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2025-2026学年天津市津南海教园高一（下）期中数学试卷
一、单项选择题：本大题共9小题，共36分。
1.若（x-i）i=y+5i（x,y∈R），则x+y=（　　）
A. 6 B. 5 C. -6 D. -5
2.若向量=（x+1，2）和向量=（1，-1）垂直，则|+|=（）
A. B. C. D.
3.设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a,b,c,那么acosA=bcosB是a=b的（　　）条件.
A. 充分而不必要 B. 必要而不充分 C. 充要 D. 既不充分也不必要
4.在三角形ABC中，若AB=4，AC=2，∠B=60°，则BC=（　　）
A. 2 B. 3 C. 4 D. 6
5.如图，已知等腰三角形O'A'B'是一个平面图形的直观图，O'A'=A'B'，斜边O'B'=2，则这个平面图形的面积是（　　）
A.
B. 1
C.
D.
6.已知圆锥的底面积为π，它的侧面展开图是一个半圆，则此圆锥的母线长为（　　）
A. B. C. 1 D. 2
7.l,m为两条不同的直线，α，β为两个不同的平面，下列描述中正确的是（　　）
A. 若l∥α，m∥α，则l∥m B. 若l∥α，l∥β，则α∥β
C. l∥α，m α，则l∥m D. 若α∥β，l∥α，l β，则l∥β
8.如图所示，在△ABC中，=，=3，若=，=，则=（　　）
A.
B.
C.
D.
9.如图，在三棱锥P-ABC中，PA⊥平面ABC，，AC=6，PA=4，则三棱锥P-ABC外接球的表面积为（　　）
A.
B. 16π
C.
D. 64π
二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。
10.i是虚数单位，复数= _.
11.已知，=（-2），则与的夹角为______．
12.在△ABC中，若c=3，，其面积为，则a+b= ______.
13.已知四棱锥P-ABCD底面是边长为1的正方形，顶点在底面的投影为底面的中心，若该四棱锥的体积为，则它的表面积为 .
14.已知一个圆台的上、下底面半径分别为1，2，高为，该圆台的表面积是______．
15.在△ABC中，，则= ；若，点E在线段BD上，则的最大值为 .
三、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.(本小题12分)
已知平面向量，，，且，.
（1）求和；
（2）若，，求向量；
（3）求与向量的夹角的大小.
17.(本小题12分)
在中国传统文化中，灯笼作为节日和庆典的象征，常常蕴含着丰富的美学与数学设计；灯笼不仅要考虑美观，还要具备结构上的合理性和稳定性；现在有一盏独特的国风灯笼，它的外形结构包括多个几何体，具体设计如下：
顶部装饰：灯笼的顶部是一个正四棱台，上底边长为2分米，下底边长为4分米，高为2分米；
核心结构：灯笼的核心部分是一个正四棱柱，底面边长为3分米，高为6分米.
（1）求灯笼总体积；（单位：分米3）
（2）已知灯笼上下底不糊纸，所以正四棱台侧面积与正四棱柱侧面积的和就是灯笼所需纸张的总面积，求灯笼所需纸张的总面积.（单位：分米2）
18.(本小题12分)
如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，E为CC1的中点.
（1）求证：AC1∥平面BDE；
（2）当点F在棱DD1的中点时，求证：平面AC1F∥平面BDE.
19.(本小题12分)
在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a,b,c,且a=3，5asinC=3csinB，.
（Ⅰ）求c的值；
（Ⅱ）求sinB的值；
（Ⅲ）求的值.
20.(本小题12分)
如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1⊥底面ABC，且△ABC为正三角形，AA1=AB=6，D为AC的中点．

（1）求证:直线AB1∥平面BC1D；
（2）求三棱锥C-BC1D的体积．
（3）三棱柱ABC-A1B1C1的顶点都在一个球面上，求该球的体积.
1.【答案】A
2.【答案】A
3.【答案】B
4.【答案】D
5.【答案】A
6.【答案】D
7.【答案】D
8.【答案】B
9.【答案】D
10.【答案】1+3i
11.【答案】120°
12.【答案】
13.【答案】3
14.【答案】11π
15.【答案】4
-10

16.【答案】解：（1）因为，则3x-36=0，所以x=12．
因为，则3×4+4y=0，所以y=-3．
所以，；
（2）因为，，
所以；
（3）设与向量的夹角为θ，
则，
因为θ∈[0，π]，所以，即与的夹角为．
17.【答案】分米3 分米2
18.【答案】证明见解析；
证明见解析．
19.【答案】（I）；
（II）；
（III）．
20.【答案】（1）证明：连接B1C交BC1于点O，连接OD，则点O为B1C的中点，

∵D为AC中点，得DO为△AB1C中位线，
∴AB1∥OD，
∵OD 平面BC1D，AB1 平面BC1D，
∴直线AB1∥平面BC1D；
（2）解：∵在正三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1=AB=6，
∴=；
（3）解：设底面三角形的中心为G，则AG=2，
再设三棱柱ABC-A1B1C1的外接球的球心为M，
则球的半径为MA=．
∴球的体积为．
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