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2025-2026学年安徽省六安市第一中学高一（下）期中数学试卷
一、单项选择题：本大题共8小题，共40分。
1.在复平面内，复数i（i+2）对应的点的坐标为（　　）
A. （1，2） B. （-1，2） C. （2，1） D. （2，-1）
2.如图，正方体ABCD-A1B1C1D1中，点E，F分别是AA1，AD的中点，则CD1与EF所成角为（　　）
A. 0° B. 45° C. 60° D. 90°
3.已知平面向量与的夹角为60°，，，则的值为（　　）
A. B. 2 C. 4 D.
4.在三棱锥A-BCD的各边AB，BC，CD，DA上分别取E，F，G，H四点，如果EF∩HG=P，则点P（　　）
A. 一定在直线BD上 B. 一定在直线AC上
C. 在直线AC或BD上 D. 不在直线AC上，也不在直线BD上
5.如图是正方体的平面展开图.在这个正方体中，①BM与ED平行；②CN与BE垂直；③AF与平面BDM平行；④平面CAN与平面BEM平行.以上四个命题中，正确命题的序号是（　　）
A. ①②
B. ②③
C. ③④
D. ①④
6.在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若（3a-2b）2+（5a-4c）2=0，则△ABC最小内角的正弦值为（　　）
A. B. C. D.
7.如图，正六边形的边长为，半径为1的圆O的圆心为正六边形的中心，若点M在正六边形的边上运动，动点A，B在圆O上运动且关于圆心O对称，则的取值范围为（　　）
A. [4，5]
B. [5，7]
C. [4，6]
D. [5，8]
8.已知一圆柱的轴截面为正方形，母线长为，在该圆柱内放置一个棱长为a的正四面体，并且正四面体在该圆柱内可以任意转动，则a的最大值为（　　）
A. 1 B. 2 C. D. 4
二、多项选择题：本大题共3小题，共18分。
9.关于非零复数z与其共轭复数，下列结论正确的是（　　）
A. 必为实数
B. 在复平面内，表示复数z和的点关于虚轴对称
C.
D. 若复数z为实系数一元二次方程Ax2+Bx+C=0（A，B，C∈R，A≠0）的一根，则也必是该方程的根
10.“阿基米德多面体”也称为半正多面体（semi-regularsolid），是由边数不全相同的正多边形为面围成的多面体，它体现了数学的对称美．如图所示，将正方体沿交于一顶点的三条棱的中点截去一个三棱锥，共可截去八个三棱锥，得到八个面为正三角形、六个面为正方形的一种半正多面体，已知，则关于如图半正多面体的下列说法中，正确的有（　　）
A. 该半正多面体的体积为
B. 该半正多面体过A，B，C三点的截面面积为
C. 该半正多面体外接球的表面积为12π
D. 该半正多面体的顶点数V、面数F、棱数E满足关系式V+F-F=2
11.著名数学家欧拉提出了如下定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，此直线被称为三角形的欧拉线，该定理被称为欧拉线定理.已知△ABC的外心为O，重心为G，垂心为H，M为BC中点，且AB=5，AC=4，则下列各式正确的有（　　）
A. B.
C. D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.若复数z满足（其中i是虚数单位），为z的共轭复数，则= .
13.如图，为了测量河的宽度，在一岸边选定两点A，B，望对岸的标记物C，测得∠CAB=30°，∠CBA=75°，AB=120m，则河的宽度是______．
14.四面体ABCD的所有棱长都是3，点M，N，P分别在棱AB，AD，CD上，AM=2MB，，CP=2PD，过M，N，P三点作四面体ABCD的截面，则截面面积S= .
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
如图，圆锥SO的底面半径为1，侧面积为4π，
（1）点M为母线SA的中点，从点M处拉一条绳子绕圆锥的侧面转一周到达A点，求绳子长度的最短值；
（2）计算该圆锥内可容纳的最大球的体积.
16.(本小题15分)
设△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a,b,c.
（1）证明：a=bcosC+ccosB；
（2）若a=8，c=7，且，求△ABC的周长
17.(本小题15分)
如图，等腰梯形ABCD中，AB∥CD，CD=2AB=2AD=4，AE⊥CD，垂足为E，将△ADE沿AE翻折，得到四棱锥P-ABCE.在四棱锥P-ABCE中，点M，N分别在线段PB，AC上，且.
