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第5节　离散型随机变量及其分布列、数字特征
（时间：60分钟，满分：99分）
[备注：单选、填空题5分，多选题6分]
1.甲、乙两人下象棋，赢了得3分，平局得1分，输了得0分，共下三局.用ζ表示甲的得分，则{ζ＝3}表示（　　）
A.甲赢三局
B.甲赢一局输两局
C.甲、乙平局二次
D.甲赢一局输两局或甲、乙平局三次
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
2.设随机变量ξ的分布列如下表，则P（｜ξ－3｜＝1）＝（　　）
ξ 1 2 3 4
P a
A. B.
C. D.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
3.随机变量X的取值范围为{0，1，2}，若P（X＝0）＝，E（X）＝1，则D（X）＝（　　）
A. B.
C. D.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
4.小林从A地出发去往B地，1小时内到达的概率为0.4，1小时10分到达的概率为0.3，1小时20分到达的概率为0.3.现规定1小时内到达的奖励为200元，若超过1小时到达，则每超过1分钟奖励少2元.设小林最后获得的奖励为X元，则E（X）＝（　　）
A.176 B.182
C.184 D.186
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
5.〔多选〕已知随机变量X的分布列为
X －1 0 1 2
P a b c 0.25
且a，b，c成等差数列，下列结论正确的是（　　）
A.D（bX＋1）＝D（X）
B.P（｜X｜＝1）＝0.5
C.若E（aX）＝0.08，则a＝0.1
D.a－c可能等于0.1
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
6.〔多选〕已知某商场销售一种商品的单件销售利润为X＝0，a，2，根据以往销售经验可得0＜a＜2，随机变量X的分布列为
X 0 a 2
P b
下列结论正确的是（　　）
A.b＝
B.若该商场销售该商品5件，其中3件销售利润为0的概率为
C.D（X）min＝
D.当D（X）最小时，E（X）＝
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
7.已知某生物技术公司研制出一种新药，并进行了临床试验，该临床试验的成功概率是失败概率的2倍.若记一次试验中成功的次数为X，则随机变量X的数学期望为　　　　.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
8.已知随机变量X的分布列为
X －2 －1 0 1 2 3
P
若P（X2＜x）＝，则实数x的取值范围是　　　　.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
9.（15分）（2026·山东烟台模拟）为加强中小学科学教育，某市科协，市教育局拟于2026年4月联合举办第四届全市中小学机器人挑战赛.比赛共设置穿越障碍、搬运物品两个项目.每支参赛队先挑战穿越障碍项目，挑战成功后，方可挑战且必须挑战搬运物品项目.每支参赛队每个项目至多挑战两次，若第一次挑战成功，则获得奖金2 000元，该项目不再挑战：若第一次挑战失败，则必须第二次挑战该项目，若第二次挑战成功，则获得奖金1 000元，否则，不获得奖金.假设甲参赛队在每个项目中，第一次挑战成功的概率为，第一次挑战失败但第二次挑战该项目成功的概率为；两个项目是否挑战成功相互独立.
（1）设事件A＝“甲参赛队两个项目均挑战成功”，求P（A）；
（2）设比赛结束时，甲参赛队获得奖金数为随机变量X，求X的分布列；
（3）假设本届比赛共有36支参赛队，且根据往届比赛成绩，甲参赛队获得奖金数近似为各参赛队获得奖金数的平均水平.某赞助商计划提供全部奖金，试估计其需提供的奖金总额.
10.现有7张卡片，分别写上数字1，2，2，3，4，5，6.从这7张卡片中随机抽取3张，记所抽取卡片上数字的最小值为ξ，则E（ξ）＝（　　）
A. B.
C. D.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
11.据统计，一年中一个家庭万元以上的财产被窃的概率为0.005，保险公司开办一年期万元以上家庭财产保险，交保险费100元，若一年内万元以上财产被窃，保障公司赔偿a元（a＞1 000），为确保保险公司有可能获益，则a的取值范围是（　　）
A.（100，200） B.（200，300）
C.（1 000，20 000） D.（2 000，30 000）
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
12.〔多选〕设随机变量X的分布列如表所示，则下列说法中正确的是（　　）
X 1 2 3 4 5 6
P p1 p2 p3 p4 p5 p6
A.P（X≥4）＝1－P（X≤3）
B.随机变量X的数学期望E（X）可以等于3.5
C.当pn＝（n＝1，2，3，4，5）时，p6＝
D.数列{pn}的通项公式可以为pn＝（n＝1，2，3，4，5，6）
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
13.已知A，B两个不透明盒中各有形状、大小都相同的红球、白球若干个，A盒中有m个红球与10－m个白球，B盒中有10－m个红球与m个白球（0＜m＜10），若从A，B盒中各取一个球，ξ表示所取的2个球中红球的个数，则当D（ξ）取到最大值时，m＝　　　　.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
14.（15分）某公司为活跃气氛、提升士气，年终拟通过抓阄兑奖的方式对所有员工进行奖励.规定：每位员工从一个装有4个标有面值的阄的袋中一次性随机摸出2个阄，阄上所标的面值之和为该员工获得的奖励金额.
