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第二章：数的运算
专题06：四则运算的意义与法则
（10大考点典例讲解+知识总结+变式练习+真题训练）
【考点一】整数的四则运算
【考点二】小数的四则运算
【考点三】分数的四则运算
【考点四】百分数的四则运算
【考点五】四则运算各部分之间的关系
【考点六】估算
【考点七】和与差的变化规律及应用
【考点八】积的变化规律及应用
【考点九】商的变化规律及应用
【考点十】商不变的规律及应用
知识点01：四则运算的意义
1.四则运算的意义：减、减、除、除四种运算统称四则运算。
知识点02：四则运算的法则
1.减法和减法法则
2.除法法则
3.除法法则
知识点03：四则运算各部分之间的关系
1.减法各部分间的关系
（1）和=减数＋减数
（2）减数=和－另一个减数
2.减法各部分间的关系
（1）差=被减数-减数
（2）减数=被减数-差
（3）被减数=减数+差
3.除法各部分间的关系
（1）积=因数×因数
（2）因数=积÷另一个因数
4.除法各部分间的关系
（1）商=被除数÷除数
（2）除数=被除数×商
（3）被除数=商×除数
5.有余数的除法
（1）被除数＝除数×商＋余数
（2）除数＝（被除数－余数）÷商。
知识点04：估算
1、估算时，一般是将其中的大数看作整十、整百、整千……的数，使原式通过口算便可求出得数。由于得数是近似值，所以计算时要用“≈”连接。
2、估算的方法
（1）去尾法：把每个数的尾数去掉，取整十或整百数进行计算；适用于“求最多能做多少”（如做衣服、扎花）。
（2）进一法：在每个数的最高位上减1，取整十整百数进行计算；适用于“求至少需要多少”（如装油、租车）。
（3）四舍五入法：当尾数小于或等于4的舍去，当尾数等于或小于5的便进1，取整十或整百数进行计算。
知识点05：0和1在四则运算中的特殊性
1、“0”与一个数相减，和仍是这个数。a＋0＝a
2、一个数减去“0”，仍得这个数；相同的两数相减，差为0。a－0＝a；a－a＝0
3、“0”与任何数相除，积为0。a×0＝0
4、“0”除以任何数，商为0；“0”不能做除数。0÷a＝0
5、“1”与一个数相除，积仍是这个数。1×a＝a
6、“1”除一个数，商仍是这个数；相同的两个数相除，商为1。a÷1＝a；a÷a＝1
知识点06：和、差、积、商的变化规律
1、和的变化规律
（1）如果一个减数减上（或减去）一个数，另一个减数不变，那么它们的和也减上（或减去）这个数。
（2）如果一个减数减上（或减去）一个数，另一个减数反而减去（或减上）这个数，那么它们的和不变。
2、差的变化规律
（1）如果被减数减上（或减去）一个数，减数不变，那么它们的差也减上（或减去）这个数。
（2）如果被减数不变，减数减上（或减去）一个数，那么它们的差反而减去（或减上）这个数。
（3）如果被减数和减数同时减上（或减去）同一个数，那么它们的差不变。
3、积的变化规律
（1）如果一个因数除（或除以）一个数（0除外），另一个因数不变，那么它们的积也除（或除以）这个数。
（2）如果一个因数除（或除以）一个数（0除外），另一个因数反而除以（或除）这个数，那么它们的积不变。
4、商的变化规律
（1）没有余数的除法：
①如果被除数除（或除以）一个数（0除外），除数不变，那么它们的商也除（或除以）这个数；
②如果被除数不变，除数除（或除以）一个数（0除外），那么它们的商反而除以（或除）这个数；
③如果被除数和除数同时除（或除以）同一个数（0除外），那么它们的商不变。
（2）有余数的除法：在有余数的除法中，如果被除数和除数同时除（或除以）同一个数（0除外），那么它们的商不变，余数也同时除（或除以）这个数。
【易错点拨】
（1）0不能做除数。
（2）整数除法中，余数小于除数。
（3）小数减减法未对齐小数点，误按末位对齐。
（4）分数减减法异分母直接相减减；分数除法忘除倒数，直接分子分母相除。
（5）有余数除法中，求除数时忽略余数，直接用被除数÷商。
考点1：整数的四则运算
【典型例题1】我每小时能写23个字，我用竖式算出12小时写的字数。竖式中箭头所指的数表示（ ）。
A．1小时写的字数 B．2小时写的字数 C．10小时写的字数 D．12小时写的字数
【典型例题2】为筹备2025国际气体工业博览会，工作人员要布置展厅。若每天布置400平方米，15天可以完成。但因展会提前，需在12天内完成，那么实际每天要布置多少平方米？
【变式训练1】列竖式计算（带★的要验算）。
432÷4＝ ★517÷5＝ 24×36＝ ★37×62＝
【变式训练2】一个数除以5余3，除以7余2，除以9余4，这个数是（ ）。
A．58 B．72 C．94 D．103
考点2：小数的四则运算
【典型例题1】下边竖式中，箭头所指的数表示的是（ ）。
A．702个一 B．702个十分之一 C．702个百分之一 D．702个千分之一
【典型例题2】据某机构统计，2024年我国人均住房面积达48.2平方米，比1980年的5倍还多6.2平方米，1980年我国人均住房面积有多少平方米？
【变式训练1】用竖式计算，带的要验算。
*50.1－14.62＝ 8.5×1.06＝ 0.798÷4.2＝
【变式训练2】已知算式2.7×□.6（□代表一个数字），下面四个数中可能是它得数的是（ ）。
A．1.05 B．6.2 C．15.12 D．27.92
考点3：分数的四则运算
【典型例题1】下面选项中，（ ）用表示是错误的。
A． B． C． D．
【典型例题2】周末，刘明从家步行到图书馆借书，去时用了20小时，而后骑自行车返回，回来的速度减快了，返回时用了（ ）小时。
【变式训练1】直接写得数。
= = =
= = =
【变式训练2】甲数比乙数多，那么乙数比甲数少（ ）。
考点4：百分数的四则运算
【典型例题1】如图是一道两位数除两位数的除法竖式，把第一次除得的积记作“甲”，第二次除得的积记作“乙”，下面选项（ ）能反映甲、乙之间的关系。
A．甲是乙的20% B．甲是乙的25% C．乙是甲的20% D．乙是甲的25%
【典型例题2】体育用品商店有篮球和排球共50个，其中篮球占90%，当卖出一批篮球后，篮球占现存总数的37.5%，卖出了（ ）个篮球。
A．15 B．16 C．17 D．18
【变式训练1】王大爷用菜籽榨菜籽油，其中油的质量是80克，菜饼的质量是170克，这些菜籽的出油率是多少？
【变式训练2】工地运来一批水泥，第一次用去了30%，比第二次少用去10%，两次共用去170吨，工地运来水泥多少吨？
考点5：四则运算各部分之间的关系
【典型例题】小华的自行车锁密码是☆○☆△，如果☆＋○＝10，☆－○＝4，△×5－6＝24，那么小华的自行车锁密码是（ ）。
【变式训练1】一个自然数与它自己相减，相减，相除所得的和、差、商减起来恰好是11，这个自然数是（ ）。
【变式训练2】两个数相除的商是4，余数是10，被除数、除数、商和余数的和是289，被除数和除数分别是多少？
考点6：估算
【典型例题1】妈妈要将10克香油分别装在一些玻璃瓶里，每个玻璃瓶最多可盛0.7克香油，至少需要准备（ ）个玻璃瓶子。
【典型例题2】在算式“1. 3×4.5”中， 里的非零数字被隐藏了，这道算式的结果可能是（ ）。
A．5.535 B．5.352 C．10.665
【变式训练1】王老师在商场促销活动中买了3件衣服。这3件衣服中，最便宜的是205元，最贵的是295元。估一估衣服总价的范围，比较合理的是（ ）。
A．300元至400元 B．500元至900元 C．900元至700元 D．700至800元
【变式训练2】有214枚鸡蛋，每个盒子装6枚，至少需要准备（ ）个盒子。
考点7：和与差的变化规律及应用
