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(共77张PPT)
专题四 动态平衡问题、平衡中的临界和
极值问题
题型一 动态平衡问题
题型二 平衡中的临界和极值问题
备用习题
◆
◆
听课手册
作业手册
答案核查【听】
答案核查【作】
题型一 动态平衡问题
1.动态平衡:通过控制某些物理量,使物体的状态发生缓慢的变化,而在这个
过程中物体又始终处于一系列的平衡状态,在问题的描述中常用“缓慢”等语
言叙述.
2.做题流程
考向一 解析法
对研究对象进行受力分析，画出受力示意图，根据物体的平衡条件列方程，
得到因变量与自变量的函数表达式(通常为三角函数关系)，最后根据自变
量的变化确定因变量的变化.
例1 [2025·海南海口模拟] 中国人使用筷子至少有3000年的历
史，在汉代时称之为“箸”，明代开始改称“筷”.某次游戏中，
用筷子夹住质量为 的玻璃球，如图所示,已知两根筷子均在
同一竖直平面内，小球对左侧筷子的弹力大小为 ，对右侧
筷子的弹力大小为 ，忽略筷子与小球间的摩擦.若保持右侧
A.该过程中逐渐减小 B.该过程中 逐渐减小
C.该过程中先减小再增大 D.该过程中、 均逐渐增大
筷子竖直，使左侧筷子与竖直方向的夹角 逐渐减小，且小球一直静止，
下列说法正确的是( )
√
[解析] 由牛顿第三定律可知小球对筷子的弹力大小与筷子对小球的支持
力大小相等，对小球受力分析如图所示，由受力平衡有 、
，若保持右侧筷子竖直，使左侧筷子与竖直方向的夹角 逐
渐减小，由 ，可知该过程中 逐渐增大，A、
C错误；根据 ，可知若保持右侧筷子竖直，使
左侧筷子与竖直方向的夹角 逐渐减小的过程中， 逐
渐增大，B错误，D正确.
考向二 图解法
在对物体进行受力分析(一般受三个力)的基础上,若一个力为恒力，另一个
力方向不变或另一个力大小不变或另两个力方向的夹角不变,可画出这三
个力的封闭矢量三角形来分析力的变化情况,图解法也常用于求极值问题.
例2 [2025·河南郑州二模] 如图甲所示为2025年春晚宇树机器人抛接手绢
的表演，某同学对视频逐帧分析后发现，抛出后的手绢在细线拉力的作用
下被回收.某段时间内，手的位置 点不变，手绢可视为做匀速直线运动，
其运动轨迹如图乙中虚线段所示，则手绢从到 运动过程中受到的
( )
A.空气阻力先增大后减小
B.空气阻力大小不变
C.细线的拉力一直增大
D.细线的拉力一直减小
√
[解析] 依题意，手绢做匀速直线运动，受力分析如图所示，其中重力竖
直向下，细线拉力沿细线指向点，空气阻力沿连线由指向 ，三力
平衡，作出重力与拉力的合力示意图，由图可知，随着手
绢的运动，细线的方向顺时针转动，且未转到水平方向，
由图可知，细线的拉力一直减小，空气阻力一直减小，故
A、B、C错误，D正确.
例3 (多选)[2025·湖南怀化三模] 如图甲所
示，工人用叉车拉石墩时，可简化为如图
乙所示的模型， ，叉车臂
与水平方向夹角为 .不计球形石墩表面摩
A.一直增加 B. 先增加后减小
C.先减小后增加 D. 一直在减小
擦，叉车和石墩始终保持相对静止，在叉车匀速运动的过程中，若 从
缓慢增加为 ，叉车臂对石墩的作用力和车把对石墩的作用力 的
大小变化为 ( )
√
√
[解析] 在叉车匀速运动的过程中，对石墩进行受力分析，并将石墩所受
的三个力进行平移构成一个首尾相接的矢量三角形，在 从 增加为
过程中，该矢量三角形的三个顶点应落在一个圆上，如图所示，重力为圆
的直径，由图可知，一直增加， 一直在减小，故选A、D.
[技法点拨]
类别 特点 图例 分析说明
动态三 角形 一个力恒定,另一 个力方向不变 利用一力恒定,一力方向
不变化,可以作出动态三
角形,分析方向变化的那
个力的线段长度变化,根
据不同位置判断另一力
的大小变化
类别 特点 图例 分析说明
动态三 角形 一个力恒定，另 一个力大小不变 一个力恒定，另一个力
大小不变，以恒力末端
为圆心作出矢量动态三
角形，分析两个变力的
大小与方向
续表
类别 特点 图例 分析说明
动态圆 一力恒定,另外两 力方向一直变化, 但两力的夹角不 变 利用两力夹角不变,可以
作出动态圆,恒力为圆的
一条弦,根据不同位置判
断各力的大小变化
续表
考向三 相似三角形法
在三力平衡问题中，如果有一个力是恒力，另外两个力方向都变化，且题
目给出了空间几何关系，多数情况下力的矢量三角形与空间几何三角形相
似，可利用相似三角形对应边成比例进行计算.注意：构建三角形时可能
需要画辅助线.
例4 [2025·湖北武汉模拟] 如图所示，小明用轻绳
拴住轻杆的顶端，轻杆下端 用铰链固定在
水平地面上某高度处， 端下方悬挂重物，轻绳
长度为定值.与水平方向夹角 ，
A.轻绳对 端的拉力大于重物重力
B.轻杆对 端的支持力等于重物重力的2倍
C.若小明拉住轻绳端缓慢向右移动，轻绳对 端的拉力逐渐增大
D.若小明拉住轻绳端缓慢向右移动，轻绳对 端的拉力逐渐减小
与水平方向夹角 ，下列说法正确的是 ( )
√
[解析] 设重物的重力为，轻杆的弹力，轻绳的弹力为.选择 点
为研究对象，由于为可旋转轻杆，则 点所受杆的弹力方向沿杆指向
，点所受轻绳的拉力沿绳指向， 点受力分析如图甲所示，由几何关
系可得 ，为角平分线，则 ，A错误；由A选项受
力分析可知， ，B错误；
甲
过点作的垂线交于，设为，选择 为研究对象，做矢量三角
形如图乙所示，由几何关系可知，力的矢量三角形与几何三角形 相似，
且满足，轻绳端缓慢向右移动过程中，减小， 增大，
则 增大，C正确，D错误.
乙
考向四 正弦定理法(拉密定理)
如图所示，物体受三个共点力作用而处于平衡状态，则三个力中任意一个
力的大小与另外两个力的夹角的正弦成正比，即 .
