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第4节　列联表与独立性检验
（时间：45分钟，满分：72分）
[备注：单选、填空题5分，多选题6分]
1.在研究打鼾与患心脏病的关系中，通过收集数据、整理分析数据得“打鼾与患心脏病有关”的结论，并且在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为这个结论是成立的，下列说法中正确的是（　　）
A.100个吸烟者中至少有99人打鼾
B.1个人患有心脏病，那么这个人有99％的概率打鼾
C.在100个心脏病患者中一定有打鼾的人
D.在100个心脏病患者中可能一个打鼾的人也没有
2.为了考察某种中成药预防流感的效果，抽样调查40人，得到如下数据：
药物 流感
患流感 未患流感
服用 2 18
未服用 8 12
根据表中数据，计算χ2，若由此认为“该药物预防流感有效果”，则该结论出错的概率不超过（　　）
A.0.05 B.0.1 C.0.01 D.0.005
3.有甲、乙两个班级进行数学考试，按照大于等于85分为优秀，85分以下为非优秀统计成绩，得到列联表：
优秀 非优秀 合计
甲班 10 b
乙班 c 30
合计 105
已知在全部的105人中随机抽取1人，成绩优秀的概率为，则下列说法正确的是（　　）
A.列联表中c的值为30，b的值为35
B.列联表中c的值为15，b的值为50
C.根据列联表中的数据，依据小概率值α＝0.05的独立性检验，能认为“成绩与班级有关系”
D.根据列联表中的数据，依据小概率值α＝0.05的独立性检验，不能认为“成绩与班级有关系”
4.某校为了研究学生的性别和对待某一活动的态度（支持与不支持）的关系，运用2×2列联表进行独立性检验.整理所得数据后发现，若依据小概率值α＝0.010的独立性检验，则认为学生性别与是否支持该活动无关；若依据小概率值α＝0.025的独立性检验，则认为学生性别与是否支持该活动有关，则χ2的值可能为（　　）
A.4.238 B.4.972
C.6.687 D.6.069
5.已知某独立性检验中，由χ2＝，n＝a＋b＋c＋d计算出χ2＝，若将2×2列联表中的数据a，b，c，d分别变成2a，2b，2c，2d，计算出的χ2＝，则（　　）
A.＝ B.＝2
C.＝2 D.＝4
6.〔多选〕每年的毕业季都是高校毕业生求职和公司招聘最忙碌的时候，甲、乙两家公司今年分别提供了2个和3个不同的职位，一共收到了100份简历，具体数据如下：
公司 文史男 文史女 理工男 理工女
甲 10 10 20 10
乙 15 20 10 5
分析毕业生的选择意愿与性别的关联关系时，已知对应的χ2的值χ1≈1.010；分析毕业生的选择意愿与专业的关联关系时，对应的χ2的值χ2≈9.091，则下列说法正确的是（　　）
A.有99.9％的把握认为毕业生的选择意愿与专业相关联
B.毕业生在选择甲、乙公司时，选择意愿与专业的关联性比与性别的关联性更大一些
C.理工科专业的毕业生更倾向于选择甲公司
D.女性毕业生更倾向于选择乙公司
7.如图是调查某学校高一年级男、女学生是否喜欢徒步运动而得到的等高堆积条形图，阴影部分表示喜欢徒步的频率.已知该年级男生500人、女生400人（假设所有学生都参加了调查），现从所有喜欢徒步的学生中按分层随机抽样的方法抽取23人，则抽取的男生人数为　　　　.
8.某驾驶员培训学校为对比了解“科目二”的培训过程，采用大密度集中培训与周末分散培训两种方式，调查了105名学员，统计结果为：接受大密度集中培训的55名学员中有50名学员一次考试通过，接受周末分散培训的学员一次考试通过的有30名.根据统计结果，认为“能否一次考试通过与是否集中培训有关”犯错误的概率不超过　　　　.
9.足球是一项大众喜爱的运动，某机构为了解喜爱足球是否与性别有关联，随机抽取了若干人进行调查，已知抽取的女性人数是男性的2倍，男性中喜爱足球的人数占男性人数的，女性中喜爱足球的人数占女性人数的.若本次调查得出“根据小概率值α＝0.005的独立性检验，认为是否喜爱足球与性别有关联”的结论，则被调查的男性人数至少为（　　）
A.10 B.11
C.12 D.13
10.〔多选〕晚上睡眠充足是提高学习效率的必要条件，某高中M的高三年级学生晚上10点10分必须休息，另一所同类高中N的高三年级学生晚上11点休息，并鼓励学生还可以继续进行夜自习，稍晚再休息.有关人员分别对这两所高中的高三年级学习总成绩前50名学生的学习效率进行问卷调查，其中高中M有30名学生的学习效率高，且从这100名学生中随机抽取1人，抽到学习效率高的学生的概率是0.4，则（　　）
A.高中M的前50名学生中有60％的学生学习效率高
B.高中N的前50名学生中有40％的学生学习效率高
C.有99.9％的把握认为学生学习效率高低与晚上睡眠是否充足有关
D.认为学生学习效率高低与晚上睡眠是否充足有关的犯错概率超过0.05
11.为了调查学生对网络课程是否喜爱，研究人员随机调查了相同人数的男、女学生，发现男生中有80％喜欢网络课程，女生中有40％不喜欢网络课程，且有95％的把握认为喜欢网络课程与性别有关，但没有99％的把握认为喜欢网络课程与性别有关.已知被调查的男、女学生的总人数为20k （k∈N*），则k＝　　　　　.
