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参考答案
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B A D D B C C C A A
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分）
11．40
12．0.87
13．
14．19
15．
16．2 或
三、解答题（本大题共9小题，满分72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．（6分）
【详解】（1）解：原式；..........2分
（2）解：
．..........4分
当时，原式...........6分
18．（6分）
【详解】（1）解：∵的三边长为，，，
∴，
∴
；..........3分
（2）
即，
∴，
∴，
解得：，
设第三条边长为c，
∴，
即，
∵为等腰的边长，
∴，
∴的周长为．..........6分
19．（6分）
【详解】（1）解：，，
；..........2分
（2）解：如图，过点作，则，
，
，
，
，
，
，
．
..........6分
20．（6分）
【详解】（1）解：①由题中描述可知，“筒中没有混入次品羽毛球”是随机事件；..........1分
②“筒中混入1个次品羽毛球”的概率为，
，解得，
则；..........3分
（2）解：由题意得（筒中没有混入次品羽毛球），
（筒中混入1个次品羽毛球），
（筒中混入2个次品羽毛球），
，
选到筒中没有混入次品羽毛球的可能性选到筒中混入1个次品羽毛球的可能性选到筒中混入2个次品羽毛球的可能性．..........6分
21．（8分）
【详解】（1）解：①观察图3，大正方形的面积可表示为，小正方形的面积可表示为；....2分
②与之间的关系：；.........3分
（2）解：①∵，
∴，即，
∵，
∴，
∴；..........4分
②∵，
∴，即，
∵，
∴，
∴；..........5分
（3）解：①设，，则，，
∵，
∴；..........6分
②设，，
由题意得，，，
∵正方形，
∴，
∵，即，
∵，
∵，
∴，
∵，
∴阴影部分的面积为128．..........8分
22．（8分）
【详解】（1）解：当点在上运动时，，；..........2分
（2）解：在中，，
，
过作，
由，得，
解得
，的取值范围；..........5分
（3）解：如图所示，
Ⅰ．当在上，，则
Ⅱ．当在上，，则，
综上，x的值为2或．..........8分
23．（8分）
【详解】解：（1）正确的方案是④，
因为由轴对称的性质可得，
所以当点三点共线时，
所以此方案中用到的求最短路程的数学知识是两点之间，线段最短；..........2分
（2）过点A作直线m的对称点，连接与直线m的交点即为周长的最小值的点，
由对称轴的性质可得，，
∴，
∴，
∴的周长最小值为，
故答案为：11；..........5分
（3）①如图，最短，
过点分别作的对称点，连接与交点即为点
则，
∴；
②如图：
因为，
所以，
由轴对称的性质可得，
因为，
所以，
所以，
同理可得，
∴故答案为：．..........8分
24．（12分）
【详解】（1）解：，
（等式性质），
即，
在与中，
，
（），
（全等三角形的对应边相等）．..........4分
（2）解：，．
延长与交于点H，
和为等腰直角三角形，
，，，，
，
即，
（），
，，
，
即．
..........8分
（3）解：以为边向右上方作等边三角形，延长，交于点F，连接，
点M到的距离为1，的面积为，
，
，
和都是等边三角形，
，，，
，
，
，
，
，
，，
点为的中点，
，
，
，，
，
，
，
，，
，
，
．
..........12分
25．（12分）
【详解】（1）解：由题意知得，在和中，，
∴，
∴．..........3分
（2）证明：如图：作，
∴ ，
∵，
∴，则，
在和中，，
∴，
同理可证，
∴，，
∴，
在和中，，
∴，
∴，即：点G是的中点．
..........7分
（3）解：，理由如下：
如图：作，，
∵，，，
∴，则，
在和中，，
∴，
同理可证，
∴，，，，
∴
∵在 和 中，，
∴，
∴，
∴
∴．
..........12分中小学教育资源及组卷应用平台
北师大版2025-2026学年七年级数学下学期期末模拟卷
（考试时间：120分钟 试卷满分：120分）
第一部分（选择题 共30分）