（1）若袋中所装的4个阄中有1个所标的面值为800元，其余3个均为200元，求：
①员工所获得的奖励金额为1 000元的概率；
②员工所获得的奖励金额的分布列及均值.
（2）公司对奖励金额的预算是人均1 000元，并规定袋中的4个阄只能由标有面值200元和800元的两种阄或标有面值400元和600元的两种阄组成.为了使员工得到的奖励金额尽可能符合公司的预算且每位员工所获得的奖励金额相对均衡，请对袋中的4个阄的面值给出一个合适的设计，并说明理由.
15.〔创新设问〕〔多选〕将2n（n∈N*）个有编号的球随机放入2个不同的盒子中，已知每个球放入这2个盒子中的可能性相同，且每个盒子容纳的球数不限.记2个盒子中最少的球数为X（0≤X≤n，X∈N*），则下列说法中正确的是（　　）
A.当n＝1时，方差D（X）＝
B.当n＝2时，P（X＝1）＝
C. n≥3， k∈[0，n）（k，n∈N*），使得P（X＝k）＞P（X＝k＋1）成立
D.当n确定时，期望E（X）＝
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
第5节　离散型随机变量及其分布列、数字特征
1.D　2.A　3.C　4.B　5.ABD　
6.ABC　7.　8.（4，9]　
9.解：（1）每个项目挑战成功的概率p＝＋×＝，
则P（A）＝（ ）2＝.
（2）甲参赛队获得奖金数为随机变量X的所有可能取值为4 000，3 000，2 000，1 000，0.
P（X＝4 000）＝×＝；P（X＝3 000）＝2××（ ×）＝；
P（X＝2 000）＝（ ×）2＋×＝＋＝；
P（X＝1 000）＝（ ×）×＝；P（X＝0）＝.
所以甲获得奖金数X的分布列为
X 4 000 3 000 2 000 1 000 0
P
（3）由（2）得出甲参赛队获得奖金数数学期望E（X）＝4 000×＋3 000×＋2 000×＋1 000×＋0×＝元，
因为假设本届比赛共有36支参赛队，估计其需提供的奖金总额为36×E（X）＝36×＝109 250元.
10.D　由题意知ξ的可能取值为1，2，3，4，P（ξ＝1）＝＝＝，P（ξ＝2）＝＝，P（ξ＝3）＝＝，P（ξ＝4）＝＝，所以ξ的分布列为
ξ 1 2 3 4
P
E（ξ）＝1×＋2×＋3×＋4×＝.故选D.
11.C　设保险公司的收益为X，则X的所有可能取值有100，100－a（a＞1 000），由已知P（X＝100）＝0.995，P（X＝100－a）＝0.005.所以随机变量X的分布列为
X 100 100－a
P 0.995 0.005
所以E（X）＝100×0.995＋（100－a）×0.005＝100－0.005a，令100－0.005a＞0，解得a＜20 000，故1 000＜a＜20 000，所以为确保保险公司有可能获益，a的取值范围是（1 000，20 000）.
12.ABC　A选项，由已知p1＋p2＋p3＋p4＋p5＋p6＝1，则P（X≥4）＝p4＋p5＋p6＝1－（p1＋p2＋p3）＝1－P（X≤3），正确；B选项，当p1＝p2＝p3＝p4＝p5＝p6＝时，期望为E（X）＝1×＋2×＋3×＋4×＋5×＋6×＝3.5，正确；C选项，由pn＝（n＝1，2，3，4，5），则p6＝1－（p1＋p2＋…＋p5）＝1－（ ＋＋…＋）＝1－＝，正确；D选项，由pn＝＝－（n＝1，2，3，4，5，6），则其前6项和为1－＋－＋…＋－＝≠1，错误.
13.5　解析：ξ的可能取值为0，1，2，P（ξ＝0）＝＝，P（ξ＝1）＝＝，P（ξ＝2）＝＝，所以ξ的分布列为
ξ 0 1 2
P
所以E（ξ）＝1×＋2×＝1，D（ξ）＝E（ξ2）－[E（ξ）]2＝12×＋22×－1＝－（m－5）2＋.因此当m＝5时，D（ξ）取最大值.
14.解：（1）设员工所获得的奖励金额为X，
①P（X＝1 000）＝＝，
∴员工所获得的奖励金额为1 000元的概率为.
②X所有可能的取值为400，1 000，
P（X＝400）＝＝，
∴X的分布列为
X 400 1 000
P
∴员工所获得的奖励金额的均值为E（X）＝400×＋1 000×＝700.
（2）根据公司预算，每个员工的平均奖励金额为1 000元，
∴先寻找均值为1 000元的可能方案，
对于面值由800元和200元组成的情况，
如果选择（200，200，200，800）的方案，
∵1 000元是面值之和的最大值，∴均值不可能为1 000元，
如果选择（800，800，800，200）的方案，
∵1 000元是面值之和的最小值，∴均值不可能为1 000元，
因此可能的方案是（800，800，200，200），记为方案1；
同理，对于面值由600元和400元组成的情况，
排除（600，600，600，400）和（400，400，400，600）的方案，
∴可能的方案是（400，400，600，600），记为方案2.
