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第2节　二项式定理
（时间：60分钟，满分：79分）
[备注：单选、填空题5分，多选题6分]
1.在（x－）4的展开式中，x3的系数为（　　）
A.6 B.－6
C.12 D.－12
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
2.已知（1＋2x）n（n∈N*）的展开式中第4项与第6项的二项式系数相等，则（1＋2x）n的展开式的各项系数和为（　　）
A.38 B.310
C.28 D.210
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
3.（2x－3）（x－1）5的展开式中x3的系数为（　　）
A.－50 B.－10
C.10 D.50
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
4.二项式（ x＋）n的展开式中只有第11项的二项式系数最大，则展开式中x的指数为整数的项的个数为（　　）
A.3 B.5
C.6 D.7
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
5.〔多选〕（2025·浙江温州二模）已知二项展开式（1－x）2 025＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a2 025x2 025，则（　　）
A.a0＝1
B.a1＋a2＋…＋a2 025＝0
C.a1＋a2 024＝0
D.a0＋a2＋a4＋…＋a2 024＝22 024
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
6.〔多选〕（2026·江苏常州模拟）在二项式（ ＋）n的展开式中，前3项的系数成等差数列，则下列结论中正确的是（　　）
A.n＝8
B.展开式中所有奇数项的二项式系数和为128
C.常数项为
D.展开式中系数最大项为第3项和第4项
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
7.在（1＋x）3＋（1＋x）4＋（1＋x）5的展开式中，含x2的项的系数为　　　　.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
8.已知＋2＋22＋23＋…＋2n＝243，则＋＋＋…＋＝　　　　.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
9.5050＋9被7除的余数为　　　　.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
10.（x＋y－2z）5的展开式中，xy2z2的系数是（　　）
A.120 B.－120
C.60 D.30
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
11.在｜x－｜n的展开式中含x3项的系数为15，则展开式中二项式系数最大的项是（　　）
A.第4项 B.第5项
C.第6项 D.第3项
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
12.〔多选〕若（1＋x）＋（1＋x）2＋…＋（1＋x）n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，且a1＋a2＋…＋an－1＝125－n，则下列结论正确的是（　　）
A.n＝6
B.a1＝21
C.（1＋2x）n展开式中二项式系数和为729
D.a1＋2a2＋3a3＋…＋nan＝321
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
13.（2023·上海高考10题）已知（1＋2 023x）100＋（2 023－x）100＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a100x100，其中a0，a1，a2，…，a100∈R，若0≤k≤100，且k∈N，当ak＜0时，k的最大值为　　　　.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
14.“杨辉三角”是数学史上的一个伟大成就.在如图所示的“杨辉三角”中，去掉所有的数字1，余下的数逐行从左到右排列，得到数列{an}为2，3，3，4，6，4，5，10，…，则数列{an}的前10项和为　　　　；若am＝10，m∈N*，则m的最大值为　　　　.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
15.〔创新定义〕〔多选〕（2026·广东深圳模拟）对于n∈N*，将n表示为n＝a0·30＋a1·31＋a2·32＋…＋ak·3k.其中ai∈{－1，0，1}（i＝0，1，2，…，k），ak≠0.记I（n）为上述表示中ai为0的个数（例如8＝（－1）·30＋0·31＋1·32，则I（8）＝1，则下列结论正确的是（　　）
A.I（9）＝2 B.I（3n－1）＝n－1
C.I（9n）＝I（n）＋2 D.I（9n＋4）＝I（n）＋4
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
第2节　二项式定理
1.A　2.A　3.A　4.D
5.ACD　对于A项：令x＝0，则a0＝1，故A正确；对于B项：令x＝1，则a0＋a1＋a2＋…＋a2 025＝0　①，所以a1＋a2＋…＋a2 025＝－1，故B错误；对于C项：a1x＝·（－x）1＝－2 025x，所以a1＝－2 025，a2 024x2 024＝·（－x）2 024＝2 025x2 024，所以a2 024＝2 025，所以a1＋a2 024＝0，故C正确；对于D项：令x＝－1，则22 025＝a0－a1＋a2－a3＋…＋a2 024－a2 025　②，①＋②可得：22 024＝a0＋a2＋a4＋…＋a2 024，故D正确.故选A、C、D.
6.ABD　（ ＋）n展开式的通项为Tk＋1＝（ ）n－k·（ ）k＝·，则前3项的系数分别为，，，对于A，由题意可得2×＝＋，即n＝1＋，解得n＝8或n＝1（舍去），所以n＝8，故A正确；对于B，（ ＋）8展开式中所有奇数项的二项式系数和为＝128，故B正确；对于C，（ ＋）8展开式的通项为Tk＋1＝·xk－4，令k－4＝0，则k＝4，所以（ ＋）8展开式中常数项为·＝，故C错误；对于D，设展开式中第r＋1项的系数最大，则有解得r＝2或r＝3，所以展开式中系数最大项为第3项和第4项，故D正确.故选A、B、D.
7.19　解析：（1＋x）3展开式的通项是13－rxr，令r＝2可得·1·x2＝3x2；（1＋x）4展开式的通项是14－rxr，令r＝2可得·12·x2＝6x2；（1＋x）5展开式的通项是15－rxr，令r＝2可得·13·x2＝10x2.所以（1＋x）3＋（1＋x）4＋（1＋x）5的展开式中，含x2的项为3x2＋6x2＋10x2＝19x2，系数为19.
8.31　解析：逆用二项式定理得＋2＋22＋23＋…＋2n＝（1＋2）n＝243＝35，所以n＝5，故＋＋＋…＋＝25－1＝31.
9.3　解析：5050＝（49＋1）50＝4950＋×4949＋×4948＋…＋×49＋1，展开式中除最后一项外，其他各项都是7的整数倍，所以5050＋9被7除的余数等于1＋9＝10被7除的余数，结果为3.
10.A　由题意知（x＋y－2z）5＝[（x＋y）－2z]5，展开式的第k＋1项为（x＋y）5－k（－2z）k，令k＝2，可得第3项为（－2）2（x＋y）3z2，（x＋y）3的展开式的第m＋1项为x3－mym，令m＝2，可得第3项为xy2，所以（x＋y－2z）5的展开式中，xy2z2的系数是（－2）2＝120.
11.A　由｜x－｜n可得x＞0，当0＜x＜1时，x＜，则｜x－｜n＝（ －x）n，其展开式的通项为Tr＋1＝（ ）n－r（－x）r＝（－1）r，令＝3，（－1）r＝15，解得n＝6，r＝4；当x≥1时，x≥，则｜x－｜n＝（ x－）n，其展开式的通项为Tk＋1＝xn－k·（ －）k＝（－1）k，令n－＝3，（－1）k＝15，解得n＝6，k＝2.综上所述，n＝6，所以展开式共有7项，展开式中二项式系数最大的项是第4项.