12.（15分）（2024·全国甲卷17题改编）某工厂进行生产线智能化升级改造，升级改造后，从该工厂甲、乙两个车间的产品中随机抽取150件进行检验，数据如下：
优级品 合格品 不合格品 合计
甲车间 26 24 0 50
乙甲间 70 28 2 100
合计 96 52 2 150
（1）能否有95％的把握认为甲、乙两车间产品的优级品率存在差异？能否有99％的把握认为甲、乙两车间产品的优级品率存在差异？
（2）已知升级改造前该工厂产品的优级品率p＝0.5，设为升级改造后抽取的n件产品的优级品率.如果＞p＋1.65，则认为该工厂产品的优级品率提高了，根据抽取的150件产品的数据，能否认为生产线智能化升级改造后，该工厂产品的优级品率提高了？（≈12.247）
第4节　列联表与独立性检验
1.D　2.A　3.C　4.D　
5.B　因为＝，
所以＝＝＝2.故选B.
6.BCD　7.15　8.0.001　
9.C　设被调查的男性人数为x，则女性人数为2x，根据题意可得列联表如表：
态度 性别 合计
男 女
喜爱足球
不喜爱足球
合计 x 2x 3x
则χ2＝＝，因为根据小概率值α＝0.005的独立性检验，认为是否喜爱足球与性别有关联，所以χ2≥7.879，即≥7.879，解得x≥11.818 5，又因为列联表中的所有数据均为整数，所以x的最小值为12.
10.AC　高中M的前50名学生中有30人学习效率高，即×100%＝60%，A正确；高中N的前50名学生中有10人学习效率高，即×100%＝20%，B错误；这100名学生中学习效率高的学生有100×0.4＝40（人），根据题意填写列联表如下，
学校 学习效率高低 合计
学习 效率高 学习效率 不高
高中M 30 20 50
高中N 10 40 50
合计 40 60 100
χ2＝＝≈16.667＞10.828＝x0.001，有99.9%的把握认为学生学习效率高低与晚上睡眠是否充足有关，C正确；认为学生学习效率高低与晚上睡眠是否充足有关的犯错概率不超过0.05，D错误.故选A、C.
11.5或6　解析：设男、女学生的总人数为2n，则2n＝20k（k∈N*），由题意建立2×2列联表为：
喜欢 不喜欢 合计
男生 0.8n 0.2n n
女生 0.6n 0.4n n
合计 1.4n 0.6n 2n
所以χ2＝＝，又因为有95%的把握认为喜欢网络课程与性别有关，但没有99%的把握认为喜欢网络课程与性别有关，所以3.841≤＜6.635 80.661≤2n＜139.335，又2n＝20k（k∈N*），所以4.033 05≤k＜6.966 75，所以k＝5或k＝6.
12.解：（1）根据题意列出列联表：
优级品 非优级品 合计
甲车间 26 24 50
乙车间 70 30 100
合计 96 54 150
可得χ2＝＝＝4.687 5，
因为3.841＜4.687 5＜6.635，
所以有95%的把握认为甲、乙两车间产品的优级品率存在差异，没有99%的把握认为甲、乙两车间产品的优级品率存在差异.
（2）由题意可知，生产线智能化升级改造后，该工厂产品的优级品的频率为＝0.64，
用频率估计概率可得＝0.64，
又因为升级改造前该工厂产品的优级品率p＝0.5，
则p＋1.65＝0.5＋1.65×≈0.5＋1.65×≈0.57，
可知＞p＋1.65，所以可以认为生产线智能化升级改造后，该工厂产品的优级品率提高了.
1 / 1第4节　列联表与独立性检验
1.掌握分类变量的含义. 2.通过实例，理解2×2列联表的统计意义. 3.通过实例，了解2×2列联表独立性检验及其应用.
知识梳理
1.分类变量与列联表
（1）分类变量：变量的不同“值”表示个体所属的不同类别，像这样的变量称为分类变量；
（2）列联表：列出的两个分类变量的频数表，称为列联表.假设有两个分类变量X和Y，X表示相互对立的两个事件{X＝0}和{X＝1}，Y表示相互对立的两个事件{Y＝0}和{Y＝1}，其中a，b，c，d是事件{X＝x，Y＝y}（x，y＝0，1）的　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　，
n是样本量，其样本频数列联表（称为2×2列联表）如表所示：
X Y 合计
Y＝0 Y＝1
X＝0 a b a＋b
X＝1 c d c＋d
合计 a＋c b＋d n＝a＋b＋c＋d
2.等高堆积条形图
（1）等高堆积条形图与表格相比，更能直观地反映出两个分类变量间是否相互影响，常用等高堆积条形图展示列联表数据的频率特征；
（2）如果通过直接计算或等高堆积条形图发现和相差很大，就判断两个分类变量之间有关系.