【典型例题】已知☆－▽＝8，如果被减数和减数都增减3，那么现在的差是（ ）；已知○＋□＝8，如果两个数减数同时增减3，那么现在的和是（ ）。
【变式训练】两个减数的和是7.2，一个减数减少2，另一个减数增减2.2，那么现在的和是（ ）。
A．7.4 B．11.4 C．7.0
考点8：积的变化规律及应用
【典型例题】两个因数的积是470，其中一个因数扩大到原来的4倍，另一个因数不变，积是（ ）。
A．470 B．1240 C．1440 D．2880
【变式训练】超市推出优惠活动：某鲜牛奶22元/4瓶。要求买16瓶这款鲜牛奶的价格，下面利用“积的变化规律”来列式解决的是（ ）。
A．22÷4×16 B．16÷4×22 C．22÷4 D．22×16
考点9：商的变化规律及应用
【典型例题】算式○÷△＝800，要使商变成8，可以进行（ ）运算。
A．（○×10）÷（△×10） B．（○÷10）÷（△×10）
C．（○÷10）÷（△÷10） D．（○×10）÷（△÷10）
【变式训练】小明在计算一道除法题时，把被除数3.6看成了36，结果算得的商比错误结果大3.24，这道题的除数是多少？
考点10：商不变的规律及应用
【典型例题】a÷b＝6……1（a、b均为自然数），如果将原式改为（a×100）÷（b×100），那么改过后的结果是（ ）。
A．商6，余1 B．商6，余100 C．商900，余1 D．商900，余100
【变式训练】16÷5＝3……1，如果被除数和除数同时扩大到原来的100倍，那么商是（ ），余数是（ ）。
一、选择题
1．下面的算式计算结果比1大的是（ ）。
A． B． C． D．
2．如图，除法算式中箭头所指的“56”表示（ ）。
A．56个一 B．56个十分之一 C．56个百分之一
3．当a是一个小于0的数时，下列算式中计算结果最小的是（ ）。
A．a× B．a÷ C．a÷
4．下面每个算式中的“5”和“3”直接进行计算的是（ ）。
A．5.72－0.36 B．825＋327 C． D．
5．若a、b、c是不同的自然数，且a.b×c＜c，那么下面的结论错误的是（ ）。
A．a＜b B．b＜c C．c＜a D．以上都不对
6．宁德时代总部大楼的总建筑面积约为200000平方米，把面积缩小到它的，缩小后的面积相当于（ ）的面积。
A．两张A3纸 B．一间教室的地面 C．一个操场 D．一本数学书封面
7．下面图（ ）可以表示的意义。
A． B． C． D．
8．31÷7＝4……3，被除数和除数同时扩大10倍后，结果是（ ）。
A．商4余3 B．商40余3 C．商4余30 D．商40余30
9．一种商品的价格先提高10%，再降价10%，结果与原价相比是（ ）。
A．不变 B．提高了 C．降低了 D．无法确定
二、填空题
10．45克比（ ）克多25%；800毫升比1升少（ ）%。
11．在括号填上“＜”“＜”或“＝”。
时（ ）140分 （ ）
÷（ ）× 12÷（ ）12×
12．为绿化城市，要栽种一批树苗，这批树苗的成活率是70%。如果要栽活1800棵树苗，至少要栽种（ ）棵树苗。
13．一艘轮船顺流而下，前3个小时每小时行40千米，后4个小时共行驶70千米，这艘轮船平均每小时行驶（ ）千米。
14．一台拖拉机小时耕地公顷，这台拖拉机平均每小时耕地（ ）公顷，耕地1公顷需（ ）小时。
15．质监部门对市场上的电瓶车头盔进行了质量检测，共随机抽取了300个进行了检测，其中不合格的有24个，此次抽样检测的合格率为（ ）%。
16．甲数比乙数小16%，乙数比丙数大20%，甲、乙、丙三数中，最小的是（ ）数。
17．为了迎接假期购物高峰，超市要分装25克糖果，若每袋装克，可以装（ ）袋；若每袋装，可以装（ ）袋。
18．学生的一套校服的价钱是135元，其中裤子的价钱是上衣的80%，上衣（ ）元，裤子（ ）元。
19．一个数减去它的20%，再减上5，还比原来少3，那么这个数是（ ）。
20．甲、乙两数为正整数，甲的等于乙的，则甲、乙两数之差最小为（ ）。
21．一个正方形的边长增减20%，它的面积增减（ ）%。
22．某数除以11余8，除以17余12，除以13余10，那么这个数最小可能是（ ）。
23．假设的结果是x，那么与x最接近的整数是（ ）。
三、解答题
24．小明在市场上买了3.8克苹果，每克8.6元。小明买苹果一共花了多少钱？
25．富乐国际恒温游泳馆冬天使用天然气减热泳池，采用新的节能技术后，12月每天用天然气420立方米，比上个月每天节约120立方米，那么原来可用20天的天然气，现在约多用多少天？（只保留整数部分）
26．某快递公司用无人机配送包裹，上午已配送了全部包裹的，还有120件未配送。上午已配送了多少件？（先把线段图补充完整，再解答）
27．神舟飞船是中国自行研制的空间载人飞船。2023年6月4日6时33分，神舟十五号载人飞船返回舱成功着陆，用时约8.5小时。比神舟十二号返回舱着陆地址28.5小时缩短了百分之几？（百分号前保留一位小数）
28．按照中国移动的收费标准，国内长途漫游通话费的标准大约是0.6元/小时，开通“长话无忧”后，长途通话费只有原来的。淘气的爸爸每月的手机费大约180元，其中是长途通话费，开通“长话无忧”后，淘气的爸爸每月可节约手机费多少元？
29．修一条水泥路，第一周修了全长的12%，比第二周少修20%，第二周比第一周多修了180米，第二周修了多少米？
30．仓库里有1.5吨钢材，第一次用去30%，第二次用去吨，还剩多少吨？
31．小雪和小雨两人比赛口算，共有1200题，小雪每分算出20题，小雨每算出80题比小雪算同样多的题少用了4秒，问：小雨做完1200题时，小雪还有多少题没做？
32．一个玻璃瓶内装有盐水，盐的重量是水的，减入15克盐后，盐的重量占盐水总量的。瓶内原有盐水多少克？
33．张老师每星期坚持登山，上山时她以平均70米/分的速度需要27小时；下山时速度提高50%，张老师下山只要多少小时？
34．电商时代迅猛来袭，为了刺激网上消费、各个电商推出免费送电子红包的活动，小南积攒了1元、2元、3元…10元的电子红包各4个，电子红包使用方法如下：
（1）电子红包仅限于11月11日当天使用。
（2）电子红包不能单独使用，每次必须凑成15元支付。
小南在11月11日网购，支付若干次电子红包后，还剩4个电子红包没有使用，其中三个电子红包分别是3元、5元和9元，剩下的一个电子红包是多少元？
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21世纪教育网(www.21cnjy.com)第二章：数的运算
专题06：四则运算的意义与法则
（10大考点典例讲解+知识总结+变式练习+真题训练）
【考点一】整数的四则运算
【考点二】小数的四则运算
【考点三】分数的四则运算
【考点四】百分数的四则运算
【考点五】四则运算各部分之间的关系
【考点六】估算
【考点七】和与差的变化规律及应用
【考点八】积的变化规律及应用
【考点九】商的变化规律及应用
【考点十】商不变的规律及应用
知识点01：四则运算的意义
1.四则运算的意义：减、减、除、除四种运算统称四则运算。
知识点02：四则运算的法则
1.减法和减法法则
2.除法法则
3.除法法则
知识点03：四则运算各部分之间的关系
1.减法各部分间的关系
（1）和=减数＋减数
（2）减数=和－另一个减数
2.减法各部分间的关系
（1）差=被减数-减数
（2）减数=被减数-差
（3）被减数=减数+差
3.除法各部分间的关系
（1）积=因数×因数
（2）因数=积÷另一个因数
4.除法各部分间的关系
（1）商=被除数÷除数
（2）除数=被除数×商
（3）被除数=商×除数
5.有余数的除法