（1）求直线BC与直线PA所成角的余弦值.
（2）求证：MN∥平面PCE.
18.(本小题17分)
如图所示，已知ABCD为梯形，AB∥CD，CD=3AB，M为线段PC上一点.
（1）设平面PAB∩平面PDC=l,证明：AB∥l；
（2）在棱PC上是否存在点M
（i）使得PA∥平面MBD，若存在，求的值；若不存在，请说明理由；
（ii）使得平面MBD将四棱锥P-ABCD分成体积相等的两部分，若存在，求的值；若不存在，请说明理由.
19.(本小题17分)
如图所示，在四边形ABCD中，，BC=1，，AB＜AC，AB∥CD，点E为四边形ABCD的外接圆劣弧（不含端点C，D）上一动点.
（1）判断△ABC的形状，并证明；
（2）若，设∠DAE=α
（i）用α表示线段AE的长度；
（ii）记y=f（α），求函数f（α）的最小值.
1.【答案】B
2.【答案】C
3.【答案】B
4.【答案】B
5.【答案】C
6.【答案】D
7.【答案】B
8.【答案】D
9.【答案】ACD
10.【答案】ABD
11.【答案】ACD
12.【答案】
13.【答案】60m
14.【答案】
15.【答案】(1）设圆锥的母线长为l,圆锥SO的侧面积为，所以l=4，

圆锥SO的侧面展开图的圆心角，由M点出发绕圆锥侧面旋转一周，
回到A点的细绳长度最小值为圆锥侧面的展开图得到的扇形的圆心角所对的线段长MA′，
由勾股定理；
（2）已知SA=SB=4，又OA=OB=1，，
设圆锥的内切球的圆心为N，半径为R，球与圆锥侧面相切于M，
所以OM=ON=R，，
因为△SOB∽△SMN，所以，即，
解得，所以圆锥内部可容纳的球最大体积是．
16.【答案】因为A+B+C=π，
所以sinA=sin（B+C）=sinBcosC+sinCcosB，
根据正弦定理有a=bcosC+ccosB △ABC 的周长为18或20
17.【答案】解：（1）已知等腰梯形ABCD中，AB∥CD，CD=2AB=2AD=4，AE⊥CD，
在线段EC上取点Q，使得 CQ=2=AB，则四边形ABCQ是平行四边形，故BC∥AQ，
连接PQ，故∠PAQ是异面直线BC与PA所成角（或补角），PA=AQ=2，PE=EQ=1，
由勾股定理，．
由余弦定理得，
故异面直线BC与PA所成角的余弦值是．
（2）证明：若F，G分别是AE，AP上的点，且，
连接NF，FG，GM，又，
所以NF∥CE∥AB∥GM，FG∥EP，即M，N，F，G四点共面，
由NF 平面PCE，CE 平面PCE，则NF∥平面PCE，
同理可证FG∥平面PCE，又NF∩FG=F，且都在平面MNFG内，
所以平面MNFG∥平面PCE，MN 平面MNFG，故M N∥平面PCE．
18.【答案】（1）证明：因为AB∥CD，AB 平面PCD，CD 平面PCD，所以AB∥平面PCD，
又因为平面PAB∩平面PDC=l,且AB 平面PAB，所以AB∥l.
（2）（i）存在点M，使得PA∥平面MBD，此时．
证明如下：连接AC交BD于点O，连接MO．
因为AB∥CD，且CD=3AB，所以，又因为，PC∩AC=C，
所以PA∥MO，因为PA 平面MBD，MO 平面MBD，所以PA∥平面MBD．
（ii）存在，且，理由如下：
记四棱锥P-ABCD的体积是V．由AB∥CD，CD=3AB，得，故VP-ABD：VP-BCD=1：3，
即.设，则．
令，得，解得．
故存在点M，当时，平面MBD将四棱锥分为体积相等的两部分．
19.【答案】△ABC为直角三角形；证明：
在△ABC中，由余弦定理知：CB2=AB2+AC2-2AC AB cos∠CAB，
所以．
又因为，所以，
所以AB，AC分别为方程的两根，
因为AB＜AC，所以，所以AC2=AB2+BC2，
所以AB⊥BC，即△ABC为直角三角形 （i）；（ii）
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