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4.5.3 函数模型的应用
一、单选题
1．荀子《劝学》中说：“不积跬步，无以至千里；不积小流，无以成江海.”在“进步率”和“退步率”都是的前提下，我们可以把看作是经过365天的“进步值”，看作是经过365天的“退步值”，可以计算得到，一年后的“进步值”是“退步值”的倍.那么，如果每天的“进步率”和“退步率”都是20%，要使“进步值”是“退步值”的倍，大约至少需要经过（　　）
A．9天 B．8天 C．7天 D．6天
2．从2015年到2020年，某企业通过持续的技术革新来降低其能源消耗，到了2020年该企业单位生产总值能耗降低了20%.如果这五年平均每年降低的百分率为x，那么x满足的方程是（　　）
A． B． C． D．
3．某农业公司年初用98万元购进一辆大型农业多用途收割机，已知该收割机累计使用年所需的各种费用（单位：万元）与使用时间n（，单位：年）之间的函数关系式为，该收割机每年的总收入为50万元．问该收割机第几年开始盈利？（即总收入减去成本及所有使用费用为正值）（　　）．
A．2 B．3 C．4 D．5
4．北京时间2025年11月14日，航天员陈冬 陈中瑞 王杰乘坐神舟二十一号载人飞船成功返回地球，平安抵达北京，不仅带回了珍贵的科学实验数据；还见证了我国航天事业的多个“第一次”：载人飞船进入太空需要搭载运载火箭，火箭在发射时会产生巨大的噪声，用声压级来度量声音的强弱，定义声压级，其中常数是听觉下限阈值，是实际声压，声压级的单位为分贝（），声压的单位为帕（）：已知人正常说话的声压约为，火箭发射时的声压约为，人正常说话的声压级记为，火箭发射时的声压级记为，则（　　）
A． B． C． D．
5．某食品的保鲜时间（单位：小时）与储存温度（单位：℃）满足函数关系（为自然对数的底数，，为常数）.若该食品在的保鲜时间是192小时，在的保鲜时间是48小时，则该食品在的保鲜时间是（　　）
A．16小时 B．20小时 C．24小时 D．28小时
6．如图，把直截面半径为的圆柱形木头锯成直截面为矩形的木料，如果矩形的一边长为（单位：），面积为（单位：），则把表示为的函数的解析式为（　　）
A． B．，
C． D．，
7．某科研小组培育一种水稻新品种，由第1代1粒种子可以得到第2代120粒种子，以后各代每粒种子都可以得到下一代120粒种子，则第10代得到的种子数为（　　）参考数据：，
A． B． C． D．
8．某市GDP的年平均增长率为，按此增长率，大约经过年后该市GDP会翻一番，则为（参考值，）（　　）
A．14 B．16 C．18 D．20
9．某品牌新能源汽车自2021年初上市以来，近5年销售情况如下表：
时间 2021年 2022年 2023年 2024年 2025年
间隔年份x（单位：年） 0 1 2 3 4
全球销售量y（单位：百万） 0.5 0.75 1.125 1.688 2.531
从函数和中选择一个最合适的模型（计算函数模型时应用前两组数据即可），预测2026年全球销售量与2021年全球销售量的比约为（　　）
A． B． C． D．
10．火箭是能使物体达到宇宙速度，克服或摆脱地球引力，进入宇宙空间的运载工具.1903年齐奥尔科夫斯基就推导出单级火箭的理想速度公式：.表示气体相对于火箭的喷射速度，表示火箭的初始质量（火箭壳与推进剂的总质量），表示推进剂用完后火箭的质量，目前液氢液氧推进剂能达到的发动机的喷射速度约为.理想情况下，对于初始质量为24吨的单级火箭，速度要达到，则需装载的推进剂的吨数约为（　　）
（参考数据，）
A．22.1 B．22.3 C．22.5 D．22.7
11．费马数列是以数学家皮埃尔·德·费马（PierredeFermat，1601~1665年）命名的数列，其中，例如．因为，所以的整数部分是1位数；因为，所以的整数部分是2位数；…；则的整数部分位数最接近于（）（　　）
A．240 B．600 C．900 D．1200
12．著名数学家，物理学家牛顿曾提出：物体在空气中冷却，如果物体的初始温度为，空气温度为，则分钟后物体的温度（单位：）满足：．若当空气温度为时，某物体的温度从下降到用时分钟，则再经过分钟后，该物体的温度为（　　）
A． B． C． D．
二、填空题