3.独立性检验
（1）概念：利用χ2的取值推断分类变量X和Y是否独立的方法称为χ2独立性检验，读作“卡方独立性检验”，简称独立性检验；
（2）χ2的计算公式：χ2＝　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　；
（3）基于小概率值α的检验规则：当χ2≥xα时，我们就推断H0不成立，即认为X和Y不独立，该推断犯错误的概率不超过α；当χ2＜xα时，我们没有充分证据推断H0不成立，可以认为X和Y独立（其中xα为α的临界值）；
（4）独立性检验中几个常用的小概率值和相应的临界值：
α 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001
xα 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
提醒：独立性检验是对两个分类变量有关系的可信程度的判断，而不是对其是否有关系的判断，χ2越大，认为两个分类变量有关系的把握越大.
诊断自测
1.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）
（1）2×2列联表中的数据是两个分类变量的频数.（　　）
（2）事件A和B的独立性检验无关，即两个事件互不影响.（　　）
（3）χ2的大小是判断事件A和B是否相关的统计量.（　　）
（4）在2×2列联表中，若｜ad－bc｜越小，则说明两个分类变量之间关系越强.（　　）
2.一个2×2列联表如表所示，则表中a，c处的值分别为（　　）
y1 y2 合计
x1 a 25 73
x2 21 b c
合计 d 49
A.98，28 B.28，98
C.48，45 D.45，48
3.想要检验喜欢参加体育活动是不是与性别有关，应该提出统计假设H0为（　　）
A.男性喜欢参加体育活动
B.女性不喜欢参加体育活动
C.喜欢参加体育活动与性别有关
D.喜欢参加体育活动与性别无关
4.根据分类变量x与y的成对样本数据，计算得χ2＝2.826，依据α＝0.05的独立性检验，正确的结论为（　　）
参考值：
α 0.1 0.05 0.01
xα 2.706 3.841 6.635
A.x与y不独立
B.x与y不独立，这个结论犯错误的概率不超过0.05
C.x与y独立
D.x与y独立，这个结论犯错误的概率不超过0.05
分类变量与列联表
（基础自学过关）
1.〔多选〕根据如图所示的等高堆积条形图，下列叙述正确的是（　　）
A.吸烟患肺病的频率约为0.2
B.吸烟不患肺病的频率约为0.8
C.不吸烟患肺病的频率小于0.05
D.吸烟与患肺病无关系
2.在某次独立性检验中，得到如下列联表：
A 合计
B 200 800 1 000
180 a 180＋a
合计 380 800＋a 1 180＋a
最后发现，两个分类变量没有关联，则a的值可能是（　　）
A.200　　B.720 C.100　　D.180
3.假设有两个分类变量X和Y，它们的值域分别为{x1，x2} 和{y1，y2}，其2×2列联表为：
X Y 合计
y1 y2
x1 a b a＋b
x2 c d c＋d
合计 a＋c b＋d n＝a＋b＋c＋d
对同一样本，以下数据能说明X 与Y 有关的可能性最大的一组为（　　）
A.a＝5，b＝4，c＝3，d＝2
B.a＝5，b＝3，c＝4，d＝2
C.a＝2，b＝3，c＝4，d＝5
D.a＝3，b＝2，c＝4，d＝5
分类变量的两种统计表示形式 （1）2×2 列联表：用定量的方式判断两分类变量是否有关联及关联性的强弱； （2）等高堆积条形图：能更直观地反映出两个分类变量间是否相互影响，常用等高堆积条形图展示列联表数据的频率特征.
分类变量关联性的判断
（师生共研过关）
（2026·江苏盐城模拟）根据分类变量Ⅰ与Ⅱ的统计数据，计算得到χ2＝2.954，则（　　）
α 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001
xα 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
A.变量Ⅰ与Ⅱ相关
B.变量Ⅰ与Ⅱ相关，这个结论犯错误的概率不超过0.1
C.变量Ⅰ与Ⅱ不相关
D.变量Ⅰ与Ⅱ不相关，这个结论犯错误的概率不超过0.1
听课记录
　　如果χ2＞xα，则“X与Y有关系”这种推断犯错误的概率不超过α；否则，就认为在犯错误的概率不超过α的前提下不能推断“X与Y有关系”，或者在样本数据中没有发现足够的证据支持结论“X与Y有关系”.
训练1 （1）某市政府调查市民收入增减与旅游愿望的关系时，采用独立性检验法抽查了3 000人，计算得χ2＝6.023，则市政府断言市民收入增减与旅游愿望有关系的可信程度是（　　）
A.90％ B.95％
C.99％ D.99.5％
（2）根据分类变量 X 和Y 的样本观察数据的计算结果，有不少于95％的把握认为 X 和Y 有关，则χ2的值不可能为（　　）
α 0.150 0.100 0.050 0.010 0.005
xα 2.072 2.706 3.841 6.635 7.879
A.2.819 B.5.512
C.6.635 D.8.243
独立性检验的应用
（师生共研过关）
（2025·全国Ⅰ卷15题）为研究某疾病与超声波检查结果的关系，从做过超声波检查的人群中随机调查了1 000人，得到如下列联表：
组别 超声波检查结果 合计
正常 不正常
患该疾病 20 180 200
未患该疾病 780 20 800
合计 800 200 1 000
（1）记超声波检查结果不正常者患该疾病的概率为p，求p的估计值；
（2）根据小概率值α＝0.001的独立性检验，分析超声波检查结果是否与患该疾病有关.