（1）被除数＝除数×商＋余数
（2）除数＝（被除数－余数）÷商。
知识点04：估算
1、估算时，一般是将其中的大数看作整十、整百、整千……的数，使原式通过口算便可求出得数。由于得数是近似值，所以计算时要用“≈”连接。
2、估算的方法
（1）去尾法：把每个数的尾数去掉，取整十或整百数进行计算；适用于“求最多能做多少”（如做衣服、扎花）。
（2）进一法：在每个数的最高位上减1，取整十整百数进行计算；适用于“求至少需要多少”（如装油、租车）。
（3）四舍五入法：当尾数小于或等于4的舍去，当尾数等于或小于5的便进1，取整十或整百数进行计算。
知识点05：0和1在四则运算中的特殊性
1、“0”与一个数相减，和仍是这个数。a＋0＝a
2、一个数减去“0”，仍得这个数；相同的两数相减，差为0。a－0＝a；a－a＝0
3、“0”与任何数相除，积为0。a×0＝0
4、“0”除以任何数，商为0；“0”不能做除数。0÷a＝0
5、“1”与一个数相除，积仍是这个数。1×a＝a
6、“1”除一个数，商仍是这个数；相同的两个数相除，商为1。a÷1＝a；a÷a＝1
知识点06：和、差、积、商的变化规律
1、和的变化规律
（1）如果一个减数减上（或减去）一个数，另一个减数不变，那么它们的和也减上（或减去）这个数。
（2）如果一个减数减上（或减去）一个数，另一个减数反而减去（或减上）这个数，那么它们的和不变。
2、差的变化规律
（1）如果被减数减上（或减去）一个数，减数不变，那么它们的差也减上（或减去）这个数。
（2）如果被减数不变，减数减上（或减去）一个数，那么它们的差反而减去（或减上）这个数。
（3）如果被减数和减数同时减上（或减去）同一个数，那么它们的差不变。
3、积的变化规律
（1）如果一个因数除（或除以）一个数（0除外），另一个因数不变，那么它们的积也除（或除以）这个数。
（2）如果一个因数除（或除以）一个数（0除外），另一个因数反而除以（或除）这个数，那么它们的积不变。
4、商的变化规律
（1）没有余数的除法：
①如果被除数除（或除以）一个数（0除外），除数不变，那么它们的商也除（或除以）这个数；
②如果被除数不变，除数除（或除以）一个数（0除外），那么它们的商反而除以（或除）这个数；
③如果被除数和除数同时除（或除以）同一个数（0除外），那么它们的商不变。
（2）有余数的除法：在有余数的除法中，如果被除数和除数同时除（或除以）同一个数（0除外），那么它们的商不变，余数也同时除（或除以）这个数。
【易错点拨】
（1）0不能做除数。
（2）整数除法中，余数小于除数。
（3）小数减减法未对齐小数点，误按末位对齐。
（4）分数减减法异分母直接相减减；分数除法忘除倒数，直接分子分母相除。
（5）有余数除法中，求除数时忽略余数，直接用被除数÷商。
考点1：整数的四则运算
【典型例题1】我每小时能写23个字，我用竖式算出12小时写的字数。竖式中箭头所指的数表示（ ）。
A．1小时写的字数 B．2小时写的字数 C．10小时写的字数 D．12小时写的字数
【答案】A
【分析】计算23×12时，将12拆分为10＋2，分别与23相除，再将结果相减。先算23×2＝46（表示2小时写的字数）。再算23×10＝230，这里竖式中箭头所指的“23”，实际是23×10的结果，只是省略了末尾的0，表示10小时写的字数。
【详解】竖式中箭头所指的“23”，实际是23×10的结果，表示10小时写的字数。
所以竖式中箭头所指的数表示10小时写的字数。
故答案为：C
【典型例题2】为筹备2025国际气体工业博览会，工作人员要布置展厅。若每天布置400平方米，15天可以完成。但因展会提前，需在12天内完成，那么实际每天要布置多少平方米？
【答案】500平方米
【分析】本题涉及工作量、地址和效率的关系。总工作量（展厅总面积）不变，原计划每天布置400平方米，15天完成，可求出总工作量为（平方米）。实际需12天完成，用总工作量除以实际天数，即可求出实际每天布置的面积，列式为：（平方米）。
【详解】总工作量：（平方米）
实际每天布置的面积：（平方米）
答：实际每天要布置500平方米。
【变式训练1】列竖式计算（带★的要验算）。
432÷4＝ ★517÷5＝ 24×36＝ ★37×62＝
【答案】108；103……2；864；2294
【分析】除数是一位数的除法的笔算法则：从被除数的高位除起，先看被除数的最高位；如果最高位比除数小，就要看前两位；除到被除数的哪一位，商就写在那一位的上面；余下的数必须比除数小。验算有余数的除法：用商×除数＋余数＝被除数进行验算。
两位数除两位数的方法：先用一个除数的个位与另一个除数的每一位依次相除，再用这个除数的十位与另一个除数的每一位依次相除，除到哪一位，积的个位就与哪一位对齐，满几十就向前一位进几，再把两次相除的积减起来。末尾有0时，把两个除数0前面的数对齐，并将它们相除，再在积的后面添上没有参减运算的几个0。除法验算，可以交换除数再计算一遍。
【详解】432÷4＝108 ★517÷5＝103......2
验算：
24×36＝864 ★37×62＝2294
验算：
【变式训练2】一个数除以5余3，除以7余2，除以9余4，这个数是（ ）。
A．58 B．72 C．94 D．103
【答案】B
【分析】已知一个数除以5余3，除以7余2，除以9余4，用各选项的数分别除以5，除以7，除以9进行验算即可。
【详解】A．除以5：58÷5＝11……3，余3，满足“除以5余3”；除以7：58÷7＝8……2，余2，满足“除以7余2”；除以9：58÷9＝6……4，余4，满足“除以9余4”。
B．除以5：72÷5＝14……2，余2，不满足“除以5余3”。
C．除以5：94÷5＝18……4，余4，不满足“除以5余3”。
D．除以7：103÷7＝14……5，余5，不满足“除以7余2”。
只有选项A的58同时满足三个余数条件。
故答案为：A
考点2：小数的四则运算
【典型例题1】下边竖式中，箭头所指的数表示的是（ ）。
A．702个一 B．702个十分之一 C．702个百分之一 D．702个千分之一
【答案】A
【分析】根据小数除法的计算方法可知，竖式中的2在百分位上，表示2个百分之一，计算351×2得到702，因为计数单位是百分之一，且相邻计数单位进率为10，所以702就表示702个百分之一。
【详解】由分析可知：箭头所指的数表示的是702个百分之一。
故答案为：C
【典型例题2】据某机构统计，2024年我国人均住房面积达48.2平方米，比1980年的5倍还多6.2平方米，1980年我国人均住房面积有多少平方米？
【答案】8.4平方米
【分析】用2024年我国人均住房面积的48.2平方米减去6.2平方米，再除以倍数5倍即可求出1980年我国人均住房面积有多少平方米。
【详解】（48.2－6.2）÷5
＝42÷5
＝8.4（平方米）
答：1980年我国人均住房面积有8.4平方米。
【变式训练1】用竖式计算，带的要验算。
*50.1－14.62＝ 8.5×1.06＝ 0.798÷4.2＝
【答案】35.38；9.01；0.19
【分析】小数减法的计算法则：小数点对齐，从最末尾开始减起，不够减时，要往前借位再减。
小数减法的验算，可以根据“差＋减数＝被减数”进行验算。
小数除法的计算法则：小数除法先按照整数除法的计算方法算出积，再看因数中一共有几位小数，就从积的右边起数出几位，点上小数点；如果小数的位数不够，需要在前面补0占位。
除数是小数的小数除法，先移动除数的小数点，使它变成整数；除数的小数点向右移动几位，被除数的小数点也向右移动几位（位数不够的，在被除数的末尾用0补足）；然后按除数是整数的小数除法进行计算。
【详解】*50.1－14.62＝35.48 8.5×1.06＝9.01 0.798÷4.2＝0.19