12.ABD　对于A，因为（1＋x）＋（1＋x）2＋…＋（1＋x）n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，令x＝1，得2＋22＋…＋2n＝a0＋a1＋a2＋…＋an＝＝2n＋1－2，令x＝0，得n＝a0，因为（1＋x）n中xn项为xn＝xn，所以an＝1，所以a1＋a2＋…＋an－1＝2n＋1－2－n－1＝125－n，解得n＝6，故A正确；对于B，a1＝1＋＋＋＋＋＝21，故B正确；对于C，（1＋2x）6展开式中二项式系数和为26＝64，故C错误；对于D，令f（x）＝（1＋x）＋（1＋x）2＋…＋（1＋x）6＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a6x6，f'（x）＝1＋2（x＋1）＋…＋6（x＋1）5＝a1＋2a2x＋…＋6a6x5，令x＝1得f'（1）＝1＋2×2＋3×22＋4×23＋5×24＋6×25＝a1＋2a2＋3a3＋4a4＋5a5＋6a6＝321，故D正确.
13.49　解析：xk的系数为ak＝2 023k＋2 023100－k·（－1）k＝2 023k[1＋2 023100－2k（－1）k]，k＝0，1，2，…，100，要使ak＜0，则k必为奇数，且2 023100－2k＞1，∴100－2k＞0，即k＜50，∴k的最大值为49.
14.52　45　解析：由于n次二项式系数对应的杨辉三角形的第n＋1行，例如（x＋1）2＝x2＋2x＋1，系数分别为1，2，1，对应杨辉三角形的第三行；令x＝1，就可以求出该行的系数和，第1行为20，第2行为21，第3行为22，以此类推即每一行数字和为首项为1，公比为2的等比数列，则杨辉三角形的前n0行和为＝＝－1.若去除所有的数字1，则剩下的每一行的数字个数为1，2，3，4，…，构成一个首项为1，公差为1的等差数列，则Tn＝，可得当n＝4时，T4＝10，则数列{an}的前10项和为S6－（2×5＋1）＝26－12＝52；根据杨辉三角形的分布规律，最后出现am＝10的位置应为第9行的最后一项，∴m＝T9＝＝45.
15.ABC　对A，∵9＝0·30＋0·31＋32，∴I（9）＝2，故A正确；对B，∵3n－1＝－30＋0·31＋0·32＋…＋3n，∴I（3n－1）＝n－1，故B正确；对C，∵设n＝a030＋a131＋a232＋…ak3k，9n＝a032＋a133＋a234＋…ak3k＋2＋0·30＋0·31，增加了30，31两项系数为0，∴I（9n）＝I（n）＋2，故C正确；对于D，∵9n＋4＝a032＋a133＋a234＋…ak3k＋2＋1·30＋1·31，∴I（9n＋4）＝I（n），故D错误.故选A、B、C.
1 / 1第2节　二项式定理
1.能用多项式运算法则和计数原理证明二项式定理. 2.会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题.
知识梳理
1.二项式定理
二项式定理 （a＋b）n＝　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（n∈N*）
二项展开式的通项 Tk＋1＝　　　　　　，它表示展开式的第　　　　　项
二项式系数 　　　　（k＝0，1，…，n）
提醒：（1）项数为n＋1；（2）各项的次数和都等于二项式的幂指数n，即a与b的指数的和为n；（3）字母a按降幂排列，从第一项开始，次数由n逐项减1直到零；字母b按升幂排列，从第一项起，次数由零逐项增1直到n.
2.二项式系数的性质
提醒：注意二项式系数之和与展开式中各项系数之和的区别.
　　若二项展开式的通项为Tr＋1＝g（r）·xh（r）（r＝0，1，2，…，n），g（r）≠0，则： （1）h（r）＝0 Tr＋1是常数项； （2）h（r）是非负整数 Tr＋1是整式项； （3）h（r）是负整数 Tr＋1是分式项； （4）h（r）是整数 Tr＋1是有理项.
诊断自测
1.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）
（1）an－kbk是（a＋b）n的展开式中的第k项.（　　）
（2）二项展开式中系数的最大项为中间一项或中间两项.（　　）
（3）二项展开式项的系数是先增后减的.（　　）
（4）（a＋b）n某项的系数是该项中非字母因数部分，包括符号等，与该项的二项式系数不同.（　　）
2.（1－2x）4展开式中第3项的二项式系数为（　　）
A.6 B.－6
C.24 D.－24
3.（ －）10的展开式中x2的系数等于（　　）
A.45 B.20
C.－30 D.－90
4.〔一题多解〕（2026·四川德阳模拟）若（2x－1）4＝a4x4＋a3x3＋a2x2＋a1x＋a0，则a0＋a2＋a4＝（　　）
A.40 B.41
C.－40 D.－41
5.（2026·福建泉州月考）若（ x＋）n的展开式中二项式系数之和为64，则展开式的常数项为　　　　.
二项式中的特定项及系数
（基础自学过关）
1.（2026·山东青岛模拟）（ 2x－）6的展开式的常数项为（　　）
A.160 B.－160
C.80 D.－80
2.（2026·辽宁沈阳质量监测）已知二项式（ 2x2－）7的展开式中x2的系数是280，则实数a的值等于（　　）
A.1 B.2
C.±1 D.±2
3.（ ＋）30的展开式中无理项的项数为（　　）
A.27 B.24
C.26 D.25
4.〔多选〕已知（ x2－）n的展开式中第3项与第5项的系数之比为3∶14，则下列结论成立的是（　　）
A.n＝10
B.展开式中的常数项为45
C.含x5的项的系数为210
D.展开式中的有理项有5项
求二项展开式中特定项的步骤
二项式系数的性质与各项系数的和
（定向精析突破）
考向1　二项展开式中的系数和问题
在二项式（2x－3y）9的展开式中，求：
（1）二项式系数之和；
（2）各项系数之和；
（3）所有奇数项系数之和；
（4）系数绝对值之和.
赋值法的应用 （1）对形如（ax＋b）n，（ax2＋bx＋c）m（a，b，c∈R，m，n∈N*）的式子求其展开式的各项系数之和，只需令x＝1即可； （2）对（ax＋by）n（a，b∈R，n∈N*）的式子求其展开式各项系数之和，只需令x＝y＝1即可； （3）一般地，若f（x）＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，则f（x）展开式中各项系数之和为f（1），奇数项系数之和为a0＋a2＋a4＋…＝，偶数项系数之和为a1＋a3＋a5＋…＝.
考向2　二项式系数的最值问题
（1）〔多选〕（2026·山西临汾适应性考试）在（ －x）6的展开式中，下列说法正确的是（　　）
A.常数项为160
B.第4项的二项式系数最大
C.第3项的系数最大
D.所有项的系数和为64
（2）（2024·全国甲卷13题改编）（ ＋x）10的展开式中，各项系数中的最大值为（　　）
A.3 B.5
C.7 D.9
听课记录
1.求二项式系数最大项 （1）如果n是偶数，那么中间一项（ 第＋1项）的二项式系数最大； （2）如果n是奇数，那么中间两项（ 第项与第＋1项）的二项式系数相等且最大. 2.求展开式系数最大项 求（a＋bx）n（a，b∈R）的展开式中系数最大的项，一般是采用作差法或作商法（正数）.
