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23.4 一次函数
第二十三章 一次函数
23.4.1 一次函数与实际问题（分段函数）
学习目标
认识分段函数，能从实际问题中提取关键信息，建立分段函数模型解决问题.
课堂导入
在日常生活中，很多问题中变量之间的对应关系可以用一次函数来刻画. 在运用一次函数解决实际问题时，一般先将实际问题抽象为一次函数问题，然后根据条件求得一次函数的解析式，再结合一次函数的图象和性质分析并解决问题.
知识点1　单一函数
【例1】如图是某种蜡烛在燃烧过程中高度y(单位：cm)
与时间x(单位：h)之间关系的图象，解答下列问题：
(1)求这种蜡烛在燃烧过程中高度y与时间x之间的函数解
析式；
解：(1)设y与x之间的函数解析式为y＝kx
＋b(k≠0).
∴y与x之间的函数解析式为y＝－8x＋15.
【例1】如图是某种蜡烛在燃烧过程中高度y(单位：cm)
与时间x(单位：h)之间关系的图象，解答下列问题：
【变式1】(新教材人教P123T3改编)某地长途汽车客运公
司规定， 旅客可随身携带一定质量的行李，如果超过规
定，则需要购买行李票，行李票费用y(单位：元)是行李
质量x(单位：kg)的一次函数，其图象如图所示.
求：(1)y与x之间的函数关系式；
解：(1)设y与x之间的函数关系式为y＝
kx＋b(k≠0).
答：旅客最多可免费携带行李30 kg.
【变式1】(新教材人教P123T3改编)某地长途汽车客运公
司规定， 旅客可随身携带一定质量的行李，如果超过规
定，则需要购买行李票，行李票费用y(单位：元)是行李
质量x(单位：kg)的一次函数，其图象如图所示.
求：(2)旅客最多可免费携带行李的千克数.
新知探究
知识点 分段函数
例 某玉米种子的价格为40元/kg. 若一次购买不超过2kg的种子，其价格不变；若一次购买超过2kg的种子，超过部分的种子价格打六折：
(1)写出付款金额关于购买量的函数解析式，并画出函数图象：
(2)一次购买4kg玉米种子，需付款多少元？
分析：付款金额与种子价格有关.而种子价格不是固定不变的,它与购买量有关.因此,写函数解析式与画函数图象时,应分0≤x≤2和x>2讨论.
新知探究
知识点 分段函数
解：(1)设购买量为 x kg，付款金额为 y 元.
当0≤x≤2时，种子价格为40元/kg，函数解析式为y=40x；
当x＞2时，购买的种子中有2kg按40元/kg计价，其余的(x-2)kg（即超过2kg部分按24元/kg（即六折）计价，
函数解析式为y=40×2+24(x-2)=24x+32.
函数图象如图所示.
O 1 2 3 x/kg
y元
100
80
60
40
20
y=40x
y=24x+32
新知探究
知识点 分段函数
例 某玉米种子的价格为40元/kg. 若一次购买不超过2kg的种子，其价格不变；若一次购买超过2kg的种子，超过部分的种子价格打六折：
(2)一次购买4kg玉米种子，需付款多少元？
(2)因为4>2，
所以y=24×4+32=128.
因此，一次购买4kg种子，需付款128元.
新知探究
知识点 分段函数
用解析式法表示分段函数的关键
(1)分段函数是一个函数，而非多个函数，其自变量在不同范围内解析式不同；
(2)表示函数关系的解析式，每一段后面必须加上自变量的取值范围.分段函数中，自变量在不同的取值范围内的解析式不同，在解决问题时，要特别注意自变量的取值范围的变化.分段函数的应用面广，在水费、电费、商品促销等领域都有广泛应用.
知识点2　分段函数
【例2】如图表示水箱中的水量y(单位：L)与进水时间
x(单位：min)的函数关系.
(1)求y与x之间的函数关系式；
解：(1)当0≤x≤10时，设y＝k1x(k1≠0).