对于方案1，设员工所获得的奖励金额为X1，X1可取400，1 000，1 600，
P（X1＝400）＝＝，P（X1＝1 000）＝＝，P（X1＝1 600）＝＝，
∴E（X1）＝400×＋1 000×＋1 600×＝1 000，
D（X1）＝（400－1 000）2×＋（1 000－1 000）2×＋（1 600－1 000）2×＝120 000；
对于方案2，设员工所获得的奖励金额为X2，X2可取800，1 000，1 200，
P（X2＝800）＝＝，P（X2＝1 000）＝＝，P（X2＝1 200）＝＝，
∴E（X2）＝800×＋1 000×＋1 200×＝1 000，
D（X2）＝×（800－1 000）2＋×（1 000－1 000）2＋×（1 200－1 000）2＝，
由于两种方案的奖励金额都符合预算要求，但方案2的方差比方案1小，
∴应选择方案2.
15.ACD　当n＝1时，P（X＝0）＝，P（X＝1）＝，E（X）＝，E（X2）＝，则D（X）＝E（X2）－（E（X））2＝，A正确；当n＝2时，P（X＝1）＝2×＝，B错误；由已知得，P（X＝k）＝2×，P（X＝k＋1）＝2×，k≤n－2，P（X＝n）＝，又＝＞1，所以P（X＝n－1）＞P（X＝n），C正确；又E（X）＝＋＝－＝（2k－n）＝（4n－n）＝（4－）＝（4－）＝（4×－）＝，D正确.故选A、C、D.
1 / 1第5节　离散型随机变量及其分布列、数字特征
1.通过具体实例，了解离散型随机变量的概念，理解离散型随机变量的分布列. 2.理解离散型随机变量的均值、方差的概念. 3.能计算简单离散型随机变量的均值、方差，并能解决一些简单的实际问题.
知识梳理
1.离散型随机变量及其分布列
（1）离散型随机变量：对于随机试验样本空间Ω中的每个样本点ω，都有　　　　的实数X（ω）与之对应，我们称X为随机变量.可能取值为有限个或可以　　　　　　的随机变量称为离散型随机变量；
（2）离散型随机变量的分布列：一般地，设离散型随机变量X的可能取值为x1，x2，…，xn，称X取每一个值xi的概率P（X＝xi）＝pi（i＝1，2，…，n）为X的概率分布列，简称分布列.
离散型随机变量的分布列也可以用如下表格表示：
X x1 x2 … xn
P p1 p2 … pn
（3）离散型随机变量分布列的性质
①pi≥　　　，i＝1，2，…，n；
②p1＋p2＋…＋pn＝　　　.
2.离散型随机变量的数字特征
设离散型随机变量X的分布列为
X x1 x2 … xn
P p1 p2 … pn
（1）均值（数学期望）：称E（X）＝　　　　　　　　　　　＝xipi为随机变量X的均值或数学期望.它反映了随机变量取值的　　　　　　；
（2）方差：称D（X）＝（x1－E（X））2p1＋（x2－E（X））2p2＋…＋（xn－E（X））2pn＝（xi－E（X））2pi为随机变量X的方差，并称为随机变量X的　　　　　　，记为σ（X），它们都可以度量随机变量取值与其均值的　　　　　　.
提醒：（1）D（X）越大，表明平均偏离程度越大，X的取值越分散.反之，D（X）越小，X的取值越集中在E（X）附近；（2）方差是一个常数，它不具有随机性，方差的值一定是非负实数.
1.若Y＝aX＋b，其中a，b是常数，X是随机变量，则 （1）E（k）＝k，D（k）＝0，其中k为常数； （2）E（aX＋b）＝aE（X）＋b，D（aX＋b）＝a2D（X）； （3）E（X1＋X2）＝E（X1）＋E（X2）； （4）D（X）＝E（X2）－（E（X））2； （5）若X1，X2相互独立，则E（X1·X2）＝E（X1）·E（X2）. 2.若随机变量X服从两点分布，则E（X）＝p，D（X）＝p（1－p）.
诊断自测
1.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）
（1）离散型随机变量是指某一区间内的任意值.（　　）
（2）若随机变量X服从两点分布，则P（X＝1）＝1－P（X＝0）.（　　）
（3）方差或标准差越小，则随机变量的偏离程度越小.（　　）
（4）若随机变量X的均值E（X）＝2，则E（2X）＝4.（　　）
2.某一随机变量ξ的概率分布列如表所示，且m＋2n＝1.2，则m－＝（　　）
ξ 0 1 2 3
P 0.1 m n 0.1
A.－0.2 B.0.2
C.0.1 D.－0.1
3.在篮球比赛中，罚球命中1次得1分，不中得0分.如果某篮球运动员罚球命中的概率为0.8，那么他罚球1次的得分X的均值为（　　）
A.0.2 B.0.4
C.0.8 D.1
4.已知随机变量X的分布列如下，则D（X）＝　　　　.