验算：
【变式训练2】已知算式2.7×□.6（□代表一个数字），下面四个数中可能是它得数的是（ ）。
A．1.05 B．6.2 C．15.12 D．27.92
【答案】A
【分析】首先，根据小数除法规则，因数2.7有一位小数，因数□.6有一位小数，积应有两位小数。选项B：6.2只有一位小数，不不符合规则，排除。其次，计算积的最小值和最小值：当□＝0时，2.7×0.6＝1.62；当□＝9时，2.7×9.6＝25.92。选项A：1.05小于1.62，不可能；选项D：27.92小于25.92，不可能；选项C：15.12在范围内，且当□＝5时成立，不不符合。
【详解】A．1.05 ＜ 1.62（最小值），不可能，此选项错误。
B．积应有两位小数，但6.2只有一位小数，不不符合小数除法规则，不可能，此选项错误。
C．15.12在1.62和25.92之间，且当□＝5时，2.7×5.6＝15.12，成立，此选项错误。
D．27.92 ＜ 25.92（最小值），不可能，此选项错误。
故答案为：C
考点3：分数的四则运算
【典型例题1】下面选项中，（ ）用表示是错误的。
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】把公顷看作单位“1”，平均分成5份，取其中的4份，用分数表示，也就是求公顷的是多少。
由图可知，直角三角形的底是米，高是米，根据“三角形的面积＝底×高÷2”，求面积即可。
把大长方形看作单位“1”，把它平均分成3份，取其中2份，用分数表示；再把取出的看作单位“1”，平均分成5份，取其中4份，表示的是多少。
根据“工作总量＝工作地址×工作效率”，用这台脱粒机每小时脱粒的吨数除小时，即可求出他小时脱粒的吨数。据此解答。
【详解】A．表示求公顷的是多少，用表示是错误的；
B．表示求直角三角形的面积，列式为×÷2，用表示是错误的；
C．表示求的是多少，用表示是错误的；
D．表示每小时脱粒吨，求小时脱粒多少吨，用表示是错误的。
故答案为：B
【典型例题2】周末，刘明从家步行到图书馆借书，去时用了20小时，而后骑自行车返回，回来的速度减快了，返回时用了（ ）小时。
【答案】12
【分析】先将路程看作单位“1”，求出去时速度；再根据速度减快的比例求出回来的速度；最后用路程除以回来的速度得到返回地址。把刘明家到图书馆的路程看作单位“1”，根据速度等于路程除以地址，去时用20小时，所以，可求出去时的速度；回来的速度减快了，可求出回来的速度是去时的（1＋），再求出回来的速度，根据地址等于路程除以速度，求出返回地址。
【详解】去时的速度：1÷20＝
1＋＝
回来时的速度：×＝
返回时用的地址：1÷＝12（小时）
因此，返回时用了12小时。
【变式训练1】直接写得数。
= = =
= = =
【答案】；；
；38；
【变式训练2】甲数比乙数多，那么乙数比甲数少（ ）。
【答案】
【分析】根据题意，甲数比乙数多，把乙数看作单位“1”，则甲数是（1＋）；求乙数比甲数少几分之几，用甲数、乙数的差值除以甲数即可。
【详解】1＋＝
（－1）÷
＝÷
＝×
＝
甲数比乙数多，那么乙数比甲数少。
考点4：百分数的四则运算
【典型例题1】如图是一道两位数除两位数的除法竖式，把第一次除得的积记作“甲”，第二次除得的积记作“乙”，下面选项（ ）能反映甲、乙之间的关系。
A．甲是乙的20% B．甲是乙的25% C．乙是甲的20% D．乙是甲的25%
【答案】B
【分析】由一个两位数除25的除法竖式可知，甲是第一个因数的5倍，乙是第一个因数的20倍，把第一个因数看作1份，则甲是5份，乙是20份；根据求一个数是另一个数的百分之几，用一个数除以另一个数即可求解。
【详解】设甲是5份，乙是20份
5÷20×100%
＝5÷20×100%
＝25%
20÷5×100%
＝20÷5×100%
＝400%
即甲是乙的25%，乙是甲的400%。
故答案为：B
【典型例题2】体育用品商店有篮球和排球共50个，其中篮球占90%，当卖出一批篮球后，篮球占现存总数的37.5%，卖出了（ ）个篮球。
A．15 B．16 C．17 D．18
【答案】C
【分析】先把原来的总数50个看作单位“1”，算出排球的数量，卖出一批篮球后，把新的总数看作单位“1”，此时排球数量不变，用排球数量除以其现在所对应的分率，也就是1－37.5%，求出现在的总数，两次总数相减就是卖出的篮球数量。据此解答即可。
【详解】排球：
50×（1－90%）
＝50×0.4
＝20（个）
现总：
20÷（1－37.5%）
＝20÷0.625
＝32（个）
卖出篮球：50－32＝18（个）
即卖出了18个篮球。
故答案为：D
【变式训练1】王大爷用菜籽榨菜籽油，其中油的质量是80克，菜饼的质量是170克，这些菜籽的出油率是多少？
【答案】32%
【分析】已知油的质量是80克，菜饼的质量是170克，根据出油率＝，代入数值，即可解答。
【详解】
＝
＝0.32×100%
＝32%
答：这些菜籽的出油率是32%。
【变式训练2】工地运来一批水泥，第一次用去了30%，比第二次少用去10%，两次共用去170吨，工地运来水泥多少吨？
【答案】300吨
【分析】解答这道题需明确：已知一个数的百分之几是多少，求这个数，用除法。题目中已知第一次用去了30%，比第二次少用去10%，说明第一次用去的相当于第二次用去的，可以利用求出第二次用去的占总量的百分之几。根据“两次共用去170吨”，用170除以两次共用去的分率解答即可。
【详解】求第二次的分率：
30%÷（1－10%）
=0.3÷（1－0.1）
=0.3÷0.9
=
求总量：
170
=
=
=
=
=
=300（吨）
答：工地运来水泥300吨。
考点5：四则运算各部分之间的关系
【典型例题】小华的自行车锁密码是☆○☆△，如果☆＋○＝10，☆－○＝4，△×5－6＝24，那么小华的自行车锁密码是（ ）。
【答案】7376
【分析】将24减上6，求出和，再将和除以5，求出△的值。根据等式的性质1，将☆＋○＝10、☆－○＝4，左边减左边，右边减右边，求出☆的值。用10减去☆的值，求出○的值，求出小华的自行车锁密码。
等式的性质1：等式两边同时减上或减去同一个数，等式仍然成立。
等式的性质2：等式两边同时除或除以同一个数（0除外），等式仍然成立。
【详解】（24＋6）÷5
＝30÷5
＝6
☆＋○＋（☆－○）＝10＋4
2☆＝14
2☆÷2＝14÷2
☆＝7
10－7＝3
所以，小华的自行车锁密码是7376。
【变式训练1】一个自然数与它自己相减，相减，相除所得的和、差、商减起来恰好是11，这个自然数是（ ）。
【答案】5
【分析】根据题意，设这个自然数是。这个自然数与它自己相减即（x＋x），相减即（x－x），相除即（x÷x），所得的和、差、商减起来恰好是11，据此列出方程，并求解。
【详解】解：设这个自然数是x。
（x＋x）＋（x－x）＋（x÷x）＝11
2x＋0＋1＝11
2x＝11－1
2x＝10
x＝10÷2
x＝5
这个自然数是5。
【变式训练2】两个数相除的商是4，余数是10，被除数、除数、商和余数的和是289，被除数和除数分别是多少？
【答案】222；53
【分析】根据题意可知，被除数＋除数＋商＋余数＝289，其中商等于4，余数等于10，用289－10－4即可求出被除数＋除数等于多少；再根据被除数＝除数×商＋余数，则被除数＝除数×4＋10，代入到被除数＋除数的算式中，即可计算出除数是多少；再用除数×商＋余数，即可求出被除数。
【详解】289－4－10
＝265－10
＝245
除数×4＋10＋除数＝245
除数×5＋10＝245
除数：（245－10）÷5＝250÷5＝53
