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第四章机械能及其守恒定律
第五章经典力学的局限性与相对论初步
(时间：75分钟　分值：100分)
一、单项选择题：本题共7小题，每小题4分，共28分。每小题只有一项是符合题目要求的。
1．下列对时空观的认识，说法正确的是 (　　)
A. 相对论给出了物体在低速运动时所遵循的规律
B. 相对论具有普遍性，牛顿力学是它在低速运动时的特例
C. 相对论的出现使牛顿力学在自己的适用范围内不再继续发挥作用
D. 牛顿力学建立在实验的基础上，它的结论又受到无数次实验的检验，因此在任何情况下都适用
2．如图所示，A、B两球的质量相同，A球通过不可伸长的细绳系在O点，B球固定在轻质弹簧上，把两球都拉到水平位置(绳和弹簧均拉直且为原长)，然后释放，不计空气阻力。当小球通过悬点O正下方的C点时，弹簧和绳子等长，则此时 (　　)
A. A、B两球的动能相等
B. A球重力势能的减少量大于B球重力势能的减少量
C. A球所在系统的机械能大于B球所在系统的机械能
D. A球的速度大于B球的速度
3．如图(a)所示，从高处M点到地面N点有Ⅰ、Ⅱ两条光滑轨道。两相同小物块甲、乙同时从M点由静止释放，沿不同轨道滑到N点，其速率v与时间t的关系如图(b)所示。由图可知，两物块在离开M点后到达N点前的下滑过程中 (　B　)
A. 甲沿Ⅰ下滑，且同一时刻甲的动能比乙的大
B. 甲沿Ⅱ下滑，且同一时刻甲的动能比乙的小
C. 乙沿Ⅰ下滑，且乙的重力功率一直不变
D. 乙沿Ⅱ下滑，且乙的重力功率一直增大
4．A、B两物体的质量之比mA∶mB＝2∶1，它们以相同的初速度v0在水平面上做匀减速直线运动，直到停止，其v t图像如图所示。那么，A、B两物体所受摩擦力之比fA∶fB与A、B两物体克服摩擦力做的功之比WA∶WB分别为 (　　)
A. 2∶1；4∶1 B. 4∶1；2∶1
C. 1∶4；1∶2 D. 1∶2；1∶4
5．如图所示，ABCD是一个盆式容器，盆内侧壁与盆底BC的连接处都是一段与BC相切的光滑圆弧，BC为水平面，其长度d＝0.50 m，盆边缘的高度h＝0.30 m。在A处放一个质量为m的小物块并让其从静止开始下滑。已知盆内侧壁是光滑的，而盆底BC面与小物块间的动摩擦因数μ＝0.10。小物块在盆内来回滑动，最后在E点(图中未画出)停下来，则E点到B点的距离为 (　　)
A. 0.50 m B. 0.25 m
C. 0.10 m D. 零
6．假设一艘太空飞船静止时的长度为30 m，它以0.6c(c为光速)的速度沿长度方向飞行越过地球。下列说法正确的是 (　　)
A. 飞船上的观测者测得该飞船的长度小于30 m
B. 地球上的观测者测得该飞船的长度小于30 m
C. 飞船上的观测者测得地球上发来的光信号速度小于c
D. 地球上的观测者测得飞船上发来的光信号速度小于c
7．(2025·四川卷)如图所示，倾角为30°的光滑斜面固定在水平地面上，安装在其顶端的电动机通过不可伸长的轻绳与小车相连，小车上静置一物块。小车与物块的质量均为m，两者之间的动摩擦因数为。电动机以恒定功率P拉动小车由静止开始沿斜面向上运动。经过一段时间，小车与物块的速度刚好相同，大小为v0。运动过程中轻绳与斜面始终平行，小车和斜面均足够长，重力加速度大小为g，忽略其他摩擦。则这段时间内 (　　)
A. 物块的位移大小为
B. 物块的机械能增量为
C. 小车的位移大小为－
D. 小车的机械能增量为＋
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。每小题有多项符合题目要求。全部选对的得6分，选对但不全的得3分，有选错的得0分。
8．升降机底板上放一质量为100 kg的物体，物体随升降机由静止开始竖直向上移动5 m时速度达到4 m/s，则此过程中(取g＝10 m/s2) (　　)