训练1 （1）化简：－＋－＋…＋（－1）n＝（　　）
A.－1 B.0
C.1 D.2
（2）在（ x－）n的展开式中，只有第5项的二项式系数最大，则展开式中系数最小的项的系数为（　　）
A.－126 B.－70
C.－56 D.－28
（3）〔多选〕已知（1－2x）2 027＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a2 026x2 026＋a2 027x2 027，则（　　）
A.展开式中二项式系数和为1
B.展开式中所有项的系数和为－1
C.＋＋＋…＋＋＝－1
D.a1＋2a2＋3a3＋…＋2 026a2 026＋2 027a2 027＝－4 054
多项式展开式中特定项（系数）问题
（定向精析突破）
考向1　几个多项式和的展开式中特定项（系数）问题
〔一题多解〕在1＋（1＋x）＋（1＋x）2＋（1＋x）3＋（1＋x）4＋（1＋x）5＋（1＋x）6的展开式中，含x3项的系数是（　　）
A.25 B.30
C.35 D.40
听课记录
　　对于几个二项式和的展开式中的特定项（系数）问题，只需依据二项展开式的通项，从每一个二项式中分别得到特定的项，再求和即可.也可以先对二项式求和，化简后再依据通项公式确定特定项（系数）.
考向2　几个多项式积的展开式中特定项（系数）问题
（1）（2026·安徽江淮十校联考）（x2＋2）（ －1）5的展开式的常数项是（　　）
A.－3 B.－2
C.2 D.3
（2）（2026·江苏南京六校联考）已知（ －2y）（mx－y）5的展开式中x2y4的系数为80，则m的值为　　　　.
听课记录
　　对于几个多项式积的展开式中的特定项（系数）问题，一般都可以根据因式连乘的规律，结合组合思想求解，但要注意适当地运用分类方法，以免重复或遗漏.
考向3　三项式展开式中特定项（系数）问题
（1）〔一题多解〕（2026·广西桂林模拟）在（x2＋2x＋y）5的展开式中，x5y2的系数为（　　）
A.60 B.30
C.15 D.12
（2）（ ＋＋）5（x＞0）的展开式中的常数项为　　　　.
听课记录
（a＋b＋c）n展开式中特定项的求解方法
训练2 （1）（ x＋）（x＋y）5的展开式中x3y3的系数为（　　）
A.5 B.10
C.15 D.20
（2）在（x－2y＋3z）6的展开式中，xy2z3项的系数为（　　）
A.6 480 B.2 160
C.60 D.－2 160
（3）（2026·辽宁大连八中高三段考）已知多项式（x－1）3＋（x＋1）4＝x4＋a1x3＋a2x2＋a3x＋a4，则a1＝　　　　；a2＋a3＋a4＝　　　　.
杨辉三角
〔人A选三P39数学探究〕杨辉三角的性质：
（1）对称性：每行中与首末两端“等距离”之数相等，即＝；
（2）递归性：除1以外的数都等于肩上两数之和，即＝＋；
（3）第n行奇数项之和与偶数项之和相等，即＋＋＋…＝＋＋＋…；
（4）第n行所有数的和为2n，即＋＋＋…＋＝2n；
（5）自左（右）腰上的某个1开始平行于右（左）腰的一条线上的连续n个数的和等于最后一个数斜左（右）下方的那个数.
“杨辉三角”揭示了二项式系数在三角形中的一种几何排列规律，最早在我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中出现.“杨辉三角”是中国数学史上的一个伟大成就，激发了一批又一批数学爱好者的探究欲望.如图，由“杨辉三角”，下列叙述正确的是（　　）
A.＋＋＋…＋＝120
B.第2 027行中从左往右第1 014个数与第1 015个数相等
C.记第n行的第i个数为ai，则2i－1ai＝4n
D.第20行中第8个数与第9个数之比为8∶15
听课记录
第2节　二项式定理
【夯实必备知识】
知识梳理
1.an＋an－1b1＋…＋an－kbk＋…＋bn　an－kbk　k＋1　
2.＝　k＜　k＞　2n　2n－1
诊断自测
1.（1）×　（2）×　（3）×　（4）√
2.A　3.A　4.B　5.20
【研透核心考点】
考点1
1.B　2.C　3.D　4.ABC　
考点2
【例1】　解：设（2x－3y）9＝a0x9＋a1x8y＋a2x7y2＋…＋a9y9.
（1）二项式系数之和为＋＋＋…＋＝29＝512.
（2）各项系数之和为a0＋a1＋a2＋…＋a9，
令x＝1，y＝1，得a0＋a1＋a2＋…＋a9＝（2－3）9＝－1.
（3）由（2）知a0＋a1＋a2＋…＋a9＝－1，令x＝1，y＝－1，得a0－a1＋a2－…－a9＝59，
将两式相加，整理得a0＋a2＋a4＋a6＋a8＝，即所有奇数项系数之和为.
（4）｜a0｜＋｜a1｜＋｜a2｜＋…＋｜a9｜＝a0－a1＋a2－…－a9，由（3）知｜a0｜＋｜a1｜＋｜a2｜＋…＋｜a9｜＝59.
【例2】　（1）BC　（2）B　解析：（1）展开式的通项为Tk＋1＝·（ ）6－k·（－x）k＝26－k（－1）k·x2k－6，由2k－6＝0，得k＝3，所以常数项为23（－1）3＝－160，A错误；展开式共有7项，所以第4项的二项式系数最大，B正确；易知第3项的系数最大，C正确；令x＝1，得（ －1）6＝1，所有项的系数和为1，D错误.
（2）（＋x）10的展开式的通项公式为Tr＋1＝（）10－rxr，则各项的系数分别为（）10，（）9，（）8，（）7，（）6，（）5，（）4，（）3，（）2，（）1，（）0，观察发现二项式系数先增大后减小，且前后对称，指数式递增，分别计算（）5，（）4，（）3，（）2，（）1，（）0，比较可得，（）2＝5最大.
训练1　（1）B　（2）C　（3）BCD　
解析：（1）由二项式（1＋x）n＝x0＋x1＋x2＋…＋xn，令x＝－1，得（1－1）n＝－＋－＋…＋（－1）n＝0.
（2）∵只有第5项的二项式系数最大，∴n＝8，（ x－）n的展开式的通项为Tk＋1＝（－1）k（k＝0，1，2，…，8），∴展开式中奇数项的二项式系数与相应奇数项的系数相等，偶数项的二项式系数与相应偶数项的系数互为相反数，而展开式中第5项的二项式系数最大，因此展开式中第4项和第6项的系数相等且最小，为（－1）3＝－56.
