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2025-2026学年陕西省西安市新城区华山中学高一（下）期中数学试卷
一、单项选择题：本大题共8小题，共40分。
1.复数z=（-2i）（1+i）在复平面内对应的点位于（　　）
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
2.已知向量，满足||=1，||=，|-2|=3，则 =（　　）
A. -2 B. -1 C. 1 D. 2
3.已知正三角形ABC的边长为，那么△ABC的直观图△A'B'C'的面积为（　　）
A. B. C. D.
4.已知向量，则向量在上的投影向量为（　　）
A. B. （-4，4） C. （4，-4） D.
5.在平行四边形ABCD中，点N为对角线AC上靠近A点的三等分点，连结BN并延长交AD于M，则=（　　）
A. B. C. D.
6.下列平面图形中，通过围绕定直线旋转可得到如图几何体的是（　　）
A.
B.
C.
D.
7.已知圆锥的表面积为10π，且它的侧面展开图是一个圆心角为的扇形，则这个圆锥的半径为（　）
A. 2 B. C. D. 3
8.中国古代四大名楼之首黄鹤楼，位于湖北省武汉市武昌区，因唐代诗人崔颢登楼所题《黄鹤楼》一诗而名扬四海.如图，某同学为测量黄鹤楼的高度MN，在黄鹤楼的正东方向找到一座建筑物AB，高约为26m,在地面上点C处（B，C，N三点共线）测得建筑物顶部A，黄鹤楼顶部M的仰角分别为30°和45°，在A处测得楼顶部M的仰角为15°，则黄鹤楼的高度约为（　　）
A. 64m B. 74m C. 52m D. 91m
二、多项选择题：本大题共3小题，共18分。
9.已知A表示点，l,m表示不同直线，α，β表示不同的平面，则下列推理正确的是（　　）
A. l α，A∈l A α B. A∈α，A∈l,l α l∩α=A
C. l∥α，l β，α∩β=m l∥m D. α∥β，l α，m β l∥m
10.在复平面内，下列说法正确的是（ ）
A. 若复数（i为虚数单位），则z30=-1
B. 若复数z满足z2∈R，则z∈R
C. 若复数z=a+bi（a，b∈R），则z为纯虚数的充要条件是a=0
D. 若复数z满足|z|=1，则复数z对应点的集合是以原点O为圆心，以1为半径的圆
11.下列结论正确的是（　　）
A. 在△ABC中，若A＞B，则sinA＞sinB
B. 在锐角三角形ABC中，不等式b2+c2-a2＞0恒成立
C. 在△ABC中，若，a2-c2=bc，则△ABC为等腰直角三角形
D. 在△ABC中，若b=3，A=60°，三角形面积，则三角形外接圆半径为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知复数（i为虚数单位），则= .
13.已知正四棱台的上、下底的边长分别是2、4，高为1，则该四棱台的表面积为 .
14.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若（a+b+c）（a+b-c）=3ab，且a2=bc，则的值为______.
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
如图，在几何体ABCDEF中，四边形ABCD为平行四边形，G为FC的中点，平面ABFE∩平面CDEF=EF．
（1）证明：AF∥平面BDG；
（2）证明：AB∥EF．
16.(本小题15分)
已知向量=（2，-1），=（3，5）.
（1）求|2-|；
（2）若向量=（-1，m），且（+）∥，求m的值；
（3）求与+垂直的单位向量的坐标.
17.(本小题15分)
如图所示，在四边形ABCD中，∠DAB=90°，∠ADC=135°，，（参考公式：台体的体积公式：，圆台的侧面积公式：S=（rl+r′l）π）.
（1）求四边形ABCD绕AD旋转一周所成几何体的表面积.
（2）求四边形ABCD绕AD旋转一周所成几何体的体积.
18.(本小题17分)
在三角形ABC中，角A，B，C的对边长分别为a,b,c,且（2a-c）cosB=bcosC.
（1）求B；
（2）若a+c=5，，求三角形ABC的面积；
（3）在（2）的条件下，求AC边上的中线BD的长度.
19.(本小题17分)
“费马点”是三角形内部与其三个顶点的距离之和最小的点.对于每个给定的三角形，都存在唯一的费马点，当△ABC的三个内角均小于120°时，使∠APB=∠BPC=∠CPA=120°的点P即为费马点.已知△ABC中，角A，B，C的对边分别为，点P是△ABC的“费马点”.
（1）求角A；
（2）若，求△ABC的周长；
（3）若AC⊥BC，|PA|+|PB|=λ|PC|，求实数λ的值.
1.【答案】D
2.【答案】C
3.【答案】D
4.【答案】A
5.【答案】C
6.【答案】C
7.【答案】B
8.【答案】C
9.【答案】BC
10.【答案】AD
11.【答案】ABC
12.【答案】
13.【答案】
14.【答案】
15.【答案】证明：（1）连接AC交BD于O，连接OG，
因为四边形ABCD为平行四边形，所以AC、BD互相平分，
又G为FC的中点，所以OG为三角形ACF的中位线，所以AF∥OG，
因为OG 面BDG，AF 面BDG，所以AF∥平面BDG；
（2）因为四边形ABCD为平行四边形，所以AB∥CD，
因为CD 面CDEF，AB 面CDEF，所以AB∥平面CDEF．
因为AB 面ABEF，面CDEF∩面ABEF=EF．所以AB∥EF．
16.【答案】5；
；
（，）或（，）．
17.【答案】解：（1）由题意可知，四边形ABCD绕AD旋转一周所成几何体为圆台挖去一个圆锥的组合体，
过点C作CF⊥AB，CE⊥AD，垂足分别为F，E，如下图所示：
易知∠EDC=180°-∠ADC=45°，
所以EC=ED=CD sin45°=2，
又AD=2，所以CF=4，AF=2，可得BF=3，BC=5，
故圆台的上底面半径为r′=2，下底面半径为r=5，高为h=CF=4，母线长l=BC=5，
圆锥底面半径r′=2，高h'=2，母线长，
所以圆台的侧面积为S1=（rl+r′l）π=（5×5+2×5）π=35π，
圆锥的侧面积为，
圆台的下底面面积为，
所以几何体的表面积为S=S1+S2+S3=35=（60）π；
（2）由题意可知，几何体的体积等于圆台体积减去圆锥体积，
所以=13×=52=．
所以几何体的体积为．
18.【答案】
19.【答案】；
；
6．
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