例5 [2025·山东淄博模拟] 如图甲所示，重物通过两根轻质细杆、 悬
挂在水平横梁上，与之间的夹角为 ,连接处均为光滑的铰链.现
将水平横梁在竖直面内缓慢转动 ，变成如图乙所示的状态，在此过程
中下列说法正确的是( )
A.细杆 对重物的作用力一直为拉力
B.细杆 对重物的作用力一直为拉力
C.细杆 对重物的作用力一直逐渐增大
D.细杆 对重物的作用力先逐渐减小，后逐渐增大
√
√
[解析] 如题图甲所示，若剪断杆，重物将向下摆动，所以 杆提供的
是拉力，如题图乙所示，若剪断杆，重物将向下摆动，所以 杆提供
的是拉力，所以将水平横梁在竖直面内缓慢转动 过程中，细杆 对
重物的作用力一直为拉力，故A正确；如题图乙所示，若将 杆换成绳，
重物将不能保持该状态，所以 杆提供的是支持力，故B错误；
对题图甲受力分析，如图所示，根据正弦定理有 ，因为
不变，所以上式比值不变， 由 增大到 ， 先减小后增
大，所以细杆对重物的作用力它减小后增大， 由 减小到 ，
先增大后减小，所以细杆 对重物的作用力先增大后减小，故C错
误，D正确.
考向五 “晾衣绳类”活结问题
如图所示，“活结”两端绳子拉力大小相等，因结点所受水平分力相等，即
，故 ，根据几何关系可知，
，若两杆间距离 不变，则上下
移动悬线结点， 不变，若两杆距离减小，则
减小，由，可知 也减小.
例6 (多选)如图所示，轻质不可伸长的晾衣绳两端分别固定在竖直杆 、
上的、 两点，悬挂衣服的衣架挂钩是光滑的，挂于绳上处于静止状态.
如果只人为改变一个条件，当衣架静止时，下列说法正确的是( )
A.绳的右端上移到 ,绳子拉力不变
B.将杆 向右移一些，绳子拉力变大
C.绳的两端高度差越小，绳子拉力越小
D.若换挂质量更大的衣服，则衣架悬挂点右移
√
√
[解析] 设两部分绳间的夹角为 ,绳子拉力为 ，由平衡条件得
，绳的右端上下移动及改变绳子两端高度差都不会改变两部
分绳间的夹角 ，故绳子拉力 不变，A正确，C错误；两绳间的夹角与
衣服的质量大小无关，D错误；将杆 向右移一
些，则两部分绳间的夹角 变大，绳子拉力
变大，B正确.
题型二 平衡中的临界和极值问题
1.临界问题
当某物理量变化时，会引起其他几个物理量的变化，从而使物体所处的平
衡状态“恰好出现”或“恰好不出现”，在问题的描述中常用“刚好”“恰能”“恰
好”等.临界问题常见的种类：
(1)由静止到运动，摩擦力达到最大静摩擦力.
(2)绳子恰好绷紧，拉力.
(3)刚好离开接触面，支持力.
2.极值问题
平衡中的极值问题，一般指在力的变化过程中的最大值和最小值问题.
3.解题方法
(1)极限法：首先要正确地进行受力分析和变化过程分析，找出平衡的临
界点和极值点；临界条件必须在变化中去寻找，不能停留在一个状态来研
究临界问题，而要把某个物理量推向极端，即极大和极小.
(2)数学分析法：通过对问题的分析，根据物体的平衡条件写出物理量之
间的函数关系(或画出函数图像)，用数学方法求极值(如求二次函数极值、
公式极值、三角函数极值).
(3)物理分析方法：根据物体的平衡条件，作出力的矢量图，通过对物理
过程的分析，利用平行四边形定则进行动态分析，确定最大值与最小值.
例7 [2025·山东潍坊三模] 一名网友发布四个篮球“抱团行走”的视频.据此，
某同学提出问题，四个完全相同的篮球相互接触，按如图所示方式叠放，
静止于水平地面.若最大静摩擦力等于滑动摩擦力，则篮球与地面间的动
摩擦因数 的最小值为( )
A. B. C. D.
√
[解析] 以四个篮球为整体，对地面的压力 ，则每个与地面接触
的篮球对地面的压力 ；对上面篮球分析，则根据对称性可知下
面三个篮球对上面篮球的作用力均相等，设为 ，与竖直方向的夹角设为
，如图所示，由几何关系可得，
，根据平衡条件有 ，则
；对下面任一篮球分析，根据平衡条件有
，解得 ，故选A.
变式 [2025·江苏苏州质检] 竖直门闩简化结构的侧视图如图所示.下方部
件可以在水平槽内向前推进.槽表面光滑；部件与部件 界面间动摩擦
因数为 ，且最大静摩擦力等于滑动摩擦力，界面与水平面呈 夹角.
已知部件质量为，重力加速度为，为了使门闩启动，施加在部件 上
的水平力 至少是( )
A. B. C. D.
√
[解析] 门闩启动即部件、刚好发生相对滑动，、 的受力如图所示，
它们都处于平衡状态，对在竖直方向上有 ；
对在水平方向上有 ；又它们间的静摩擦力大
小，解得 ，则
，选项C正确.
动态平衡问题
1.如图所示,用竖直木板挡住放在光滑斜面上的小球,受到的重力为 .整
个装置静止在水平面上.设斜面和木板对小球的弹力大小分别为和 .保
持木板竖直,在斜面的倾角 缓慢减小的过程中, 受力的变化情况是( )
A.增大,不变,减小 B.减小,不变, 增大
C.减小,不变,减小 D.不变,增大, 增大
√
[解析] 小球受到重力、斜面对小球的弹力和木板对小球的弹力 ,在
斜面的倾角 缓慢减小的过程中,的重力不变, 方向不变,由图解法知,
、 均减小,故C正确.
2.如图所示，一轻杆通过铰链固定在竖直墙上的点，轻杆的另一端 用弹
性轻绳连接，轻绳的另一端固定在竖直墙上的 点.某人用竖直向下、大小
为的拉力作用于点，静止时 构成等边三角形.下列说法正确的是
( )
A.此时弹性轻绳的拉力大小可以小于
B.此时弹性轻绳的拉力大小为
C.若缓慢增大竖直向下的拉力，则在 到达水平位置之前，
轻绳 的拉力增大
D.若缓慢增大竖直向下的拉力，则在 到达水平位置之前，
轻杆对 点的作用力减小
√
[解析] 轻杆通过铰链固定在竖直墙上的点，可知轻杆对 端的支持力方
向沿杆的方向，由于轻绳拉力、轻杆的弹力与竖直向下拉力互成
角，根据共点力平衡条件可知，此时弹性轻绳的拉力大小为 ，故A、
B错误；对 端受力分析如图所示，由相似三角形
可知，若缓慢增大竖直向下的拉力 ，
则在到达水平位置之前，由于、 长度不变，
可知轻杆对点的作用力变大；由于 长度
变大，则弹性轻绳的伸长量变大，轻绳 的拉力
增大，故C正确，D错误.