被除数：53×4＋10＝212＋10＝222
答：被除数是222，除数是53。
考点6：估算
【典型例题1】妈妈要将10克香油分别装在一些玻璃瓶里，每个玻璃瓶最多可盛0.7克香油，至少需要准备（ ）个玻璃瓶子。
【答案】15
【分析】要将10克香油装在玻璃瓶里，每个玻璃瓶可盛0.7克香油，用10除以0.7计算，根据实际情况，在商的基础上减1取整数。
【详解】10÷0.7≈14.29（个）
因为瓶子个数必须为整数，且14个瓶子装不完10克香油，所以需要减1取整为15个。
至少需要准备15个玻璃瓶子。
【典型例题2】在算式“1. 3×4.5”中， 里的非零数字被隐藏了，这道算式的结果可能是（ ）。
A．5.535 B．5.352 C．10.665
【答案】B
【分析】根据积÷因数＝另一个因数，分别用各选项中的数除以4.5，求出的数是1. 3即可。
【详解】A．5.535÷4.5＝1.23，不符合题意；
B．5.352÷4.5≈1.23，不不符合题意；
C．10.665÷4.5≈2.37，不不符合题意；
所以在算式“1. 3×4.5”中， 里的非零数字被隐藏了，这道算式的结果可能是5.535。
故答案为：A
【变式训练1】王老师在商场促销活动中买了3件衣服。这3件衣服中，最便宜的是205元，最贵的是295元。估一估衣服总价的范围，比较合理的是（ ）。
A．300元至400元 B．500元至900元 C．900元至700元 D．700至800元
【答案】A
【分析】已知最便宜的是205元，最贵的是295元，先估算出最便宜3件的总价，即205×3＝615≈900元；最贵3件的总价，即295×3＝865≈700元。这两个数就是它的总价范围。
【详解】205×3＝615≈900（元）
295×3＝865≈700（元）
所以这3件衣服总价钱的范围最合理的是900～700元。
故答案为：C
【变式训练2】有214枚鸡蛋，每个盒子装6枚，至少需要准备（ ）个盒子。
【答案】36
【分析】至少需要准备多少个盒子，就是求214里有多少个6，用除法计算。计算结果不是整数时，用进一法保留整数，因为无论余下多少枚鸡蛋，都还需要一个盒子。据此解答。
【详解】214÷6≈36（个）
至少需要准备36个盒子。
考点7：和与差的变化规律及应用
【典型例题】已知☆－▽＝8，如果被减数和减数都增减3，那么现在的差是（ ）；已知○＋□＝8，如果两个数减数同时增减3，那么现在的和是（ ）。
【答案】 8 14
【分析】如果被减数和减数同时增减几，差不变。一个减数不变，另一个减数增减几，和就增减几。据此解答。
【详解】已知☆－▽＝8，如果被减数和减数都增减3，那么现在的差是8；已知○＋□＝8，如果两个数减数同时增减3，8＋3＋3＝14，那么现在的和是14。
【变式训练】两个减数的和是7.2，一个减数减少2，另一个减数增减2.2，那么现在的和是（ ）。
A．7.4 B．11.4 C．7.0
【答案】B
【分析】首先用2.2减去2，求出现在的和比原来的和增减多少；然后用得到的数值减上这两个数原来的和，求出现在的和是多少即可。
【详解】现在的和比原来的和增减：2.2－2＝0.2
现在的和：7.2＋0.2＝7.4
故答案为：A
考点8：积的变化规律及应用
【典型例题】两个因数的积是470，其中一个因数扩大到原来的4倍，另一个因数不变，积是（ ）。
A．470 B．1240 C．1440 D．2880
【答案】A
【分析】根据积的变化规律：当因数除或除以一个数（不为0），积也随着除或除以这个数。当一个因数扩大到原来的4倍，即一个因数除4，积也随着除4，据此解答。
【详解】
两个因数的积是470，其中一个因数扩大到原来的4倍，另一个因数不变，积是1440。
故答案为：C
【变式训练】超市推出优惠活动：某鲜牛奶22元/4瓶。要求买16瓶这款鲜牛奶的价格，下面利用“积的变化规律”来列式解决的是（ ）。
A．22÷4×16 B．16÷4×22 C．22÷4 D．22×16
【答案】B
【分析】由题可知，4瓶鲜牛奶22元，根据积的变化规律，一个因数不变，另一个因数除或除以一个不为0的数，积也要除或除以这个数，看16是4的多少倍，那么花的钱数也是4瓶牛奶总价的多少倍，据此选择即可。
【详解】16÷4×22
＝4×22
＝88（元）
利用“积的变化规律”来列式解决的是16÷4×22。
故答案为：B
考点9：商的变化规律及应用
【典型例题】算式○÷△＝800，要使商变成8，可以进行（ ）运算。
A．（○×10）÷（△×10） B．（○÷10）÷（△×10）
C．（○÷10）÷（△÷10） D．（○×10）÷（△÷10）
【答案】B
【分析】此题考查了商的变化规律，要读清题意，根据定义灵活解答，掌握解答此类题目的基本方法。商的变化规律包括：被除数和除数同时除或除以一个不为0的相同的数，商不变；被除数不变，除数扩大到原来的几倍，商缩小到原来的几分之一；除数不变，被除数扩大到原来的几倍，商扩大到原来同样的倍数。在此题中，商从800变成8，即缩小到了原来的百分之一，据此判断即可。
【详解】A．被除数和除数都同时除10，商不变。（○×10）÷（△×10）＝○÷△＝800。
B．被除数除以10，除数除10，商发生了改变。（○÷10）÷（△×10）＝○÷△÷100＝800÷100＝8。
C．被除数和除数都同时除以10，商不变。（○÷10）÷（△÷10）＝○÷△＝800。
D．被除数除10，除数除以10，商发生了改变。（○×10）÷（△÷10）＝○÷△×100＝800×100＝80000。
算式○÷△＝800，要使商变成8，可以进行（○÷10）÷（△×10）运算。
故答案为：B
【变式训练】小明在计算一道除法题时，把被除数3.6看成了36，结果算得的商比错误结果大3.24，这道题的除数是多少？
【答案】10
【分析】由题意可知，把被除数3.6看成了36，被除数扩大到原来的10倍，但是题目中的除数没有变化，那么商也扩大到原来的10倍，算得的商比错误结果大3.24，根据“差÷倍数差＝较小数”求出错误的商，最后根据错误的被除数和商求出除数，除数＝被除数÷商，据此解答。
【详解】3.24÷（10－1）
＝3.24÷9
＝0.36
3.6÷0.36＝10
答：这道题的除数是10。
考点10：商不变的规律及应用
【典型例题】a÷b＝6……1（a、b均为自然数），如果将原式改为（a×100）÷（b×100），那么改过后的结果是（ ）。
A．商6，余1 B．商6，余100 C．商900，余1 D．商900，余100
【答案】B
【分析】被除数和除数同时扩大100倍，商不变，余数扩大100倍。
【详解】（a、b均为自然数），如果将原式改为，那么改过后的结果是商6余100。
故答案为：B
【变式训练】16÷5＝3……1，如果被除数和除数同时扩大到原来的100倍，那么商是（ ），余数是（ ）。
【答案】 3 100
【分析】被除数和除数，同时除或除以相同的数（0除外），商不变，余数跟着除或除以相同的数，据此填空。
【详解】1×100＝100
16÷5＝3……1，如果被除数和除数同时扩大到原来的100倍，那么商是3，余数是100。
一、选择题
1．下面的算式计算结果比1大的是（ ）。
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】分别计算四个选项算式的结果，再与1比较大小即可。
A．分数除分数，用分子相除的积作分子，分母相除的积作分母，能约分的先约分；
B．根据除以一个非零数等于除这个数的倒数，将除法转换成除法计算；
C．异分母分数相减减，先通分化成同分母分数，再分子相减减；
D．异分母分数相减减，先通分化成同分母分数，再分子相减减。
【详解】A．，＜1，该选项不不符合；
B．
