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2025-2026学年内蒙古包头市第一中学高一（下）期中数学试卷
一、单项选择题：本大题共8小题，共40分。
1.设O是正△ABC的中心，则向量，，是（　　）
A. 相等向量 B. 模相等的向量 C. 共线向量 D. 共起点的向量
2.若zi=z+i,则=（　　）
A. B. 1 C. 2 D. 4
3.已知向量，若与垂直，则实数m的值为（　　）
A. -3 B. C. D. 1
4.把函数f（x）=cos2x的图象上的所有点的横坐标变为原来的两倍（纵坐标不变），再将函数图象向左平移个单位长度后，所得的图象对应的函数为（　　）
A. B. C. D.
5.在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a,b,c,且满足，则tan2A=（　　）
A. B. C. D. 2
6.太行山在河南的最高峰——济源斗顶，远近闻名.如图，某校高一年级数学实践小组为了测其高度.在山脚A测得山顶P的仰角为α，沿倾斜角为β的斜坡向上走am到达B处，在B处测得山顶P的仰角为γ，若α=45°，β=30°，γ=75°，a=2000，则山高|PQ|为（图中的点A，B，P，C，Q均在同一个铅直平面内）（　　）
A. 2000m
B.
C. 1000m
D.
7.已知0＜α-β＜，sinαcosβ=，cosαsinβ=，则tan（2α-2β）=（　　）
A. B. C. D.
8.如图，在四边形ABCD中，，，设，，则=（　　）
A.
B.
C.
D.
二、多项选择题：本大题共3小题，共18分。
9.已知tanθ=2，则（　　）
A. tan（-θ）=2 B. C. D.
10.已知函数，则下列结论正确的是（　　）
A. f（x）的最小正周期为π
B. f（x）在区间上单调递增
C. f（x）的图象关于直线对称
D. 若α∈（0，π），，则
11.已知△ABC的三个内角A，B，C的对边分别为a,b,c,且，，则下列结论正确的是（　　）
A.
B. △ABC周长的最大值为
C. 的最大值为
D. 的取值范围为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.若z=（1+i）2，则= .
13.已知向量，则与向量平行的单位向量为 .
14.的值为 .
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知复数z=a-+（2a+2）i（a∈R）.
（1）若z为纯虚数，求a的值；
（2）若z在复平面内对应的点位于第二象限，求a的取值范围及|z|的最小值.
16.(本小题15分)
已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a,b,c,且（2c-b）cosA=acosB.
（1）求角A；
（2）若△ABC的面积为，，求a.
17.(本小题15分)
如图，在等腰三角形ABC中，AB=AC=，F是线段AC上的动点（异于端点），.
（1）若F是AC边的中点，求的值；
（2）当时，请确定点F的位置.
18.(本小题17分)
已知函数的图象的一条对称轴方程为.
（1）若，求f（x）的值域；
（2）若，且，求cos2θ的值.
19.(本小题17分)
在△ABC中，设角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知b=2a-2ccosB，且三角形外接圆半径为．
（1）求C的大小；
（2）若△ABC的面积为，求cos2A+cos2B的值；
（3）设△ABC的外接圆圆心为O，且满足，求m的值．
1.【答案】B
2.【答案】A
3.【答案】B
4.【答案】A
5.【答案】C
6.【答案】A
7.【答案】A
8.【答案】A
9.【答案】BC
10.【答案】ACD
11.【答案】AC
12.【答案】-2i
13.【答案】或
14.【答案】
15.【答案】； ．
16.【答案】；
．
17.【答案】解：（1）因为，所以，
由于F是AC边的中点，因此，
因此；
（2）因为F是线段AC上的动点（异于端点），
所以可设，因此，
因为AB=AC=，=，
所以
=，解出，
故F是线段AC靠近A处的四等分点．
18.【答案】
19.【答案】解：（1）因为b=2a-2ccosB，由正弦定理可得sinB=2sinA-2sinCcosB=2sin（B+C）-2sinCcosB=2sinBcosC，
因为B、C∈（0，π），则，故；
（2），可得ab=8，则，
cos2A=cos[（A+B）+（A-B）]=cos（A+B）cos（A-B）-sin（A+B）sin（A-B），
cos2B=cos[（A+B）-（A-B）]=cos（A+B）cos（A-B）+sin（A+B）sin（A-B），
，
因为，
所以，，
因此，；
（3）取AC的中点D，则OD⊥AC，如下图所示：
，同理可得，
设△ABC的外接圆半径为r，
因为，故，
即，即，
则有，
整理可得．
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