3.(多选)如图所示,柔软轻绳的一端固定,其中间某点
拴一重物,用手拉住绳的另一端,初始时,竖直且 被
拉直,与之间的夹角为 .现将重物向右上方
缓慢拉起,并保持夹角 不变,在 由竖直被拉到水平的过
程中( )
A.上的张力逐渐增大 B. 上的张力先增大后减小
C.上的张力逐渐增大 D. 上的张力先增大后减小
√
√
[解析] 解法一:设重物的质量为,绳中的张力为,绳 中的张力为
.开始时,, .由于缓慢拉起,则重物一直处于平衡状
态, 两绳张力的合力与重物的重力等大、反向.如图所示,已知角 不变,
在重物向右上方缓慢拉起的过程中,角 逐渐增大,则角 逐渐减小,
但角 不变,在三角形中,利用正弦定理得
, 由钝角变为锐角,则 先
增大后减小,选项C错误,D正确;同理知 ,在
由0变为的过程中, 一直增大,选项A正确,B错
误.
解法二:重物受到重力、绳的拉力、绳的拉力 共三个力
的作用.缓慢拉起过程中任一时刻可认为是平衡状态,三力的合力恒为0.如
图所示,由三角形定则得一首尾相接的闭合三角形,由于 且不变,则三
角形中与 的交点在一个圆弧上移动, 由图可
以看出,在由竖直被拉到水平的过程中,绳 中拉
力一直增大且恰好达到最大值,绳 中拉力先增大后
减小,故A、D正确,B、C错误.
4.(多选) 如图所示，在固定好的水平和竖直的框架上，、 两点各连接
着一根绕过光滑轻小滑轮的不可伸长细绳的两端，重物悬挂于滑轮下，处
于静止状态.若按照以下的方式缓慢移动细绳的端点，则下列判断正确的
是( )
A.只将绳的左端移向 点，拉力变小
B.只将绳的左端移向 点，拉力不变
C.只将绳的右端移向 点，拉力变小
D.只将绳的右端移向 点，拉力变大
√
√
[解析] 设滑轮两侧绳子与竖直方向的夹角为 ，绳子的长度为， 点到
点的距离为，根据几何知识和对称性，得 ,以滑轮为研究对象，
设绳子拉力大小为，根据平衡条件得 ,联立解得
,当只将绳的左端移向点时， 不变，可
知不变，故A错误，B正确；当只将绳的右端移向
点时，增加，可知 增大，故C错误，D正确.
平衡中的临界和极值问题
5.如图所示，甲，乙两柱体的截面分别为半
径均为 的圆和半圆，甲的右侧顶着一块竖
直的挡板.若甲和乙的质量相等，柱体的曲面
和挡板可视为光滑，开始两圆柱体柱心连线
A. B. C. D.
沿竖直方向，将挡板缓慢地向右移动，直到圆柱体甲刚要落至地面为止，
整个过程半圆柱乙始终保持静止，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，那么半
圆柱乙与水平面间动摩擦因数的最小值为( )
√
[解析] 分析可知，摩擦力最大时刚好不滑动，此时对应的动摩擦因数最
小.整体分析有、，设与水平面的夹角为 ，对甲，
由平衡条件得，联立解得，可知 越小， 越大，由
几何关系得， 最小为 .则，解得 ，
故选A.
6.如图所示，学校门口水平地面上有一质量为 的石墩，石墩与水平地面
间的动摩擦因数为 ，工作人员用轻绳按图示方式匀速移动石墩时，两平
行轻绳与水平面间的夹角均为 ，重力加速度为 ，则下列说法正确的是
( )
A.轻绳的合拉力大小为
B.轻绳的合拉力大小为
C.减小夹角 ，轻绳的合拉力一定减小
D.轻绳的合拉力最小时，地面对石墩的摩擦力也最
小
√
[解析] 对石墩受力分析，如图所示，设两根轻绳的拉力均为 ,根据平衡条
件，有，，且， ，联立
解得 ，选项A错误，B正确；
，其中
，，即 是一个常数，根据
三角函数知识知，减小夹角 ， 可能
减小，轻绳的合拉力 可能增大，选项C错误;
根据的表达式可知，当 时，合拉力最小，而摩擦力,当时，摩擦力最小，即合拉力最小和摩擦力最小对应的 取值不同，所以合拉力最小时，摩擦力不是最小，选项D错误.
作业手册
1.[2024·山东卷] 如图所示，国产人形机器人“天工”能
平稳通过斜坡.若它可以在倾角不大于 的斜坡上
稳定地站立和行走，且最大静摩擦力等于滑动摩擦力，
则它的脚和斜面间的动摩擦因数不能小于( )
A. B. C. D.
√
[解析] 斜坡倾角越大，则“天工”越容易下滑，只要保证“天工”在 倾角
的斜坡上不下滑，在小于 倾角的斜坡上更不会下滑，对 倾角的斜
坡上的“天工”受力分析，有 ,解得 ,B正确.
2.[2025·河北邯郸模拟] 如图所示，质量为 的小球用细线悬挂
于天花板，现用一大小为 的外力缓慢将小球拉起，
直至最高点，此时细线与竖直方向的夹角为 ，则角度 为
( )
A. B. C. D.
[解析] 当外力的方向与细线垂直时， 最大，小球位置最高，此
，则 ，故选B.
√
3.[2025·海南三亚诊断] 《墨经》中记载可以通过
车梯(一种前低后高的斜面车)提升重物.如图所示，
轻绳一端固定，另一端系在重物上，现向左推动
车梯，重物沿斜面缓慢上升，忽略重物和车梯间
的摩擦阻力，则此过程中( )
A.小球受到的轻绳拉力不变 B.小球受到的轻绳拉力增大
C.小球受到的斜面支持力不变 D.小球受到的斜面支持力增大
√
[解析] 缓慢拉升重物的过程中，重物所受重力大小方向不变，支持力的
方向不变，而轻绳拉力的方向不断变化，受力如图所示，由图可知，重物
所受支持力不断增大，轻绳拉力 不断减小，故选D.
4.[2025·山东聊城二模] 警用钢叉是一种常用的防暴器械，其前端为半圆形的
叉头，后端为握柄.现将钢叉竖直放置，半圆环的圆心为，小球 套在半圆环
上，小球套在竖直杆上，两者之间用一轻弹簧连接.初始时小球 在外力作用
下静止在竖直杆上，此时小球 静止在离半圆环最低点较近处，如图乙所示.现
使小球 缓慢上移少许，两小球均可视为质点，不计一切摩擦，在移动过程中
弹簧始终在弹性限度内，则半圆环对小球 的弹力 ( )
A.一直增大 B.一直减小 C.先增大后减小 D.先减小后增大
√
[解析] 对 球受力分析，如图所示，由几何关系可知，力的矢量三角形与
相似，则有，在小球缓慢上移过程中，逐渐减小，
保持不变，则半圆环对小球 的弹力一直增大.