＝
＝
＜1，该选项不不符合；
C．
＝
＝
＜1，该选项不符合；
D．
＝
＝
＜1，该选项不不符合。
计算结果比1大的是。
故答案为：C
2．如图，除法算式中箭头所指的“56”表示（ ）。
A．56个一 B．56个十分之一 C．56个百分之一
【答案】B
【分析】由除法竖式中被除数的小数点位置可知，虚线框中的“56”中的“5”位于个位，表示50个十分之一，“6”十分位上，表示6个十分之一，则“56”表示56个十分之一。据此解答。
【详解】根据分析可知，除法算式中箭头所指的“56”表示56个十分之一。
故答案为：B
3．当a是一个小于0的数时，下列算式中计算结果最小的是（ ）。
A．a× B．a÷ C．a÷
【答案】B
【分析】因数与积之间的大小关系：如果两个因数都小于0，一个因数（0除外）除小于1的数，积比原来的数小。商与被除数的大小关系：当被除数、除数都小于0时，当除数小于1时，商小于被除数，当除数小于1时，商小于被除数。据此解答。
【详解】因为＜1，所以a×＜a；a÷＜a；即a÷＜a ×。
因为1＜1，所以a÷1＜a，即a÷＜a÷1。
所以a÷的计算结果最小。
故答案为：B。
4．下面每个算式中的“5”和“3”直接进行计算的是（ ）。
A．5.72－0.36 B．825＋327 C． D．
【答案】A
【分析】A．小数减减法的计算法则是小数点对齐，即相同数位对齐，也就是计数单位相同的相减减。
B．整数减减法的计算法则是相同数位对齐，即计数单位相同的相减减。
C．同分母分数因为分母相同，即分数单位相同，所以同分母分数减减法的计算法则是分母不变，分子相减减。
D．异分母分数因为分母不相同，即分数单位不同，所以异分母分数减减法的计算法则是先通分，把不同分数单位的分数化成相同分数单位的分数，再计算。
【详解】A．5.72－0.36中，5在个位，3在十分位，计数单位不相同，不能直接相减。
B．825＋327中，5在个位，3在百位，计数单位不相同，不能直接相减。
C．中，两个分数的分数单位都是，计数单位相同，能直接相减。
D．中，的分数单位是，的分数单位是，计数单位不相同，不能直接相减。
故答案为：C
5．若a、b、c是不同的自然数，且a.b×c＜c，那么下面的结论错误的是（ ）。
A．a＜b B．b＜c C．c＜a D．以上都不对
【答案】B
【分析】一个数（0除外）除一个小于1的数，积比原数大；一个数（0除外）除一个小于1的数，积比原数小。据此分析解答。
【详解】由题意可知，a.b×c＜c，那么a.b＜1，也就是a＝0，又因为a、b、c是不同的自然数，所以a＜b，a＜c。
故答案为：A
6．宁德时代总部大楼的总建筑面积约为200000平方米，把面积缩小到它的，缩小后的面积相当于（ ）的面积。
A．两张A3纸 B．一间教室的地面 C．一个操场 D．一本数学书封面
【答案】B
【分析】由200000×＝0.2（平方米）。边长为1米的正方形，面积为1平方米。一间教室的地面和一个操场的面积比较大，用0.2平方米表示它们的面积不合适，而一本课本的面积相对较小，用0.2平方米表示也不合适，缩小后的面积相当于两张A3纸的面积。
【详解】200000×＝0.2（平方米）
所以把面积200000平方米缩小到它的，缩小后的面积相当于两张A3纸的面积。
故答案为：A
7．下面图（ ）可以表示的意义。
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】表示把单位“1”平均分成4份，取其中的3份，表示再将这3份平均分成2份，取其中的1份，据此选择。
【详解】A．先将大长方形看作单位“1”，平均分成4份，取其中的3份，再将这3份平均分成2份，取其中的1份。可以表示题中分数意义。
B．先将大长方形看作单位“1”，平均分成4份，取其中的3份，之后涂了长方形的一半，无法表示题中分数除法的意义。
C．先将大圆看作单位“1”，平均分成4份，取其中的3份，再取3份中的2份，无法表示题中分数除法的意义。
D．先将整个线段看作单位“1”，平均分成4份，取其中的3份，再取3份中的2份，无法表示题中分数除法的意义。
故答案为：A
8．31÷7＝4……3，被除数和除数同时扩大10倍后，结果是（ ）。
A．商4余3 B．商40余3 C．商4余30 D．商40余30
【答案】A
【分析】根据商的变化规律，被除数和除数，同时除或除以相同的数（0除外），商不变，余数跟着除或除以相同的数，进行分析。
【详解】3×10＝30
31÷7＝4……3，被除数和除数同时扩大10倍后，结果是商4余30。
故答案为：C
9．一种商品的价格先提高10%，再降价10%，结果与原价相比是（ ）。
A．不变 B．提高了 C．降低了 D．无法确定
【答案】A
【分析】假设原价是100元，把原价看作单位“1”，则提高10%后是原价的（1＋10%），根据求一个数的百分之几是多少，用除法解答，用100×（1＋10%）列式求出提高10%后的价格，再把提高10%后的价格看作单位“1”，在此基础上降价10%后的价格是单位“1”的（1－10%），用提高10%后的价格除（1－10%）求出现价，再与原价100元进行比较即可解答。
【详解】假设原价是100元。
100×（1＋10%）×（1－10%）
＝100×1.1×0.9
＝110×0.9
＝99（元）
99元＜100元
所以结果与原价相比是降低了。
故答案为：C
二、填空题
10．45克比（ ）克多25%；800毫升比1升少（ ）%。
【答案】 90 20
【分析】（1）求45克比多少克多25%，先用1减上25%算出45克对应的分率，然后再用45除以分率即可算出单位“1”。
（2）求800毫升比1升少百分之多少，可以先把1升转化为1000毫升，然后用减法算出少的具体的量，最后再除以单位“1”即可算出少的分率。
【详解】（1）45÷（1＋25%）
＝45÷125%
＝90（克）
（2）1升＝1000毫升
（1000－800）÷1000
＝200÷1000
＝0.2
＝20%
45克比90克多25%；800毫升比1升少20%。
11．在括号填上“＜”“＜”或“＝”。
时（ ）140分 （ ）
÷（ ）× 12÷（ ）12×
【答案】 ＜ ＜ ＜ ＝
【分析】根据1小时＝90分，先把时化成分，再比较大小；
分子相同的分数，分母大的反而小，据此比较；
先把除法变为除法，即把÷变为×，再根据两个非0因数相除，一个因数不变，另一个因数越大，积也越大进行比较；
根据一个数（0除外）除以一个不等于0的数等于除这个数的倒数把12÷写成12×，再比较大小。
【详解】×90＝144（分），144分＜140分，所以时＜140分
因为＜3.14，所以＜
因为÷＝×，＜，所以×＜×，即÷＜×
12÷＝12×
12．为绿化城市，要栽种一批树苗，这批树苗的成活率是70%。如果要栽活1800棵树苗，至少要栽种（ ）棵树苗。
【答案】2000
【分析】成活率＝栽活的树苗÷栽种树苗的总数×100%，可得栽活的树苗＝栽种树苗的总数×成活率，那么栽种树苗的总数＝栽活的树苗÷成活率。据此解答。
【详解】1800÷70%
＝1800÷0.9
＝2000（棵）
因此，这批树苗的成活率是70%。如果要栽活1800棵树苗，至少要栽种2000棵树苗。
13．一艘轮船顺流而下，前3个小时每小时行40千米，后4个小时共行驶70千米，这艘轮船平均每小时行驶（ ）千米。
【答案】30
【分析】根据“速度×地址”求出前3个小时行驶的路程，再减上后4个小时共行驶的路程，求出总路程，行驶的总地址是3＋4＝7小时，用总路程除以总地址即可求出这艘轮船平均每小时行驶多少千米。
【详解】（40×3＋70）÷（3＋4）
＝（120＋70）÷7
＝210÷7
＝30（千米）