X 1 2 3
P
5.设随机变量X的概率分布列如表所示，且E（X）＝2.5，则a－b＝　　　　.
X 1 2 3 4
P a b
离散型随机变量的分布列
（基础自学过关）
1.若离散型随机变量ξ的分布列如表所示，则a的值为（　　）
ξ －1 1
P 4a－1 3a2＋a
A. B.－2
C.或－2 D.
2.（2026·广东深圳外国语学校月考）若离散型随机变量X的分布列为P（X＝n）＝（n＝1，2，3，4），其中a是常数，则P（ ＜X＜）＝（　　）
A. B.
C. D.
3.随机变量X的分布列如表：
X －1 0 1
P a b c
其中a，b，c成等差数列，则P（｜X｜＝1）＝　　　　，公差d的取值范围是　　　　.
离散型随机变量的分布列性质的应用 （1）利用“总概率之和为1”可以求相关参数的取值范围或值； （2）利用“离散型随机变量在某范围内的概率等于它取这个范围内各个值的概率之和”求某些特定事件的概率； （3）可以根据性质判断所得分布列结果是否正确.
离散型随机变量的均值与方差
（定向精析突破）
考向1　均值与方差的性质
（1）设随机变量X的分布列如下（其中0＜p＜1），D（X）表示X的方差，则当p从0增大到1时（　　）
X 0 1 2
P
A.D（X）增大 B.D（X）减小
C.D（X）先减后增 D.D（X）先增后减
（2）〔多选〕已知随机变量X的分布列如下，则下列说法正确的是（　　）
X －2 －1 1 2
P m n
A.m＋n＝
B.P（X＜2）＝
C.若m＝，Y＝3X＋2，则E（Y）＝2
D.D（X2）＝2
听课记录
与均值、方差性质有关问题的解题思路 　　若给出的随机变量Y与X的关系为Y＝aX＋b，a，b为常数，一般思路是先求出E（X），D（X），再利用公式E（aX＋b）＝aE（X）＋b，D（aX＋b）＝a2D（X）求E（Y），D（Y）；也可以利用X的分布列得到Y的分布列，关键是由X的取值计算Y的取值，对应的概率相等，再由定义法求得E（Y）或D（Y）.
考向2　离散型随机变量的均值与方差
（2026·江苏南京模拟）有A，B两道谜语，张某猜对A谜语的概率为0.8，猜对得奖金10元；猜对B谜语的概率为0.5，猜对得奖金x元.
（1）猜两道谜语，求张某仅猜对其中一道的概率；
（2）若规定只有在猜对第一道谜语的情况下，才有资格猜第二道，求x的值，使得张某先猜谜语A和先猜谜语B所获得的奖金期望相同.
求离散型随机变量X的均值与方差的步骤 （1）理解X的意义，写出X可能的全部值； （2）求X取每个值的概率； （3）写出X的分布列； （4）由均值、方差的定义求E（X），D（X）.
训练1 小王去自动取款机取款，发现自己忘记了6位数密码的最后一位数字，他决定从0～9中不重复地随机选择1个进行尝试，直到输对密码，或者输错三次银行卡被锁定为止.
（1）求小王的该银行卡被锁定的概率；
（2）设小王尝试输入该银行卡密码的次数为X，求X的分布列、均值及方差.
均值与方差在决策中的应用
（师生共研过关）
（2026·浙江温州模拟）PageRank算法是Google搜索引擎用来衡量网页重要性的一种经典算法.其核心思想是通过分析网页之间的链接关系，评估每个网页的相对重要性.假设一个小型的互联网由A，B，C，D四个网页组成，它们之间按图中的箭头方向等可能地单向链接，假设某用户从网页A开始浏览（记为第1次停留）.
（1）求该用户第3次停留在网页D上的概率；
（2）某广告公司准备在网页B，C中选择一个投放广告，以用户前4次在该网页上停留的平均次数作为决策依据.试问该公司应该选择哪个网页？请说明理由.
利用样本的数字特征解决有关决策问题的关键 （1）建立模型，根据题意准确建立解决问题的概率模型，要注意各种概率模型的差异性，不能混淆； （2）分析数据，分析题中的相关数据，确定概率模型中的相关参数； （3）求值，利用概率知识求出概率模型中的数学期望、方差等数字特征； （4）做出决策，比较概率模型中的数字特征，确定解决问题的最优方案，做出决策.
训练2 猜歌名游戏是根据歌曲的主旋律制成的铃声来猜歌名，一局游戏中有A，B，C三首歌曲.嘉宾甲参加猜歌名游戏，且可自主选择猜歌顺序，只有猜对当前歌曲的歌名才有资格猜下一首，并且获得本歌曲对应的奖励基金.假设甲猜对每首歌曲的歌名相互独立，猜对三首歌曲的概率及猜对时获得相应的奖励基金如表：
歌曲 A B C
猜对的概率 0.8 0.5 0.5
获得的奖励基金金额/元 1 000 2 000 3 000
（1）求甲按“A，B，C”的顺序猜歌名，至少猜对两首歌名的概率；
（2）甲决定按“A，B，C”或者“C，B，A”两种顺序猜歌名，请你计算两种猜歌顺序嘉宾甲获得奖励基金的期望；为了得到更多的奖励基金，请你给出合理的选择建议，并说明理由.