5.[2025·广东中山二模] 如图所示，站在地面不动的
工人利用滑轮组将货物缓慢提起.提起过程中，工人
拉绳的方向不变，动滑轮两侧的绳子不平行，不计滑
轮摩擦力，下列说法正确的是( )
A.工人受到的重力和支持力是一对作用力与反作用力
B.工人对绳子的拉力和绳子对工人的拉力是一对平衡力
C.货物缓慢拉起过程中，绳子对动滑轮的作用力不变
D.货物缓慢拉起过程中，地面对工人的支持力变大
√
[解析] 工人受到的重力和支持力的受力物体都是工人，这两个力不是一
对作用力与反作用力，故A错误；工人对绳子的拉力和绳子对工人的拉力
是一对作用力与反作用力，故B错误；货物缓慢拉起过程中，绳子的拉力
在竖直方向的分力为货物重力的一半，绳子对动滑轮的作用力方向竖直向
上，大小等于货物的重力，故C正确；货物缓慢拉
起过程中，对货物受力分析，货物受重力 、两
根绳子的拉力，设两绳间夹角为 ，如图所示，
则，解得 ，
对工人受力分析，受重力、支持力、绳子拉力、摩擦力 ，设绳子与竖直方向的夹角为 ，如图所示，则地面对工人的支持力，货物缓慢拉起过程中， 逐渐变大，变小，又 不变，则 变小，即地面
对工人的支持力变小，故D错误.
6.如图所示，用两根等长的细绳将一匀质圆柱体
悬挂在竖直木板的点，将木板以底边 为轴
向后方缓慢转动直至水平，绳与木板之间的夹角
保持不变，忽略圆柱体与木板之间的摩擦，在转
动过程中( )
A.圆柱体对木板的压力逐渐增大
B.圆柱体对木板的压力先增大后减小
C.两根细绳上的拉力均先增大后减小
D.两根细绳对圆柱体拉力的合力保持不变
√
[解析] 设两绳子对圆柱体的拉力的合力为，绳子拉力为 ，两绳子之间
的夹角为 ，则，可得 ，画出矢量三角形，如图
所示，为圆柱体重力，为所受支持力.因为和 的夹
角保持不变，矢量三角形处在以斜边中点
(初始时 中点)为圆心的外接圆中，在将木板以底边
为轴向后方缓慢转动直至水平过程中，可判断出
先增大后减小，逐渐减小，进而推出 不断减小.
7.[2025·甘肃金昌三模] 如图甲所示，为了保持餐具安全卫生，学校食堂
将清洗干净后的碗碟等餐具侧立着竖直放置于餐具架上，其侧视图如图乙
所示，其中固定光滑直杆、 分别为两等高水平金属杆，图中碗外壁可看
作半径为 的半球形.下列说法正确的是 ( )
A.若稍微增大、间距，且碗仍保持竖直静止，碗对 杆的压力不变
B.若稍微减小、间距，且碗仍保持竖直静止，碗对 杆压力变大
C.若将质量相同、半径更大的碗竖直放置于、杆之间，碗对 杆的压
力变小
D.若将质量相同、半径更大的碗竖直放置于、杆之间，碗对 杆的压
力不变
√
[解析] 由牛顿第三定律可知,碗对杆的压力与杆对碗的弹力始终等大反向.
对碗受力分析如图所示，设杆对碗的弹力与竖直方向的夹角为， 则
根据共点力的平衡条件可得 ，，若增大、 间距，
增大，则变大，故A错误；若减小、间距，则 减小， 减小，故
B错误；将质量相同、半径更大的碗竖直放置
于、杆之间，则 减小，减小， 减小，
故C正确，D错误.
8.[2025·山东威海三模] 如图所示，工人利用定滑轮通过绳索施加拉力 ，
将一根均匀的钢梁拉起，定滑轮位于钢梁 端的正上方，拉起的过程中
钢梁绕端缓慢转动.拉力 的大小( )
A.始终不变 B.逐渐增大 C.逐渐减小 D.先增大后减小
√
[解析] 对钢梁受力分析，向下的重力，细绳的拉力以及地面对
点的作用力 (摩擦力和支持力的合力)，三个力的合力交于一点，组成力
的封闭三角形，则由相似三角形可知 ，则随
着钢梁点逐渐升高，则减小， 减小.故选C.
9.质量为 的木箱置于水平地面上，它与地面间的动摩擦因数
，取，其受到一个与水平方向成 角斜向上的拉力 ，如
图所示.为使木箱做匀速直线运动，拉力的最小值以及此时 分别是
( )
A.和 B.和 C.和 D.和
√
[解析] 解法一：对木箱受力分析，木箱受到重力、拉力 、地面的支
持力和滑动摩擦力 ，木箱做匀速直线运动，根据平衡条件得
，，又 ，联立解得
，其中，即 ，由数
学知识可知，当 ，即 时， 有最小值，最小值为
，故A正确.
解法二：四力平衡转化为三力平衡，再结合图解法分析.与的合力
方向不变，当的方向与的方向垂直时，最小，如图所示.设 与竖直
方向的夹角为 ，则 ，解得 ， 的最小值
，此时
，故A正确.
10.[2025·湖北黄山二模] 两个质量分布均匀的圆柱体、静置在顶角为
的“”形槽中，圆柱体 的截面半径小于 的截面半径，截面图如图
所示，不计一切摩擦，下列分析正确的是( )
A.若以槽底端所在的边为轴顺时针缓慢转 的过程中，
圆柱体 对槽壁的压力变大
B.若以槽底端所在的边为轴顺时针缓慢转 的过程中，
圆柱体对 的压力变大
C.若“”型槽不转动，将 换成质量不变但半径更小的圆
柱体，则圆柱体 对槽壁的压力变大
D.若“”型槽不转动，将 换成质量不变但半径更小的圆
柱体，则圆柱体对 的压力变小
√
[解析] 对受力分析，受重力、右侧挡板的支持力和 的支持力，如图甲
所示，作出三力的外接圆，若以槽底端所在的边为轴顺时针缓慢转 的
过程中，圆柱体对槽壁的压力先变大后变小，圆柱体对 的支持力变小，
根据牛顿第三定律可得，圆柱体对 的压力变小，故A、B错误；
若“”形槽不转动，将 换成质量不变但半径更小的圆柱体，小圆柱体受力
分析如图乙所示,由图甲可知，槽壁对圆柱体的支持力和对 的支持力
均变大，根据牛顿第三定律可知，对槽壁的压力和对 的压力均变大，
故C正确，D错误.
