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23.3 一次函数与方程(组)、不等式 (课时2)
第二十三章 一次函数
人教版(2024)
02 能根据一次函数图象求解二元一次方程(组)；
01 理解一次函数与二元一次方程(组)的关系；
素养目标
03 体验数形结合的思想，学会用函数的观点去认识问题.
知识回顾
一次函数与一元一次方程之间的关系：
解一元一次方程，从函数值的角度看：求ax+b=0(a，b是常数，a≠0)的解就是当一次函数y=ax+b的函数值为0时，求自变量x的值.
从函数图象的角度看：求ax+b=0(a，b是常数，a≠0)的解就是求直线y=ax+b与x轴交点的横坐标.
一元一次方程2x-1=0的解是x=0.5
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O
x
y
-1
-1
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y =2x-1
知识回顾
一次函数与一元一次不等式之间的关系：
解一元一次不等式，从函数值的角度看：求ax+b>0(或<0)(a≠0)的解集就是一次函数y=ax+b的函数值大于0(或小于0)时，求自变量x的取值范围.
从函数图象的角度看：求ax+b>0(或<0)(a≠0)的解集就是已知直线y=ax+b，确定这条直线上的点的纵坐标大于0或小于0时横坐标的取值范围.
不等式2x-1>0的解集x>0.5.
不等式2x-1<0的解集x<0.5.
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O
x
y
-1
-1
3
y =2x-1
新知导入
【思考】一次函数与二元一次方程、二元一次方程组之间有什么关系呢？
我们知道，方程 2x-y=1可以转化为 y =2x-1，它们有相同解.
y =2x-1对应一次函数 y =2x-1，它的图象是一条直线.
这条直线上每个点的坐标(x，y)都是方程2x-y=1的解，
以方程2x-y=1的解(x，y)为坐标的点都在这条直线上.
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O
x
y
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y =2x-1
归纳总结
二元一次方程与一次函数的联系
由于每个含有未知数x和y的二元一 次方程，都可以改写为y=kx+b(k，b是常数，k≠0)的形式，所以每个这样的方程都对应一个一次函数，于是也对应一条直线.
这条直线上每个点的坐标(x，y)都是这个二元一次方程的解，
以这个二元一次方程的解(x，y)为坐标的点都在这条直线上.
探究新知
【思考】对于二元一次方程组
你能从函数的角度对解这个方程组进行解释吗？
【分析】方程组中两个二元一次方程分别对应一次函数 y=2x-1与 y=-，
解这个方程组，可以看作求这两个一次函数的图象的交点坐标.
因此，可以用画图象的方法得到这个二元一次方程组的解.
探究新知
如图，在同一平面直角坐标系中，画出一次函数 y = 2x-1 与 y = - 图象.
这两条直线的交点坐标为(1，1)，
由此得出方程组的解是
归纳总结
二元一次方程组与一次函数的联系
一般地，由含有未知数x和y的两个二元一次方程组成的每个二元一次方程组，都对应两个一次函数，于是也对应两条直线.
从“数”的角度看，解这样的方程组相当于求当自变量为何值时相应的两个函数的值相等，以及这个函数值是何值；
从“形”的角度看，解这样的方程组相当于确定两条直线交点的坐标.
探究新知
同时释放两个探测气球，1号探测气球从海拔5 m处出发，以1 m/s的速度上升；2号探测气球从海拔15m处出发，以0.5 m/s的速度上升.两个气球都上升了1 min.
(1) 分别写出表示两个气球所在位置的高度y(单位：m)
关于上升时间x(单位：s)的函数解析式.
解：(1) 气球上升时间满足0≤x≤60.
对于1号气球，y关于x的函数解析式为 y=x+5；
对于2号气球，y关于x的函数解析式为 y=0.5x+15.
探究新知
(2)两个气球在某时刻能否位于同一高度？如果能，这时气球上升了多长时间？位于什么高度？
解：两个气球在某时刻位于同一高度，就是对于x的某个值(0≤x≤60) ，函数 y = x+5 和 y = 0.5x+15 有相同的值 y.
由此，列二元一次方程组
解这个方程组，得
这就是说，当上升20 s时，两个气球都位于海拔25 m的高度.
探究新知
也可以画一次函数的图象解答此问题.
如图，在同一平面直角坐标系中，画出一次函数 y = x +5和 y = 0.5x+15的图象
y =x+5
y =0.5x+15
30
25
20
15
10
5
10
20
15
5
O
x
y
一次函数
二元一次方程
二元一次方程组的解就是相应的两个一次函数图象的交点坐标．
这两条直线的交点坐标为(20，25)，
这说明当气球上升20s时，两个气球都位于海拔25m的高度.
归纳总结
用图象法求二元一次方程组的解的一般步骤：
(1)变函数：把方程组化为一次函数；
(2)画图象：建立一个平面直角坐标系，画出两个一次函数的图象；
(3)找交点：由图象确定两直线交点的坐标；
(4)写结论：依据点的坐标写出方程组的解.
探究新知
【拓展】二元一次方程组中的两个方程化为一次函数后，
其图象可能是两条相交直线、两条重合直线或两条平行直线，因此，方程组可能有唯一解、无穷多解或无解.
A
C
A
B
C
C
B
C
小结
一次函数与二元一次方程(组)
解二元一次方程
解二元一次方程组
对应一次函数的每个点的坐标(x，y)都是这个二元一次方程的解.
对应两个一次函数图象的交点坐标就是这个二元一次方程组的解.
谢谢 聆听

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