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23.4 实际问题与一次函数
（课时2）
第二十三章 一次函数
人教版(2024)
01 能用一次函数解决方案选择问题，体会函数模型思想；
素养目标
02 能从不同的角度思考问题，优化解决问题的方法.
新知导入
做一件事情，有时有不同的实施方案，从中选择最佳方案是十分必要的.
在选择方案时，往往需要从数学角度进行分析，涉及变量的问题常用到函数.
探究新知
下表给出了某游泳馆A，B，C三种年卡套餐的收费标准.
套餐 年卡费用/元 套餐内游泳次数/次 套餐外单收费/元
A 600 20 40
B 1200 50 40
C 1800 不限次
选取哪种年卡套餐能节省游泳费用？
探究新知
套餐 年卡费用/元 套餐内游泳次数/次 套餐外单收费/元
A 600 20 40
B 1200 50 40
C 1800 不限次
分析：在套餐A，B中，游泳费用与年游泳次数有关；在套餐C中，游泳费用与年游泳次数无关.
【思考】这三种方式中有一定最优惠的方式吗？
没有一定最优惠的方式，与年游泳次数有关.
探究新知
设年游泳 x 次，则 A，B，C三种套餐的游泳费用分别为 y1，y2，y3，其中y1，y2都是关于 x 的函数，比较以上三种方式哪种方式更优惠？应该怎么比较？
x 代表年游泳次数，则需要比较在 x≥0 的范围内，y1，y2，y3的大小关系，费用最少的，即为最优惠的.
探究新知
套餐 年卡费用/元 套餐内游泳次数/次 套餐外单收费/元
A 600 20 40
在套餐A中，考虑游泳费用时，要把年游泳次数分为不超过20次和超过20次两种情况，得到刻画套餐A的游泳费用的函数解析式为
化简，得
探究新知
这个函数的图象如图所示.
0
200
400
10
20
x
y
30
600
800
y1
探究新知
套餐 年卡费用/元 套餐内游泳次数/次 套餐外单收费/元
B 1200 50 40
在套餐B中，考虑游泳费用时，要把年游泳次数分为不超过50次和超过50次两种情况，得到刻画套餐B的游泳费用的函数解析式为
化简，得
探究新知
这个函数的图象如图所示.
0
x
y
y2
1200
50
探究新知
套餐 年卡费用/元 套餐内游泳次数/次 套餐外单收费/元
C 1800 不限次
在套餐C中，年游泳次数不限，
因此套餐C的游泳费用的函数解析式为
这个函数的图象如图所示.
0
x
y
y3
1800
探究新知
在同一坐标系中画出它们的图象：
0
y
y3
1800
10
20
30
40
50
y1
y2
l1
l2
x
从图中可以看出：在直线 l1的左侧，A 套餐最省钱.
A套餐和 B套餐在直线 l1上有交点，
此时有 40x-200=1200，
解得 x=35.
探究新知
在同一坐标系画出它们的图象：
从图中可以看出：在直线 l1和直线 l2 之间，B套餐最省钱.
B套餐和 C套餐在直线 l2 上有交点，
此时40x-800=1800 ，
解得x=65.
0
y
y3
1800
10
20
30
40
50
y1
y2
l1
l2
x
探究新知
在同一坐标系画出它们的图象：
从图中可以看出：在直线 l2的右侧，C套餐最省钱，
此时x>65
0
y
y3
1800
10
20
30
40
50
y1
y2
l1
l2
x
探究新知
在同一坐标系画出它们的图象：
当年游泳次数_______时，选择套餐A能节省游泳费用；
当年游泳次数 时，选择套餐B能节省游泳费用；
当年游泳次数_______时，选择套餐C能节省游泳费用.
大于65
小于35
大于35小于65
0
y
y3
1800
10
20
30
40
50
y1
y2
l1
l2
x
探究新知
某学校计划在总费用 2300 元的情况下，租用客车送 234 名学生和 6 名教师集体外出活动，每辆客车上至少要有 1 名教师.现有甲、乙两种大客车，它们的载客量和租金如表所示：
客车种类 载客量/人 租金/元
甲 45 400
乙 30 280
探究新知
(1)共需租多少辆客车？
【分析】可以从乘车人数的角度考虑租多少辆客车，要注意到以下要求：①要保证240名师生乘车都有座位；
②要使每辆客车上至少有1名教师.
单独租甲种车要6辆，单独租乙种车要8辆，
又因为每辆汽车上至少要有 1 名教师，共6名教师，
所以最多租用客车6辆，综上，共需租6辆客车.
240÷45=5
240÷30=8
探究新知
(2)给出最节省费用的租车方案.
【分析】租车费用与所租车的种类有关，由(1)知，客车总数为6辆，在满足各项要求的前提下，尽可能少地租用甲种客车可以节省费用.
探究新知
解：设租用甲种客车 x 辆，则租用乙种客车 (6-x) 辆.
租车总费用为 y 元.
从人数上：6 名教师和 234 名学生共计 240 人，所以甲种客车和乙种客车总共的载客量要 ≥ 240.
45x+30(6 - x) ≥ 240
x ≥ 4
探究新知
从费用上：学校计划的费用是 2300 元，所以甲种客车和乙种客车总共的费用要≤2 300.
400x+280(6-x)≤2 300，
解得，x≤5
所以x的取值范围为： 4≤x≤5，
根据实际意义，x只能取4或5.
解：设租用甲种客车 x 辆，则租用乙种客车 (6-x) 辆.
租车总费用为 y 元.
探究新知
解：设租用甲种客车 x 辆，则租用乙种客车 (6-x) 辆.
租车总费用为 y 元.
由题意可得 y = 400x+280(6-x) = 120x+1680 (x=4或5)
方案一：当x=4时，即租用4辆甲种客车，2辆乙种客车
y=120×4+1680=2160.
方案二：当x=5时，即租用5辆甲种客车，1辆乙种客车
y=120×5+1680=2280.
综上，选择方案一更划算.
归纳总结
解决含多个变量的问题时，可以分析这些变量之间的关系，从中选取一个取值能影响其他变量的值的变量作为自变量，然后根据问题的条件寻求可以反映实际问题的函数，以此作为解决问题的数学模型.
C
小结
实际问题
函数问题
设变量
找对应关系
函数问题的解
实际问题的解
解释实
际意义
谢谢聆听

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