11.[2025·河南洛阳模拟] 两个完全相同的光滑小球、 和两
根等长的轻质细绳，按如图所示方式悬挂处于静止状态，
、分别为、 的球心.若从两球静止时的如图所示位置开
始，在竖直平面内缓慢向右推，直到与悬点 等高，且推
力始终沿、 连线的方向，整个过程两小球始终在同一竖
直面内，两根细绳始终伸直.则下列说法正确的是( )
A.轻绳的拉力一直减小 B.对 的弹力先增大后减小
C.推力先增大后减小 D.轻绳 的拉力先减小后增大
√
[解析] 对，因对的弹力方向与轻绳 的夹角不变，利用辅助圆法，
作出轻绳的拉力与、间弹力 的变化情况如图甲所示，由图甲
可知，的拉力一直减小，、间的弹力 一直增大，故A正确、B
错误；同理对，轻绳的拉力与(推力和、 间的弹力的合力)的
变化情况如图乙所示，由图乙可知， 一直减小，D错误；刚开始阶段有
，由于减小，增大，则增大，之后有 ，由于
增大，增大，则增大，所以 一直增大，故C错误.
12.[2025·山东济南模拟] 在“徒手抓金砖”的活动中，挑战者需要戴白手套
单手抓25公斤的梯形金砖的侧面，金砖小面朝上、大面朝下在空中保持静
止25秒以上，已知梯形金砖截面的底角为 ，手套与金砖间摩擦因数为
.如图所示，金砖在空中水平静止不动时，以下说法正确的是( )
A.人手对金砖的作用力大于重力
B.人手抓的越紧，金砖受到的摩擦力越大
C.梯形底角越小越容易抓起
D.当 时，无论抓得多紧都抓不起金砖
√
[解析] 金砖受力分析如图所示，手与金砖有两个接触面，对金砖施加两
个正压力并产生两个静摩擦力，这四个力的作用效果与重力平衡，所以手
对金砖的作用力大小等于金砖的重力，方向竖直向上，故A错误；根据受
力分析图，可知当 ，其中，即 ，手抓
不起金砖，同时 越大，即 角越大，越容易单手抓起金砖，故C、
D错误；根据受力分析图，竖直方向，有
，可知仅增大手对金砖的压
力，金砖受到手的摩擦力将增大，故B正确.
例1.D 例2.D 例3.AD 例4.C 例5.AD 例6.AB
例7.A 变式.C
基础巩固练
1.B 2.B 3.D 4.A 5.C 6.B
综合提升练
7.C 8.C 9.A 10.C
拓展挑战练
11.A 12.B专题四　动态平衡问题、平衡中的临界和极值问题
　动态平衡问题
1.动态平衡:通过控制某些物理量,使物体的状态发生缓慢的变化,而在这个过程中物体又始终处于一系列的平衡状态,在问题的描述中常用“缓慢”等语言叙述.
2.做题流程
考向一　解析法
对研究对象进行受力分析,画出受力示意图,根据物体的平衡条件列方程,得到因变量与自变量的函数表达式(通常为三角函数关系),最后根据自变量的变化确定因变量的变化.
例1　[2025·海南海口模拟] 中国人使用筷子至少有3000年的历史,在汉代时称之为“箸”,明代开始改称“筷”.某次游戏中,用筷子夹住质量为m的玻璃球,如图所示,已知两根筷子均在同一竖直平面内,小球对左侧筷子的弹力大小为F1,对右侧筷子的弹力大小为F2,忽略筷子与小球间的摩擦.若保持右侧筷子竖直,使左侧筷子与竖直方向的夹角θ逐渐减小,且小球一直静止,下列说法正确的是 (　)
A.该过程中F1逐渐减小
B.该过程中F2逐渐减小
C.该过程中F1先减小再增大
D.该过程中F1、F2均逐渐增大
考向二　图解法
在对物体进行受力分析(一般受三个力)的基础上,若一个力为恒力,另一个力方向不变或另一个力大小不变或另两个力方向的夹角不变,可画出这三个力的封闭矢量三角形来分析力的变化情况,图解法也常用于求极值问题.
例2　[2025·河南郑州二模] 如图甲所示为2025年春晚宇树机器人抛接手绢的表演,某同学对视频逐帧分析后发现,抛出后的手绢在细线拉力的作用下被回收.某段时间内,手的位置O点不变,手绢可视为做匀速直线运动,其运动轨迹如图乙中虚线段PQ所示,则手绢从P到Q运动过程中受到的 (　)
A.空气阻力先增大后减小
B.空气阻力大小不变
C.细线的拉力一直增大
D.细线的拉力一直减小
[反思感悟]
例3　(多选)[2025·湖南怀化三模] 如图甲所示,工人用叉车拉石墩时,可简化为如图乙所示的模型,∠BAC=90°,叉车臂AC与水平方向夹角为θ.不计球形石墩表面摩擦,叉车和石墩始终保持相对静止,在叉车匀速运动的过程中,若θ从0°缓慢增加为90°,叉车臂对石墩的作用力FAC和车把对石墩的作用力FAB的大小变化为 (　)
A.FAB一直增加 B.FAB先增加后减小
C.FAC先减小后增加 D.FAC一直在减小
【技法点拨】
类别 特点 图例 分析说明
动态三角形 一个力恒定,另一个力方向不变 利用一力恒定,一力方向不变化,可以作出动态三角形,分析方向变化的那个力的线段长度变化,根据不同位置判断另一力的大小变化
一个力恒定,另一个力大小不变 一个力恒定,另一个力大小不变,以恒力末端为圆心作出矢量动态三角形,分析两个变力的大小与方向
动态圆 一力恒定,另外两力方向一直变化,但两力的夹角不变 利用两力夹角不变,可以作出动态圆,恒力为圆的一条弦,根据不同位置判断各力的大小变化
考向三　相似三角形法
在三力平衡问题中,如果有一个力是恒力,另外两个力方向都变化,且题目给出了空间几何关系,多数情况下力的矢量三角形与空间几何三角形相似,可利用相似三角形对应边成比例进行计算.注意:构建三角形时可能需要画辅助线.
例4　[2025·湖北武汉模拟] 如图所示,小明用轻绳PQ拴住轻杆OQ的顶端,轻杆下端O用铰链固定在水平地面上某高度处,Q端下方悬挂重物,轻绳PQ长度为定值.PQ与水平方向夹角α=30°,OQ与水平方向夹角β=60°,下列说法正确的是 (　)
A.轻绳PQ对Q端的拉力大于重物重力
B.轻杆OQ对Q端的支持力等于重物重力的2倍
C.若小明拉住轻绳P端缓慢向右移动,轻绳PQ对Q端的拉力逐渐增大
D.若小明拉住轻绳P端缓慢向右移动,轻绳PQ对Q端的拉力逐渐减小
[反思感悟]
考向四　正弦定理法(拉密定理)
如图所示,物体受三个共点力作用而处于平衡状态,则三个力中任意一个力的大小与另外两个力的夹角的正弦成正比,即==.