独立性检验的一般步骤 （1）提出零假设H0：X和Y相互独立； （2）根据样本数据制成2×2列联表； （3）根据公式χ2＝计算； （4）比较χ2与临界值的大小关系，根据检验规则得出推断结论.
训练2 （2026·山东聊城模拟）某学校为了调动学生学习数学的积极性，在高二年级举行了一次数学有奖竞赛，对考试成绩优秀（即考试成绩不小于130分）的学生进行了奖励.学校为了掌握考试情况，随机抽取了部分考试成绩，并以此为样本制作了如图所示的样本频率分布直方图.已知第一小组[90，100）的频数为10.
（1）求a的值和样本容量；
（2）估计所有参赛学生的平均成绩；
（3）假设在抽取的样本中，男生比女生多20人，女生的获奖率为12.5％，依据小概率值α＝0.01的独立性检验，判断男生与女生的获奖情况是否存在差异？
第4节　列联表与独立性检验
【夯实必备知识】
知识梳理
1.（2）频数
3.（2）
诊断自测
1.（1）√　（2）×　（3）√　（4）×
2.C　3.D　4.C
【研透核心考点】
考点1
1.ABC　2.B　3.D　
考点2
【例1】　B　零假设为H0：变量Ⅰ与Ⅱ不相关，因为χ2＝2.954＞2.706，依据α＝0.1的独立性检验可知，推断H0不成立，即认为变量Ⅰ与Ⅱ相关，这个结论犯错误的概率不超过0.1.故选B.
训练1　（1）B　（2）A　解析：（1）结合选项，由临界值表，得6.023＞3.841＝x0.05，所以断言市民收入增减与旅游愿望有关系的可信程度为95％.
（2）因为有不少于95％的把握认为 X 和Y 有关，所以χ2≥3.841，只有A不满足要求.故选A.
考点3
【例2】　解：（1）由题表可知，检查结果不正常者有200人，检查结果不正常者中患有该疾病的有180人，
所以由样本估计总体得p＝＝0.9.
（2）零假设为H0：超声波检查结果与是否患该疾病无关.
χ2＝＝＞10.828，
所以依据小概率值α＝0.001的独立性检验，我们推断H0不成立，即认为超声波检查结果与是否患该疾病有关.
训练2　解：（1）由频率分布直方图中，所有矩形面积之和为1可得（a＋0.01×2＋0.005＋0.015＋0.025）×10＝1，解得a＝0.035，样本容量为＝100.
（2）所有参赛学生的平均成绩为＝95×0.1＋105×0.1＋115×0.25＋125×0.35＋135×0.15＋145×0.05＝120.
（3）由题意可知，获奖人数为100×（0.015＋0.005）×10＝20，
零假设为H0：男生与女生的获得情况无差异.
由题意可计算得如下2×2列联表：
性别 奖励 合计
获奖 未获奖
男 15 45 60
女 5 35 40
合计 20 80 100
所以χ2＝＝2.343 75＜6.635，
所以，依据小概率值α＝0.01的独立性检验，没有充分证据推断H0不成立，即男生与女生的获奖情况无差异.
1 / 1(共62张PPT)
第4节　列联表与独立性检验
课标要求
1. 掌握分类变量的含义.
2. 通过实例，理解2×2列联表的统计意义.
3. 通过实例，了解2×2列联表独立性检验及其应用.
目录/
CONTENTS
夯实必备知识
01
研透核心考点
02
课时跟踪检测
03
01
PART
夯实必备知识
知识梳理
1. 分类变量与列联表
（1）分类变量：变量的不同“值”表示个体所属的不同类别，像这样的
变量称为分类变量；
（2）列联表：列出的两个分类变量的频数表，称为列联表.假设有两个分
类变量X和Y，X表示相互对立的两个事件{X＝0}和{X＝1}，Y表示相互
对立的两个事件{Y＝0}和{Y＝1}，其中a，b，c，d是事件{X＝x，Y
＝y}（x，y＝0，1）的 ，n是样本量，其样本频数列联表（称为
2×2列联表）如表所示：
频数　
X Y 合计
Y＝0 Y＝1
X＝0 a b a＋b
X＝1 c d c＋d
合计 a＋c b＋d n＝a＋b＋c＋d
2. 等高堆积条形图
（1）等高堆积条形图与表格相比，更能直观地反映出两个分类变量间是
否相互影响，常用等高堆积条形图展示列联表数据的频率特征；
（2）如果通过直接计算或等高堆积条形图发现 和 相差很大，就
判断两个分类变量之间有关系.
3. 独立性检验
（1）概念：利用χ2的取值推断分类变量X和Y是否独立的方法称为χ2独立
性检验，读作“卡方独立性检验”，简称独立性检验；
（2）χ2的计算公式：χ2＝ ；
（3）基于小概率值α的检验规则：当χ2≥xα时，我们就推断H0不成立，即
认为X和Y不独立，该推断犯错误的概率不超过α；当χ2＜xα时，我们没有
充分证据推断H0不成立，可以认为X和Y独立（其中xα为α的临界值）；
　
（4）独立性检验中几个常用的小概率值和相应的临界值：
α 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001
xα 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
提醒：独立性检验是对两个分类变量有关系的可信程度的判断，而不是对
其是否有关系的判断，χ2越大，认为两个分类变量有关系的把握越大.
