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4.5.1 函数的零点与方程的解
一、单选题
1．函数f（x）=lnx+3x-4的零点所在的区间为（　　）
A． B． C． D．
2． 函数零点是（　　）
A．0 B．1 C．2 D．3
3．若 的零点所在的区间为 ，则实数 的取值范围为（　　）
A． B． C． D．
4．函数 的零点所在的区间是（　　）
A． B． C． D．
5．已知a是函数 的零点，则函数 的零点所在的区间为（　　）
A． B． C． D．
6．函数 的零点所在的大致区间为
A． B．
C． D． 与
7．函数 的零点所在的区间是（　　）
A． B． C． D．
8．函数 的零点所在区间是（　　）
A． B． C． D．
9．已知方程 有两个正根，则实数 的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
10．方程 的解所在区间是（　　）
A． B． C． D．
11．若 ，当 时， ，若在区间 内， 有两个零点，则实数 的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
12．函数 与 图象交点的横坐标所在的区间是（　　）
A． B． C． D．
二、填空题
13．函数 的一个零点是 ，则另一个零点是　 　.
14．已知函数f(x)＝lnx＋3x－8的零点x0∈[a，b]，且b－a＝1，a，b∈N*，则a＋b＝　 　.
15．定义在R上的函数满足，且当x＞1时，则方程有　 　个实数解.
16．若若有两个零点，则实数的取值范围为　 　.
三、解答题
17．判断函数f(x)＝lnx－在区间(1，3)内是否存在零点．
18．用图象法判定方程的根的个数.
19．已知函数f（x）=ax2+bx+c，满足f（1）=﹣，且3a＞2c＞2b．
（1）求证：a＞0时，的取值范围；
（2）证明函数f（x）在区间（0，2）内至少有一个零点
20．定义在上的函数和二次函数满足：，，．
（1）求和的解析式；
（2）若对于、，均有成立，求的取值范围；
（3）设，在（2）的条件下，讨论方程的解的个数．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】函数零点存在定理
2．【答案】A
【知识点】函数的零点与方程根的关系
3．【答案】B
【知识点】函数零点存在定理
4．【答案】C
【知识点】函数零点存在定理
5．【答案】B
【知识点】函数零点存在定理
6．【答案】B
【知识点】函数零点存在定理
7．【答案】C
【知识点】函数零点存在定理
8．【答案】D
【知识点】函数零点存在定理
9．【答案】D
【知识点】二次函数的性质；函数的零点与方程根的关系
10．【答案】D
【知识点】函数零点存在定理
11．【答案】D
【知识点】函数的零点与方程根的关系
12．【答案】A
【知识点】函数零点存在定理
13．【答案】
【知识点】函数的零点与方程根的关系
14．【答案】5
【知识点】函数零点存在定理
15．【答案】3
【知识点】函数的零点与方程根的关系
16．【答案】
【知识点】函数的零点与方程根的关系
17．【答案】存在；因为函数f(x)＝ln x－的图象在[1，3]上是连续不断的一条曲线，且f(1) ＝－1<0，f(3)＝ln 3－>0，从而由零点存在性定理知，函数在(1，3)内存在零点．
【知识点】函数零点存在定理
18．【答案】无实数根
【知识点】函数的零点与方程根的关系
19．【答案】解：（1）∵f（1）=a+b+c=﹣，
∴3a+2b+2c=0．
又3a＞2c＞2b，
故3a＞0，2b＜0，
从而a＞0，b＜0，
又2c=﹣3a﹣2b及3a＞2c＞2b知3a＞﹣3a﹣2b＞2b
∵a＞0，∴3＞﹣3﹣＞2，
即﹣3＜＜﹣．
（2）根据题意有f（0）=0，f（2）=4a+2b+c=（3a+2b+2c）+a﹣c=a﹣c．
下面对c的正负情况进行讨论：
①当c＞0时，∵a＞0，
∴f（0）=c＞0，f（1）=﹣＜0
所以函数f（x）在区间（0，1）内至少有一个零点；
②当c≤0时，∵a＞0，
∴f（1）=﹣＜0，f（2）=a﹣c＞0
所以函数f（x）在区间（1，2）内至少有一个零点；
综合①②得函数f（x）在区间（0，2）内至少有一个零点.
【知识点】二次函数的性质；函数零点存在定理
20．【答案】解：（1）由①，可得②，
①②联立可得：；
因为，所以二次函数图象的对称轴为，
设二次函数，则，解得，
则；
（2）由（1）知，在上为增函数，，
则对任意都成立，
即对任意都成立，
则，解得，即实数的取值范围为；
（3），作函数的图象，如图所示：
令，，则，
当时，，
由图象可知，此时方程有两个解，设为，，
则有个解，有个解，故方程共个解；
当时，，
由图象可知，此时方程有一个解，设为，
则有个解，故方程共个解；
当时，，
由图象可知，此时方程有一个解，
则有个解，故方程共个解；
当时，，
由图象可知，此时方程有一个解，
则有个解，故方程共个解，
综上所述，当时，方程共个解；
当时，方程共个解；
当时，方程共个解；
当时，方程共个解．
【知识点】函数解析式的求解及常用方法；函数恒成立问题；函数的零点与方程根的关系
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