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2025-2026学年天津市第四十三中学高一（下）期中数学试卷
一、单项选择题：本大题共12小题，共36分。
1.已知复数，其中i为虚数单位，则下列结论中正确的是（　　）
A. z=1+i B. |z|= C. |z|=2 D. z的虚部是-i
2.下列说法不正确的是（　　）
A. 三棱锥是四面体 B. 三棱台是五面体 C. 正方体是四棱柱 D. 四棱柱是长方体
3.若圆柱、圆锥的底面直径和高都等于球的半径，则圆柱、圆锥、球的体积的比为（　　）
A. 6：2：3 B. 2：3：4 C. 3：2：4 D. 3：1：16
4.设x，y∈R，向量=（x，1），=（1，y），=（2，-4），且⊥，∥，则
|+|=（　　）
A. B. C. D. 10
5.已知m，n为两条不同的直线，α，β为两个不同的平面，对于下列四个命题：
①m α，n α，m∥β，n∥β α∥β②n∥m，n α m∥α
③α∥β，m α，n β m∥n④m∥α，n α m∥n
其中正确命题的个数有（　　）
A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个
6.在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且b2+c2=a2+bc，若sinBsinC=sin2A，则△ABC的形状是（　　）
A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 等边三角形 D. 等腰直角三角形
7.用斜二测画法画边长为2的正方形ABCD的直观图时，以射线AB，AD分别为x轴、y轴的正半轴建立直角坐标系，在相应的斜角坐标系中得到直观图A'B'C'D'，则该直观图的面积为（　　）
A. B. C. D.
8.如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为线段A1C1的中点，则异面直线DE与B1C所成角的大小为( )

A. B. C. D.
9.在△ABC中，a，b分别是角A，B的对边，a=1，b=，A=30°，则角B为（　　）
A. 45° B. 90° C. 135° D. 45°或135°
10.已知一个圆锥的轴截面是等边三角形，设圆锥的侧面积为S1，圆锥的内切球的表面积为S2，则=（　　）
A. B. C. D.
11.在等腰梯形中，AB∥CD，AB=2，AD=1，∠DAB=，点F是线段AB上的一点，M为直线BC上的动点，若=3，，且=-1，则 的最大值为（　　）
A. B. C. -1 D.
12.设t∈R，已知平面向量满足：，且，向量，若存在两个不同的实数x∈[0，t]，使得，则实数t（　　）
A. 有最大值为2，最小值为 B. 无最大值，最小值为
C. 有最大值为2，无最小值 D. 无最大值，最小值为0
二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。
13.一元二次方程x2-2x+m=0的一个虚根为1-2i，则另一个虚根为 ，实数m= .
14.设，是两个不共线的向量，若，，，且A、B、D三点共线，则k= ______．
15.已知某圆锥体的底面半径r=2，沿圆锥体的母线把侧面展开后得到一个圆心角为的扇形，则该圆锥体的表面积是______.
16.已知直二面角α-l-β，点A∈α，AC⊥l，C为垂足，B∈β，BD⊥l，D为垂足．若AB=2，AC=BD=1，则D到平面ABC的距离等于______．
17.如图，在△ABC中，已知点D在BC边上，AD⊥AC，sin∠BAC=，AB=3，AD=3，则BD的长为 ．

18.粽子古称“角黍”，是中国传统的节庆食品之一，由粽叶包裹糯米等食材蒸制而成.因各地风俗不同，粽子的形状和味道也不同，某地流行的“五角粽子”，其形状可以看成所有棱长均为8cm的正四棱锥，则这个粽子的表面积为______cm2，现在需要在粽子内部放入一颗咸蛋黄，蛋黄的形状近似地看成球，则当这个蛋黄的体积最大时，其半径与正四棱锥的高的比值为______.
三、解答题：本题共4小题，共40分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
19.(本小题10分)
已知||=4，||=3，（2-3） （2+）=61．求：
（1）与的夹角
（2）|+|．
20.(本小题10分)
在△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a，b，c，．
（Ⅰ）求角C的大小；
（Ⅱ）若a=，b=2．求：
（ⅰ）边长c；
（ⅱ）sin（2B-C）的值．
21.(本小题10分)
如图，在四棱锥P—ABCD，底面ABCD为平行四边形，△PCD为等边三角形，平面PAC⊥平面PCD，PA⊥CD，CD=2，AD＝3，
(1)设G，H分别为PB，AC的中点，求证：GH∥平面PAD；
(2)求证：PA⊥平面PCD；
(3)求直线AD与平面PAC所成角的正弦值．
22.(本小题10分)
在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知.
（1）求角B的大小；
（2）若sinC=2sinA，且，求b边；
（3）若，求△ABC周长的最大值.
1.【答案】B
2.【答案】D
3.【答案】D
4.【答案】B
5.【答案】A
6.【答案】C
7.【答案】A
8.【答案】C
9.【答案】D
10.【答案】D
11.【答案】B
12.【答案】B
13.【答案】1+2i
5

14.【答案】-8
15.【答案】16π
16.【答案】
17.【答案】
18.【答案】64+64
19.【答案】解：（1）∵，
∴，
即-3×32=61．
化为=-．
∴．
（2）===．
20.【答案】解：（Ⅰ）由已知及正弦定理得
∴，
sinC0,
∴，
∵0＜C＜π，
∴
（Ⅱ）（ⅰ）因为，，
由余弦定理得，
∴
（ⅱ）由，
因为B为锐角，所以,
，,
.
21.【答案】证明：(1)如图：
证明：连接BD，由题意得AC∩BD=H，BH=DH，
又由BG=PG，得GH∥PD，
∵GH 平面PAD，PD 平面PAD，
∴GH∥平面PAD；
（2）证明：取棱PC中点N，连接DN，
依题意得DN⊥PC，
又∵平面PAC⊥平面PCD，平面PAC∩平面PCD=PC，DN 平面PCD，
∴DN⊥平面PAC，
又PA 平面PAC，∴DN⊥PA，
又PA⊥CD，CD∩DN=D，
CD 平面PCD，DN 平面PCD，
∴PA⊥平面PCD；
（3）解：连接AN，由（2）中DN⊥平面PAC，
知∠DAN是直线AD与平面PAC所成角，
∵△PCD是等边三角形，CD=2，且N为PC中点，
∴DN=，
又DN⊥平面PAC，，
DN⊥AN，
在Rt△AND中，sin∠DAN==．
∴直线AD与平面PAC所成角的正弦值为．
22.【答案】解：（1）△ABC中，因为，所以，
所以ac+c2=b2-a2，即c2+a2-b2=-ac，
所以，
所以．
（2）因为sinC=2sinA，所以c=2a，
又，所以ac=8，
所以a=2，c=4，
又由余弦定理：
所以．
（3）由余弦定理：
所以a+c≤2，当且仅当a=c=1时等号成立．
故，即周长最大值为．
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