把(10，50)代入，得k1＝5. ∴当0≤x≤10时，
y＝5x；当x＞10时，设y＝k2x＋b(k2≠0).
把(10，50)，(20，150)代入，
(2)当进水多少分钟时，水箱的水量为100 L？
解：(2)当y＝100时，10x－50＝100，
解得x＝15.
∴进水15 min时，水箱的水量为100 L.
解：(2)当y＝100时，10x－50＝100，
解得x＝15.
∴进水15 min时，水箱的水量为100 L.
【例2】如图表示水箱中的水量y(单位：L)与进水时间
x(单位：min)的函数关系.
【变式2】(新教材人教P124T9改编)如图，小卓购买一种
笔记本所付金额y(单位：元)与购买量x(单位：本)之间的
函数图象由线段OB和射线BE组成.
(1)分别求线段OB和射线BE的函数关系式；
解：(1)当0≤x≤4时，
设y＝k1x(k1≠0).
把(4，20)代入，得k1＝5.
∴线段OB函数关系式为
y＝5x.
当x＞4时，设y＝k2x＋
b(k≠0).
把(4，20)和(10，44)代入，
解：(1)当0≤x≤4时，设y＝k1x(k1≠0).
把(4，20)代入，得k1＝5. ∴线段OB函数关
系式为y＝5x.当x＞4时，设y＝k2x＋b(k≠0).
把(4，20)和(10，44)代入，
∴射线BE的函数关系式为y＝4x＋4.
(2)一次购买8本笔记本比分8次购买(每次购买1本)可节省
多少钱？
解：(2)当x＝8时，y＝4×8＋4＝36.
∴可节省5×8－36＝4(元).答：可节省4元.
解：(2)当x＝8时，y＝4×8＋4＝36.
∴可节省5×8－36＝4(元).答：可节省4元.
【变式2】(新教材人教P124T9改编)如图，小卓购买一种
笔记本所付金额y(单位：元)与购买量x(单位：本)之间的
函数图象由线段OB和射线BE组成.
新知探究
知识点 分段函数
跟踪训练 某品牌笔记本单价为5 000元/台，若一次购买不超过3台，价格不变；若一次购买超过 3台，超过部分的笔记本价格打七折．则付款金额y(元)关于购买台数x(台)的函数解析式为
________________________．
课堂评价
1. 某医药研究所开发了一种新药，在试验药效时发现，如果成人按规定剂量服用，那么服药后2小时血液中含药量最高，达每毫升6微克，接着逐渐减少，10小时时血液中含药量为每毫升3微克，每毫升血液中含药量y(单位：微克/毫升)随时间x(单位：小时)的变化如图所示.
(1)分别求出0≤x≤2和x＞2时，y与x之间的函数解析式；
解：(1)设y与x之间的函数解析式是y＝kx＋b(k≠0).
当0≤x≤2时，把(0，0)，(2，6)代入，
(2)如果每毫升血液中含药量为4微克或4微克以上时，在
治疗疾病时是有效的，那么这个有效时间是多长？
答：有效时间是6小时.
1. 某医药研究所开发了一种新药，在试验药效时发现，如果成人按规定剂量服用，那么服药后2小时血液中含药量最高，达每毫升6微克，接着逐渐减少，10小时时血液中含药量为每毫升3微克，每毫升血液中含药量y(单位：微克/毫升)随时间x(单位：小时)的变化如图所示.
2. (易错题)(新教材人教P141T8)一个有进水管与出水管
的容器，从某时刻开始4 min内只进水不出水，在随后的
8 min内既进水又出水，每分的进水量和出水量是两个常
数，容器内的水量y(单位：L)与时间x(单位：min)之间
的关系如图所示.
(1)当0≤x≤4时，求y关于x的函数解析式；
解：(1)设y关于x的函数解析式为
y＝k1x(k1≠0).
把(4，20)代入，得k1＝5.