（3）二项展开式中的二项式系数和为22 027，故A错误；令x＝1，可得（1－2）2 027＝a0＋a1＋a2＋…＋a2 026＋a2 027＝－1，即展开式中所有项的系数和为－1，故B正确；令x＝0，可得a0＝1，令x＝，可得（ 1－2×）2 027＝a0＋＋＋…＋＋＝0，所以＋＋＋…＋＋＝－1，故C正确；将等式（1－2x）2 027＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a2 026x2 026＋a2 027x2 027两边同时求导可得，2 027×（－2）×（1－2x）2 026＝a1＋2a2x＋3a3x2＋…＋2 026a2 026x2 025＋2 027a2 027x2 026，再令x＝1，可得a1＋2a2＋3a3＋…＋2 026a2 026＋2 027a2 027＝－4 054，故D正确.
考点3
【例3】　C　法一　（1＋x）n的通项公式为Tr＋1＝xr，当n依次取3，4，5，6，r取3得到含x3的系数为＋＋＋＝＋＋＝＋＝＝35.
法二　多项式可化为＝，二项式（x＋1）7的通项公式为Tr＋1＝x7－r，令7－r＝4 r＝3，故原多项式的展开式中含x3项的系数为＝35.故选C.
【例4】　（1）D　（2）±2　解析：（1）（ －1）5的展开式通项为（ ）5－r·（－1）r＝x2r－10（－1）r，由2r－10＝0得r＝5，所以（ －1）5的常数项为（－1）5＝－1，由2r－10＝－2得r＝4，所以（ －1）5中含x－2项的系数为（－1）4＝5，所以（x2＋2）（ －1）5的展开式的常数项是2×（－1）＋5＝3，故选D.
（2）由题意可知，（ －2y）（mx－y）5＝（mx－y）5－2y（mx－y）5，在（mx－y）5的展开式中，由x－1（mx）5－k（－y）k＝（－1）km5－kx4－kyk，令k无解，即（mx－y）5的展开式中没有x2y4的项；在2y（mx－y）5的展开式中，由2y（mx）5－r（－y）r＝2（－1）rm5－rx5－ryr＋1，
令解得r＝3，即2y（mx－y）5的展开式中x2y4的项的系数为2（－1）3m5－3＝－20m2，所以（ －2y）·（mx－y）5的展开式中x2y4的系数为20m2，又因为（ －2y）（mx－y）5的展开式中x2y4的系数为80，所以20m2＝80，解得m＝±2.所以m的值为±2.
【例5】　（1）A　（2）
解析：（1）法一　由（x2＋2x＋y）5＝[（x2＋2x）＋y]5，由通项公式可得Tk＋1＝yk，因为要求x5y2的系数，故k＝2，此时（x2＋2x）3＝x3·（x＋2）3，其对应x5的系数为21＝6.所以x5y2的系数为×6＝60.故选A.
法二　（x2＋2x＋y）5表示5个因式（x2＋2x＋y）之积，所以x5y2可以从两个因式中取x2，剩余的3个因式中1个取2x，其余两个取y，因此x5y2的系数为2＝60.
（2）（ ＋＋）5（x＞0）可化为（ ＋）10，因而Tk＋1＝·（ ）10－k·（）10－2k，令10－2k＝0，解得k＝5，故展开式中的常数项为·（ ）5＝.
训练2　（1）C　（2）A　（3）5　10
解析：（1）因为（x＋y）5的展开式的第r＋1项Tr＋1＝x5－ryr，所以（ x＋）（x＋y）5的展开式中x3y3的系数为＋＝15.故选C.
（2）（x－2y＋3z）6相当于6个因式（x－2y＋3z）相乘，其中一个因式取x，有种取法，余下5个因式中有2个取－2y，有种取法，最后3个因式中全部取3z，有种取法，故（x－2y＋3z）6展开式中xy2z3的系数为×1××（－2）2××33＝6 480.故选A.
（3）（x－1）3展开式的通项Tr＋1＝x3－r·（－1）r，（x＋1）4展开式的通项Tk＋1＝x4－k，则a1＝＋＝1＋4＝5；a2＝（－1）1＋＝3；a3＝（－1）2＋＝7；a4＝（－1）3＋＝0.所以a2＋a3＋a4＝3＋7＋0＝10.
衔接教材
【例】　B　根据题意，由“杨辉三角”可得，第n行的第r个数为，由此分析选项.＋＋…＋＝＋＋＋…＋－1＝－1＝119；第2 027行中从左往右第1 014个数为，第1 015个数为，两者相等；记第n行的第i个数为ai，则ai＝，则2i－1×ai＝2i－1×1n－i＋1＝（1＋2）n＝3n；第20行中第8个数为，第9个数为，则两个数的比为∶＝∶＝8∶13.选B.
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第2节　二项式定理
课标要求
1. 能用多项式运算法则和计数原理证明二项式定理.
2. 会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题.
目录/
CONTENTS
夯实必备知识
01
研透核心考点
02
课时跟踪检测
03
01
PART
夯实必备知识
知识梳理
1. 二项式定理
二项式定理 （a＋b）n＝
（n∈N*）
二项展开式的通项 Tk＋1＝ ，它表示展开式的第
项
二项式系数 （k＝0，1，…，n）
an＋ an－1b1＋…＋ an－kbk
＋…＋ bn　
an－kbk　
k＋1　
　
提醒：（1）项数为n＋1；（2）各项的次数和都等于二项式的幂指数n，
即a与b的指数的和为n；（3）字母a按降幂排列，从第一项开始，次数
由n逐项减1直到零；字母b按升幂排列，从第一项起，次数由零逐项增1
直到n.
2. 二项式系数的性质
提醒：注意二项式系数之
和与展开式中各项系数之
和的区别.
　　若二项展开式的通项为Tr＋1＝g（r）·xh（r）（r＝0，1，2，…，
n），g（r）≠0，则：
（1）h（r）＝0 Tr＋1是常数项；
（2）h（r）是非负整数 Tr＋1是整式项；
（3）h（r）是负整数 Tr＋1是分式项；
（4）h（r）是整数 Tr＋1是有理项.
诊断自测
1. 判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）
（1） an－kbk是（a＋b）n的展开式中的第k项. （　×　）
（2）二项展开式中系数的最大项为中间一项或中间两项. （　×　）
（3）二项展开式项的系数是先增后减的. （　×　）
（4）（a＋b）n某项的系数是该项中非字母因数部分，包括符号等，与
该项的二项式系数不同. （　√　）
×
×
×
√
2. （1－2x）4展开式中第3项的二项式系数为（　　）
A. 6 B. －6
C. 24 D. －24
√
解析： 　（1－2x）4展开式中第3项的二项式系数为 ＝6.故选A.
3. （ － ）10的展开式中x2的系数等于（　　）
A. 45 B. 20
C. －30 D. －90
√
解析： 　因为展开式的通项为Tk＋1＝（－1）k · ·x－（10－k）＝（－
1）k ，令－10＋ k＝2，得k＝8，所以展开式中x2的系数为
（－1）8× ＝45.
4. 〔一题多解〕（2026·四川德阳模拟）若（2x－1）4＝a4x4＋a3x3＋a2x2
＋a1x＋a0，则a0＋a2＋a4＝（　　）
A. 40 B. 41
C. －40 D. －41
√
解析： 　法一（赋值法）　依题意，令x＝1，可得1＝a4＋a3＋a2＋a1＋
a0，令x＝－1，可得81＝a4－a3＋a2－a1＋a0，以上两式相加可得82＝2
（a4＋a2＋a0），所以a0＋a2＋a4＝41，故选B.
