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第6讲　力的合成与分解
一、共点力　合力和分力
1.共点力
几个力如果都作用在物体的同一点,或它们的作用线相交于一点,这几个力叫作共点力.
2.合力和分力
(1)定义:假设一个力单独作用的效果跟某几个力共同作用的效果相同,这一个力就叫作那几个力的　　　　,那几个力叫作这一个力的　　　　.
(2)关系:合力和分力是　　　　　　的关系.两力的合力范围为|F1-F2|≤F≤F1+F2.
二、力的合成
1.定义:求几个力的合力的过程.
2.运算法则
(1)平行四边形定则:求两个互成角度的共点力的合力时,以表示这两个力的有向线段为　　　　作平行四边形,这两个邻边之间的　　　　就代表合力的大小和方向,如图甲所示.
(2)三角形定则:把两个矢量首尾相接,从而求出合矢量的方法,如图乙所示.
三、力的分解
1.定义:求一个已知力的　　　　　的过程.
2.运算法则:　　　　　定则或　　　　定则.
3.两种分解方法:正交分解法和效果分解法.
四、矢量和标量
1.矢量:既有大小又有　　　　的量,运算时遵从　　　　　定则.
2.标量:只有大小没有方向的量,运算时按算术法则相加减.
【辨别明理】
1.几个力的共同作用效果可以用一个力来替代. (　)
2.一个力只能分解为一对分力. (　)
3.两个大小恒定的力F1、F2的合力的大小随它们的夹角的增大而减小. (　)
4.互成角度的两个力的合力与分力间一定构成封闭的三角形. (　)
　共点力的合成
求合力的方法
作图法 作出力的图示,结合平行四边形定则,用刻度尺量出表示合力线段的长度,再结合标度算出合力大小
解析法 根据平行四边形定则作出力的示意图,然后利用勾股定理、三角函数、正弦定理等求出合力
例1　[2025·江西上饶模拟] 一物体受到三个共面共点力F1、F2、F3的作用,三力的矢量关系如图所示(小方格边长相等),则下列说法正确的是 (　)
A.三力的合力有最大值F1+F2+F3,方向不确定
B.三力的合力有唯一值3F3,方向与F3同向
C.三力的合力有唯一值2F3,方向与F3同向
D.由题给条件无法求合力大小
[反思感悟]
例2　射箭是奥运会上一个观赏性很强的运动项目,中国队有较强的实力.如图甲所示,射箭时,刚释放的瞬间弓弦的拉力为100 N,对箭产生的作用力为120 N,其弓弦的拉力如图乙中F1和F2所示,对箭产生的作用力如图乙中F所示,则弓弦的夹角α应为(cos 53°=0.6) (　)
A.53° B.127°
C.143° D.106°
【技法点拨】
几种特殊情况的共点力的合成
情况 两力互 相垂直 两力等大, 夹角为θ 两力等大且 夹角为120°
图示
结论 F= tan θ= F=2F1cos F与F1夹角为 合力与 分力等大
　力的分解
1.力的分解
力的分解是力的合成的逆过程,通常力的分解过程是按照力的实际效果进行的,必须根据题意分析力的作用效果,确定分力的方向,然后再根据平行四边形定则进行分解.
力的分解中的多解问题
已知条件 示意图 解的情况
已知合力与两个分力的方向 有唯一解
已知合力与两个分力的大小 在同一平面内有两解或无解(当F<|F1-F2|或F>F1+F2时无解)
已知合力与一个分力的大小和方向 有唯一解
已知合力与一个分力的大小及另一个分力的方向 (1)在0<θ<90°时有三种情况:①当F1=Fsin θ或F1≥F时,有一组解;②当F1F时有一组解,其余情况无解
例3　(多选)[2025·内蒙古赤峰三模] 逆风使帆的原理如图所示,把帆面张在航向(船头指向)和风向之间,因风对帆的压力F垂直帆面,可分解成两个分力F1、F2,其中F2垂直船轴即航向,会被很大的横向阻力平衡,F1沿着航向,已知帆面与航向之间的夹帆面航向角为θ,已知船匀速航行,下列说法正确的是 (　)
A.F1提供船前进的动力
B.船受到的合力大小一定与F1值相等
C.若船垂直航向的阻力为Ff2,则Ff2=Fsin θ
D.若船沿着航向的阻力为Ff1,则F1=Ff1=Fsin θ
例4　[2025·安徽马鞍山模拟] 如图所示,将大小为40 N的力F分解为F1和F2,其中F1的方向与F的夹角为30°,则 (　)
A.当F2<20 N时,有一个F1的值与它相对应
B.当F2=20 N时,F1的值是20 N
C.当F2>40 N时,有两个F1的值与它相对应
D.当20 N　正交分解法的应用
当物体受到三个以上的力时,常用正交分解法.