第5节　离散型随机变量及其分布列、数字特征
【夯实必备知识】
知识梳理
1.（1）唯一　一一列举　（3）①0　②1
2.（1）x1p1＋x2p2＋…＋xnpn　平均水平
（2）标准差　偏离程度
诊断自测
1.（1）×　（2）√　（3）√　（4）√
2.B　3.C　4.　5.
【研透核心考点】
考点1
1.A　2.D　3.　［－，］　
考点2
【例1】　（1）D　（2）ABD　解析：（1）由分布列可得E（X）＝0×＋1×＋2×＝＋p，则D（X）＝（ ＋p）2＋（ ＋p－1）2＋（ ＋p－2）2＝－p2＋p＋＝－（ p－）2＋，因为0＜p＜1，所以D（X）先增后减.
（2）因为＋m＋n＋＝1，所以m＋n＝，故A正确；P（X＜2）＝1－P（X≥2）＝1－＝，故B正确；因为m＝，所以n＝，所以E（X）＝－2×＋（－1）×＋1×＋2×＝，所以E（Y）＝E（3X＋2）＝3E（X）＋2＝4，故C错误；P（X2＝1）＝P（X＝－1）＋P（X＝1）＝m＋n＝，P（X2＝4）＝P（X＝－2）＋P（X＝2）＝，则X2的分布列为
X2 1 4
P
所以E（X2）＝1×＋4×＝2，则D（X2）＝×（1－2）2＋×（4－2）2＝2，故D正确.
【例2】　解：（1）设张某仅猜对其中一道谜语为事件M，猜对A谜语为事件A，猜对B谜语为事件B.
则P（M）＝P（A＋B）＝P（A）＋P（B）＝0.8×0.5＋0.2×0.5＝0.5.
（2）设张某先猜A谜语获得的奖金为ξ1元，先猜B谜语获得的奖金为ξ2元，
则ξ1的取值分别是0，10，10＋x，ξ2的取值分别是0，x，10＋x，
P（ξ1＝0）＝0.2，P（ξ1＝10）＝0.8×0.5＝0.4，P（ξ1＝10＋x）＝0.8×0.5＝0.4，
所以E（ξ1）＝0×0.2＋10×0.4＋（10＋x）×0.4＝0.4x＋8；
P（ξ2＝0）＝0.5，P（ξ2＝x）＝0.5×0.2＝0.1，P（ξ2＝10＋x）＝0.5×0.8＝0.4，
所以E（ξ2）＝0×0.5＋0.1x＋（10＋x）×0.4＝0.5x＋4.
由E（ξ1）＝E（ξ2）得0.4x＋8＝0.5x＋4，解得x＝40.
训练1　解：（1）设“小王的该银行卡被锁定”为事件A，则P（A）＝××＝.
（2）由题意，X的所有可能取值为1，2，3，
则P（X＝1）＝，P（X＝2）＝×＝，P（X＝3）＝××1＝，
所以X的分布列为
X 1 2 3
P
所以均值E（X）＝1×＋2×＋3×＝，
方差D（X）＝（ 1－）2×＋（ 2－）2×＋（ 3－）2×＝.
考点3
【例3】　解：（1）A→B，A→C；B→C，B→D；C→A，C→D；D→A，D→B、D→C.
第3次停留在网页D上的事件有A→B→D，A→C→D，
其概率为P＝×＋×＝.
（2）由题意知，A→B，A→C；B→C，B→D；C→A，C→D；D→A，D→B，D→C，
用Ai，Bi，Ci，Di（1≤i≤4）表示第i次停留在A，B，C，D处的事件，
则P（A3）＝×＝，P（B3）＝0，P（C3）＝×＝，P（D3）＝，
因为第4次停留在B，需第3次停留在A或D.第4次停留在C，需第3次停留在A或B或D.
所以P（B4）＝×＋×＝，P（C4）＝×＋×＝，
P（B1）＝P（C1）＝0，P（B2）＝P（C2）＝，
所以E（B）＝＋，E（C）＝＋＋＞E（B），
故该公司应该选择C网页.
训练2　解：（1）由题意可知甲按“A，B，C”的顺序猜歌名，至少猜对两首歌名分两种情况：猜对A，B；猜对A，B，C，这两种情况不会同时发生.
设“甲按‘A，B，C’的顺序猜歌名至少猜对两首歌名”为事件E，
由甲猜对每首歌曲的歌名相互独立可得
P（E）＝P（AB＋ABC）＝0.8×0.5×（1－0.5）＋0.8×0.5×0.5＝0.4.
