增加；停止注射后，血液中的药物含量呈指数衰减．下面能反映血液中药物含量Q随时间t变化的图象是（　　）
A． B．
C． D．
3．下列选项分别是四种生意预期的获益y关于时间x的函数模型，从足够长远的角度看，使得公司获益最大的函数模型是（　　）
A． B． C． D．
4．某工程需要向一个容器内源源不断地注入某种液体，有三种方案可以选择，这三种方案的注入量随时间变化如下图所示：
横轴为时间（单位：小时），纵轴为注入量，根据以上信息，若使注入量最多，下列说法中错误的是（　　）
A．注入时间在小时以内（含小时），采用方案一
B．注入时间恰为小时，不采用方案三
C．注入时间恰为小时，采用方案二
D．注入时间恰为小时，采用方案二
5．某学校开展研究学习活动，一组同学获得了下面的一组试验数据：
1.99 3 4 5.1 8
0.99 1.58 2.01 2.35 3.00
如下四个模拟函数，能近似地反映这些数据的规律的是（　　）
A． B．
C． D．
6．已知a＞0且a≠1，f（x）=x2﹣ax，当x∈（﹣1，1）时均有f（x）＜ ，则实数a的取值范围是（　　）
A． ∪[2，+∞） B． ∪（1，4]
C． ∪（1，2] D． ∪[4，+∞）
7．三个变量y1，y2，y3随着变量x的变化情况如下表：
x 1 3 5 7 9 11
y1 5 135 625 1715 3645 6655
y2 5 29 245 2189 19685 177149
y3 5 6.10 6.61 6.985 7.2 7.4
则关于x分别呈对数函数 指数函数 幂函数变化的变量依次为（　　）
A．y1，y2，y3 B．y3，y2，y1 C．y2，y1，y3 D．y1，y3，y2
8．下列说法正确的是（　　）
A．函数y=f（x）的图象与直线x=a可能有两个交点
B．函数y=log2x2与函数y=2log2x是同一函数
C．对于[a，b]上的函数y=f（x），若有f（a） f（b）＜0，那么函数y=f（x）在（a，b）内有零点
D．对于指数函数y=ax（a＞1）与幂函数y=xn（n＞0），总存在一个x0，当x＞x0时，就会有ax＞xn
9．标准的围棋棋盘共 行 列， 个格点，每个格点上可能出现“黑”“白”“空”三种情况，因此有 种不同的情况；而我国北宋学者沈括在他的著作《梦溪笔谈》中，也讨论过这个问题，他分析得出一局围棋不同的变化大约有“连书万字五十二”种，即 ，下列数据最接近 的是 （ ）（　　）
A． B． C． D．
10．函数的图象大致是（　　）
A． B．
C． D．
11．函数的图象大致为（　　）
A． B．
C． D．
12．某池塘中原有一块浮草，浮草蔓延后的面积y（m2）与时间t（月）之间的函数关系是y=at﹣1（a＞0，且a≠1），它的图象如图所示．给出以下命题：
①池塘中原有浮草的面积是0.5m2；
②到第7个月浮草的面积一定能超过60m2
③浮草每月增加的面积都相等；
④若浮草面积达到4m2，16m2，64m2所经过时间分别为t1，t2，t3，则t1+t2＜t3，其中所有正确命题的序号是（　　）
A．①② B．①④ C．②③ D．②④
二、填空题
13．关于x的方程 的两个根为 ， ，则 　 　．
14．若圆锥底面半径为1，高为2，则圆锥的侧面积为　 　．
15．若，函数，，中，增长较快的一个是　 　，则使成立的的取值范围是　 　.
16．光线通过一块玻璃板时，其强度要损失原来的10%，把几块这样的玻璃板重叠起来，设光线原来的强度为a，则通过3块玻璃板后的强度变为　 　．
三、解答题
17．如图，射线 、 分别与 轴正半轴成 和 角，过点 作直线 分别交 、 于 、 两点，当 的中点 恰好落在直线 上时，求直线 的方程．
18．已知函数的定义域为D．若对于任意，且，都有，则称函数为“凸函数”．
（1）判断函数①，②与③是“凸函数”的序号是（只需写出结论）；
（2）若函数（a，b为常数）是“凸函数”，求a的取值范围；
（3）写出一个定义在上的“凸函数”，满足．（只需写出结论）．
19．函数 ，当 时，求函数 的最小值．
20．已知函数，.
(1)当时，求函数的最大值；
(2)如果对于区间上的任意一个，都有成立，求的取值范围.
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】一次函数、指数函数、对数函数的增长差异
2．【答案】B
【知识点】一次函数、指数函数、对数函数的增长差异
3．【答案】A
【知识点】一次函数、指数函数、对数函数的增长差异
4．【答案】D
【知识点】一次函数、指数函数、对数函数的增长差异
5．【答案】D
【知识点】一次函数、指数函数、对数函数的增长差异
6．【答案】C
【知识点】一次函数、指数函数、对数函数的增长差异
7．【答案】B
【知识点】一次函数、指数函数、对数函数的增长差异
8．【答案】D
【知识点】一次函数、指数函数、对数函数的增长差异
9．【答案】B
【知识点】一次函数、指数函数、对数函数的增长差异
10．【答案】A
【知识点】一次函数、指数函数、对数函数的增长差异
11．【答案】C
【知识点】一次函数、指数函数、对数函数的增长差异
12．【答案】A
【知识点】一次函数、指数函数、对数函数的增长差异
13．【答案】3
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
14．【答案】
【知识点】旋转体（圆柱/圆锥/圆台/球）的结构特征
15．【答案】；
【知识点】一次函数、指数函数、对数函数的增长差异
16．【答案】0.729a
【知识点】一次函数、指数函数、对数函数的增长差异
17．【答案】解：由题意可得 ，
，
所以直线 ， ．
设 ， ，
所以 的中点 ．
由点 在 上，且 、 、 三点共线得
解得 ，所以 ．
又 ，所以
所以 ，
即直线 的方程为
【知识点】斜率的计算公式；直线的图象特征与倾斜角、斜率的关系
18．【答案】（1）③；（2）；（3）.
【知识点】一次函数、指数函数、对数函数的增长差异
19．【答案】解：由题意得 ，对称轴为直线 .
①当 ，即： ，函数在 单调递增 ；
②当 ，即： ，函数在 单调递减，在 单调递增.
，
综上：
【知识点】二次函数的性质；二次函数在闭区间上的最值
20．【答案】（1）；（2）
【知识点】含三角函数的复合函数的值域与最值
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