法二（通项公式法）　二项式（2x－1）4展开式的通项为Tr＋1＝
（2x）4－r（－1）r，分别令r＝4，2，0，可分别得a0＝1，a2＝24，a4＝
16，所以a0＋a2＋a4＝41，故选B.
5. （2026·福建泉州月考）若（ x＋ ）n的展开式中二项式系数之和为
64，则展开式的常数项为 .
解析：因为二项式系数之和为2n＝64，所以n＝6，则Tk＋1＝ ·x6－
k·（ ）k＝ x6－2k，当6－2k＝0，即k＝3时为常数项，T4＝ ＝20.
20　
02
PART
研透核心考点
二项式中的特定项及系数（基础自学过关）
1. （2026·山东青岛模拟）（ 2x－ ）6的展开式的常数项为（　　）
A. 160 B. －160
C. 80 D. －80
√
解析： 　（ 2x－ ）6展开式的通项公式为Tr＋1＝ ·（2x）6－r·（ －
）r＝（－1）r·26－r· ·x6－2r，令6－2r＝0，解得r＝3，∴（ 2x－ ）6
展开式的常数项为－23× ＝－160.故选B.
2. （2026·辽宁沈阳质量监测）已知二项式（ 2x2－ ）7的展开式中x2的系
数是280，则实数a的值等于（　　）
A. 1 B. 2
C. ±1 D. ±2
√
解析： 　二项式（ 2x2－ ）7展开式的通项为Tr＋1＝ （2x2）7－r（ －
）r＝27－r·（－a）r· x14－3r，令14－3r＝2，解得r＝4，所以23·（－
a）4· ＝280，解得a＝±1.故选C.
3. （ ＋ ）30的展开式中无理项的项数为（　　）
A. 27 B. 24
C. 26 D. 25
√
解析： 　（ ＋ ）30展开式的通项为Tr＋1＝ ·（ ）30－r·（ ）r
＝ · ，r＝0，1，2，…，30，若x的指数15－ r为整数，则r是6
的倍数，所以当r＝0，6，12，18，24，30时为有理项，共6项，故无理项
的项数为31－6＝25，故选D.
4. 〔多选〕已知（ x2－ ）n的展开式中第3项与第5项的系数之比为
3∶14，则下列结论成立的是（　　）
A. n＝10
B. 展开式中的常数项为45
C. 含x5的项的系数为210
D. 展开式中的有理项有5项
√
√
√
解析： 　二项展开式的通项为Tk＋1＝ x2n－2k·（－1）k ＝（－
1）k ，由于第3项与第5项的系数之比为3∶14，则 ＝ ，故
＝ ，得n2－5n－50＝0，解得n＝10（负值舍去），故
A正确；则Tk＋1＝（－1）k ，令20－ ＝0，解得k＝8，则展开
式中的常数项为（－1）8 ＝45，故B正确；令20－ ＝5，解得k＝6，
则含x5的项的系数为（－1）6 ＝210，故C正确；令20－ ∈Z，则k为偶数，此时k＝0，2，4，6，8，10，故有6项为有理项，故D错误.
求二项展开式中特定项的步骤
二项式系数的性质与各项系数的和（定向精析突破）
考向1　二项展开式中的系数和问题
在二项式（2x－3y）9的展开式中，求：
（1）二项式系数之和；
解：设（2x－3y）9＝a0x9＋a1x8y＋a2x7y2＋…＋a9y9.
（1）二项式系数之和为 ＋ ＋ ＋…＋ ＝29＝512.
（2）各项系数之和；
解：各项系数之和为a0＋a1＋a2＋…＋a9，
令x＝1，y＝1，得a0＋a1＋a2＋…＋a9＝（2－3）9＝－1.
（3）所有奇数项系数之和；
解：由（2）知a0＋a1＋a2＋…＋a9＝－1，令x＝1，y＝－1，得a0－a1＋
a2－…－a9＝59，
将两式相加，整理得a0＋a2＋a4＋a6＋a8＝ ，即所有奇数项系数之和
为 .
（4）系数绝对值之和.
解：｜a0｜＋｜a1｜＋｜a2｜＋…＋｜a9｜＝a0－a1＋a2－…－a9，由
（3）知｜a0｜＋｜a1｜＋｜a2｜＋…＋｜a9｜＝59.
赋值法的应用
（1）对形如（ax＋b）n，（ax2＋bx＋c）m（a，b，c∈R，m，
n∈N*）的式子求其展开式的各项系数之和，只需令x＝1即可；
（2）对（ax＋by）n（a，b∈R，n∈N*）的式子求其展开式各项系数
之和，只需令x＝y＝1即可；
（3）一般地，若f（x）＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，则f（x）展开式中
各项系数之和为f（1），奇数项系数之和为a0＋a2＋a4＋…＝
，偶数项系数之和为a1＋a3＋a5＋…＝ .
考向2　二项式系数的最值问题
（1）〔多选〕（2026·山西临汾适应性考试）在（ －x）6的展开式
中，下列说法正确的是（　BC　）
A. 常数项为160
B. 第4项的二项式系数最大
C. 第3项的系数最大
D. 所有项的系数和为64
BC
解析： 展开式的通项为Tk＋1＝ ·（ ）6－k·（－x）k＝26－k（－1）
k· x2k－6，由2k－6＝0，得k＝3，所以常数项为23（－1）3 ＝－
160，A错误；展开式共有7项，所以第4项的二项式系数最大，B正
确；易知第3项的系数最大，C正确；令x＝1，得（ －1）6＝1，所有
项的系数和为1，D错误.
（2）（2024·全国甲卷13题改编）（ ＋x）10的展开式中，各项系数中的
最大值为（　B　）
A. 3 B. 5
C. 7 D. 9
B
解析：（ ＋x）10的展开式的通项公式为Tr＋1＝ （ ）10－rxr，则各项
的系数分别为 （ ）10， （ ）9， （ ）8， （ ）7，
（ ）6， （ ）5， （ ）4， （ ）3， （ ）2， （ ）
1， （ ）0，观察发现二项式系数先增大后减小，且前后对称，指数式
递增，分别计算 （ ）5， （ ）4， （ ）3， （ ）2，
（ ）1， （ ）0，比较可得， （ ）2＝5最大.
1. 求二项式系数最大项
（1）如果n是偶数，那么中间一项（ 第 ＋1项）的二项式系数最大；
（2）如果n是奇数，那么中间两项（ 第 项与第 ＋1项）的二项式系
数相等且最大.
2. 求展开式系数最大项
求（a＋bx）n（a，b∈R）的展开式中系数最大的项，一般是采用作差
法或作商法（正数）.
训练1 （1）化简： － ＋ － ＋…＋（－1）n ＝（　B　）
A. －1 B. 0
C. 1 D. 2
解析： 由二项式（1＋x）n＝ x0＋ x1＋ x2＋…＋ xn，令x＝－
1，得（1－1）n＝ － ＋ － ＋…＋（－1）n ＝0.