A. 升降机对物体做的功为5 800 J
B. 合外力对物体做的功为5 800 J
C. 物体的重力势能增加5 000 J
D. 物体的机械能增加800 J
9．对于公式m＝，下列说法正确的是 (　　)
A. 式中的m0是物体以速度v运动时的质量
B. 当物体的运动速度v>0时，物体的质量m>m0，即物体的质量改变了，故经典力学不适用，是不正确的
C. 当物体以较小速度运动时，质量变化十分微弱，经典力学理论仍然适用，只有当物体以接近光速运动时，质量变化才明显，故经典力学适用于低速运动，而不适用于高速运动
D. 通常由于物体的运动速度太小，故质量的变化难以引起我们的察觉，在分析地球上物体的运动时，不必考虑质量的变化
10．如图所示，长度相同的三根轻杆构成一个正三角形支架，在A处固定质量为2m的小球，B处固定质量为m的小球，支架悬挂在O点，可绕过O点并与支架所在平面垂直的固定轴转动，开始时OB与地面垂直。放手后开始运动，在不计任何阻力的情况下，下列说法正确的是　 (　　)
A. A处小球到达最低点时速度为零
B. A处小球机械能的减少量等于B处小球机械能的增加量
C. B处小球向左摆动所能到达的最高位置应高于A处小球开始运动时的高度
D. 当支架从左向右回摆时，A处小球能回到起始高度
三、非选择题：本题共5小题，共54分。其中第12~15小题解答时请写出必要的文字说明、方程式和重要的演算步骤;有数值计算时,答案中必须明确写出数值和单位。
11．(12分)某同学利用如图甲所示的实验装置来验证机械能守恒定律。
(1)该同学开始实验时的情形如图甲所示，接通电源释放纸带。请指出该同学在实验操作中存在的两处明显的错误或不当的地方：
①_______________________________________________________________②_______________________________________________________________
(2)该同学改正错误后正确操作，让质量为1 kg的重锤下落，通过打点计时器在纸带上记录运动过程，打点计时器所接电源为频率是50 Hz的交流电源，纸带打点结果如图乙所示。纸带上O点为重锤自由下落时的打点起点(O、A两点间有点未画出)，选取的计数点A、B、C、D依次间隔一个点(图中未画出)，各计数点到O点距离如图乙所示，单位为mm，取g＝9.8 m/s2，则：(结果均保留三位有效数字)
①根据纸带，打点计时器打下B点时，重锤速度vB＝________，重锤的动能EkB＝______，从开始下落到打点计时器记录B点时，重锤的势能减少量为________。
②由此可以得到的实验结论是： _____________________________________________________________________。
12．(8分)在静止坐标系中的立方体边长为l0，另一坐标系以相对速度v平行于立方体的一边运动，则在后一坐标系中的观察者测得的立方体的体积是多少？
13．(10分)如图所示，将一内径R＝0.8 m、高h＝3.2 m的内壁光滑的圆筒固定，其中心轴线OO′沿竖直方向。一质量m＝0.2 kg的小球(视为质点)以大小v0＝6 m/s的初速度沿筒内壁上端某点的切线方向水平射入，小球沿筒壁运动一段时间后自底端某处飞离圆筒。忽略空气阻力，重力加速度g取10 m/s2。求：
(1)筒壁对小球的弹力大小FN；
(2)小球射出时的速度大小v。
14．(10分)山地滑雪是滑雪爱好者喜爱的一项体育运动。如图所示，一滑雪坡由AB和BC组成，AB是倾角为37°的斜面，BC是半径为 R＝5 m的圆弧面，圆弧面和斜面相切于B点，与水平面相切于C点，A、B两点竖直高度差 h＝8.8 m。一运动员连同滑雪装备的总质量为80 kg，从A点由静止滑下通过C点后飞出(不计空气阻力和摩擦阻力，取g＝10 m/s2，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8)。求：
