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云南昭通市正道中学等校2025-2026学年高二下学期5月联考数学试题
一、单项选择题：本大题共8小题，共40分。
1.已知集合，则（ ）
A. B. C. D.
2.已知复数满足，则的虚部为（　　）
A. B. C. D.
3.已知向量，，若，则（ ）
A. -1 B. 2 C. 7 D. 3
4.在直三棱柱中，，，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）
A. B. C. D.
5.某生态保护区定期监测野生水鸟种群数量，发现种群数量y（单位：只）与监测时间t（单位：年，t≥0）近似满足函数关系y=200·a2t（a＞0）．已知监测第2年时，种群数量为3200只，则当种群数量达到12800只时，需要的监测时间约为
A. 2.5年 B. 3年 C. 3.5年 D. 4年
6.已知函数f（x）=xlnx-ax2的图象在点（1，f（1））处的切线与直线x+y+1=0垂直，若f（x）≥m在（0，+∞）上恒成立，则m的最大值为
A. B. C. -e D. e
7.已知，则（ ）
A. B. C. D.
8.已知双曲线C：的左、右焦点分别为F1（-c，0），F2（c，0），过F2向一条渐近线作垂线，垂足为P．若△F1PF2的面积为，则双曲线C的离心率为
A. B. 2 C. 3 D.
二、多项选择题：本大题共3小题，共18分。
9.某学校为调查学生每周体育锻炼时长，随机抽取100名学生进行问卷调查，将所得数据整理得到频率分布直方图（每组数据包含左端点，不包含右端点），则下列说法正确的有
A. 直方图中a的值为0.15
B. 估计该校学生每周体育锻炼时长的中位数为4.3小时
C. 估计该校学生每周体育锻炼时长的平均数为5.3小时
D. 估计有80％的学生每周体育锻炼时长不低于6小时
10.函数的图象为C，下列选项不正确的是
A. 图象C关于直线对称
B. 图象C可由y=2sin2x的图象向右平移个单位长度得到
C. 函数f（x）在上单调递减
D. 若f（x1）=f（x2）=0，则|x1-x2|的最小值为π
11.已知定义在R上的奇函数f（x）满足f（x+2）=-f（x），且当时，f（x）=x2-2x，则下列说法正确的有
A. f（x）是周期为4的周期函数
B. f（x）的图象关于直线x=-1对称
C. f（0）+f（1）+f（2）+…+f（2026）=0
D. f（x）在（3，4）上单调递减
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.抛物线的焦点到准线的距离是
13.展开式中的常数项为 ．
14.在中，内角，，的对边分别为，，，已知，，，则 ； .
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知数列是公差不为0的等差数列，，且，，成等比数列.
(1)求数列的通项公式；
(2)若，求数列的前项和；
(3)证明：对任意恒成立.
16.(本小题15分)
如图，在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，平面，，为的中点.
(1)证明：平面.
(2)求点到平面的距离.
(3)求直线与平面所成角的正弦值.
17.(本小题15分)
某高校自主招生面试设置了3道必答题，每道题答对得10分，答错得0分；设置了2道选答题，考生可从中任选1道作答，答对得20分，答错得0分．已知考生甲答对每道必答题的概率均为，答对每道选答题的概率均为，各题答题结果相互独立．
（1）求考生甲恰好答对2道必答题的概率；
（2）记考生甲的总得分为X，求X的分布列和数学期望E（X）．
18.(本小题17分)
已知函数.
(1)若在上单调递增，求的取值范围.
(2)若存在两个极值点，证明：.
19.(本小题17分)
已知椭圆的离心率为，且过点.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)不经过点的直线与椭圆相交于，两点，已知直线与直线的斜率之和为，证明：直线过定点.
1.【答案】A
2.【答案】C
3.【答案】C
4.【答案】D
5.【答案】B
6.【答案】A
7.【答案】D
8.【答案】C
9.【答案】AC
10.【答案】BCD
11.【答案】ABD
12.【答案】
13.【答案】240
14.【答案】 ； ； ； ；
15.【答案】解：（1）设数列的公差为，
因为，，成等比数列，所以.
因为，所以，解得或（舍去），
因此的通项公式为.
（2）由（1）知.
因为等比数列的前项和为，
等差数列的前项和为，
所以.
(2)
(3)因为，
所以.
因为，所以，故.

16.【答案】解：(1)连接交于点，连接.
因为底面是正方形，所以为的中点.
因为为的中点，所以是的中位线，.
因为平面，平面，所以平面.
（2）以为原点，以，，的方向分别为，，轴的正方向，建立空间直角坐标系，
则，，，，，.
设平面的法向量为，因为，，
所以令，得.
因为，所以点到平面的距离.
（3）结合（2）中坐标系，知，
设直线与平面所成的角为，则，
即直线与平面所成角的正弦值为.

17.【答案】解：(1)3道必答题中恰好答对2道的概率P=(1-)=3=.
(2)因为必答题的得分可能为0,10,20,30,选答题的得分可能为0,20,
所以总得分X的可能取值为0,10,20,30,40,50.
若必答题全错且选答题答错,则P(X= 0)=(1-) =;
若只答对1道必答题且选答题答错,
则P(X=10)=(1-)=，
若只答对2道必答题且选答题答错或必答题全错且选答题答对,
则P(X=20)=(1-)(1-)+=;
若答对3道必答题且选答题答错或只答对1道必答题且选答题答对,
则P(X=30)=(1-)+=;
若只答对2道必答题且选答题答对,
则P(X=40)=(1-)=;
若答对3道必答题且选答题答对,
则P(X= 50)==.
因此,X的分布列为
X 0 10 20 30 40 50
P
所以E(X)=0+10+20+30+40+50=30.
18.【答案】解：（1）若在上单调递增，则恒成立.
因为，所以对恒成立.
令，则.令，得.
当时，，单调递减；
当时，，单调递增.
所以，故的取值范围为.
(2)证明：若存在两个极值点，，则有两个不同的实根，，即.
令，由（1）知在上单调递减，在上单调递增，所以.要证，即证.
因为，，且在上单调递减，所以只需证.
因为，所以只需证，即证，整理得.
令，则，当且仅当时，等号成立，所以在上单调递增，所以，
所以，即，故.

19.【答案】解：（1）因为椭圆的离心率为，且过点，所以
因为，所以，，
所以椭圆的标准方程为.
(2)证明：当直线的斜率存在时，设直线的方程为，，.
因为直线不经过点，所以.
由方程组消去整理得，
则，.
因为直线与直线的斜率之和为-1，
所以
，
整理得，
所以，
化简得.
因为，所以，
代入直线的方程得，所以直线恒过定点（4，1）.
当直线的斜率不存在时，设直线的方程为，代入椭圆的方程得，
由，解得，但是直线与椭圆没有交点，所以斜率不存在时无符合条件的直线.
综上所述，直线过定点（4，1）.

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