(1)建立坐标轴的原则:在静力学中,以少分解力和容易分解力为原则(使尽量多的力分布在坐标轴上);在动力学中,往往以加速度方向和垂直加速度方向为坐标轴建立坐标系.
(2)多个力求合力的方法:把各力向相互垂直的x轴、y轴分解.
x轴上的合力Fx=+++…
y轴上的合力Fy=+++…
合力大小F=
若合力方向与x轴夹角为θ,则tan θ=.
例5　[2024·湖北卷] 如图所示,两拖船P、Q拉着无动力货船S一起在静水中沿图中虚线方向匀速前进,两根水平缆绳与虚线的夹角均保持为30°.假设水对三艘船在水平方向的作用力大小均为Ff,
方向与船的运动方向相反,则每艘拖船发动机提供的动力大小为 (　)
A.Ff B.Ff
C.2Ff D.3Ff
例6　(1)如图甲所示在同一平面内的三个共点力F1=20 N、F2=20 N、F3=40 N互成120°角,求它们的合力的大小和方向;
(2)在同一平面内的四个共点力F1=20 N、F2=30 N、F3=22 N、F4=40 N,方向如图乙所示,求它们的合力大小和方向.(sin 37°=0.6,cos 37°=0.8,要求写出求解过程即画图加表达式或写出足够清楚的文字说明)
素养提升　轻绳、轻杆、弹性绳及轻弹簧的比较
轻绳 轻杆 弹性绳 轻弹簧
图示
受外力作用时形变的种类 拉伸形变 拉伸形变、压缩形变、弯曲形变 拉伸形变 拉伸形变、压缩形变
受外力作用时形变量大小 微小,可忽略 微小,可忽略 较大,不可忽略 较大,不可忽略
弹力方向 沿着绳,指向绳收缩的方向 既能沿着杆,也可以与杆成任意角度 沿着绳,指向绳收缩的方向 沿着弹簧,指向弹簧恢复原长的方向
考向一　轻绳
1.“死结”可理解为把绳子分成两根独立的绳,两段绳子上的弹力不一定相等.
2.“活结”可理解为由绳跨过滑轮或者绳上挂一光滑挂钩而形成元件的.所以由“活结”分开的两段绳子上弹力的大小一定相等.
例7　(多选)如图所示,用轻绳AO和OB将重为G的重物悬挂在水平天花板和竖直墙壁之间处于静止状态,AO绳水平,OB绳与竖直方向的夹角为θ,则AO绳的拉力FA、OB绳的拉力FB的大小与G之间的关系正确的为 (　)
A.FA=Gtan θ B.FA=
C.FB= D.FB=Gcos θ
[反思感悟]
变式　如图所示,钉子A和小定滑轮B均固定在竖直墙面上,它们相隔一定距离且处于同一高度,细线的一端系有一小沙桶D,另一端跨过定滑轮B固定在钉子A上.质量为m的小球E与细线上的轻质动滑轮C固定连接.初始时整个系统处于静止状态,滑轮C两侧细线的夹角为74°.现缓慢地往沙桶添加细沙,当系统再次平衡时,滑轮C两侧细线的夹角为120°.不计一切摩擦,cos 37°=0.8,则此过程中往沙桶D中添加的细沙质量为 (　)
A.m B.m
C.m D.m
[反思感悟]
考向二　轻弹簧和弹性绳
“轻弹簧”“弹性绳”是理想化模型,具有如下特性:
(1)在弹性限度内,弹力遵循胡克定律F=kx,其中x是弹簧的形变量.
(2)轻弹簧(或弹性绳)的质量可视为零.
(3)弹簧既能受到拉力作用,也能受到压力作用(沿着弹簧的轴线),弹性绳只能受到拉力作用,不能受到压力作用,轻弹簧(或弹性绳)上的力不能突变.