诊断自测
1. 判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）
（1）2×2列联表中的数据是两个分类变量的频数. （　√　）
（2）事件A和B的独立性检验无关，即两个事件互不影响. （　×　）
（3）χ2的大小是判断事件A和B是否相关的统计量. （　√　）
（4）在2×2列联表中，若｜ad－bc｜越小，则说明两个分类变量之间关
系越强. （　×　）
√
×
√
×
2. 一个2×2列联表如表所示，则表中a，c处的值分别为（　　）
y1 y2 合计
x1 a 25 73
x2 21 b c
合计 d 49
A. 98，28 B. 28，98
C. 48，45 D. 45，48
√
解析： 　由2×2列联表知，a＋25＝73，b＋25＝49，b＋21＝c，解得a
＝48，b＝24，c＝45.
3. 想要检验喜欢参加体育活动是不是与性别有关，应该提出统计假设H0为
（　　）
A. 男性喜欢参加体育活动
B. 女性不喜欢参加体育活动
C. 喜欢参加体育活动与性别有关
D. 喜欢参加体育活动与性别无关
√
解析： 　独立性检验是一种假设性检验，假设有反证法的意味，应假设
两个变量无关，即应提出统计假设H0：喜欢参加体育活动与性别无关.
4. 根据分类变量x与y的成对样本数据，计算得χ2＝2.826，依据α＝0.05
的独立性检验，正确的结论为（　　）
参考值：
α 0.1 0.05 0.01
xα 2.706 3.841 6.635
A. x与y不独立
B. x与y不独立，这个结论犯错误的概率不超过0.05
C. x与y独立
D. x与y独立，这个结论犯错误的概率不超过0.05
√
解析： 　零假设为H0：x与y独立，由χ2＝2.826＜3.841，依据α＝0.05
的独立性检验，可得H0成立，故可以认为x与y独立.
02
PART
研透核心考点
分类变量与列联表（基础自学过关）
1. 〔多选〕根据如图所示的等高堆积条形图，下列叙述正确的是（　　）
A. 吸烟患肺病的频率约为0.2
B. 吸烟不患肺病的频率约为0.8
C. 不吸烟患肺病的频率小于0.05
D. 吸烟与患肺病无关系
√
√
√
解析： 　从等高堆积条形图上可以明显地看出，吸烟患肺病的频率远
远大于不吸烟患肺病的频率，D错误.A、B、C都正确.
2. 在某次独立性检验中，得到如下列联表：
A 合计
B 200 800 1 000
180 a 180＋a
合计 380 800＋a 1 180＋a
最后发现，两个分类变量没有关联，则a的值可能是（　　）
A. 200 B. 720 C. 100 D. 180
√
解析：∵两个分类变量没有关联，∴ ≈ ，解得a≈720，故选B.
3. 假设有两个分类变量X和Y，它们的值域分别为{x1，x2} 和{y1，y2}，
其2×2列联表为：
X Y 合计
y1 y2
x1 a b a＋b
x2 c d c＋d
合计 a＋c b＋d n＝a＋b＋c＋d
对同一样本，以下数据能说明X 与Y 有关的可能性最大的一组为（　　）
A. a＝5，b＝4，c＝3，d＝2
B. a＝5，b＝3，c＝4，d＝2
C. a＝2，b＝3，c＝4，d＝5
D. a＝3，b＝2，c＝4，d＝5
√
解析： 　对于同一样本，｜ad－bc｜ 越小，说明X 与Y 相关性越弱，
而｜ad－bc｜ 越大，说明X 与Y 相关性越强，通过计算知，对于A，B，
C，都有｜ad－bc｜＝｜10－12｜＝2；对于D，有｜ad－bc｜＝｜15－
8｜＝7，显然7＞2.故选D.
分类变量的两种统计表示形式
（1）2×2 列联表：用定量的方式判断两分类变量是否有关联及关联性的
强弱；
（2）等高堆积条形图：能更直观地反映出两个分类变量间是否相互影
响，常用等高堆积条形图展示列联表数据的频率特征.
分类变量关联性的判断（师生共研过关）
（2026·江苏盐城模拟）根据分类变量Ⅰ与Ⅱ的统计数据，计算得到χ2＝
2.954，则（　　）
α 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001
xα 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
A. 变量Ⅰ与Ⅱ相关
B. 变量Ⅰ与Ⅱ相关，这个结论犯错误的概率不超过0.1
C. 变量Ⅰ与Ⅱ不相关
D. 变量Ⅰ与Ⅱ不相关，这个结论犯错误的概率不超过0.1
√
解析： 　零假设为H0：变量Ⅰ与Ⅱ不相关，因为χ2＝2.954＞2.706，依据α
＝0.1的独立性检验可知，推断H0不成立，即认为变量Ⅰ与Ⅱ相关，这个结
论犯错误的概率不超过0.1.故选B.
　　如果χ2＞xα，则“X与Y有关系”这种推断犯错误的概率不超过α；否
则，就认为在犯错误的概率不超过α的前提下不能推断“X与Y有关系”，
或者在样本数据中没有发现足够的证据支持结论“X与Y有关系”.
训练1 （1）某市政府调查市民收入增减与旅游愿望的关系时，采用独立性
检验法抽查了3 000人，计算得χ2＝6.023，则市政府断言市民收入增减与
旅游愿望有关系的可信程度是（　B　）
A. 90％ B. 95％
C. 99％ D. 99.5％
解析： 结合选项，由临界值表，得6.023＞3.841＝x0.05，所以断言市民收
入增减与旅游愿望有关系的可信程度为95％.