(1)运动员到达C点时的速度大小；
(2)运动员经过C点时对轨道的压力大小。
15．(14分)(2025·安徽卷)如图所示，M、N为固定在竖直平面内同一高度的两根细钉，间距L＝0.5 m。一根长为3L的轻绳一端系在M上，另一端竖直悬挂质量m＝0.1 kg的小球，小球与水平地面接触但无压力。t＝0时，小球以水平向右的初速度v0＝10 m/s开始在竖直平面内做圆周运动。小球牵引着绳子绕过N、M，运动到M正下方与M相距L的位置时，绳子刚好被拉断，小球开始做平抛运动。小球可视为质点，绳子不可伸长，不计空气阻力，重力加速度g取10 m/s2。
(1)求绳子被拉断时小球的速度大小及绳子所受到的最大拉力的大小；
(2)求小球做平抛运动时抛出点到落地点的水平距离；
(3)若在t＝0时，只改变小球的初速度大小，使小球能通过N的正上方且绳子不松弛，求初速度的最小值。
第四章机械能及其守恒定律经典力学的局限性与相对论初步
(时间：75分钟　分值：100分)
一、单项选择题：本题共7小题，每小题4分，共28分。每小题只有一项是符合题目要求的。
1．B　解析：相对论给出了物体在高速运动时所遵循的规律，牛顿力学为它在低速运动时的特例，牛顿力学在自己的适用范围内还将继续发挥作用，且有简捷的优势，故A、C、D错误，B项正确。
2．D　解析：A球运动过程中，仅有重力对其做功，B球运动过程中，仅有重力和弹簧弹力对其做功，故A、B球所在系统的机械能均守恒。以过C点的水平面为参考平面，A、B球在运动过程中重力做功相同，重力势能的减少量相同，但B球有一部分重力势能转化为弹簧的弹性势能，所以到达C点时A球的动能大，速度大，故D正确。
3．　B　
4．B　解析：由题图可知，物体A的加速度大小aA＝，物体B的加速度大小aB＝，根据牛顿第二定律可知，物体A、B受到的摩擦力分别为fA＝mAaA，fB＝mBaB，又mA∶mB＝2∶1，所以fA∶fB＝4∶1；v t图像中图线与横轴所围的面积表示位移，从开始运动到停止，A、B两物体的位移分别为xA＝，xB＝＝v0t0，又 W＝Fx cos α，所以WA∶WB＝(fAxA)∶(fBxB)＝2∶1。故选项B正确。
5．D　解析：设物块在BC面上运动的总路程为s，由动能定理知W合＝mgh－μmgs＝Ek1－Ek0，其中Ek1＝Ek0＝0，所以，μmgs＝mgh，则s＝＝ m＝3 m，因为d＝0.5 m，则＝＝6，可见物块最后停在B点，故D正确。
6．B　解析：由l＝l0知A项错误，B项正确；由相对论时空观的基本假设知光信号的速度都等于c，C、D两项错误。
7．C　解析：对物块根据牛顿第二定律有μmg cos 30°－mgsin 30°＝ma，解得a＝g，根据运动学公式有v＝2ax1，解得物块的位移大小为x1＝，故A错误；物块的机械能增量为ΔE＝mv＋mgx1·sin 30°＝mv，故B错误；对小车根据动能定理有Pt－(μmg cos 30°＋mgsin 30°)x0＝mv，其中t＝，联立解得x0＝－，故C正确；小车的机械能增量为ΔE′＝mv＋mgx0 sin 30°＝＋，故D错误。
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。每小题有多项符合题目要求。全部选对的得6分，选对但不全的得3分，有选错的得0分。
8．AC　解析：根据动能定理得W升－mgh＝mv2，可解得W升＝5 800 J，A正确；合外力做的功为W合＝mv2＝×100×42 J＝800 J，B错误；物体重力势能增加mgh＝100×10×5 J＝5 000 J，C正确；物体机械能的增加量等于升降机对物体做的功，ΔE＝W升＝5 800 J，D错误。