（2）甲决定按“A，B，C”的顺序猜歌名，获得的奖金数记为X，
则X的所有可能取值为0，1 000，3 000，6 000，
P（X＝0）＝1－0.8＝0.2，
P（X＝1 000）＝0.8×（1－0.5）＝0.4，
P（X＝3 000）＝0.8×0.5×（1－0.5）＝0.2，
P（X＝6 000）＝0.8×0.5×0.5＝0.2，
所以E（X）＝0×0.2＋1 000×0.4＋3 000×0.2＋6 000×0.2＝2 200；
甲决定按“C，B，A”的顺序猜歌名，获得的奖金数记为Y，
则Y的所有可能取值为0，3 000，5 000，6 000，
P（Y＝0）＝0.5，
P（Y＝3 000）＝0.5×（1－0.5）＝0.25，
P（Y＝5 000）＝0.5×0.5×（1－0.8）＝0.05，
P（Y＝6 000）＝0.5×0.5×0.8＝0.2，
所以E（Y）＝0×0.5＋3 000×0.25＋5 000×0.05＋6 000×0.2＝2 200.
参考答案一：由于D（X）＝（0－2 200）2×0.2＋（1 000－2 200）2×0.4＋（3 000－2 200）2×0.2＋（6 000－2 200）2×0.2＝4 560 000，
D（Y）＝（0－2 200）2×0.5＋（3 000－2 200）2×0.25＋（5 000－2 200）2×0.05＋（6 000－2 200）2×0.2＝5 860 000，
由于D（Y）＞D（X），所以应该按照“A，B，C”的顺序猜歌名.
参考答案二：甲按“C，B，A”的顺序猜歌名时，获得0元的概率为0.5，大于按照“A，B，C”的顺序猜歌名时获得0元的概率0.2，所以应该按照“A，B，C”的顺序猜歌名.其他合理答案均可.
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第5节　离散型随机变量及其分布列、数字特征
课标要求
1. 通过具体实例，了解离散型随机变量的概念，理解离散型随机变量的分布列.
2. 理解离散型随机变量的均值、方差的概念.
3. 能计算简单离散型随机变量的均值、方差，并能解决一些简单的实际问题.
目录/
CONTENTS
夯实必备知识
01
研透核心考点
02
课时跟踪检测
03
01
PART
夯实必备知识
知识梳理
1. 离散型随机变量及其分布列
（1）离散型随机变量：对于随机试验样本空间Ω中的每个样本点ω，都
有 的实数X（ω）与之对应，我们称X为随机变量.可能取值为有
限个或可以 的随机变量称为离散型随机变量；
唯一　
一一列举　
（2）离散型随机变量的分布列：一般地，设离散型随机变量X的可能取值
为x1，x2，…，xn，称X取每一个值xi的概率P（X＝xi）＝pi（i＝1，
2，…，n）为X的概率分布列，简称分布列.
离散型随机变量的分布列也可以用如下表格表示：
X x1 x2 … xn
P p1 p2 … pn
（3）离散型随机变量分布列的性质
①pi≥ ，i＝1，2，…，n；
②p1＋p2＋…＋pn＝ .
0　
1　
2. 离散型随机变量的数字特征
设离散型随机变量X的分布列为
X x1 x2 … xn
P p1 p2 … pn
（1）均值（数学期望）：称E（X）＝ ＝
xipi为随机变量X的均值或数学期望.它反映了随机变量取值的
；
x1p1＋x2p2＋…＋xnpn　
平均水
平　
（2）方差：称D（X）＝（x1－E（X））2p1＋（x2－E（X））2p2＋…
＋（xn－E（X））2pn＝ （xi－E（X））2pi为随机变量X的方差，并
称 为随机变量X的 ，记为σ（X），它们都可以度量
随机变量取值与其均值的 .
提醒：（1）D（X）越大，表明平均偏离程度越大，X的取值越分散.反
之，D（X）越小，X的取值越集中在E（X）附近；（2）方差是一个常
数，它不具有随机性，方差的值一定是非负实数.
标准差　
偏离程度　
1. 若Y＝aX＋b，其中a，b是常数，X是随机变量，则
（1）E（k）＝k，D（k）＝0，其中k为常数；
（2）E（aX＋b）＝aE（X）＋b，D（aX＋b）＝a2D（X）；
（3）E（X1＋X2）＝E（X1）＋E（X2）；
（4）D（X）＝E（X2）－（E（X））2；
（5）若X1，X2相互独立，则E（X1·X2）＝E（X1）·E（X2）.
2. 若随机变量X服从两点分布，则E（X）＝p，D（X）＝p（1－p）.
诊断自测
1. 判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）
（1）离散型随机变量是指某一区间内的任意值. （　×　）
（2）若随机变量X服从两点分布，则P（X＝1）＝1－P（X＝0）.