B
（2）根据分类变量 X 和Y 的样本观察数据的计算结果，有不少于95％的把
握认为 X 和Y 有关，则χ2的值不可能为（　A　）
α 0.150 0.100 0.050 0.010 0.005
xα 2.072 2.706 3.841 6.635 7.879
A. 2.819 B. 5.512
C. 6.635 D. 8.243
解析： 因为有不少于95％的把握认为 X 和Y 有关，所以χ2≥3.841，只有A
不满足要求.故选A.
A
独立性检验的应用（师生共研过关）
（2025·全国Ⅰ卷15题）为研究某疾病与超声波检查结果的关系，从做
过超声波检查的人群中随机调查了1 000人，得到如下列联表：
组别 超声波检查结果 合计
正常 不正常
患该疾病 20 180 200
未患该疾病 780 20 800
合计 800 200 1 000
（1）记超声波检查结果不正常者患该疾病的概率为p，求p的估计值；
解： 由题表可知，检查结果不正常者有200人，检查结果不正常者中患有
该疾病的有180人，
所以由样本估计总体得p＝ ＝0.9.
（2）根据小概率值α＝0.001的独立性检验，分析超声波检查结果是否与
患该疾病有关.
解：零假设为H0：超声波检查结果与是否患该疾病无关.
χ2＝ ＝ ＞10.828，
所以依据小概率值α＝0.001的独立性检验，我们推断H0不成立，即认为超
声波检查结果与是否患该疾病有关.
独立性检验的一般步骤
（1）提出零假设H0：X和Y相互独立；
（2）根据样本数据制成2×2列联表；
（3）根据公式χ2＝ 计算；
（4）比较χ2与临界值的大小关系，根据检验规则得出推断结论.
训练2 （2026·山东聊城模拟）某学校为了调动学生学习数学的积极性，在
高二年级举行了一次数学有奖竞赛，对考试成绩优秀（即考试成绩不小于
130分）的学生进行了奖励.学校为了掌握考试情况，随机抽取了部分考试
成绩，并以此为样本制作了如图所示的样本频率分布直方图.已知第一小
组[90，100）的频数为10.
（1）求a的值和样本容量；
解： 由频率分布直方图中，所有矩形面积之和为1可得（a＋0.01×2＋
0.005＋0.015＋0.025）×10＝1，解得a＝0.035，样本容量为 ＝
100.
（2）估计所有参赛学生的平均成绩；
解：所有参赛学生的平均成绩为 ＝95×0.1＋105×0.1＋115×0.25＋
125×0.35＋135×0.15＋145×0.05＝120.
（3）假设在抽取的样本中，男生比女生多20人，女生的获奖率为12.5
％，依据小概率值α＝0.01的独立性检验，判断男生与女生的获奖情况是
否存在差异？
解：由题意可知，获奖人数为100×（0.015＋0.005）×10＝20，
零假设为H0：男生与女生的获得情况无差异.
由题意可计算得如下2×2列联表：
性别 奖励 合计
获奖 未获奖
男 15 45 60
女 5 35 40
合计 20 80 100
所以χ2＝ ＝2.343 75＜6.635，
所以，依据小概率值α＝0.01的独立性检验，没有充分证据推断H0不成
立，即男生与女生的获奖情况无差异.
03
PART
课时跟踪检测
（时间：45分钟，满分：72分）
[备注：单选、填空题5分，多选题6分]
1. 在研究打鼾与患心脏病的关系中，通过收集数据、整理分析数据得“打
鼾与患心脏病有关”的结论，并且在犯错误的概率不超过0.01的前提下认
为这个结论是成立的，下列说法中正确的是（　　）
A. 100个吸烟者中至少有99人打鼾
B. 1个人患有心脏病，那么这个人有99％的概率打鼾
C. 在100个心脏病患者中一定有打鼾的人
D. 在100个心脏病患者中可能一个打鼾的人也没有
1
2
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9
10
11
12
√
解析： 　在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为这个结论是成立的，
其意义就是我们有99％的把握认为打鼾与患心脏病有关，在100个心脏病
患者中可能一个打鼾的人也没有，故C错误，D正确；对于A，题设中没有
给出吸烟与打鼾相关性判断，故A错误；对于B，独立性检验是对分类变量
相关性的判断，不能具体到个体，故B错误.故选D.
1
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7
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10
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12
2. 为了考察某种中成药预防流感的效果，抽样调查40人，得到如下数据：
药物 流感
患流感 未患流感
服用 2 18
未服用 8 12
根据表中数据，计算χ2，若由此认为“该药物预防流感有效果”，则该结
论出错的概率不超过（　　）
A. 0.05 B. 0.1
√
C. 0.01 D. 0.005
解析： 　由题意知，χ2＝ ＝4.8＞3.841＝x0.05，故认
为“该药物预防流感有效果”，则该结论出错的概率不超过0.05.