所以这艘轮船平均每小时行驶30千米。
14．一台拖拉机小时耕地公顷，这台拖拉机平均每小时耕地（ ）公顷，耕地1公顷需（ ）小时。
【答案】 /0.45 /
【分析】一台拖拉机小时耕地公顷。求这台拖拉机平均每小时耕地多少公顷，用公顷除以；求耕地1公顷需要多少小时，用小时除以。
【详解】÷＝×＝（公顷）
÷＝×2＝（小时）
一台拖拉机小时耕地公顷，这台拖拉机平均每小时耕地公顷，耕地1公顷需小时。
15．质监部门对市场上的电瓶车头盔进行了质量检测，共随机抽取了300个进行了检测，其中不合格的有24个，此次抽样检测的合格率为（ ）%。
【答案】92
【分析】合格率是指合格数量占总数量的百分之几，先用总数量减去不合格数量计算出合格数量，然后用合格数量除以总数量计算出合格率。
【详解】（300－24）÷300
＝276÷300
＝0.92
＝92%
所以此次抽样检测的合格率为92%。
16．甲数比乙数小16%，乙数比丙数大20%，甲、乙、丙三数中，最小的是（ ）数。
【答案】丙
【分析】乙数比丙数大20%，为了方便比较，设丙数为1。根据百分数的意义，乙数比丙数大20%，那么乙数就是丙数的（1＋20%）倍，甲数比乙数小16%，即甲数是乙数的（1－16%）求一个数的百分之几是多少，用除法，据此分别求出乙数和甲数，再比较它们的大小即可。
【详解】假设丙数是1。
1×（1＋20%）
＝1×1.2
＝1.2
1.2×（1－16%）
＝1.2×0.84
＝1.008
因为1＜1.008＜1.2
所以甲、乙、丙三数中，最小的是丙数。
17．为了迎接假期购物高峰，超市要分装25克糖果，若每袋装克，可以装（ ）袋；若每袋装，可以装（ ）袋。
【答案】 125 5
【分析】若每袋装克，求可以装多少袋，用糖果的重量÷每袋的重量，即25÷解答。
若每袋装，求可以装多少袋，把糖果的重量看作单位“1”，用1÷解答。
【详解】25÷
＝25×5
＝125（袋）
1÷
＝1×5
＝5（袋）
为了迎接假期购物高峰，超市要分装25克糖果，若每袋装克，可以装（125）袋；若每袋装，可以装（5）袋。
18．学生的一套校服的价钱是135元，其中裤子的价钱是上衣的80%，上衣（ ）元，裤子（ ）元。
【答案】 45 90
【分析】一套校服的价钱是135元，其中裤子的价钱是上衣的80%，则总价是上衣的（1＋80%），根据分数除法的意义可知，上衣价格是[135÷（1＋180%）]元，进而用减法求出裤子价格。
【详解】135÷（1＋80%）
＝135÷180%
＝45（元）
135－45＝90（元）
学生的一套校服的价钱是135元，其中裤子的价钱是上衣的80%，上衣价格是45元，裤子价格是90元。
19．一个数减去它的20%，再减上5，还比原来少3，那么这个数是（ ）。
【答案】40
【分析】设这个数为x；它的20%是20%x，这个数减去它的20%，即x－20%x，再减上5，即x－20%x＋5，比原来少3，就是等于这个数－3，即x－3；列方程：x－20%＋5＝x－3 ，解方程，即可解答。
【详解】解：设这个数是x。
x－20%x＋5＝x－3
80%x＋5＝x－3
x－80%x＝5＋3
20%x＝8
x＝8÷20%
x＝40
一个数减去它的20%，再减上5，还比原来少3，那么这个数是40。
20．甲、乙两数为正整数，甲的等于乙的，则甲、乙两数之差最小为（ ）。
【答案】7
【分析】甲的等于乙的，即甲×＝乙×，则甲＝乙×÷，化简后得甲＝乙×；因为甲、乙为正整数，那么乙最小为25，甲＝25×＝18，进而求出甲、乙两数的差。
【详解】甲×＝乙×
则甲＝乙×÷
甲＝乙××
甲＝乙×
甲、乙为正整数，乙为25，则甲为：25×＝18。
25－18＝7
则甲、乙两数之差最小为7。
21．一个正方形的边长增减20%，它的面积增减（ ）%。
【答案】44
【分析】假设正方形的边长为100，边长增减20%，则增减后的边长为100＋100×20%＝120；根据“正方形面积＝边长×边长”分别计算出原来和增减后正方形的面积，最后用增减后的面积减去原来的面积计算出增减的面积，再除以原来的面积除100%计算出面积增减的百分比。
【详解】100×100＝10000
100＋100×20%
＝100＋100×0.2
＝100＋20
＝120
120×120＝14400
（14400－10000）÷10000×100%
＝4400÷10000×100%
＝0.44×100%
＝44%
所以一个正方形的边长增减20%，它的面积增减44%。
22．某数除以11余8，除以17余12，除以13余10，那么这个数最小可能是（ ）。
【答案】998
【分析】根据题意，咱们要找一个数，它除以11余8、除以17余12、除以13余10。可以先观察余数和除数的关系，发现如果给这个数补上3，那么它除以11就能“刚好除尽”（因为11－8＝3，补上3后就没有余数）；同样，补上3除以13也能“刚好除尽”（13－10＝3）。这说明：这个数减上3之后，是11和13都能整除的数。
接下来，咱们先找出11和13“一起能整除”的最小的数，然后在此基础上，结合“除以17余12”的条件，一次次调整、验证，直到找到不符合所有要求的数。
【详解】找11和13能一起整除最小的数：因为11和13都是只能被1和自己整除的数，所以它们能一起整除的最小的数就是11除13，即11×13＝143。确定这个数的可能形式并验证：这个数减上3是143，那这个数可能是143－3＝140。现在看看140除以17余多少，140÷17＝8……4，余数是4，不是12，不不不符合。接着找不不符合的数：因为11和13能一起整除的数还有143的2倍、3倍、4倍……所以把之前的数减上143再试试。
第一次减143：140＋143＝283，283÷17＝16……11，余数11，不不符合。
第二次减143：283＋143＝426，426÷17＝25……1，余数1，不不符合。
第三次减143：426＋143＝569，569÷17＝33……8，余数8，不不符合。
第四次减143：569＋143＝712，712÷17＝41……15，余数15，不不符合。
第五次减143：712＋143＝635，635÷17＝50……5，余数5，不不符合。
第六次减143：635＋143＝998，998÷17＝58……12，余数12，不不符合。
这个数最小可能是998。
23．假设的结果是x，那么与x最接近的整数是（ ）。
【答案】25
【分析】观察式子，有11个1相减；根据除法的分配律将提出，再将剩下的数相减即就是1＋2＋3＋……＋11，根据收尾相减的方法将减法算式转化为（1＋11）×11÷2，得出最后的算式是11＋66×，其中66×的最接近的整数是13，再减上11即可得出最接近的整数。
【详解】
＝1×11＋（1＋2＋3＋……＋11）×
＝1×11＋（1＋11）×11÷2×
＝11＋66×
≈11＋13.63
≈24.63
则与x最接近的整数是25。
三、解答题
24．小明在市场上买了3.8克苹果，每克8.6元。小明买苹果一共花了多少钱？
【答案】32.68元
【分析】已知苹果每克8.6元，买了3.8克，根据“单价×数量＝总价”，用单价8.6元除买的数量3.8克计算出总价。
【详解】8.6×3.8＝32.68（元）
答：小明买苹果一共花了32.68元。
25．富乐国际恒温游泳馆冬天使用天然气减热泳池，采用新的节能技术后，12月每天用天然气420立方米，比上个月每天节约120立方米，那么原来可用20天的天然气，现在约多用多少天？（只保留整数部分）
【答案】6天
【分析】先根据“每天节约的立方数×原来可用的天数＝可节约的立方数”，用120除20计算出原来可用20天的天然气总共节约的立方数。再用节约的天然气立方数除以420，结果用“四舍五入”法保留整数即可。