13．一个人喝了少量酒后，血液中的酒精含量迅速上升到，在停止喝酒后，血液中的酒精含量以每小时的速度减少，为了保障交通安全，某市根据《道路交通法》规定：驾驶员血液中的酒精含量不得超过，则一个喝了少量酒后的驾驶员，至少经过　 　小时，才能开车.（精确到1小时）
14．根据国家统计局发布的第七次全国人口普查结果显示，截止至2020年底，我国总人口数约为14亿，同2010年第六次全国人口普查数据相比，年平均增长率约为0.53%，若按此增长率，30年后我国人口总数约为　 　亿；为应对人口老化带来的挑战，改善我国人口结构，保持我国人力资源禀赋优势，党中央进一步优化了生育政策：若希望30年后，在中华人民共和国建国百年左右，我国人口超过20亿，那么人口年平均增长率应不低于　 　%.(精确到0.1)(参考数据：)
15．著名数学家、物理学家牛顿曾提出：物体在空气中冷却，如果物体的初始温度为，空气温度为，则分钟后物体的温度(单位：)满足：．若当空气温度为时，某物体的温度从下降到用时14分钟．则再经过28分钟后，该物体的温度为　 　．
16．把物体放在冷空气中冷却，如果物体原来的温度是，空气的温度是，后物体的温度可由公式求得.把温度是的物体，放在的空气中冷却后，物体的温度是，那么的值约等于　 　.（保留两位有效数字，参考数据：取.）
三、解答题
17．某化工厂生产的某种化工产品，当年产量在150吨至250吨之间时，其生产的总成本y（万元）与年产量（吨）之间的函数关系式近似地表示为．问：
（1）求年产量为多少吨时，每吨的平均成本最低？并求每吨最低平均成本；
（2）如果每吨平均出厂价为16万元，求年生产量为何范围时，获得的年利润可超过1200万元．
18．某建筑工地在一块长米，宽米的矩形地块上施工，规划建设占地如图中矩形ABCD的学生公寓，要求顶点C在地块的对角线MN上，B，D分别在边AM，AN上，假设AB长度为米．
（1）要使矩形学生公寓ABCD的面积不小于144平方米，AB的长度应在什么范围？
（2）长度AB和宽度AD分别为多少米时矩形学生公寓ABCD的面积最大？最大值是多少平方米？
19．南京某学校设计如图所示的环状田径场，该田径场的内圈由两条平行线段（图中的，）和两个半圆构成，设为，且.
（1）若图中矩形的面积为，则当取何值时，内圈周长最小？
（2）若内圈的周长为，则当取何值时，矩形的面积最大？
20．习近平总书记指出：“我们既要绿水青山，也要金山银山”.新能源汽车环保、节能，以电代油，减少排放，既符合我国的国情，也代表了世界汽车产业发展的方向.为响应国家节能减排的号召，某汽车制造企业计划在2019年引进新能源汽车生产设备，通过市场分析，全年需投入固定成本2500万元，每生产（百辆），需另投入成本万元，且，该企业确定每辆新能源汽车售价为6万元，并且全年内生产的汽车当年能全部销售完.
（1）求2019年的利润（万元）关于年产量（百辆）的函数关系式（其中利润＝销售额－成本）
（2）2019年产量为多少百辆时，企业所获利润最大？并求最大利润.
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】“指数爆炸”模型
2．【答案】D
【知识点】“指数爆炸”模型
3．【答案】B
【知识点】二次函数模型
4．【答案】C
【知识点】“对数增长”模型
5．【答案】C
【知识点】“指数爆炸”模型
6．【答案】B
【知识点】二次函数模型
7．【答案】C
【知识点】“指数爆炸”模型
8．【答案】A
【知识点】“指数爆炸”模型
9．【答案】D
【知识点】“指数爆炸”模型
10．【答案】C
【知识点】“对数增长”模型
11．【答案】D
【知识点】“对数增长”模型
12．【答案】C
【知识点】“指数爆炸”模型
13．【答案】6
【知识点】“指数爆炸”模型
14．【答案】16.4；
【知识点】“对数增长”模型；“指数爆炸”模型
15．【答案】37.5
【知识点】“指数爆炸”模型
16．【答案】
【知识点】“指数爆炸”模型
17．【答案】（1）当年产量为200吨时，每吨的平均成本最低，且每吨最低平均成本为10万元，（2）
【知识点】二次函数模型
18．【答案】（1）；（2）米，米时，学生公寓ABCD的面积最大，最大值是150平方米.
【知识点】二次函数模型
19．【答案】（1）；（2）.
【知识点】二次函数模型
20．【答案】（1）（2）2019年产量为100百辆时，企业所获利润最大，最大利润为1800万元
【知识点】二次函数模型
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