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的）
1．共和国勋章获得者袁隆平培育出世界上第一株籼型杂交水稻，不仅解决了我国人多粮食少的问题，也给世界粮食产业带来了一次绿色变革．事件“没有水分，水稻正常生长”是（ ）
A．必然事件 B．不可能事件 C．随机事件 D．无法确定
2．篆书之美，在其线条如古玉凝脂般温润匀净，结体似青铜鼎彝般庄重对称，将汉字的古朴与秩序感刻进了千年文脉里．下列四个选项中的字分别是“华、夏、儿、女”四字的篆体形式，其中是轴对称图形的为（ ）
A． B． C． D．
3．下列计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
4．某研究团队突破“蛋白质纯化”这一传统概念，直接对线粒体成像，获得了迄今为止最清晰、最接近真实生理状态的线粒体原位膜蛋白高分辨率三维解析结构，局部分辨率最高达0.00000000018 m．数据0.00000000018用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
5．根据下列已知条件，能画出唯一的的是（ ）
A．，， B．，，
C．， D．，
6．如图①是2026年春晚的武术节目《武》中某机器人的表演瞬间，图②是其局部示意图．若，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
7．如图，在中，，点是的重心，则的面积是（ ）
A． B． C． D．
8．如图，在中，，，，分别是，，上的点，且，，若，则的度数是（ ）

A． B． C． D．
9．如图，瓶子里水位高度为a，乌鸦喝不着水，于是乌鸦衔来一个个小石子放入瓶中，水位上升至瓶口b处，乌鸦喝到了水．设放入瓶中的石子个数为x，水位高度为y，假设每一颗石子的体积一样，下列图象中最符合情境的大致图象是（　　）
A． B． C． D．
10．如图1，已知是一块平面镜，光线在平面镜上经点反射后，形成反射光线，我们称为入射光线，为反射光线．镜面反射有如下性质：入射光线与平面镜的夹角等于反射光线与平面镜的夹角，即．如图2，和是两块平面镜，入射光线经过两次反射后，得到反射光线．则下列结论错误的个数是（ ）
①若，则；②若，则；③若，则；④若，则．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
第二部分（非选择题 共90分）
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分）
11．若一个角的补角的比这个角大，则这个角的度数为______．
12．某地铁站为优化安检效率，测试了某款新型安检设备的违禁品识别情况．工作人员模拟携带违禁品通过安检口，记录每次设备能否精准识别，试验数据如表：
试验总次数 200 500 800 1000 1500 2000
精准识别次数 170 432 692 871 1305 1740
精准识别频率 0.850 0.864 0.865 0.871 0.870 0.870
根据以上数据，估计该设备精准识别违禁品的概率为______．（精确到0.01）
13．某市出租车收费方式全面调整，具体收费方式如下：行驶距离在3千米以内（包括3千米）付起步价3元，超过3千米后，每多行驶1千米加收元，试写出乘车费用（元）与乘车距离（千米）之间的函数关系式：____________．
14．现有边长分别为a和的A类和B类正方形纸片、长为a宽为b的C类长方形纸片若干张．如图所示要拼一个边长为的正方形，需要1张A类纸片、1张B类纸片和2张C类纸片．若要拼一个长为、宽为的长方形，则需要C类纸片的张数为__________．
15．如图，在直角三角形中，，，，，动点在线段上运动（不与端点重合），点关于边，的对称点分别为、，连接，点在上，则在点的运动过程中，线段长度的最小值是________________．
16．如图，在长方形中，，，，点P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿向点B匀速运动；点Q从点B出发，以每秒2个单位长度的速度沿向点C匀速运动；点R从点C出发，以每秒a个单位长度的速度沿向点D运动．连接，．三点同时开始运动，当某一点运动到终点时，其他点也停止运动，若在某一时刻，与全等，则a的值为________．
三、解答题（本大题共9小题，满分72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．（1）计算：；