例8　如图所示,甲和乙中的小球质量相同,轻绳c、e水平,轻绳d和轻质弹簧f与竖直方向夹角均为θ.轻绳c和e被剪断后的瞬间,绳d对小球的拉力和弹簧FTf对小球的拉力大小之比为 (　)
A.1
B.cos θ
C.
D.cos2 θ
[反思感悟]
考向三　轻杆
1.“活杆”:即一端由铰链相连的轻质可转动的杆,静止时它的弹力方向一定沿杆的方向.
2.“死杆”:即轻质固定杆,它的弹力方向不一定沿杆的方向,需要结合平衡条件或牛顿第二定律求得.
例9　如图所示为两种形态的吊车的示意图,OA为可绕O点转动的轻杆,轻杆的重力不计,AB为缆绳.当它们吊起相同重物时,杆OA在图甲、乙中的受力分别为Fa、Fb,则下列关系正确的是 (　)
A.Fa=Fb B.Fa>Fb
C.Fa[反思感悟]
一、2.(1)合力　分力　(2)等效替代
二、2.(1)邻边　对角线
三、1.分力　2.平行四边形　三角形
四、1.方向　平行四边形
【辨别明理】
1.√　2.×　3.√　4.√
第6讲　力的合成与分解
例1　B　[解析] 先以力F1和F2为邻边作平行四边形,其合力与F3共线,大小F12=2F3,如图所示,F12再与第三个力F3合成求合力F合,可得F合=3F3,故选B.
例2　D　[解析] 以箭与弓弦的交点作为受力对象,根据图乙可知F1=F2,由力的合成法则,有2F1cos =F,得cos ===0.6,解得α=106°,故选D.
例3　AD　[解析] 据题意可知F1与船运动的方向相同,是船前进的动力,故A正确;据题意可知在船运动的方向上除F1外,还有其他阻力,如水的阻力等,船匀速航行,故船受到的合力大小一定不与F1值相等,故B错误;据题意可知F2与横向阻力平衡,则有Ff2=Fcos θ,故C错误;若船沿着航向的阻力为Ff1,F1=Ff1=Fsin θ,故D正确.
例4　D　[解析] 画出矢量三角形,如图所示,当F2的方向与F1垂直时,F2最小,最小值为F2=Fsin 30°=40× N=20 N,当F2<20 N时,没有与它相对应的F1的值,故A错误;当F2=20 N时,有F1=Fcos 30°=20 N,故B错误;结合A选项分析可知,当F2>40 N时,此时F2只能处于图中F2最小值右侧,故此时只有一个F1的值与它相对应,故C错误;当20 N例5　B　[解析] 对货船S受力分析如图甲所示,其中FT为绳的拉力,根据正交分解法可得2FTcos 30°=Ff,对拖船P受力分析如图乙所示,其中F为发动机提供的动力,有(FT'sin 30°)2+(Ff+FT'cos 30°)2=F2,根据牛顿第三定律可知FT'=FT,联立解得F=Ff,故B正确.
例6　(1)20 N,方向沿F3方向　(2)22 N,合力方向与F4夹角为45°斜向右下方
[解析] (1)以垂直于F3方向为x轴,沿F3方向为y轴,建立如图甲所示的坐标轴
由于F1、F2沿x轴方向的分力大小相等,方向相反
则F1、F2和F3的合力大小为F=F3-F1cos 60°-F2cos 60°=40 N-20× N-20× N=20 N,方向沿F3方向
(2)建立如图乙所示的坐标轴
由图可知,沿x轴方向的合力Fx=F4-F2sin 37°=40 N-30×0.6 N=22 N
沿y轴方向的合力Fy=F1+F2cos 37°-F3=20 N+30×0.8 N-22 N=22 N
则合力大小为F合==22 N
方向与x轴的夹角满足tan θ==1
解得θ=45°,即合力方向与F4夹角为45°斜向右下方
例7　AC　[解析] 结点O受到三个力作用FA、FB、FC,如图所示,其中FA、FB的合力与FC等大反向,即F合=FC=G,则=tan θ,=cos θ,解得FA=Gtan θ,FB=,故A、C正确.