1
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11
12
3. 有甲、乙两个班级进行数学考试，按照大于等于85分为优秀，85分以下
为非优秀统计成绩，得到列联表：
优秀 非优秀 合计
甲班 10 b
乙班 c 30
合计 105
已知在全部的105人中随机抽取1人，成绩优秀的概率为 ，则下列说法正
确的是（　　）
1
2
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11
12
A. 列联表中c的值为30，b的值为35
B. 列联表中c的值为15，b的值为50
C. 根据列联表中的数据，依据小概率值α＝0.05的独立性检验，能认为
“成绩与班级有关系”
D. 根据列联表中的数据，依据小概率值α＝0.05的独立性检验，不能认为
“成绩与班级有关系”
√
1
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5
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7
8
9
10
11
12
解析： 　由题意知，在105人中随机抽取1人，成绩优秀的概率为 ，故成
绩优秀的学生人数是105× ＝30，成绩非优秀的学生人数是105－30＝
75，所以c＝30－10＝20，b＝75－30＝45，故列联表为：
优秀 非优秀 合计
甲班 10 45 55
乙班 20 30 50
合计 30 75 105
故A、B错误；根据列联表中的数据，得到χ2＝
≈6.109＞3.841＝x0.05，因此依据小概率值α＝0.05的独立性检验，认为
“成绩与班级有关系”，C正确，D错误.
1
2
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11
12
4. 某校为了研究学生的性别和对待某一活动的态度（支持与不支持）的关
系，运用2×2列联表进行独立性检验.整理所得数据后发现，若依据小概
率值α＝0.010的独立性检验，则认为学生性别与是否支持该活动无关；若
依据小概率值α＝0.025的独立性检验，则认为学生性别与是否支持该活动
有关，则χ2的值可能为（　　）
A. 4.238 B. 4.972
C. 6.687 D. 6.069
√
解析： 　由题知χ2∈[5.024，6.635），结合选项，χ2的值可能为6.069.
1
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12
5. 已知某独立性检验中，由χ2＝ ，n＝a＋b＋
c＋d计算出χ2＝ ，若将2×2列联表中的数据a，b，c，d分别变成
2a，2b，2c，2d，计算出的χ2＝ ，则（　　）
A. ＝ B. ＝2
C. ＝2 D. ＝4
√
解析： 　因为 ＝ ，所以 ＝
＝ ＝2 .故选B.
1
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12
6. 〔多选〕每年的毕业季都是高校毕业生求职和公司招聘最忙碌的时候，
甲、乙两家公司今年分别提供了2个和3个不同的职位，一共收到了100份
简历，具体数据如下：
公司 文史男 文史女 理工男 理工女
甲 10 10 20 10
乙 15 20 10 5
分析毕业生的选择意愿与性别的关联关系时，已知对应的χ2的值
χ1≈1.010；分析毕业生的选择意愿与专业的关联关系时，对应的χ2的值
χ2≈9.091，则下列说法正确的是（　　）
1
2
3
4
5
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7
8
9
10
11
12
A. 有99.9％的把握认为毕业生的选择意愿与专业相关联
B. 毕业生在选择甲、乙公司时，选择意愿与专业的关联性比与性别的关联
性更大一些
C. 理工科专业的毕业生更倾向于选择甲公司
D. 女性毕业生更倾向于选择乙公司
√
√
√
解析 由题知χ2≈9.091，所以有1－0.005＝99.5％的把握认为毕业
生的选择意愿与专业相关联，所以A不正确；由χ2＞χ1，易知B正确；根据
题中的数据表可知，理工科专业的毕业生更倾向于选择甲公司，女性毕业
生更倾向于选择乙公司，所以C、D均正确.故选B、C、D.
1
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12
7. 如图是调查某学校高一年级男、女学生是否喜欢徒步运动而得到的等高
堆积条形图，阴影部分表示喜欢徒步的频率.已知该年级男生500人、女生
400人（假设所有学生都参加了调查），现从所有喜欢徒步的学生中按分
层随机抽样的方法抽取23人，则抽取的男生人数为 .
15　
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12
解析：根据等高堆积条形图可知：喜欢徒步的男生人数为0.6×500＝
300，喜欢徒步的女生人数为0.4×400＝160，所以喜欢徒步的总人数为
300＋160＝460，按分层随机抽样的方法抽取23人，则抽取的男生人数为
×23＝15.
1
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12
8. 某驾驶员培训学校为对比了解“科目二”的培训过程，采用大密度集中
培训与周末分散培训两种方式，调查了105名学员，统计结果为：接受大
密度集中培训的55名学员中有50名学员一次考试通过，接受周末分散培训
的学员一次考试通过的有30名.根据统计结果，认为“能否一次考试通过
与是否集中培训有关”犯错误的概率不超过 .
0.001　
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12
考试情况 培训方式 合计
集中培训 分散培训
一次考试通过 50 30 80
一次考试未通过 5 20 25
合计 55 50 105
则χ2＝ ≈13.793＞10.828＝x0.001，故认为“能否一次
考试通过与是否集中培训有关”犯错误的概率不超过0.001.