B
（2）在（ x－ ）n的展开式中，只有第5项的二项式系数最大，则展开
式中系数最小的项的系数为（　C　）
A. －126 B. －70
C. －56 D. －28
C
解析：∵只有第5项的二项式系数最大，∴n＝8，（ x－ ）n的展开式的
通项为Tk＋1＝（－1）k （k＝0，1，2，…，8），∴展开式中奇数
项的二项式系数与相应奇数项的系数相等，偶数项的二项式系数与相应偶
数项的系数互为相反数，而展开式中第5项的二项式系数最大，因此展开
式中第4项和第6项的系数相等且最小，为（－1）3 ＝－56.
（3）〔多选〕已知（1－2x）2 027＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a2 026x2 026＋a2
027x2 027，则（　BCD　）
A. 展开式中二项式系数和为1
B. 展开式中所有项的系数和为－1
C. ＋ ＋ ＋…＋ ＋ ＝－1
D. a1＋2a2＋3a3＋…＋2 026a2 026＋2 027a2 027＝－4 054
BCD
解析：二项展开式中的二项式系数和为22 027，故A错误；令x＝1，可得（1
－2）2 027＝a0＋a1＋a2＋…＋a2 026＋a2 027＝－1，即展开式中所有项的系
数和为－1，故B正确；令x＝0，可得a0＝1，令x＝ ，可得（ 1－2× ）
2 027＝a0＋ ＋ ＋…＋ ＋ ＝0，所以 ＋ ＋ ＋…＋
＋ ＝－1，故C正确；将等式（1－2x）2 027＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a2
026x2 026＋a2 027x2 027两边同时求导可得，2 027×（－2）×（1－2x）2 026＝
a1＋2a2x＋3a3x2＋…＋2 026a2 026x2 025＋2 027a2 027x2 026，再令x＝1，可
得a1＋2a2＋3a3＋…＋2 026a2 026＋2 027a2 027＝－4 054，故D正确.
多项式展开式中特定项（系数）问题（定向精析突破）
考向1　几个多项式和的展开式中特定项（系数）问题
〔一题多解〕在1＋（1＋x）＋（1＋x）2＋（1＋x）3＋（1＋x）4＋
（1＋x）5＋（1＋x）6的展开式中，含x3项的系数是（　C　）
A. 25 B. 30
C. 35 D. 40
解析：　法一　（1＋x）n的通项公式为Tr＋1＝ xr，当n依次取3，4，
5，6，r取3得到含x3的系数为 ＋ ＋ ＋ ＝ ＋ ＋ ＝ ＋
＝ ＝35.
C
法二　多项式可化为 ＝ ，二项式（x＋1）7的通项
公式为Tr＋1＝ x7－r，令7－r＝4 r＝3，故原多项式的展开式中含x3项
的系数为 ＝35.故选C.
　　对于几个二项式和的展开式中的特定项（系数）问题，只需依据二项
展开式的通项，从每一个二项式中分别得到特定的项，再求和即可.也可
以先对二项式求和，化简后再依据通项公式确定特定项（系数）.
考向2　几个多项式积的展开式中特定项（系数）问题
（1）（2026·安徽江淮十校联考）（x2＋2）（ －1）5的展开式的常
数项是（　D　）
A. －3 B. －2
C. 2 D. 3
D
解析： （ －1）5的展开式通项为 （ ）5－r·（－1）r＝ x2r－10（－
1）r，由2r－10＝0得r＝5，所以（ －1）5的常数项为 （－1）5＝－
1，由2r－10＝－2得r＝4，所以（ －1）5中含x－2项的系数为 （－
1）4＝5，所以（x2＋2）（ －1）5的展开式的常数项是2×（－1）＋5＝
3，故选D.
（2）（2026·江苏南京六校联考）已知（ －2y）·（mx－y）5的展开式
中x2y4的系数为80，则m的值为 .
解析：由题意可知，（ －2y）（mx－y）5＝ （mx－y）5－2y（mx－
y）5，在 （mx－y）5的展开式中，由x－1 （mx）5－k（－y）k＝（－
1）km5－k x4－kyk，令 k无解，即 （mx－y）5的展开式中
没有x2y4的项；
±2　
在2y（mx－y）5的展开式中，由2y （mx）5－r（－y）r＝2（－1）
rm5－r x5－ryr＋1，令 解得r＝3，即2y（mx－y）5的展开式
中x2y4的项的系数为2（－1）3m5－3 ＝－20m2，所以（ －2y）（mx－
y）5的展开式中x2y4的系数为20m2，又因为（ －2y）（mx－y）5的展开
式中x2y4的系数为80，所以20m2＝80，解得m＝±2.所以m的值为±2.
　　对于几个多项式积的展开式中的特定项（系数）问题，一般都可以根
据因式连乘的规律，结合组合思想求解，但要注意适当地运用分类方法，
以免重复或遗漏.
考向3　三项式展开式中特定项（系数）问题
（1）〔一题多解〕（2026·广西桂林模拟）在（x2＋2x＋y）5的展开
式中，x5y2的系数为（　A　）
A. 60 B. 30
C. 15 D. 12
解析： 法一　由（x2＋2x＋y）5＝[（x2＋2x）＋y]5，由通项公式
可得Tk＋1＝ yk，因为要求x5y2的系数，故k＝2，此时
（x2＋2x）3＝x3·（x＋2）3，其对应x5的系数为 21＝6.所以x5y2的系数
为 ×6＝60.故选A.
A
法二　（x2＋2x＋y）5表示5个因式（x2＋2x＋y）之积，所以x5y2可以从
两个因式中取x2，剩余的3个因式中1个取2x，其余两个取y，因此x5y2的
系数为2 ＝60.
（2）（ ＋ ＋ ）5（x＞0）的展开式中的常数项为 　 　.
解析：（ ＋ ＋ ）5（x＞0）可化为（ ＋ ）10，因而Tk＋1＝
·（ ）10－k·（ ）10－2k，令10－2k＝0，解得k＝5，故展开式中的
常数项为 ·（ ）5＝ .
　
（a＋b＋c）n展开式中特定项的求解方法
训练2 （1）（ x＋ ）（x＋y）5的展开式中x3y3的系数为（　C　）
A. 5 B. 10
C. 15 D. 20
解析： 因为（x＋y）5的展开式的第r＋1项Tr＋1＝ x5－ryr，所以（ x＋
）（x＋y）5的展开式中x3y3的系数为 ＋ ＝15.故选C.
C
（2）在（x－2y＋3z）6的展开式中，xy2z3项的系数为（　A　）
A. 6 480 B. 2 160
C. 60 D. －2 160
A
解析：（x－2y＋3z）6相当于6个因式（x－2y＋3z）相乘，其中一个因
式取x，有 种取法，余下5个因式中有2个取－2y，有 种取法，最后3
个因式中全部取3z，有 种取法，故（x－2y＋3z）6展开式中xy2z3的系
数为 ×1× ×（－2）2× ×33＝6 480.故选A.