9．CD　解析：公式m＝中，m0为物体静止时的质量，m是物体速度为v时的质量，A错误；物体速度远小于光速时，质量的变化可以忽略不计，即经典力学适用于低速运动，不适用于高速运动，B错误，C正确；地球上的物体运动速度一般比较小，经典力学仍适用，D正确。
10．BCD　解析：因为A处小球质量大，位置高，所以三角形支架处于不稳定状态，释放后支架就会向左摆动。摆动过程中只有A、B处小球受到的重力对系统做功，故系统的机械能守恒，B、D正确；设支架边长是L，则A处小球到最低点时小球下落的高度为L，B处小球上升的高度也是L，但A处小球的质量比B处小球的大，故有mgL的重力势能转化为A、B两处小球的动能，因而此时A处小球的速度不为零，A错误；当A处小球到达最低点时有向左运动的速度，还要继续向左摆，B处小球仍要继续上升，因此B处小球能到达的最高位置比A处小球开始运动时的高度还要高，C正确。
三、非选择题：本题共5小题，共54分。其中第12~15小题解答时请写出必要的文字说明、方程式和重要的演算步骤;有数值计算时,答案中必须明确写出数值和单位。
11．解析：(1)本实验使用的是打点计时器，根据打点计时器的工作原理，必须使用交流电源，而该同学使用的是直流电源；纸带总长约1 m，要尽可能在纸带上多打一些点，所以应让重锤紧靠打点计时器，而该同学释放重锤的位置离打点计时器太远，故该同学在实验操作中存在的两处明显错误或不当的地方是：①打点计时器接了直流电源；②重锤离打点计时器太远。
(2)①打点计时器所接电源为频率是50 Hz的交流电源，选取的计数点A、B、C、D依次间隔一个点，所以相邻的计数点间的时间间隔是T＝0.04 s。根据匀变速直线运动的规律有vB＝＝ m/s≈1.18 m/s，动能Ek＝mv＝×1×1.182 J＝0.696 J，从开始下落到打点计时器记录B点时，重锤势能减少量为ΔEp＝mgxOB＝1×9.8×70.6×10-3 J＝0.692 J。
②从前面的计算可以看出重锤动能增加量近似等于重锤重力势能减少量，即在误差允许的范围内重锤下落过程中机械能守恒。
答案：(1)①打点计时器接了直流电源　②重锤离打点计时器太远　(2)①1.18 m/s　0.696 J　0.692 J　②在实验误差允许的范围内重锤下落过程中机械能守恒
12．解析：本题中另一坐标系以速度v相对立方体运动，立方体的一条边与运动方向平行，则后一坐标系中观察者测得该条边的长度为l＝l0
测得立方体的体积为V＝ll＝l。
答案：l
13．
解析：(1)小球在水平方向做匀速圆周运动，筒壁对小球的弹力提供向心力，则
FN＝m＝0.2× N＝9 N。
(2)小球射出时竖直分速度vy满足
v－0＝2gh
解得vy＝8 m/s
小球射出时的速度大小v＝＝10 m/s。
答案：(1)9 N　(2)10 m/s
14．
解析：(1)由A点到C点过程，应用机械能守恒定律得
mg(h＋Δh)＝mv
又Δh＝R(1－cos 37°)
解得vC＝14 m/s。
(2)在C点，由牛顿第二定律和向心力公式得
N－mg＝m
解得N＝3 936 N
由牛顿第三定律知，运动员在C点时对轨道的压力大小为3 936 N。
答案：(1)14 m/s　(2)3 936 N
15．
解析：(1)小球从最下端以速度v0抛出到运动到M正下方距离为L的位置时，根据机械能守恒定律有mv＝mg·2L＋mv2
在该位置时根据牛顿第二定律有T－mg＝m
解得v＝4 m/s，T＝17 N。
(2)小球做平抛运动时有x＝vt，2L＝gt2
解得x＝4 m。
(3)若小球经过N点正上方的绳子恰好不松弛，则满足mg＝m
从最低点到该位置由动能定理得
mv′＝mg·5L＋mv′2
解得v′0＝2 m/s。
答案：(1)4 m/s　17 N　(2)4 m
(3)2 m/s
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