（　√　）
（3）方差或标准差越小，则随机变量的偏离程度越小. （　√　）
（4）若随机变量X的均值E（X）＝2，则E（2X）＝4. （　√　）
×
√
√
√
2. 某一随机变量ξ的概率分布列如表所示，且m＋2n＝1.2，则m－ ＝
（　　）
ξ 0 1 2 3
P 0.1 m n 0.1
A. －0.2 B. 0.2
C. 0.1 D. －0.1
√
解析： 　由离散型随机变量分布列的性质可得m＋n＋0.2＝1，又m＋
2n＝1.2，解得m＝n＝0.4，可得m－ ＝0.2.
3. 在篮球比赛中，罚球命中1次得1分，不中得0分.如果某篮球运动员罚球
命中的概率为0.8，那么他罚球1次的得分X的均值为（　　）
A. 0.2 B. 0.4
C. 0.8 D. 1
√
解析： 　X的取值可能为0，1，P（X＝0）＝1－0.8＝0.2，P（X＝
1）＝0.8，E（X）＝0×0.2＋1×0.8＝0.8.
4. 已知随机变量X的分布列如下，则D（X）＝ .
X 1 2 3
P
解析：由题意得E（X）＝1× ＋2× ＋3× ＝ ，所以D（X）＝
× ＋ × ＋ × ＝ .
　
5. 设随机变量X的概率分布列如表所示，且E（X）＝2.5，则a－b
＝ .
X 1 2 3 4
P a b
解析：由题意得， 解得 ∴a
－b＝ .
　
02
PART
研透核心考点
离散型随机变量的分布列（基础自学过关）
1. 若离散型随机变量ξ的分布列如表所示，则a的值为（　　）
ξ －1 1
P 4a－1 3a2＋a
A. B. －2
C. 或－2 D.
√
解析： 　由分布列的性质得， 解得a＝ .
2. （2026·广东深圳外国语学校月考）若离散型随机变量X的分布列为P
（X＝n）＝ （n＝1，2，3，4），其中a是常数，则P（ ＜X
＜ ）＝（　　）
A. B.
C. D.
√
解析： 　因为P（X＝n）＝ （n＝1，2，3，4），所以 ＋
＋ ＋ ＝1，解得a＝ .故P（ ＜X＜ ）＝P（X＝1）＋P（X＝2）
＝ × ＋ × ＝ .
3. 随机变量X的分布列如表：
X －1 0 1
P a b c
其中a，b，c成等差数列，则P（｜X｜＝1）＝ ，公差d的取值范
围是 .
解析：因为a，b，c成等差数列，所以2b＝a＋c.又a＋b＋c＝1，所以
b＝ ，所以P（｜X｜＝1）＝a＋c＝ .又a＝ －d，c＝ ＋d，根据
分布列的性质，得0≤ －d≤ ，0≤ ＋d≤ ，所以－ ≤d≤ .
　
［－ ， ］　
离散型随机变量的分布列性质的应用
（1）利用“总概率之和为1”可以求相关参数的取值范围或值；
（2）利用“离散型随机变量在某范围内的概率等于它取这个范围内各个
值的概率之和”求某些特定事件的概率；
（3）可以根据性质判断所得分布列结果是否正确.
离散型随机变量的均值与方差（定向精析突破）
考向1　均值与方差的性质
（1）设随机变量X的分布列如下（其中0＜p＜1），D（X）表示X
的方差，则当p从0增大到1时（　D　）
X 0 1 2
P
A. D（X）增大 B. D（X）减小
C. D（X）先减后增 D. D（X）先增后减
D
解析： 由分布列可得E（X）＝0× ＋1× ＋2× ＝ ＋p，则D
（X）＝ （ ＋p）2＋ （ ＋p－1）2＋ （ ＋p－2）2＝－p2＋p＋
＝－（ p－ ）2＋ ，因为0＜p＜1，所以D（X）先增后减.
（2）〔多选〕已知随机变量X的分布列如下，则下列说法正确的是（　ABD　）
X －2 －1 1 2
P m n
ABD
A. m＋n＝ B. P（X＜2）＝
C. 若m＝ ，Y＝3X＋2，则E（Y）＝2 D. D（X2）＝2
解析：因为 ＋m＋n＋ ＝1，所以m＋n＝ ，故A正确；P（X＜2）＝
1－P（X≥2）＝1－ ＝ ，故B正确；因为m＝ ，所以n＝ ，所以E
（X）＝－2× ＋（－1）× ＋1× ＋2× ＝ ，所以E（Y）＝E（3X
＋2）＝3E（X）＋2＝4，故C错误；P（X2＝1）＝P（X＝－1）＋P
（X＝1）＝m＋n＝ ，P（X2＝4）＝P（X＝－2）＋P（X＝2）＝
，则X2的分布列为
X2 1 4
P
所以E（X2）＝1× ＋4× ＝2，则D（X2）＝ ×（1－2）2＋ ×（4－
2）2＝2，故D正确.
与均值、方差性质有关问题的解题思路
　　若给出的随机变量Y与X的关系为Y＝aX＋b，a，b为常数，一般思
路是先求出E（X），D（X），再利用公式E（aX＋b）＝aE（X）＋
b，D（aX＋b）＝a2D（X）求E（Y），D（Y）；也可以利用X的分
布列得到Y的分布列，关键是由X的取值计算Y的取值，对应的概率相
等，再由定义法求得E（Y）或D（Y）.