解析：由题意，可得如下2×2列联表：
1
2
3
4
5
6
7
8
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12
9. 足球是一项大众喜爱的运动，某机构为了解喜爱足球是否与性别有关
联，随机抽取了若干人进行调查，已知抽取的女性人数是男性的2倍，男
性中喜爱足球的人数占男性人数的 ，女性中喜爱足球的人数占女性人数
的 .若本次调查得出“根据小概率值α＝0.005的独立性检验，认为是否喜
爱足球与性别有关联”的结论，则被调查的男性人数至少为（　　）
A. 10 B. 11 C. 12 D. 13
√
1
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12
解析： 设被调查的男性人数为x，则女性人数为2x，根据题意可得列
联表如表：
态度 性别 合计
男 女
喜爱足球
不喜爱足球
合计 x 2x 3x
1
2
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5
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12
则χ2＝ ＝ ，因为根据小概率值α＝0.005的独立性检验，
认为是否喜爱足球与性别有关联，所以χ2≥7.879，即 ≥7.879，解得
x≥11.818 5，又因为列联表中的所有数据均为整数，所以x的最小值为
12.
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12
10. 〔多选〕晚上睡眠充足是提高学习效率的必要条件，某高中M的高三
年级学生晚上10点10分必须休息，另一所同类高中N的高三年级学生晚上
11点休息，并鼓励学生还可以继续进行夜自习，稍晚再休息.有关人员分
别对这两所高中的高三年级学习总成绩前50名学生的学习效率进行问卷调
查，其中高中M有30名学生的学习效率高，且从这100名学生中随机抽取1
人，抽到学习效率高的学生的概率是0.4，则（　　）
A. 高中M的前50名学生中有60％的学生学习效率高
B. 高中N的前50名学生中有40％的学生学习效率高
C. 有99.9％的把握认为学生学习效率高低与晚上睡眠是否充足有关
D. 认为学生学习效率高低与晚上睡眠是否充足有关的犯错概率超过0.05
√
√
1
2
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4
5
6
7
8
9
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11
12
解析： 　高中M的前50名学生中有30人学习效率高，即 ×100％＝60
％，A正确；高中N的前50名学生中有10人学习效率高，即 ×100％＝20
％，B错误；这100名学生中学习效率高的学生有100×0.4＝40（人），根
据题意填写列联表如下，
学校 学习效率高低 合计
学习效率高 学习效率不高
高中M 30 20 50
高中N 10 40 50
合计 40 60 100
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12
χ2＝ ＝ ≈16.667＞10.828＝x0.001，有99.9％的把
握认为学生学习效率高低与晚上睡眠是否充足有关，C正确；认为学生学
习效率高低与晚上睡眠是否充足有关的犯错概率不超过0.05，D错误.故选
A、C.
1
2
3
4
5
6
7
8
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12
11. 为了调查学生对网络课程是否喜爱，研究人员随机调查了相同人数的
男、女学生，发现男生中有80％喜欢网络课程，女生中有40％不喜欢网络
课程，且有95％的把握认为喜欢网络课程与性别有关，但没有99％的把握
认为喜欢网络课程与性别有关.已知被调查的男、女学生的总人数为20k
（k∈N*），则k＝ .
解析：设男、女学生的总人数为2n，则2n＝20k（k∈N*），由题意建立
2×2列联表为：
5或6　
1
2
3
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6
7
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9
10
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12
喜欢 不喜欢 合计
男生 0.8n 0.2n n
女生 0.6n 0.4n n
合计 1.4n 0.6n 2n
所以χ2＝ ＝ ，又因为有95％的把握认为喜欢网
络课程与性别有关，但没有99％的把握认为喜欢网络课程与性别有关，所
以3.841≤ ＜6.635 80.661≤2n＜139.335，又2n＝20k（k∈N*），
所以4.033 05≤k＜6.966 75，所以k＝5或k＝6.
1
2
3
4
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12
12. （15分）（2024·全国甲卷17题改编）某工厂进行生产线智能化升级改
造，升级改造后，从该工厂甲、乙两个车间的产品中随机抽取150件进行
检验，数据如下：
优级品 合格品 不合格品 合计
甲车间 26 24 0 50
乙甲间 70 28 2 100
合计 96 52 2 150
1
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12
（1）能否有95％的把握认为甲、乙两车间产品的优级品率存在差异？能
否有99％的把握认为甲、乙两车间产品的优级品率存在差异？
解： 根据题意列出列联表：
优级品 非优级品 合计
甲车间 26 24 50
乙车间 70 30 100
合计 96 54 150
1
2
3
4
5
6
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9
10
11
12
可得χ2＝ ＝ ＝4.687 5，
因为3.841＜4.687 5＜6.635，
所以有95％的把握认为甲、乙两车间产品的优级品率存在差异，没有99％
的把握认为甲、乙两车间产品的优级品率存在差异.
1
2
3
4
5
6
7
8
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11
12
（2）已知升级改造前该工厂产品的优级品率p＝0.5，设 为升级改造后
抽取的n件产品的优级品率.如果 ＞p＋1.65 ，则认为该工厂
产品的优级品率提高了，根据抽取的150件产品的数据，能否认为生产线
智能化升级改造后，该工厂产品的优级品率提高了？（ ≈12.247）
解： 由题意可知，生产线智能化升级改造后，该工厂产品的优级品
的频率为 ＝0.64，
用频率估计概率可得 ＝0.64，
又因为升级改造前该工厂产品的优级品率p＝0.5，
1
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5
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8
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10
11
12
则p＋1.65 ＝0.5＋1.65× ≈0.5＋1.65×
≈0.57，
可知 ＞p＋1.65 ，所以可以认为生产线智能化升级改造后，
该工厂产品的优级品率提高了.
1
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THANKS
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