∴当0≤x≤4时，y＝5x.
解：(1)设y关于x的函数解析式为
y＝k1x(k1≠0).
把(4，20)代入，得k1＝5.
∴当0≤x≤4时，y＝5x.
(2)当4＜x≤12时，求y关于x的函数解析式；
解：(2)设y关于x的函数解析式为y＝
k2x＋b(k2≠0).把(4，20)，(12，30)代入，
2. (易错题)(新教材人教P141T8)一个有进水管与出水管
的容器，从某时刻开始4 min内只进水不出水，在随后的
8 min内既进水又出水，每分的进水量和出水量是两个常
数，容器内的水量y(单位：L)与时间x(单位：min)之间
的关系如图所示.
解：(3)进水：20÷4＝5(L).
设每分钟出水m L.
2. (易错题)(新教材人教P141T8)一个有进水管与出水管
的容器，从某时刻开始4 min内只进水不出水，在随后的
8 min内既进水又出水，每分的进水量和出水量是两个常
数，容器内的水量y(单位：L)与时间x(单位：min)之间
的关系如图所示.
3. (应用意识)陈老师开车从甲地前往丙地，途中经过乙地(三地在同一条直线上)，汽车在行驶过程中都是匀速行驶，如图是陈老师离乙地的距离s(单位：km)与行驶时间t(单位：h)之间的函数图象.
(1)求s(单位：km)与t(单位：h)之间的函数解析式；
解：(1)当0≤t≤1时，设s与t的函数解析
∴s与t的函数解析式为s＝－60t＋60(0≤t≤1).当1＜t≤4时的函数解析
∴s与t的函数解析式为s＝60t－60(1＜t≤4).综上所述，s与t之间的
解：(2)当s＝40时，
有－60t＋60＝40或60t－60＝40，
3. (应用意识)陈老师开车从甲地前往丙地，途中经过乙地(三地在同一条直线上)，汽车在行驶过程中都是匀速行驶，如图是陈老师离乙地的距离s(单位：km)与行驶时间t(单位：h)之间的函数图象.
随堂练习
某实践小组观察记录了莴笋的成长过程，如图表示的是一种莴笋的高度y(cm)与观察时间x(天)之间的函数图象．由图象可知，这种莴笋可能达到的最大高度是________．
32 cm
随堂练习
为加强居民节水意识，某市采用如下收费标准：每月用水量不超过13立方米时，每立方米4元，超过13立方米时，超出的部分每立方米6元．设某用户月用水量为x立方米，水费为y元．
(1)y关于x的函数解析式为______________；
(2)若该用户某月预算水费为58元，实际水费为50元，则该用户本月实际用水比预算少了多少立方米？
随堂练习
解：13×4＝52(元)，50<52<58，
∴该用户本月预算用水超过13立方米，
实际用水不超过13立方米．
当y＝58时，6x－26＝58，解得x＝14；
当y＝50时，4x＝50，解得x＝12.5. 14－12.5＝1.5(立方米)．
答：该用户本月实际用水比预算少了1.5立方米．
(2)若该用户某月预算水费为58元，实际水费为50元，则该用户本月实际用水比预算少了多少立方米？
生态体验园推出了甲、乙两种消费卡，设入园次数为x，选择甲种消费卡所需费用为y1元，选择乙种消费卡所需费用为y2元，y1，y2与x之间的函数关系如图1所示.
（1）分别求出y1，y2关于x的函数解析式；
图1
随堂练习
图1
随堂练习
（2）当入园次数在6~21（含6和21）时，选择哪种消费卡更合算？
图1
当y1=y2时，即30x=20x+150.解得x=15.
根据图象可知，当入园次数在6~15（包含6）时，选择甲种消费卡更合算；当入园次数为15时，选择两种消费卡所需费用一样，任选其一即可；当入园次数在15~21（包含21）时，选择乙种消费卡更合算.
随堂练习
课堂小结

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