（3）（2026·辽宁大连八中高三段考）已知多项式（x－1）3＋（x＋1）4
＝x4＋a1x3＋a2x2＋a3x＋a4，则a1＝ ；a2＋a3＋a4＝ .
解析：（x－1）3展开式的通项Tr＋1＝ x3－r·（－1）r，（x＋1）4展开式
的通项Tk＋1＝ x4－k，则a1＝ ＋ ＝1＋4＝5；a2＝ （－1）1＋
＝3；a3＝ （－1）2＋ ＝7；a4＝ （－1）3＋ ＝0.所以a2＋a3＋
a4＝3＋7＋0＝10.
5　
10　
杨辉三角
〔人A选三P39数学探究〕杨辉三角的性质：
（1）对称性：每行中与首末两端“等距离”之数相等，即 ＝ ；
（2）递归性：除1以外的数都等于肩上两数之和，即 ＝ ＋ ；
（3）第n行奇数项之和与偶数项之和相等，即 ＋ ＋ ＋…＝ ＋
＋ ＋…；
（4）第n行所有数的和为2n，即 ＋ ＋ ＋…＋ ＝2n；
（5）自左（右）腰上的某个1开始平行于右（左）腰的一条线上的连续n
个数的和等于最后一个数斜左（右）下方的那个数.
“杨辉三角”揭示了二项式系数在三角形中的一种几何排列规律，最早
在我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中出现.“杨
辉三角”是中国数学史上的一个伟大成就，激发了一批又一批数学爱好者
的探究欲望.如图，由“杨辉三角”，下列叙述正确的是（　　）
A. ＋ ＋ ＋…＋ ＝120
B. 第2 027行中从左往右第1 014
个数与第1 015个数相等
C. 记第n行的第i个数为ai，则 2i－1ai＝4n
D. 第20行中第8个数与第9个数之比为8∶15
√
解析： 　根据题意，由“杨辉三角”可得，第n行的第r个数为 ，由
此分析选项. ＋ ＋…＋ ＝ ＋ ＋ ＋…＋ －1＝ －1＝
119；第2 027行中从左往右第1 014个数为 ，第1 015个数为 ，
两者相等；记第n行的第i个数为ai，则ai＝ ，则 2i－1×ai＝ 2i
－1 ×1n－i＋1＝（1＋2）n＝3n；第20行中第8个数为 ，第9个数为
，则两个数的比为 ∶ ＝ ∶ ＝8∶13.选B.
03
PART
课时跟踪检测
（时间：60分钟，满分：79分）
[备注：单选、填空题5分，多选题6分]
1. 在（x－ ）4的展开式中，x3的系数为（　　）
A. 6 B. －6
C. 12 D. －12
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√
解析： 　（x－ ）4的展开式的通项为Tk＋1＝ x4－k（－ ）k＝
（－1）k （k＝0，1，2，3，4），令4－ ＝3，解得k＝2，故x3的系
数为 （－1）2＝6.故选A.
2. 已知（1＋2x）n（n∈N*）的展开式中第4项与第6项的二项式系数相
等，则（1＋2x）n的展开式的各项系数和为（　　）
A. 38 B. 310
C. 28 D. 210
√
解析： 　由题知 ＝ ，由组合数性质得n＝8，则（1＋2x）n＝（1
＋2x）8.令x＝1，则（1＋2x）8的展开式各项系数和为38.
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3. （2x－3）（x－1）5的展开式中x3的系数为（　　）
A. －50 B. －10
C. 10 D. 50
√
解析： 　（x－1）5展开式的通项为Tk＋1＝ x5－k（－1）k，则T3＝
10x3，T4＝－10x2，故（2x－3）·（x－1）5的展开式中x3的系数为2×
（－10）＋（－3）×10＝－50.故选A.
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4. 二项式（ x＋ ）n的展开式中只有第11项的二项式系数最大，则展
开式中x的指数为整数的项的个数为（　　）
A. 3 B. 5
C. 6 D. 7
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解析： 　根据（ x＋ ）n的展开式中只有第11项的二项式系数最
大，得n＝20，所以（ x＋ ）20的展开式的通项为Tk＋1＝ ·（
x）20－k·（ ）k＝（ ）20－k· · ，要使x的指数是整数，需k
是3的倍数，所以k＝0，3，6，9，12，15，18，所以x的指数是整数的项
共有7项.故选D.
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5. 〔多选〕（2025·浙江温州二模）已知二项展开式（1－x）2 025＝a0＋
a1x＋a2x2＋…＋a2 025x2 025，则（　　）
A. a0＝1
B. a1＋a2＋…＋a2 025＝0
C. a1＋a2 024＝0
D. a0＋a2＋a4＋…＋a2 024＝22 024
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√
√
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解析： 　对于A项：令x＝0，则a0＝1，故A正确；对于B项：令x＝
1，则a0＋a1＋a2＋…＋a2 025＝0　①，所以a1＋a2＋…＋a2 025＝－1，故B
错误；对于C项：a1x＝ ·（－x）1＝－2 025x，所以a1＝－2 025，
a2 024x2 024＝ ·（－x）2 024＝2 025x2 024，所以a2 024＝2 025，所以a1＋
a2 024＝0，故C正确；对于D项：令x＝－1，则22 025＝a0－a1＋a2－a3＋…
＋a2 024－a2 025　②，①＋②可得：22 024＝a0＋a2＋a4＋…＋a2 024，故D正
确.故选A、C、D.
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6. 〔多选〕（2026·江苏常州模拟）在二项式（ ＋ ）n的展开式中，
前3项的系数成等差数列，则下列结论中正确的是（　　）
A. n＝8
B. 展开式中所有奇数项的二项式系数和为128
C. 常数项为
D. 展开式中系数最大项为第3项和第4项
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√
√
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解析： （ ＋ ）n展开式的通项为Tk＋1＝ （ ）n－k·（ ）k
＝ · ，则前3项的系数分别为 ， ， ，对于A，由题意可
得2× ＝ ＋ ，即n＝1＋ ，解得n＝8或n＝1（舍
去），所以n＝8，故A正确；对于B，（ ＋ ）8展开式中所有奇数项的
二项式系数和为 ＝128，故B正确；对于C，（ ＋ ）8展开式的通项
为Tk＋1＝ · xk－4，令k－4＝0，则k＝4，所以（ ＋ ）8展开式中常
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数项为 · ＝ ，故C错误；对于D，设展开式中第r＋1项的系数最大，
则有 解得r＝2或r＝3，所以展开式中系数最大项为
第3项和第4项，故D正确.故选A、B、D.
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7. 在（1＋x）3＋（1＋x）4＋（1＋x）5的展开式中，含x2的项的系数
为 .
解析：（1＋x）3展开式的通项是 13－rxr，令r＝2可得 ·1·x2＝3x2；
（1＋x）4展开式的通项是 14－rxr，令r＝2可得 ·12·x2＝6x2；（1＋
x）5展开式的通项是 15－rxr，令r＝2可得 ·13·x2＝10x2.所以（1＋x）
3＋（1＋x）4＋（1＋x）5的展开式中，含x2的项为3x2＋6x2＋10x2＝
19x2，系数为19.
