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3.2.1 单调性与最大（小）值
一、单选题
1．若关下 的函数 的最大值为 ，最小值为 ， ．则实数 的值为（　　）
A．2 B．5 C．-2021 D．2021
2．下列函数中，在区间 上是增函数的是（　　）
A． B． C． D．
3．已知定义域为 的函数 满足 ，当 时 单调递减且 ，则实数 的取值范围是（　　）
A． B．
C． D．
4．下列函数在定义域上为增函数的是（　　）
A． B． C． D．
5．已知函数 为实数集 上的单调递增函数，下列说法一定正确的是（　　）
A． B． C． D．
6．函数 在 上单调递增，则实数 的范围为（　　）
A．(1，2) B．(2，3) C．(2，3] D．(2，+∞)
7．已知幂函数 在 上单调递减，则 的解析式可能为（　　）
A． B． C． D．
8．已知函数是定义在R上的减函数，实数a，b，c满足，且，若是函数的一个零点，则下列结论中一定不正确的是（　　）
A． B． C． D．
9．已知定义在R上的函数 满足 ，其图象经过点 ，且对任意 、 ，且 ， 恒成立，则不等式 的解集为（　　）
A． B．
C． D．
10．已知 是定义在R上的减函数，则实数a的取值范围是（　　）
A． B．
C． D．
11．已知函数 是(－∞，＋∞)上的减函数，则a的取值范围是（　　）
A．(0，3) B．(0，3] C．(0，2) D．(0，2]
12．已知函数f(x)＝ ，在(0，a－5)上单调递减，则实数a的取值范围是（　　）
A．[6，8] B．[6，7] C．(5，8] D．(5，7]
二、填空题
13．函数 在区间 上的值域为　 　；
14． 的单调递减区间是　 　.
15．设函数 的最大值为M，最小值为m，则 　 　．
16．函数 的单调递减区间是　 　.
三、解答题
17．求函数的单调递增区间．
18．设a为实数，函数 ，x∈R．
(I)当a=0时，求f(x)在区间[0，2]上的最大值和最小值；
(Ⅱ)求函数f(x)的最小值．
19．已知f（x）=ax2+bx+c（a≠0），满足条件f（x+1）-f（x）=2x（x∈R），且f（0）=1．
（Ⅰ）求f（x）的解析式；
（Ⅱ）当x≥0时，f（x）≥mx-3恒成立，求实数m的取值范围．
20．已知定义域为R的函数 是奇函数．
（Ⅰ）求a，b的值；
（Ⅱ）若对任意的t∈R，不等式f(t2－2t)＋f(2t2－2k)<0恒成立，求k的取值范围．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】函数的最大（小）值
2．【答案】A
【知识点】函数单调性的判断与证明
3．【答案】B
【知识点】函数单调性的性质；函数的周期性
4．【答案】D
【知识点】函数单调性的判断与证明
5．【答案】C
【知识点】函数单调性的性质
6．【答案】C
【知识点】函数的单调性及单调区间
7．【答案】D
【知识点】函数单调性的判断与证明
8．【答案】B
【知识点】复合函数的单调性；函数的零点
9．【答案】D
【知识点】函数单调性的性质
10．【答案】B
【知识点】函数单调性的性质
11．【答案】D
【知识点】函数单调性的性质
12．【答案】D
【知识点】函数单调性的性质
13．【答案】
【知识点】函数的值域；函数单调性的性质
14．【答案】
【知识点】函数单调性的性质；二次函数的性质
15．【答案】2
【知识点】函数的最大（小）值
16．【答案】
【知识点】复合函数的单调性
17．【答案】当 时，是增函数，当 时，减函数.
【知识点】函数的单调性及单调区间
18．【答案】解：（I）当 ， 时，函数 ，
因为 的图象抛物线开口向上，对称轴为 ，
所以，当 时， 值最小，最小值为 ；
当 时， 值最大，最大值为3.
（II）①当 时，函数 .
若 ，则 在 上单调递减，在 上的最小值为 ；
若 ，则函数 在 上的最小值为 ；
②当 时， .
若 ，则 在 上的最小值为 ；
若 ，则 在 上单调递增， .
所以，当 时， ， 的最小值为 .
当 时， ， 的最小值为 .
当 时， 的最小值为 与 中小者.所以，当 时， 的最小值为 ；当 时， 的最小值为 .
综上，当 时， 的最小值为 ；当 时， 的最小值为
【知识点】函数的最大（小）值；二次函数的性质
19．【答案】解：（Ⅰ）由f（0）=1得，c=1，
由f（x+1）-f（x）=2x，得a（x+1）2+b（x+1）+1-（ax2+bx+c）=2x
化简得，2ax+a+b=2x，
所以：2a=2，a+b=1，
可得：a=1，b=-1，c=1，
所以f（x）=x2-x+1；
（Ⅱ）由题意得，x2-x+1≥mx-3，x∈[0，+∞）恒成立．
即：g（x）=x2-（m+1）x+4≥0，x∈[0，+∞）恒成立．
其对称轴x= ，
当 ≤0，即m≤-1时，g（x）在（0，+∞）上单调递增，
g（0）=4＞0
∴m≤-1成立
②当 ＞0时，
满足
计算得：-1＜m≤3
综上所述，实数m的取值范围是（-∞，3]．
【知识点】函数解析式的求解及常用方法；函数单调性的性质
20．【答案】解：（Ⅰ）定义域为 的函数 是奇函数
则
， ，
根据 ，解得 ，经检验，满足函数为奇函数
（Ⅱ）
易知 为增函数，故 为减函数
即
即
所以 恒成立，即
当 时，有最小值
故 的取值范围是
【知识点】函数的最大（小）值；奇偶性与单调性的综合
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