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2026年春初二综合测评卷
数学
分值：120 分 时间：120 分钟
考试范围：八年级下册全册
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1.若分式的值为零,则x的值为( )
A. B. C. D.
2.下列四个图形中、属于中心对称图形的是( )
A. B. C. D.
3.下列定理中，没有逆定理的是( )
A.三边对应相等的两个三角形全等
B.直角三角形两锐角互余
C.互为相反数的两个数的绝对值相等
D.等腰三角形的两个底角相等
4.如图，经过直线外一点C作这条直线的垂线，作法如下：
(1)任意取一点K，使点K和点C在的两旁.
(2)以点C为圆心，长为半径作弧，交于点D和E.
(3)分别以点D和点E为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点F.
(4)作直线.
则直线就是所求作的垂线.
根据以上尺规作图过程，若将这些点作为三角形的顶点，其中不一定是等腰三角形的为( )
A. B. C. D.
5.若,则下列不等式不一定成立的是( )
A. B. C. D.
6.如图,在中,,,将绕点B逆时针旋转得到,当点C的对应点恰好落在边上时,的度数是( )
A. B. C. D.
7.若不等式组无解,则实数m的取值范围是( ).
A. B. C. D.
8.如图,在中,是的一条角平分线,是的边上的高,,相交于点O.若,,则的度数是( )
A. B. C. D.
9.如图，小宣在一张三角形纸片上放置三根互相平行的木棍，其中两根木棍经过三角形的顶点B，C，测得，，，则的形状为( )
A.等腰三角形 B.等腰直角三角形
C.等边三角形 D.钝角三角形
10.如图，在平行四边形中，，，，E是的中点，连接，平分，且，则的长为( )
A. B.5 C. D.7
二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分.请把答案填在题中横线上）
11.分解因式：_________________.
12.直线与直线在同一平面直角坐标系中的图象如图所示,则关于的不等式的解集为_____________.
13.如图,在中,,.将沿向右平移,得到,与交于点D,连接,若,,则图中阴影部分的面积为_____________.
14.如图所示的六边形花环是用六个全等的直角三角形拼成的，则等于______度.
15.如图，是的角平分线，，垂足为F，，的面积为50，则的面积为_____.
三、解答题（本大题共8小题，共计75分，解答题应写出演算步骤或证明过程）
16.（10分）(1)解不等式组：，并写出它的最大整数解；
(2)先化简，再求值：.其中.
17.（8分）随着旅游旺季的来临，某酒店入住客人不断增多.现酒店需要订购一批两种规格的洗漱用品，经理计划采购A，B两款洗漱用品共24箱（采购数量只能为整箱）.已知某公司报价A款洗漱用品1700元/箱，B款洗漱用品1300元/箱.若本次采购预算最高为32400元，则共有几种采购方案？并写出具体方案.
18.（8分）如图，点A、C、D、E在同一条直线上，，，且，，求证：.
19.（8分）某地对一段长达2400米的河堤进行加固，在加固800米后，采用新的加固模式，每天的工作效率比原来提高，用26天完成了全部加固任务.
(1)原来每天加固河堤多少米？
(2)若承包商原来每天支付工人工资为1500元，提高工作效率后每天支付给工人的工资增加了，完成整个工程后承包商共支付工人工资多少元？
20.（9分）如图,在平面直角坐标系中,的顶点均为格点,点A的坐标为.
(1)画出绕点C顺时针旋转后的图形,并写出的坐标；
(2)将先向右平移4个单位,再向下平移4个单位得到,画出,并写出的坐标；
(3)若可以看作绕某点旋转得到,直接写出旋转中心D的坐标、旋转方向和旋转角度.
21.（9分）阅读材料：把形如的二次三项式（或其中一部分）配成完全平方式的方法叫配方法.配方法的基本形式是完全平方公式的逆写,即.请根据阅读材料解决下列问题：
(1)分解因式：________；
(2)若,求的值；
(3)若a、b、c分别是的三边长,且,试判断的形状,并说明理由.
22.（11分）如图，在中，点E是边的中点，连接并延长，与DC的延长线交于F.
(1)求证：四边形是平行四边形；
(2)若平分，，求的周长.
23.（12分）如图，在等腰中，，，是的高，是的角平分线，与交于点P.当的大小变化时，的形状也随之改变.
(1)当时，的度数是___；
(2)设，，用含α的代数式表示β；
(3)当是等腰三角形时，直接写出的度数.2026年春初二综合测评卷
数学·答案及解析
1.答案：C
解析：分式的值为零,
分子,且分母,
由得,即,
由得,
综上,.
2.答案：C
解析：A.不能找到这样的一个点,使图形绕某一点旋转度后和原图形完全重合,故选项不符合题意；
B.不能找到这样的一个点,使图形绕某一点旋转度后和原图形完全重合,故选项不符合题意；
C.能找到这样的一个点,使图形绕某一点旋转度后和原图形完全重合,故选项符合题意；
D.不能找到这样的一个点,使图形绕某一点旋转度后和原图形完全重合,故选项不符合题意.