19　
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8. 已知 ＋2 ＋22 ＋23 ＋…＋2n ＝243，则 ＋ ＋ ＋…
＋ ＝ .
解析：逆用二项式定理得 ＋2 ＋22 ＋23 ＋…＋2n ＝（1＋2）n
＝243＝35，所以n＝5，故 ＋ ＋ ＋…＋ ＝25－1＝31.
31　
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9.5050＋9被7除的余数为 .
解析：5050＝（49＋1）50＝4950＋ ×4949＋ ×4948＋…＋ ×49＋
1，展开式中除最后一项外，其他各项都是7的整数倍，所以5050＋9被7除
的余数等于1＋9＝10被7除的余数，结果为3.
3　
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10. （x＋y－2z）5的展开式中，xy2z2的系数是（　　）
A. 120 B. －120
C. 60 D. 30
√
解析： 　由题意知（x＋y－2z）5＝[（x＋y）－2z]5，展开式的第k＋
1项为 （x＋y）5－k（－2z）k，令k＝2，可得第3项为（－2）2 （x
＋y）3z2，（x＋y）3的展开式的第m＋1项为 x3－mym，令m＝2，可得
第3项为 xy2，所以（x＋y－2z）5的展开式中，xy2z2的系数是（－2）
2 ＝120.
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11. 在｜x－ ｜n的展开式中含x3项的系数为15，则展开式中二项式系数
最大的项是（　　）
A. 第4项 B. 第5项
C. 第6项 D. 第3项
√
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解析： 　由｜x－ ｜n可得x＞0，当0＜x＜1时，x＜ ，则｜x－
｜n＝（ －x）n，其展开式的通项为Tr＋1＝ （ ）n－r（－x）r＝
（－1）r ，令 ＝3，（－1）r ＝15，解得n＝6，r＝4；当
x≥1时，x≥ ，则｜x－ ｜n＝（ x－ ）n，其展开式的通项为Tk＋1
＝ xn－k·（ － ）k＝（－1）k ，令n－ ＝3，（－1）k ＝
15，解得n＝6，k＝2.综上所述，n＝6，所以展开式共有7项，展开式中
二项式系数最大的项是第4项.
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12. 〔多选〕若（1＋x）＋（1＋x）2＋…＋（1＋x）n＝a0＋a1x＋a2x2
＋…＋anxn，且a1＋a2＋…＋an－1＝125－n，则下列结论正确的是
（　　）
A. n＝6
B. a1＝21
C. （1＋2x）n展开式中二项式系数和为729
D. a1＋2a2＋3a3＋…＋nan＝321
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解析： 　对于A，因为（1＋x）＋（1＋x）2＋…＋（1＋x）n＝a0＋
a1x＋a2x2＋…＋anxn，令x＝1，得2＋22＋…＋2n＝a0＋a1＋a2＋…＋an
＝ ＝2n＋1－2，令x＝0，得n＝a0，因为（1＋x）n中xn项为
xn＝xn，所以an＝1，所以a1＋a2＋…＋an－1＝2n＋1－2－n－1＝125－n，
解得n＝6，故A正确；对于B，a1＝1＋ ＋ ＋ ＋ ＋ ＝21，故B
正确；对于C，（1＋2x）6展开式中二项式系数和为26＝64，故C错误；对
于D，令f（x）＝（1＋x）＋（1＋x）2＋…＋（1＋x）6＝a0＋a1x＋
a2x2＋…＋a6x6，f'（x）＝1＋2（x＋1）＋…＋6（x＋1）5＝a1＋2a2x
＋…＋6a6x5，令x＝1得f'（1）＝1＋2×2＋3×22＋4×23＋5×24＋6×25
＝a1＋2a2＋3a3＋4a4＋5a5＋6a6＝321，故D正确.
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13. （2023·上海高考10题）已知（1＋2 023x）100＋（2 023－x）100＝a0
＋a1x＋a2x2＋…＋a100x100，其中a0，a1，a2，…，a100∈R，若
0≤k≤100，且k∈N，当ak＜0时，k的最大值为 .
解析：xk的系数为ak＝ 2 023k＋ 2 023100－k·（－1）k＝ 2
023k[1＋2 023100－2k（－1）k]，k＝0，1，2，…，100，要使ak＜0，则k
必为奇数，且2 023100－2k＞1，∴100－2k＞0，即k＜50，∴k的最大值为
49.
49　
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14. “杨辉三角”是数学史上的一个伟大成就.在如图所示的“杨辉三角”
中，去掉所有的数字1，余下的数逐行从左到右排列，得到数列{an}为2，
3，3，4，6，4，5，10，…，则数列{an}的前10项和为 ；若am＝
10，m∈N*，则m的最大值为 .
52　
45　
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解析：由于n次二项式系数对应的杨辉三角形的第n＋1行，例如（x＋1）
2＝x2＋2x＋1，系数分别为1，2，1，对应杨辉三角形的第三行；令x＝
1，就可以求出该行的系数和，第1行为20，第2行为21，第3行为22，以此
类推即每一行数字和为首项为1，公比为2的等比数列，则杨辉三角形的前
n0行和为 ＝ ＝ －1.若去除所有的数字1，则剩下的每一行的数
字个数为1，2，3，4，…，构成一个首项为1，公差为1的等差数列，则Tn
＝ ，可得当n＝4时，T4＝10，则数列{an}的前10项和为S6－
（2×5＋1）＝26－12＝52；根据杨辉三角形的分布规律，最后出现am＝
10的位置应为第9行的最后一项，∴m＝T9＝ ＝45.
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15. 〔创新定义〕〔多选〕（2026·广东深圳模拟）对于n∈N*，将n表示
为n＝a0·30＋a1·31＋a2·32＋…＋ak·3k.其中ai∈{－1，0，1}（i＝0，1，
2，…，k），ak≠0.记I（n）为上述表示中ai为0的个数（例如8＝（－
1）·30＋0·31＋1·32，则I（8）＝1，则下列结论正确的是（　　）
A. I（9）＝2 B. I（3n－1）＝n－1
C. I（9n）＝I（n）＋2 D. I（9n＋4）＝I（n）＋4
√
√
√
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解析： 　对A，∵9＝0·30＋0·31＋32，∴I（9）＝2，故A正确；对B，
∵3n－1＝－30＋0·31＋0·32＋…＋3n，∴I（3n－1）＝n－1，故B正确；
对C，∵设n＝a030＋a131＋a232＋…ak3k，9n＝a032＋a133＋a234
＋…ak3k＋2＋0·30＋0·31，增加了30，31两项系数为0，∴I（9n）＝I
（n）＋2，故C正确；对于D，∵9n＋4＝a032＋a133＋a234＋…ak3k＋2＋
1·30＋1·31，∴I（9n＋4）＝I（n），故D错误.故选A、B、C.
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