例5　[2025·山东淄博模拟] 如图甲所示,重物通过两根轻质细杆AB、CD悬挂在水平横梁上,AB与CD之间的夹角为120°,连接处均为光滑的铰链.现将水平横梁在竖直面内缓慢转动90°,变成如图乙所示的状态,在此过程中下列说法正确的是 (　)
A.细杆AB对重物的作用力一直为拉力
B.细杆CD对重物的作用力一直为拉力
C.细杆AB对重物的作用力一直逐渐增大
D.细杆CD对重物的作用力先逐渐减小,后逐渐增大
[反思感悟]
考向五　“晾衣绳类”活结问题
如图所示,“活结”两端绳子拉力大小相等,因结点所受水平分力相等,即Fsin θ1=Fsin θ2,故θ1=θ2=θ,根据几何关系可知,sin θ==,若两杆间距离d不变,则上下移动悬线结点,θ不变,若两杆距离d减小,则θ减小,由2FTcos θ=mg,可知FT=也减小.
例6　(多选)如图所示,轻质不可伸长的晾衣绳两端分别固定在竖直杆M、N上的a、b两点, 悬挂衣服的衣架挂钩是光滑的,挂于绳上处于静止状态.如果只人为改变一个条件, 当衣架静止时,下列说法正确的是 (　)
A.绳的右端上移到b',绳子拉力不变
B.将杆N向右移一些,绳子拉力变大
C.绳的两端高度差越小,绳子拉力越小
D.若换挂质量更大的衣服,则衣架悬挂点右移
　平衡中的临界和极值问题
1.临界问题
当某物理量变化时,会引起其他几个物理量的变化,从而使物体所处的平衡状态“恰好出现”或“恰好不出现”,在问题的描述中常用“刚好”“恰能”“恰好”等.临界问题常见的种类:
(1)由静止到运动,摩擦力达到最大静摩擦力.
(2)绳子恰好绷紧,拉力F=0.
(3)刚好离开接触面,支持力FN=0.
2.极值问题
平衡中的极值问题,一般指在力的变化过程中的最大值和最小值问题.
3.解题方法
(1)极限法:首先要正确地进行受力分析和变化过程分析,找出平衡的临界点和极值点;临界条件必须在变化中去寻找,不能停留在一个状态来研究临界问题,而要把某个物理量推向极端,即极大和极小.
(2)数学分析法:通过对问题的分析,根据物体的平衡条件写出物理量之间的函数关系(或画出函数图像),用数学方法求极值(如求二次函数极值、公式极值、三角函数极值).
(3)物理分析方法:根据物体的平衡条件,作出力的矢量图,通过对物理过程的分析,利用平行四边形定则进行动态分析,确定最大值与最小值.
例7　[2025·山东潍坊三模] 一名网友发布四个篮球“抱团行走”的视频.据此,某同学提出问题,四个完全相同的篮球相互接触,按如图所示方式叠放,静止于水平地面.若最大静摩擦力等于滑动摩擦力,则篮球与地面间的动摩擦因数μ的最小值为 (　)
A. B.
C. D.
[反思感悟]
变式　[2025·江苏苏州质检] 竖直门闩简化结构的侧视图如图所示.下方部件A可以在水平槽内向前推进.槽表面光滑;部件A与部件B界面间动摩擦因数为μ,且最大静摩擦力等于滑动摩擦力,界面与水平面呈45°夹角.已知部件B质量为m,重力加速度为g,为了使门闩启动,施加在部件A上的水平力F至少是 (　)
A.mg
B.mg
C.mg
D.mg
专题四　动态平衡问题、平衡中的临界和极值问题
例1　D　[解析] 由牛顿第三定律可知小球对筷子的弹力大小与筷子对小球的支持力大小相等,对小球受力分析如图所示,由受力平衡有F1cos θ=F2、F1sin θ=mg,若保持右侧筷子竖直,使左侧筷子与竖直方向的夹角θ逐渐减小,由F1= ,可知该过程中F1逐渐增大,A、C错误;根据F2= ,可知若保持右侧筷子竖直,使左侧筷子与竖直方向的夹角θ逐渐减小的过程中,F2逐渐增大,B错误,D正确.
例2　D　[解析] 依题意,手绢做匀速直线运动,受力分析如图所示,其中重力竖直向下,细线拉力沿细线指向O点,空气阻力沿PQ连线由Q指向P,三力平衡,作出重力与拉力的合力示意图,由图可知,随着手绢的运动,细线的方向顺时针转动,且未转到水平方向,由图可知,细线的拉力一直减小,空气阻力一直减小,故A、B、C错误,D正确.
例3　AD　[解析] 在叉车匀速运动的过程中,对石墩进行受力分析,并将石墩所受的三个力进行平移构成一个首尾相接的矢量三角形,在θ从0°增加为90°过程中,该矢量三角形的三个顶点应落在一个圆上,如图所示,重力为圆的直径,由图可知,FAB一直增加,FAC一直在减小,故选A、D.
例4　C　[解析] 设重物的重力为mg,轻杆的弹力FT1,轻绳的弹力为FT2.选择Q点为研究对象,由于OQ为可旋转轻杆,则Q点所受杆的弹力方向沿杆指向Q,Q点所受轻绳的拉力沿绳指向P,Q点受力分析如图甲所示,由几何关系可得θ=γ=30°,OQ为角平分线,则FT2=mg,A错误;由A选项受力分析可知,FT1=2mgcos 30°=mg,B错误;过O点作PO的垂线交PQ于S,设OS为H,选择Q为研究对象,做矢量三角形如图乙所示,由几何关系可知,力的矢量三角形与几何三角形OQS相似,且满足==,轻绳P端缓慢向右移动过程中,SO减小,SQ增大,则FT2增大,C正确,D错误.
甲
乙
例5　AD　[解析] 如题图甲所示,若剪断AB杆,重物将向下摆动,所以AB杆提供的是拉力,如题图乙所示,若剪断AB杆,重物将向下摆动,所以AB杆提供的是拉力,所以将水平横梁在竖直面内缓慢转动90°过程中,细杆AB对重物的作用力一直为拉力,故A正确;如题图乙所示,若将CD杆换成绳,重物将不能保持该状态,所以CD杆提供的是支持力,故B错误;对题图甲受力分析,如图所示,根据正弦定理有==,因为α不变,所以上式比值不变,β由120°增大到210°,sin β先减小后增大,所以细杆CD对重物的作用力它减小后增大,γ由120°减小到30°,sin γ先增大后减小,所以细杆AB对重物的作用力先增大后减小,故C错误,D正确.
例6　AB　[解析] 设两部分绳间的夹角为θ,绳子拉力为FT,由平衡条件得2Fcos =mg,绳的右端上下移动及改变绳子两端高度差都不会改变两部分绳间的夹角θ,故绳子拉力FT不变,A正确,C错误;两绳间的夹角与衣服的质量大小无关,D错误;将杆N向右移一些,则两部分绳间的夹角θ变大,绳子拉力FT变大,B正确.