变式　A　[解析] 对沙桶分析,由平衡条件可知F=m1g,对动滑轮C受力分析,由平衡条件可得2Fcos 37°=mg,往沙桶D中添加细沙后,F'=(m1+Δm)g,2F'cos 60°=mg,联立解得Δm=m,所以A正确,B、C、D错误.
例8　D　[解析] 轻绳c被剪断后的瞬间,绳d对小球的拉力FTd=mgcos θ,轻绳e被剪断之前弹簧f对小球的拉力FTf=,轻绳e被剪断后的瞬间,弹簧的弹力不变,则绳d对小球的拉力和弹簧f对小球的拉力大小之比为=cos 2θ,故选D.
例9　A　[解析] 对题图中的A点受力分析,则由图甲可得Fa=Fa'=2mgcos 30°=mg,由图乙可得tan 30°=,则Fb=Fb'==mg,故Fa=Fb.第6讲　力的合成与分解 (限时40分钟)
1.[2025·山西太原模拟] 两个力F1和F2之间的夹角为θ,其合力为F.下列说法正确的是 (　)
A.若F1和F2大小不变,θ角越大,合力F就越大
B.合力F总比分力F1、F2中的任何一个力都大
C.合力F的大小范围是D.若夹角θ不变,F1大小不变,F2增大,合力F可能先减小后增大
2.[2025·湖北恩施模拟] 如图所示,五个共点力的矢量图恰能构成一个四边形及其对角线,下列说法正确的是 (　)
A.F1、F2、F3的合力为零
B.F3、F4、F5的合力为零
C.这五个共点力的合力为零
D.这五个共点力的合力为3F3
3.[2025·浙江杭州模拟] 一轻绳的上端固定在天花板上的O点,下端悬挂一个重为10 N的物体A,如图所示.B是固定的表面光滑的圆柱体,当A静止时,轻绳与天花板的夹角为30°,则B受到绳的压力大小是 (　)
A.10 N
B.20 N
C.5 N
D.10 N
4.(多选)[2025·江西南昌模拟] 家里的书桌离墙太近,某同学想将书桌向外移动一点,但她力气太小,推不动.于是,她找来两块相同的木块,搭成一个人字形架,然后往中央一站,书桌真的移动了.下列说法中正确的是 (　)
A.这是因为在人字形架的夹角很大的情况下,该同学的重力沿木块方向的分力很大
B.这是因为在人字形架的夹角很大的情况下,该同学的重力沿木块方向的分力很小
C.人字形架的夹角越大,越容易推动书桌
D.人字形架的夹角越大,越难推动书桌
5.唐代《耒耜经》记载了曲辕犁相对直辕犁的优势之一是起土省力.设牛用大小相等的拉力F通过耕索分别拉两种犁,F与竖直方向的夹角分别为α和β,α<β,如图所示.忽略耕索质量,耕地过程中,下列说法正确的是 (　)
A.耕索对曲辕犁拉力的水平分力比对直辕犁的大
B.耕索对曲辕犁拉力的竖直分力比对直辕犁的大
C.曲辕犁匀速前进时,耕索对犁的拉力小于犁对耕索的拉力
D.直辕犁加速前进时,耕索对犁的拉力大于犁对耕索的拉力
6.[2025·山东日照模拟] 如图所示,一个物体在xOy平面内受到F1、F2两个力的作用,F1的大小为20 N,方向与x轴正方向的夹角为37°,F2的方向沿着x轴负方向(图中未画出).已知sin 37°=0.6,cos 37°=0.8.若F1、F2的合力与y轴正方向的夹角为37°,则F2的大小可能为 (　)
A.30 N
B.25 N
C.15 N
D.6 N
7.[2025·河南南阳模拟] 如图所示为质点P受到的8个力的图示,8个力的顶点刚好构成长方ABCD EFGH,O为该长方体的中心,若力F0的图示可表示为有向线段,则质点P受到的合力为 (　)
A.2F0
B.2F0
C.4F0
D.8F0
8.[2025·广东深圳模拟] 2024年巴黎奥运会,中国运动员成功卫冕男子吊环项目.训练中的悬停情景如图所示,若悬绳长均为L=2.5 m,两悬绳的悬点间距d=0.5 m,手臂伸长后两环间距D=1.50 m,运动员质量m=60 kg,忽略悬绳和吊环质量,不计吊环直径,g取10 m/s2.此时左侧悬绳上的张力大小为 (　)
A.300 N B.600 N
C.125 N D.250 N
9.[2025·江苏宿迁模拟] 在探究两个互成角度力的合成规律实验中.在如图所示平面内,保持合力F不变,分力F1的大小不变,改变F1的方向,则分力F2箭头端的轨迹为 (　)
A
B
C
D
10.(多选)[2025·四川成都模拟] 已知力F的大小和方向,在以下三种条件下,通过作图求两个分力F1和F2.