（2）先化简，后求值，其中．
18．已知的三边长为，且都是整数．
(1)化简：；
(2)若．且为等腰的边长，求的周长．
19．科技小组成员潜心研制出一款机械手臂．如图1，手臂分为大臂、中臂和小臂三部分，手臂可呈现出多种状态完成不同的工作．图2、图3为其简化示意图．

(1)如图2，若，，则________．
(2)如图3，若，，，求的度数．
20．某校购进了40筒羽毛球以供学生使用，发现其中混有若干个次品羽毛球，体育老师经过统计，发现每筒羽毛球最多混入了2个次品，具体情况跟商家反馈如下：
混入次品羽毛球数/个 0 1 2
筒数/筒 32
(1)从40筒羽毛球中任意选取1筒．
①“筒中没有混入次品羽毛球”是________（填“必然”“不可能”或“随机”）事件；
②若“筒中混入1个次品羽毛球”的概率为，则的值为________；
(2)在（1）的基础上任意选取一筒，求给出的三种情况的可能性大小的排序（用“”连接）．
21．在“综合与实践”活动中，同学们通过图形剪拼操作探究乘法公式的几何意义，体会数形结合思想．如图1可以得到；如图2可以得到；现有长与宽分别为a，b的小长方形若干个，用四个相同的小长方形拼成图3的图形，请认真观察图形，解答下列问题：
(1)【探索发现】
①观察图3，大正方形的面积可表示为______，小正方形的面积可表示为______；
②结合图3的拼接方式，直接写出与之间的关系：_______；（用含a，b的代数式表示出来）
(2)【解决问题】
①若，，则______；
②已知长方形的长和宽分别为m，n，，，求的值；
(3)【拓展提升】
①若t满足，求的值；
②如图4，在正方形中，E，F分别是边上的点，已知，，长方形的面积是48，分别以为边作正方形、正方形，求阴影部分的面积．
22．在“动点与函数”的活动课上，老师提出了如下问题：在矩形中，，连接，动点从点出发以每秒1个单位长度的速度沿方向运动，当点运动到点时停止运动．设运动时间秒，的面积为．
(1)如图1，点在上运动时，请直接写出关于的函数表达式以及自变量的取值范围；
(2)如图2，点在上运动时，请求出关于的函数表达式以及自变量的取值范围；
(3)小邑学习函数时，常常利用“数形结合”的数学思想，因此在这道题的基础上，他想在图3中画出关于的函数图象，请你按照小邑的思路画出图象，并结合函数图象，求出的面积为4时的值．
23．【提出问题】唐代诗人李颀的《古从军行》开头两句“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河，”中隐含着一个有趣的数学问题——将军饮马，如图，将军牵马从营地A出发，先到河流l边上一点饮马，再去河岸同侧的营地开会，应该怎样走才能使路程最短？
【分析问题】
（1）为了解决这个问题，数学小组的同学提出了如下四种确定河边饮马点的方案．
正确的方案是_____（填序号），此方案中用到的求最短路程的数学知识是_____．
【解决问题】
（2）如图，在中，点与点关于直线成轴对称，点是直线上的动点．若，则周长的最小值为_____．
【类比探究】
（3）如图，点是内一定点，将军牵马从军营出发，先到河流边上一点饮马，再到草地边上一点吃草，最后回到军营
①在上图上画图：使将军走过的路程最短．（保留画图痕迹，辅助线用虚线，最短路程用实线）
②当将军走过的路程最短，且时，则_____°．
24．【模型构建】
如图①，两个等腰和中，，，，点A为公共顶点，连接，．如果把的腰看作大手，的腰看作小手，，可视作大手拉着小手，这就是“手拉手模型”．可探究和的数量关系．
探索思路如下：
，
（___________），
即（___________），
在与中，
，
（___________），
（___________）．
(1)请在上面（ ）中填写适当的理由．
【深入探究】
(2)如图②，和为等腰直角三角形，，判断直线、的数量关系和位置关系并证明：
【拓展应用】
(3)如图③，在中，，点为的中点，以为边在下方构造等边，连接，，．已知点到的距离为1，的面积为，求的值．
25．通过对下面数学模型的研究学习，解决下列问题：
(1)如图1，，，过点B作于点C，过点D作于点E．由，得．又，可以推理得到≌______，推理依据是______．进而得到______，______．我们把这个数学模型称为“K字”模型或“一线三等角”模型；
(2)如图2，，，，连接，且于点与直线交于点G．求证：点G是的中点；
(3)如图3，已知四边形和，，，，的面积为，的面积为，试猜想和的数量关系，并说明理由．

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