例7　A　[解析] 以四个篮球为整体,对地面的压力FN=4mg,则每个与地面接触的篮球对地面的压力FN'=mg;对上面篮球分析,则根据对称性可知下面三个篮球对上面篮球的作用力均相等,设为F,与竖直方向的夹角设为θ,如图所示,由几何关系可得cos θ=,sin θ=,根据平衡条件有3Fcos θ=mg,则F=mg;对下面任一篮球分析,根据平衡条件有Fsin θ≤μFN',解得μ≥,故选A.
变式　C　[解析] 门闩启动即部件A、B刚好发生相对滑动,A、B的受力如图所示,它们都处于平衡状态,对B在竖直方向上有mg +Ffsin 45°=FABcos 45°;对A在水平方向上有F=Ff'cos 45°+FBAcos 45°;又它们间的静摩擦力大小Ff≤Ffmax=μFAB,解得F≥mg,则Fmin=mg,选项C正确.专题四　动态平衡问题、平衡中的临界和极值问题 (限时40分钟)
　　　　　 　　　　　 　　　　　
1.[2024·山东卷] 如图所示,国产人形机器人“天工”能平稳通过斜坡.若它可以在倾角不大于30°的斜坡上稳定地站立和行走,且最大静摩擦力等于滑动摩擦力,则它的脚和斜面间的动摩擦因数不能小于 (　)
A. 　　B.
C. 　　D.
2.[2025·河北邯郸模拟] 如图所示,质量为m的小球用细线悬挂于天花板,现用一大小为F=0.6mg的外力缓慢将小球拉起,直至最高点,此时细线与竖直方向的夹角为θ,则角度θ为 (　)
A.30°
B.37°
C.53°
D.60°
3.[2025·海南三亚诊断] 《墨经》中记载可以通过车梯(一种前低后高的斜面车)提升重物.如图所示,轻绳一端固定,另一端系在重物上,现向左推动车梯,重物沿斜面缓慢上升,忽略重物和车梯间的摩擦阻力,则此过程中 (　)
A.小球受到的轻绳拉力不变
B.小球受到的轻绳拉力增大
C.小球受到的斜面支持力不变
D.小球受到的斜面支持力增大
4.[2025·山东聊城二模] 警用钢叉是一种常用的防暴器械,其前端为半圆形的叉头,后端为握柄.现将钢叉竖直放置,半圆环的圆心为O,小球a套在半圆环上,小球b套在竖直杆上,两者之间用一轻弹簧连接.初始时小球b在外力作用下静止在竖直杆上,此时小球a静止在离半圆环最低点较近处,如图乙所示.现使小球b缓慢上移少许,两小球均可视为质点,不计一切摩擦,在移动过程中弹簧始终在弹性限度内,则半圆环对小球a的弹力 (　)
A.一直增大
B.一直减小
C.先增大后减小
D.先减小后增大
5.[2025·广东中山二模] 如图所示,站在地面不动的工人利用滑轮组将货物缓慢提起.提起过程中,工人拉绳的方向不变,动滑轮两侧的绳子不平行,不计滑轮摩擦力,下列说法正确的是 (　)
A.工人受到的重力和支持力是一对作用力与反作用力
B.工人对绳子的拉力和绳子对工人的拉力是一对平衡力
C.货物缓慢拉起过程中,绳子对动滑轮的作用力不变
D.货物缓慢拉起过程中,地面对工人的支持力变大
6.如图所示,用两根等长的细绳将一匀质圆柱体悬挂在竖直木板的P点,将木板以底边MN为轴向后方缓慢转动直至水平,绳与木板之间的夹角保持不变,忽略圆柱体与木板之间的摩擦,在转动过程中 (　)
A.圆柱体对木板的压力逐渐增大
B.圆柱体对木板的压力先增大后减小
C.两根细绳上的拉力均先增大后减小
D.两根细绳对圆柱体拉力的合力保持不变
7.[2025·甘肃金昌三模] 如图甲所示,为了保持餐具安全卫生,学校食堂将清洗干净后的碗碟等餐具侧立着竖直放置于餐具架上,其侧视图如图乙所示,其中固定光滑直杆a、b分别为两等高水平金属杆,图中碗外壁可看作半径为R的半球形.下列说法正确的是 (　)
A.若稍微增大a、b间距,且碗仍保持竖直静止,碗对a杆的压力不变
B.若稍微减小a、b间距,且碗仍保持竖直静止,碗对b杆压力变大
C.若将质量相同、半径R更大的碗竖直放置于a、b杆之间,碗对a杆的压力变小
D.若将质量相同、半径R更大的碗竖直放置于a、b杆之间,碗对b杆的压力不变
8.[2025·山东威海三模] 如图所示,工人利用定滑轮通过绳索施加拉力F,将一根均匀的钢梁AB拉起,定滑轮位于钢梁A端的正上方,拉起的过程中钢梁绕A端缓慢转动.拉力F的大小 (　)
A.始终不变
B.逐渐增大
C.逐渐减小
D.先增大后减小
9. 质量为m=10 kg的木箱置于水平地面上,它与地面间的动摩擦因数μ=,g取10 m/s2,其受到一个与水平方向成θ角斜向上的拉力F,如图所示.为使木箱做匀速直线运动,拉力F的最小值以及此时θ分别是 (　)
A.50 N和30°
B.50 N和60°
C. N和30°
D. N和60°
10.[2025·湖北黄山二模] 两个质量分布均匀的圆柱体A、B静置在顶角为60°的“V”形槽中,圆柱体A的截面半径小于B的截面半径,截面图如图所示,不计一切摩擦,下列分析正确的是 (　)
A.若以槽底端所在的边为轴顺时针缓慢转60°的过程中,圆柱体A对槽壁的压力变大
B.若以槽底端所在的边为轴顺时针缓慢转60°的过程中,圆柱体A对B的压力变大
C.若“V”型槽不转动,将A换成质量不变但半径更小的圆柱体,则圆柱体A对槽壁的压力变大
D.若“V”型槽不转动,将A换成质量不变但半径更小的圆柱体,则圆柱体A对B的压力变小
11.[2025·河南洛阳模拟] 两个完全相同的光滑小球A、B和两根等长的轻质细绳,按如图所示方式悬挂处于静止状态,O1、O2分别为A、B的球心.若从两球静止时的如图所示位置开始,在竖直平面内缓慢向右推A,直到O2与悬点O等高,且推力始终沿O1、O2连线的方向,整个过程两小球始终在同一竖直面内,两根细绳始终伸直.则下列说法正确的是 (　)
A.轻绳OO2的拉力一直减小
B.A对B的弹力先增大后减小
C.推力先增大后减小
D.轻绳OO1的拉力先减小后增大
12.[2025·山东济南模拟] 在“徒手抓金砖”的活动中,挑战者需要戴白手套单手抓25公斤的梯形金砖的侧面,金砖小面朝上、大面朝下在空中保持静止25秒以上,已知梯形金砖截面的底角为θ,手套与金砖间摩擦因数为μ.如图所示,金砖在空中水平静止不动时,以下说法正确的是 (　)
A.人手对金砖的作用力大于重力
B.人手抓的越紧,金砖受到的摩擦力越大
C.梯形底角越小越容易抓起
D.当tan θ≥时,无论抓得多紧都抓不起金砖
专题四　动态平衡问题、平衡中的临界和极值问题
1.B　[解析] 斜坡倾角越大,则“天工”越容易下滑,只要保证“天工”在30°倾角的斜坡上不下滑,在小于30°倾角的斜坡上更不会下滑,对30°倾角的斜坡上的“天工”受力分析,有μmgcos 30°≥mgsin 30°,解得μ≥,B正确.