(1)图甲:已知两个分力的方向,即图中角α和β确定,求两力的大小;
(2)图乙:已知分力F1的大小和方向,求另一个分力F2的大小和方向;
(3)图丙:已知F1的方向和F2的大小(Fsin α下列判断中,正确的是 (　)
A.图甲中F1和F2的大小有无数组解
B.图乙中F2的大小和方向有唯一解
C.图丙中F1的大小有唯一解
D.图丙中F2的方向有两解
11.[2025·福建厦门三模] 垂钓中蕴含着许多力学技巧,提竿飞鱼时稍有不慎可能会断竿.如图甲所示,鱼竿中任意处的力可分解为沿竿身的切向张力F∥及垂直于竿身的径向应力F⊥,径向应力F⊥越大,鱼竿越容易断裂.提竿过程中某时刻鱼竿的形状如图乙所示,鱼线呈竖直状态,若鱼竿每个部位所能承受的最大径向应力相同,忽略鱼竿自身重力的影响,则鱼竿a、b、c、d四个位置中最易断裂的是 (　)
A.a B.b C.c D.d
12.(多选)[2025·河北石家庄二中集团联考] 如图所示为三种形式的吊车工作示意图,OA为固定杆,绳、杆和固定面间的夹角θ=30°,绳和滑轮的质量忽略不计,AB缆绳通过滑轮吊着相同重物,均处于静止状态.图甲中∠AOB=120°.则下列关于定滑轮受到缆绳的作用力F甲、F乙、F丙的说法正确的是 (　)
A.F甲、F乙和F丙均沿杆
B.F甲沿杆,F乙和F丙均与杆夹角为30°
C.F甲∶F乙∶F丙=∶1∶1
D.F甲∶F乙∶F丙=∶∶1
13.[2025·辽宁丹东模拟] 如图所示,两个小球A、B悬挂在水平天花板下,并处于静止状态,其中小球A和悬挂点C之间的细线与天花板的夹角为37°,小球B和悬挂点D之间的轻弹簧与天花板之间的夹角为53°,小球A、B之间的细线水平.已知sin 37°=0.6,sin 53°=0.8,则剪断小球A、B之间的细线瞬间,小球A与B的加速度大小之比为 (　)
A.16∶15
B.15∶16
C.3∶4
D.4∶3
第6讲　力的合成与分解
1.D　[解析] 根据平行四边形定则可知,若F1和F2大小不变,θ角越大,合力F就越小,故A错误;合力F可能比分力F1、F2中的任何一个力都大,也可能比分力F1、F2中的任何一个力都小,还可能等于分力F1、F2中的其中一个,故B错误;合力F的大小范围是≤F≤,故C错误;若夹角θ不变,F1大小不变,F2增大,若夹角θ大于90°,根据平行四边形定则可知,合力F可能先减小后增大,故D正确.
2.B　[解析] 根据闭合三角形定则可知F1、F2的合力大小等于F3,方向与F3方向相同,则F1、F2、F3的合力为2F3,故A错误;根据闭合三角形定则可知F4、F5的合力大小等于F3,方向与F3方向相反,则F3、F4、F5的合力为零,故B正确;由于F3、F4、F5的合力为零,则这五个共点力的合力等于F1、F2的合力,即这五个共点力的合力为F3,故C、D错误.
3.A　[解析] 以与小圆柱体接触的那一小段绳子为研究对象,受两个大小相等的拉力以及圆柱体的支持力FN,如图所示,由于F1=F2=10 N,且夹角为120°,由几何关系可知FN=F=10 N,因而绳对圆柱体的压力大小为10 N,故选A.