3.答案：C
解析：A选项，逆命题为全等的两个三角形的三边对应相等，正确，不符合题意；
B选项，逆命题为两锐角互余的三角形是直角三角形，正确，不符合题意；
C选项，逆命题为绝对值相等的两个数互为相反数，错误，符合题意；
D选项，逆命题为如果一个三角形有两个角相等，那么它是等腰三角形，正确，不符合题意.
故选C.
4.答案：A
解析：由作图过程可得：，，
所以，是等腰三角形的有，，；不一定是等腰三角形.
故选：A
5.答案：D
解析：对于选项A：不等式两边同时加同一个数,不等号方向不变,
一定成立,不符合要求；
对于选项B：不等式两边同时乘以同一个负数,不等号方向改变,
一定成立,不符合要求；
对于选项C：不等式两边同时减去同一个数,不等号方向不变,
一定成立,不符合要求；
对于选项D：举反例：当,时,满足,
但,,此时,因此不一定成立,符合要求.
6.答案：C
解析：由旋转的性质可知：,
,,
；
故选C.
7.答案：A
解析：,
由①得,
由②得,
不等式组无解,
,
解得.
8.答案：C
解析：,,
,
平分,
,
,
,
,
,
故选：C.
9.答案：C
解析：如图，根据题意可得：，
∴，，
∴，
∵，，
∴
∴，
∴，
∴为等边三角形.
故选：C.
10.答案：C
解析：如图，延长，交于点H，
∵在平行四边形中，，，，
，
∵平分，
，
在和中，
，
，
，，
，
∵E是的中点，，
，
故选：C.
11.答案：
解析：
.
12.答案：
解析：由函数图象可得,直线与直线的交点的横坐标为,
的不等式的解集为.
13.答案：18
解析：将沿向右平移,得到,与交于点D,连接,若,,
,,,
,
.
14.答案：30
解析：由题意六边形花环是用六个全等的直角三角形拼成，
可得，，
∴，
同理可证小六边形其他的边也相等，即里面的小六边形也是正六边形，
∴∠1=，
∴，
∴，
故答案为：30.
15.答案：75
解析：作，垂足为M，如图，
是的角平分线，，，
，
，
的面积为50，
，
，
故答案为：75.
16.答案：(1)，3；
(2)，
解析：(1)，
解不等式①，得，
解不等式②，得，
故不等式组的解集为，
则其最大的整数解是3.
(2)原式.
当时，原式.
17.答案：有三种方案，详见解析
解析：设该酒店购买A款洗漱用品x箱，B款洗漱用品箱，
根据题意可得：，
解得：，
∵x为箱数，
∴x为整数，
∴，2，3
∴共有三种方案，分别为：
方案一：购买A款洗漱用品1箱，B款洗漱用品23箱；
方案二：购买A款洗漱用品2箱，B款洗漱用品22箱；
方案三：购买A款洗漱用品3箱，B款洗漱用品21箱.
18.答案：见解析
解析：证明：，，
∴，
，
∴，即.
在和中，
，
∴.
19.答案：(1)80米；(2)43800元
解析：(1)设原来每天加固河堤a米，则采用新的加固模式后每天加固米.
根据题意得：，
解这个方程得：
经检验可知，是原分式方程的根，并符合题意；
答：原来每天加固河堤80米；
(2)（米）
所以，承包商支付给工人的工资为：（元）.
20.答案：(1)画图见解析,点的坐标为
(2)画图见解析,点的坐标为
(3)点D的坐标为,顺时针,
解析：(1)如图所示,即为所求,由图可得,点的坐标为；
(2)如图所示,即为所求,由图可得,点的坐标为；
(3)如图所示,点D即为旋转中心,点D的坐标为,可以看作绕点D顺时针旋转得到.
21.答案：(1)
(2)2
(3)为等边三角形,见解析
解析：(1),
故答案为：；
(2),
,
,,
,,
,
的值为2；
(3),
,
,
,
,,,
,,,
,
为等边三角形.
22.答案：(1)见详解
(2)24
解析：（1）证明：∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴，
在与中，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形；
（2）解析：∵，
∴，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∴为等边三角形，
∵四边形是平行四边形，
∴ ，
∵，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴的周长是：.
23.答案：(1)；
(2)；
(3)或.
解析：(1)∵，，
∴，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∴；
(2)∵，，
∴，
由(1)可得：，，
∴，
即β与α的关系式为；
(3)设，，
①若，
则，
而，，
则有：，
由(2)知，
∴，
解得：，
∴；
②若，
则，
由①得：，
∴
∵，
∴，
解得：，
∴；
③若，
则，，
由①得：，
∴，
∵，
∴，
解得：，不符合题意，
综上：当是等腰三角形时，的度数为或.

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