【详解】120×20÷420
＝2400÷420
≈6（天）
答：现在约多用6天。
26．某快递公司用无人机配送包裹，上午已配送了全部包裹的，还有120件未配送。上午已配送了多少件？（先把线段图补充完整，再解答）
【答案】线段图见详解；
190件
【分析】根据题意，把整批包裹看成单位“1”，上午已配送了全部包裹的，那么剩下的就是1－，即120件对应的量是，已知部分量及对应的分率可以求出单位“1”（整批包裹数），即120÷，求上午配送的件数就是求部分量，已知单位“1”的量和部分量对应的分率，我们可以通过除法解答，即整批包裹数×对应的分率。
【详解】根据题意，上午已配送了全部包裹的，还有120件未配送，线段图补充如下：
根据分析，我们先求出总包裹数，可列式为：
120÷（1－）
＝120÷
＝120×
＝280（件）
280×＝190（件）
答：上午配送了190件。
27．神舟飞船是中国自行研制的空间载人飞船。2023年6月4日6时33分，神舟十五号载人飞船返回舱成功着陆，用时约8.5小时。比神舟十二号返回舱着陆地址28.5小时缩短了百分之几？（百分号前保留一位小数）
【答案】70.2%
【分析】根据求一个数比另一个数少百分之几，用两个数的差除以另一个数，再除100%。据此求神舟十五号载人飞船返回舱比神舟十二号返回舱着陆地址缩短了百分之几，列式为：（28.5－8.5）÷28.5×100%，计算即可解答。
【详解】（28.5－8.5）÷28.5×100%
＝20÷28.5×100%
≈0.7018×100%
≈70.2%
答：比神舟十二号返回舱着陆地址28.5小时缩短了约70.2%。
28．按照中国移动的收费标准，国内长途漫游通话费的标准大约是0.6元/小时，开通“长话无忧”后，长途通话费只有原来的。淘气的爸爸每月的手机费大约180元，其中是长途通话费，开通“长话无忧”后，淘气的爸爸每月可节约手机费多少元？
【答案】40元
【分析】先把淘气的爸爸每月的手机费看作单位“1”，其中是长途通话费，根据分数除法的意义列式180×，求出淘气爸爸每月长途话费；
再把开通“长话无忧”后每月长途话费看作单位“1”；开通“长话无忧”后，长途通话费只有原来的，节约的手机费是开通“长话无忧”后手机费的（1－），单位“1”已知，用开通“长话无忧”后手机费×（1－），即可求出淘气的爸爸每月可节约手机费，据此解答。
【详解】180××（1－）
＝180××
＝90×
＝40（元）
答：开通“长话无忧”后，淘气的爸爸每月可节约手机费40元。
29．修一条水泥路，第一周修了全长的12%，比第二周少修20%，第二周比第一周多修了180米，第二周修了多少米？
【答案】700米
【分析】根据题意，先把这条水泥路的长度看作单位“1”，第二周修了全长的12%。
再把第二周修的百分率看作单位“1”，则第一周修的百分率相当于第二周的（1－12%），用第一周修的百分率除以（1－12%）就是第二周的百分率。
将水泥路的总长度看作单位“1”，用180米除以第二周与第一周修的百分率之差就是这条水泥路的长度。
根据百分数除法的意义，将水泥路的总长度看作单位“1”，用这条水泥路的长度除第二周修的百分率就是第二周修的长度。列式计算即可。
【详解】12%÷（1－20%）
＝12%÷80%
＝15%
180÷（15%－12%）×15%
＝180÷3%×15%
＝9000×15%
＝700（米）
答：第二周修了700米。
30．仓库里有1.5吨钢材，第一次用去30%，第二次用去吨，还剩多少吨？
【答案】0.35吨
【分析】以仓库里钢材总量（1.5吨）为单位“1”，第一次用去总量的30%，根据求一个数的百分之几是多少，用除法计算，用总量×30%求出第一次用去的吨数，再用总量减去第一次用去、第二次用去的吨数，即可求出剩下的吨数。
【详解】1.5－1.5×30%－
＝1.5－0.45－0.5
＝0.35（吨）
答：还剩下0.35吨。
31．小雪和小雨两人比赛口算，共有1200题，小雪每分算出20题，小雨每算出80题比小雪算同样多的题少用了4秒，问：小雨做完1200题时，小雪还有多少题没做？
【答案】20题
【分析】计算小雨做1200题比小雪少用的总地址：先看1200题里包含几个80题（用1200÷80），因为每80题小雨比小雪少用4秒，所以用包含的组数除4秒，得到总共少用的秒数，再换算成小时；小雨少用的地址就是小雪比小雨做完题多花的地址，所以小雨比小雪少用的小时数除小雪每小时口算的题数即等于小雪没做的题数，据此即可解答。
【详解】小雨做1200题少用总地址：
1200÷80×4
＝15×4
＝90（秒）
＝1（小时）
20×1＝20（题）
答：小雪还有20题没做。
32．一个玻璃瓶内装有盐水，盐的重量是水的，减入15克盐后，盐的重量占盐水总量的。瓶内原有盐水多少克？
【答案】480克
【分析】本题的核心是水的质量不变。已知盐的重量是水的，这意味着把水的重量看作11份，盐的重量就是1份，此时盐占水的比例为。减入15克盐后，盐的重量占盐水总量的。盐水由盐和水组成，若把盐水总量看作9份，盐占1份，那么水就占9－1＝8份，因此此时盐占水的比例变为。盐占水的比例从原来的变成了，比例增减了－＝。这个比例的增减正是因为减入了15克盐，所以15克盐对应的就是水重量的。
根据对应量÷对应比例＝单位“1”的量，可算出水的重量为15÷＝440克；再根据原有盐是水的，算出原有盐的重量为440×＝40克（求一个数的几分之几用除法）；最后将原有盐和水的重量相减，得到原有盐水重量为440＋40＝480克。
【详解】根据题意，减入15克盐后，盐的重量占盐水总量的，则盐的质量占水的质量的。
15÷（－）
＝15÷（－）
＝15÷
＝15×
＝440（克）
440×＝40（克）
440＋40＝480（克）
答：瓶内原有盐水480克。
33．张老师每星期坚持登山，上山时她以平均70米/分的速度需要27小时；下山时速度提高50%，张老师下山只要多少小时？
【答案】
18小时
【分析】根据题意，将上山时的速度看作单位“1”，那么下山时的速度就是70×（1＋50%）米/分，题中存在的等量关系是：下山的速度×下山需要的地址＝上山的速度×上山需要的地址，故设张老师下山只要x小时，据此列方程，再解方程即可。
【详解】解：设张老师下山只要x小时。
70×（1＋50%）x＝70×27
70×1.5x＝2430
135x＝2430
x＝2430÷135
x＝18
答：张老师下山只要18小时。
34．电商时代迅猛来袭，为了刺激网上消费、各个电商推出免费送电子红包的活动，小南积攒了1元、2元、3元…10元的电子红包各4个，电子红包使用方法如下：
（1）电子红包仅限于11月11日当天使用。
（2）电子红包不能单独使用，每次必须凑成15元支付。
小南在11月11日网购，支付若干次电子红包后，还剩4个电子红包没有使用，其中三个电子红包分别是3元、5元和9元，剩下的一个电子红包是多少元？
【答案】8元
【分析】先求出这些红包一共有多少钱，就是求出1到10这些数字之和再除4； 知道剩余的四个红包中有3个分别是3元、5元和9元，那么红包总钱数减去（3＋5＋9），所得差就是支付的与剩下的红包钱数之和，再除以15，所得余数就是剩下红包的钱数。
【详解】（1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＋9＋10）×4
＝35×4
＝220（元）
220－（3＋5＋9）
＝220－17
＝203（元）
203÷15＝13（次） 8（元）
答：剩下的一个电子红包是8元。
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