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2025-2026学年广东省揭阳市普宁市第二中学高一（下）期中数学试卷
一、单项选择题：本大题共8小题，共40分。
1.若i是虚数单位，计算复数=（　　）
A. B. C. D.
2.下列命题正确的是（　　）
A. 若||=||，则= B. 若||＞||，则＞
C. 若=，则∥ D. 若||=0，则=0
3.已知a,b为实数，则“a＜b＜0”是“ab＜a2”的（　　）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
4.已知，且，则=（　　）
A. -7 B. 7 C. D.
5.已知函数y=f（x）在区间[0，+∞）单调递增，且f（-x）=f（x），则（　　）
A. B.
C. D.
6.如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，O是BD的中点，M是BC的中线点，N是AD的中点，直线D1M与平面BDC1相交于点P，则下列结论不正确的是（　　）
A. C1，P，O三点共线
B. C1，D1，P，N四点共面
C. M，N，P，C1四点共面
D. O，P，D1，D四点共面
7.17世纪30年代，意大利数学家卡瓦列利在《不可分量几何学》一书中介绍了利用平面图形旋转计算球体体积的方法.如图，是一个半圆，圆心为O，ABCD是半圆的外切矩形.以直线OE为轴将该平面图形旋转一周，记△OCD，阴影部分，半圆所形成的几何体的体积分别为V1，V2，V3，则下列说法正确的是（　　）
A. V1+V2＜V3 B. 3V1-V2＞V3 C. V1=V2 D. V1＞V2
8.已知△A1A2B1，△A2A3B2全等的等边三角形，且点A1，A2，A3在同一条直线上，点M，N分别为线段B2A3的三等分点（如图所示），若a=，b=，c=，则（　　）
A. c＞a=b B. c＜a=b C. c＜a＜b D. c＞a＞b
二、多项选择题：本大题共3小题，共18分。
9.已知z1，z2为复数，下列说法正确的是（　　）
A. |z1 z2|=|z1| |z2|
B.
C. 若|z1+1|=|z2+1|，则z1=z2
D. 若z1，z2是方程x2-2x+5=0的两根，则
10.△ABC中，AB=AC=5，BC=6，点P满足，设λ=x+y,则（　　）
A. 若P为△ABC的重心，则
B. 若P为△ABC的内心，则
C. 若P为△ABC的垂心，则
D. 若P为△ABC的外心，则
11.在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c,且ccosB+bcosC=a2，则下列说法正确的是（　　）
A. 若B+C=2A，则△ABC面积的最大值为
B. 若，且△ABC只有一解，则b的取值范围为（0，1]
C. 若C=2A，且△ABC为锐角三角形，则c的取值范围为
D. O为△ABC的外心，则
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.函数y=2x-1的零点是 .
13.已知四棱锥P-ABCD的五个顶点在球O的球面上，底面ABCD为矩形，且，BC=4，侧棱长均为，则球O的表面积为______．
14.中国古代四大名楼鹳雀楼，位于山西省运城市永济市蒲州镇，因唐代诗人王之涣的诗作《登鹳雀楼》而流芳后世.如图，某同学为测量鹳雀楼的高度MN，在鹳雀楼的正东方向找到一座建筑物AB，高约为37m,在地面上点C处（B，C，N三点共线）测得建筑物顶部A，鹳雀楼顶部M的仰角分别为30°和45°，在A处测得楼顶部M的仰角为15°，则鹳雀楼的高度约为 m.
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知平面向量，，.
（1）若，求实数n的值；
（2）求；
（3）若t∈R，求的最小值.
16.(本小题15分)
已知△ABC中，a,b,c分别为内角A，B，C的对边，且2asinA=（2b+c）sinB+（2c+b）sinC，
（1）求角A的大小；
（2）设点D为BC上一点，AD是△ABC的角平分线，且b=3，c=6，求AD的长度.
17.(本小题15分)
如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，D，E，F分别是棱AB，A1C1，B1C1的中点.
（1）证明：DE∥平面A1BF；
（2）若三棱柱ABC-A1B1C1的体积为36，求四棱锥A1-B1BCF的体积.
18.(本小题17分)
如图，在平面四边形ABCD中，点B与点D分别在直线AC的两侧，BC=CD=2.
（1）若AB=2，AC=AD，且，求∠ABC；
（2）若，且，求AC的最大值.
19.(本小题17分)
已知向量，令u（x）=.
（1）求函数u（x）的对称轴方程；
（2）设，当时，求函数f（x）=4u（x）-2λv（x）+6λ+5（λ∈R）的最小值g（λ）；
（3）在（2）的条件下，若对任意的实数a,b且a＞b＞0，不等式对任意的λ∈[0，5]恒成立，求实数t的取值范围.
1.【答案】C
2.【答案】C
3.【答案】A
4.【答案】B
5.【答案】D
6.【答案】D
7.【答案】C
8.【答案】A
9.【答案】AD
10.【答案】ABC
11.【答案】ACD
12.【答案】0
13.【答案】64π
14.【答案】74
15.【答案】2 -59
16.【答案】；
2．
17.【答案】在三棱柱ABC-A1B1C1中，
D，E，F分别是棱AB，A1C1，B1C1的中点，
取棱BC的中点G，连接C1G，DG，
∵D，G分别是棱AB，BC的中点，∴，
∵E是棱A1C1的中点，∴，
∴C1E∥DG，C1E=DG，
则四边形C1EDG是平行四边形，故DE∥C1G，
∵F，G分别是棱B1C1，BC的中点，且四边形BCC1B1为平行四边形，
∴C1G∥BF，则DE∥BF，
∵BF 平面A1BF，DE 平面A1BF，
∴DE∥平面A1BF 18
18.【答案】
19.【答案】解：（1）向量，
由u（x）==cos5x 2cos（x-）+2sin5x sin（x-）
=2cos（5x-x+）
∴．
由4x+=kπ，k∈Z．
可得x=
∴函数u（x）对称轴方程为．
（2）函数f（x）=4u（x）-2λv（x）+6λ+5（λ∈R），
∵u（x）=2cos（4x+）=2[2cos2（2x+）-1]=4cos2（2x+）-2
∴令，
∵，
2x+∈[，]
∴
则f（x）=h（t）=16t2-8λt+6λ-3．
对称轴t=λ．
当时，可得t=，函数h（t）取得小值为2λ+1．
当时，可得t=，函数h（t）取得小值为-λ2+6λ-3
当时，可得t=1，函数h（t）取得小值为-2λ+13．
∴…（7分）
（3）当λ∈[0，5]时，由（2）g（λ）解析式可得：g（λ）max=6，g（λ）min=1．
∴
而
∴
解得：1≤t≤5．
故得实数t的取值范围是[1，5]．
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