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2025-2026学年四川省广安市华蓥中学高一（下）期中数学试卷
一、单项选择题：本大题共8小题，共40分。
1.设z=i2+i,则z的虚部是（　　）
A. 1 B. i C. -1 D. -i
2.已知：向量=（1，2），=（-2，m），若∥，则实数m的值为（　　）
A. 4 B. -4 C. 1 D. -1
3.在△ABC中，已知a=3，b=4，c=5，则cosA=（　　）.
A. B. C. D.
4.如图，△O′A′B′是水平放置的△OAB用斜二测画法画出的直观图，其中O′A′=O′B′=2，则△OAB的面积是（　　）
A. 1
B. 2
C. 4
D. 8
5.如图，若，，，点B是线段AC上靠近C的三等分点，则（　　）
A.
B.
C.
D.
6.如图，圆锥PO的底面直径和高均是2，过PO的中点O′作平行于底面的截面，以该截面为底面挖去一个圆柱，则剩下几何体的体积是（　　）
A.
B.
C.
D.
7.在△ABC中，A=30°，AC=4，BC=a,若△ABC仅一个解时，则（　　）
A. a≥4 B. a=2 C. a≥4或a=2 D. 无法确定a的范围
8.在△ABC中，点M，N在边BC上，AM为边BC上中线，AN为∠A平分线，若，，△ABC的面积等于，则AN=（　　）
A. B. C. D.
二、多项选择题：本大题共3小题，共18分。
9.下列图形是正方体表面展开图的是（　　）
A. B.
C. D.
10.△ABC中b=3，c=2，，则（　　）
A. a=3 B. ∠C的角平分线交AB于D，则
C. D. 在上的投影向量是
11.如图，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为6，P，M，N分别为AA1，AD，DD1的中点，则（　　）
A. 直线B1P∥平面BMN
B. 平面B1PD1∥平面BMN
C. 三棱锥P-BMN的体积为18
D. 平面BMN截正方体所得的截面是等腰梯形
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a,b,c.若a=3，b=5，，则sinA= .
13.若一个半径为的球与一个高为1的圆柱表面积相等，则该圆柱的侧面积为 .
14.在△ABC中，点D是边BC上异于端点的一点，若，则的最小值为 .
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知向量，，求：
（1）的坐标；
（2）的值；
（3）的值.
16.(本小题15分)
在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a,b,c,已知，A=60°.
（1）求角B的大小；
（2）求边c的长度；
（3）求△ABC的面积.
17.(本小题15分)
如图所示，ABCD-A1B1C1D1是正四棱柱（即底面为正方形的长方体），侧棱长为1，底面边长为2，E是棱BC的中点.
（1）求三棱锥D1-DBC的体积；
（2）求证：BD1∥平面C1DE.
18.(本小题17分)
某水产养殖户承包一片靠岸水域，如图，AO、OB为直线岸线，OA=1000米，OB=1500米，∠AOB=，该承包水域的水面边界是某圆的一段弧，过弧上一点P按线段PA和PB修建养殖网箱，已知∠APB=．
（1）求岸线上点A与点B之间的直线距离；
（2）如果线段PA上的网箱每米可获得40元的经济收益，线段PB上的网箱每米可获得30元的经济收益，记∠PAB=θ，则这两段网箱获得的经济总收益最高为多少？（精确到元）
19.(本小题17分)
已知锐角△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a,b,c,2sinAsinBsinC=sin2A）.
（1）求A；
（2）若a=2，当△ABC的周长取最大值时，求△ABC的面积；
（3）求的取值范围.
1.【答案】A
2.【答案】B
3.【答案】A
4.【答案】C
5.【答案】A
6.【答案】D
7.【答案】C
8.【答案】D
9.【答案】ABD
10.【答案】ACD
11.【答案】ACD
12.【答案】
13.【答案】4π．
14.【答案】
15.【答案】（4，-3） 0
16.【答案】B=30° c=4
17.【答案】 证明见解答
18.【答案】解：（1）∵OA=1000米，OB=1500米，∠AOB=，
∴AB===，
故岸线上点A与点B之间的直线距离为米．
（2）∵在△PAB中，，
∴，PB=（0＜），
设两段网箱获得的经济总收益为y元，
则y=40PA+30PB
=+
=
=
=，
当，即∈（0，）时，
（元），
故两段网箱获得的经济总收益最高约为55076元．
19.【答案】； ； ．
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