4.AC　[解析] 重力的大小和方向始终不变,分解到两木板方向时,设人字形架的夹角为θ,将重力G分解,则有2Fcos =G,可得该同学的重力沿木块方向的分力为F=,可知人字形架的夹角越大,该同学的重力沿两木板方向的作用力越大,越容易推动书桌,故选A、C.
5.B　[解析] 对曲辕犁,力F在水平方向及竖直方向的分力分别为F1x=Fsin α、F1y=Fcos α,对直辕犁,力F在水平方向及竖直方向的分力分别为F2x=Fsin β、F2y=Fcos β,因α<β,故F1xF2y,故A错误,B正确;耕索对犁的拉力与犁对耕索的拉力是一对作用力和反作用力的关系,它们大小相等,故C、D错误.
6.B　[解析] 根据题意可知F1、F2的合力与y轴正方向的夹角为37°,如图所示对物体进行受力分析,F2的结果有两种可能,第一种情况夹角在y轴正方向右边,则F1sin 37°=F合cos 37°,代入得F合=15 N,由几何关系知F2=F1cos 37°-F合sin 37°=7 N;第二种情况夹角在y轴正方向左边,则F1sin 37°=F合'cos 37°,代入得F合'=15 N,由几何关系知=sin 37°,代入得F2'=25 N,由此可知F2可能为7 N或25 N,故选B.
7.D　[解析] 如图所示,可知点O为AG的中点,由平行四边形定则可知力FPA、FPG的合力为2F0,同理,力FPB、FPH的合力、力FPC、FPE的合力、力FPD、FPF的合力均为2F0,所以质点P受到的合力为8F0,故选D.
8.C　[解析] 由于运动员处于静止状态,两条绳子对他的拉力的合力等于他的重力mg,则有2FTcos θ=mg,根据几何关系有sin θ=,可得每条绳子上的拉力大小为FT=125 N,故选C.
9.B　[解析] 若以O点为坐标原点,以F的方向为x轴正向建立坐标系,设F与F1的夹角为θ,则合力F2的箭头的坐标满足x+F1cos θ=F,y=-F1sin θ,联立化简得+y2=,因保持合力F的大小和方向不变,分力F1的大小不变,则使F1与F的夹角从0逐渐增大到360°的过程中,F2的箭头的轨迹图形为圆,即B选项符合.
10.BD　[解析] 已知两个分力的方向,根据平行四边形定则,作出两个分力如图甲所示,由图甲可知,两个分力只有唯一解,故A错误;已知分力F1的大小和方向,作出两个分力如图乙所示,由图乙可知,F2的大小和方向有唯一解,故B正确;已知F1的方向和F2的大小(Fsin α11.B　[解析] 对鱼竿中的某点受力分析如图所示,鱼竿中该处的力可分解为沿竿身的切向张力F∥及垂直于竿身的径向应力F⊥,两个力的合力与鱼重力mg等大反向,则当F⊥与mg夹角θ越小时F⊥越大,此时鱼竿越易断,由图可知b处鱼竿与水平方向的夹角θ最小,则最易断裂的是b.故选B.
12.BC　[解析] 由题意可知,设重物重力为G,可知甲、乙、丙三图中,每段绳的拉力大小等于重物的重力大小G,图甲中定滑轮受到缆绳的作用力与两段绳合力大小相等,方向相同.根据平行四边形定则,可得F甲=2Gcos 30°=G,方向沿杆AO方向;同理,图乙中定滑轮受到缆绳的作用力等于图乙中两段绳的合力,根据平行四边形定则,可得F乙=2Gcos 60°=G,方向与AO杆成30°指向右下方;同理,可得图丙中F丙=2Gcos 60°=G,方向与竖直方向成60°指向右下方,即与杆AO夹角为30°;且F甲∶F乙∶F丙=∶1∶1,故选B、C.
13.A　[解析] 剪断A、B之间的细线,小球A向下摆动,加速度大小为aA=gcos 37°=,剪断细线前,对小球B受力平衡有kxsin 53°=mg、kxcos 53°=FTAB,剪断A、B之间的细线瞬间,弹簧弹力大小不变,小球B向右加速,加速度大小为aB===,所以剪断小球A、B之间的细线瞬间,小球A与B的加速度大小之比aA∶aB=∶=16∶15,故选A.

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