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2025-2026学年广东省东莞中学高一（下）期中数学试卷
一、单项选择题：本大题共8小题，共40分。
1.下列命题中正确的是（　　）
A. 正四棱锥的侧面都是正三角形
B. 直四棱柱是长方体
C. 以直角三角形的一边所在直线为旋转轴，其余两边旋转一周形成的面所围成的旋转体为圆锥
D. 用平行于圆锥底面的平面截圆锥，截面与底面之间的部分是圆台
2.已知向量，则（　　）
A. A、B、C三点共线 B. A、B、D三点共线 C. A、C、D三点共线 D. B、C、D三点共线
3.已知，是平面内的一组基底，若向量与共线，则实数k的值为（　　）
A. B. C. D. -4
4.已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a,b,c,若c=2bcosA，则△ABC的形状为（　　）
A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 等腰三角形 D. 等腰或直角三角形
5.若z（1-i）=2+3i,则复数z的共轭复数的虚部是（　　）
A. B. C. D.
6.在△ABC中，AB=1，，点D为BC的中点，，则AC=（　　）
A. 2 B. 3 C. D.
7.如图，圆M为△ABC的外接圆，AB=4，AC=6，则=（　　）
A. 10
B. 20
C. 26
D. 52
8.已知，是单位向量，且，的夹角为θ，若，则θ的取值范围为（　　）
A. B. C. D.
二、多项选择题：本大题共3小题，共18分。
9.下列说法中正确的是（　　）
A. 若，则ABCD是一个平行四边形
B. 若，则
C. 对任一非零向量，是一个单位向量
D.
10.关于复数z,下面是真命题的是（　　）
A. 若，则|z|=1 B. 若z=，则z∈R
C. z2=|z|2 D. 若a＞b（a,b∈R），则a+i＞b+i
11.已知向量，，，λ∈R，则（　　）
A. 若，则λ=4
B. 若，则λ+t=-6
C. 在方向上的投影向量的坐标为
D. 若向量与向量的夹角为锐角，则λ的取值范围是（-∞，-1）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.如图，已知两座灯塔A和B与海洋观察站C的距离都等于km,灯塔A在观察站C的北偏东20°的方向，灯塔B在观察站C的南偏东40°的方向，则灯塔A与灯塔B间的距离为 （km）.
13.一梯形的直观图是如下图的等腰梯形O′A′B′C′，且上底为1，下底为3，高为1，则原梯形的面积为 .
14.已知关于x的方程x2+（1-2i）x+3m-i=0有实根，则实数m= .
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题15分)
已知复数z=m2-（3-i）m+2-i,m∈R.
（1）若z为纯虚数，求m的值；
（2）若复数z对应的点位于第四象限，求m的取值范围.
16.(本小题15分)
如图，在高为2的正三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=2，D是棱AB上的点.
（1）求该正三棱柱的表面积，以及三棱锥A1-B1C1D的体积；
（2）设E为棱B1C1的中点，F为棱BB1上一点，求AF+EF的最小值，此时BF的长度是多少？
17.(本小题15分)
如图，在等边△ABC中，AB=3，点O在边BC上，且，过点O的直线分别交射线AB，AC于不同的两点M，N.
（1）求cos∠AOB的值；
（2）设，，求m（n-1）的最大值.
18.(本小题15分)
某学校有一四边形地块，为了提高校园土地的利用率，现把其中的一部分作为学校生物综合实践基地.如图所示，AB=BC=AC=2km,M是BC中点，E，F分别在边AB、AC上，△CMF拟作为花草种植区，四边形AEMF拟作为景观欣赏区，△BME拟作为谷物蔬菜区，ME和MF拟建造快速通道，∠EMF=60°，记∠CMF=θ.（快速通道的宽度忽略不计）
（1）若θ=60°，求景观欣赏区所在四边形AEMF的面积；
（2）当θ取何值时，可使快速通道E-M-F的路程最短？最短路程是多少？
19.(本小题17分)
A是直线PQ外一点，点M在直线PQ上（点M与点P，Q任一点均不重合），我们称如下操作为“由A点对PQ施以视角运算”：若点M在线段PQ上，记（P，Q；M）=；若点M在线段PQ外，（P，Q；M）=-.在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a,b,c,点D在射线BC上.
（1）若AD是角A的平分线，且b=3c,由A点对BC施以视角运算，求（B，C；D）的值；
（2）若A=60°，a=4，AB⊥AD，由A点对BC施以视角运算，（B，C；D）=-4，求△ABC的周长；
（3）若A=120°，AD=4，由A点对BC施以视角运算，（B，C；D）=，求b+4c的最小值.
1.【答案】D
2.【答案】B
3.【答案】A
4.【答案】C
5.【答案】D
6.【答案】A
7.【答案】C
8.【答案】C
9.【答案】BCD
10.【答案】AB
11.【答案】ABC
12.【答案】90
13.【答案】
14.【答案】
15.【答案】m=2 （-∞，1）
16.【答案】；； ．
17.【答案】
18.【答案】解：（1）当θ=60°时，ME∥AC，
此时ME为△ABC中位线，
S四边形AEMF=S△MEF+SΔAEF=×1×1×sin60°+×1×1×sin60°=；
（2）在△BME中，，
，BM=1，
由正弦定理得，，
所以，，
在△CMF中，，，MC=1，
由正弦定理得，，
所以，所以，
所以
=
=
=
=，其中，
令，
因为，所以，
所以，
又因为y=2t在单调递增，在单调递减，
所以在单调递增，
所以当t=1，即时，
，
所以当θ取时，可使快速通道E-M-F路程最短，最短距离为2km.
19.【答案】 4+2+2 36
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