2.B　[解析] 当外力F的方向与细线垂直时,θ最大,小球位置最高,此sin θ==0.6,则θ=37°,故选B.
3.D　[解析] 缓慢拉升重物的过程中,重物所受重力大小方向不变,支持力的方向不变,而轻绳拉力的方向不断变化,受力如图所示,由图可知,重物所受支持力FN不断增大,轻绳拉力FT不断减小,故选D.
4.A　[解析] 对a球受力分析,如图所示,由几何关系可知,力的矢量三角形与△aOb相似,则有=,在小球b缓慢上移过程中,Ob逐渐减小,Oa保持不变,则半圆环对小球a的弹力一直增大.
5.C　[解析] 工人受到的重力和支持力的受力物体都是工人,这两个力不是一对作用力与反作用力,故A错误;工人对绳子的拉力和绳子对工人的拉力是一对作用力与反作用力,故B错误;货物缓慢拉起过程中,绳子的拉力在竖直方向的分力为货物重力的一半,绳子对动滑轮的作用力方向竖直向上,大小等于货物的重力,故C正确;货物缓慢拉起过程中,对货物受力分析,货物受重力G1、两根绳子的拉力F,设两绳间夹角为θ,如图所示,则2Fcos =G1,解得F=,对工人受力分析,受重力G2、支持力FN、绳子拉力F、摩擦力Ff,设绳子与竖直方向的夹角为α,如图所示,则地面对工人的支持力FN=G2-Fcos α=G2-,货物缓慢拉起过程中,θ逐渐变大,cos 变小,又α不变,则FN变小,即地面对工人的支持力变小,故D错误.
6.B　[解析] 设两绳子对圆柱体的拉力的合力为F,绳子拉力为FT,两绳子之间的夹角为2θ,则2FTcos θ=F,可得FT=,画出矢量三角形,如图所示,G为圆柱体重力,FN为所受支持力.因为F和FN的夹
角保持不变,矢量三角形处在以斜边中点(初始时F中点)为圆心的外接圆中,在将木板以底边MN为轴向后方缓慢转动直至水平过程中,可判断出FN先增大后减小,F逐渐减小,进而推出FT不断减小.
7.C　[解析] 由牛顿第三定律可知,碗对杆的压力与杆对碗的弹力始终等大反向.对碗受力分析如图所示,设b杆对碗的弹力F2与竖直方向的夹角为θ,则根据共点力的平衡条件可得F1=Gtan θ,F2=,若增大a、b间距,θ增大,则F1变大,故A错误;若减小a、b间距,则θ减小,F2减小,故B错误;将质量相同、半径更大的碗竖直放置于a、b杆之间,则θ减小,F1减小,F2减小,故C正确,D错误.
8.C　[解析] 对钢梁AB受力分析,向下的重力mg,细绳的拉力F以及地面对A点的作用力FN(摩擦力和支持力的合力),三个力的合力交于一点,组成力的封闭三角形,则由相似三角形可知=,则随着钢梁B点逐渐升高,则OC减小,F减小.故选C.
9.A　[解析] 解法一:对木箱受力分析,木箱受到重力mg、拉力F、地面的支持力FN和滑动摩擦力Ff,木箱做匀速直线运动,根据平衡条件得Fcos θ=Ff,Fsin θ+FN=mg,又Ff=μFN,联立解得F==,其中tan α==,即α=60°,由数学知识可知,当θ+α=90°,即θ=30°时,F有最小值,最小值为Fmin== N=50 N,故A正确.
解法二:四力平衡转化为三力平衡,再结合图解法分析.Ff与FN的合力F合方向不变,当F的方向与F合的方向垂直时,F最小,如图所示.设F合与竖直方向的夹角为β,则tan β==μ,解得β=30°,F的最小值Fmin=mgsin β=mg=50 N,此时θ=β=30°,故A正确.
10.C　[解析] 对A受力分析,A受重力、右侧挡板的支持力和B的支持力,如图甲所示,作出三力的外接圆,若以槽底端所在的边为轴顺时针缓慢转60°的过程中,圆柱体A对槽壁的压力先变大后变小,圆柱体B对A的支持力变小,根据牛顿第三定律可得,圆柱体A对B的压力变小,故A、B错误;若“V”形槽不转动,将A换成质量不变但半径更小的圆柱体,小圆柱体受力分析如图乙所示,由图甲可知,槽壁对圆柱体A的支持力和B对A的支持力均变大,根据牛顿第三定律可知,A对槽壁的压力和对B的压力均变大,故C正确,D错误.
11.A　[解析] 对B,因A对B的弹力方向与轻绳OO2的夹角不变,利用辅助圆法,作出轻绳OO2的拉力F2与A、B间弹力FN的变化情况如图甲所示,由图甲可知,OO2的拉力F2一直减小,A、B间的弹力FN一直增大,故A正确、B错误;同理对A,轻绳OO1的拉力F1与F'(推力F和A、B间的弹力的合力)的变化情况如图乙所示,由图乙可知,F1一直减小,D错误;刚开始阶段有F'=FN-F,由于F'减小,FN增大,则F增大,之后有F'=F-FN,由于F'增大,FN增大,则F增大,所以F一直增大,故C错误.
12.B　[解析] 金砖受力分析如图所示,手与金砖有两个接触面,对金砖施加两个正压力并产生两个静摩擦力,这四个力的作用效果与重力平衡,所以手对金砖的作用力大小等于金砖的重力,方向竖直向上,故A错误;根据受力分析图,可知当Ffsin θ≤FNcos θ,其中Ff=μFN,即tan θ≤,手抓不起金砖,同时tan θ越大,即θ角越大,越容易单手抓起金砖,故C、D错误;根据受力分析图,竖直方向,有2FNcos θ+G=2Ffsin θ,可知仅增大手对金砖的压力,金砖受到手的摩擦力将增大,故B正确.

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