考向2　离散型随机变量的均值与方差
（2026·江苏南京模拟）有A，B两道谜语，张某猜对A谜语的概率为
0.8，猜对得奖金10元；猜对B谜语的概率为0.5，猜对得奖金x元.
（1）猜两道谜语，求张某仅猜对其中一道的概率；
解： 设张某仅猜对其中一道谜语为事件M，猜对A谜语为事件A，猜对B
谜语为事件B.
则P（M）＝P（A ＋ B）＝P（A ）＋P（ B）＝0.8×0.5＋
0.2×0.5＝0.5.
（2）若规定只有在猜对第一道谜语的情况下，才有资格猜第二道，求x的
值，使得张某先猜谜语A和先猜谜语B所获得的奖金期望相同.
解：设张某先猜A谜语获得的奖金为ξ1元，先猜B谜语获得的奖金为ξ2元，
则ξ1的取值分别是0，10，10＋x，ξ2的取值分别是0，x，10＋x，
P（ξ1＝0）＝0.2，P（ξ1＝10）＝0.8×0.5＝0.4，P（ξ1＝10＋x）＝
0.8×0.5＝0.4，
所以E（ξ1）＝0×0.2＋10×0.4＋（10＋x）×0.4＝0.4x＋8；
P（ξ2＝0）＝0.5，P（ξ2＝x）＝0.5×0.2＝0.1，P（ξ2＝10＋x）＝
0.5×0.8＝0.4，
所以E（ξ2）＝0×0.5＋0.1x＋（10＋x）×0.4＝0.5x＋4.
由E（ξ1）＝E（ξ2）得0.4x＋8＝0.5x＋4，解得x＝40.
求离散型随机变量X的均值与方差的步骤
（1）理解X的意义，写出X可能的全部值；
（2）求X取每个值的概率；
（3）写出X的分布列；
（4）由均值、方差的定义求E（X），D（X）.
训练1 小王去自动取款机取款，发现自己忘记了6位数密码的最后一位数
字，他决定从0～9中不重复地随机选择1个进行尝试，直到输对密码，或
者输错三次银行卡被锁定为止.
（1）求小王的该银行卡被锁定的概率；
解： 设“小王的该银行卡被锁定”为事件A，则P（A）＝ × × ＝
.
（2）设小王尝试输入该银行卡密码的次数为X，求X的分布列、均值及
方差.
解：由题意，X的所有可能取值为1，2，3，
则P（X＝1）＝ ，P（X＝2）＝ × ＝ ，P（X＝3）＝ × ×1
＝ ，
所以X的分布列为
X 1 2 3
P
所以均值E（X）＝1× ＋2× ＋3× ＝ ，
方差D（X）＝（ 1－ ）2× ＋（ 2－ ）2× ＋（ 3－ ）2× ＝
.
均值与方差在决策中的应用（师生共研过关）
（2026·浙江温州模拟）PageRank算法是Google搜索
引擎用来衡量网页重要性的一种经典算法.其核心思想是
通过分析网页之间的链接关系，评估每个网页的相对重
要性.假设一个小型的互联网由A，B，C，D四个网
页组成，它们之间按图中的箭头方向等可能地单向链接，假设某用户从网
页A开始浏览（记为第1次停留）.
（1）求该用户第3次停留在网页D上的概率；
解： A→B，A→C；B→C，B→D；C→A，C→D；D→A，
D→B、D→C.
第3次停留在网页D上的事件有A→B→D，A→C→D，
其概率为P＝ × ＋ × ＝ .
（2）某广告公司准备在网页B，C中选择一个投放广告，以用户前4次在
该网页上停留的平均次数作为决策依据.试问该公司应该选择哪个网页？
请说明理由.
解： 由题意知，A→B，A→C；B→C，B→D；C→A，C→D；
D→A，D→B，D→C，
用Ai，Bi，Ci，Di（1≤i≤4）表示第i次停留在A，B，C，D处的事
件，
则P（A3）＝ × ＝ ，P（B3）＝0，P（C3）＝ × ＝ ，P（D3）
＝ ，
因为第4次停留在B，需第3次停留在A或D. 第4次停留在C，需第3次停
留在A或B或D.
所以P（B4）＝ × ＋ × ＝ ，P（C4）＝ × ＋ × ＝ ，
P（B1）＝P（C1）＝0，P（B2）＝P（C2）＝ ，
所以E（B）＝ ＋ ，E（C）＝ ＋ ＋ ＞E（　B　），
故该公司应该选择C网页.
利用样本的数字特征解决有关决策问题的关键
（1）建立模型，根据题意准确建立解决问题的概率模型，要注意各种概
率模型的差异性，不能混淆；
（2）分析数据，分析题中的相关数据，确定概率模型中的相关参数；
（3）求值，利用概率知识求出概率模型中的数学期望、方差等数字特
征；
（4）做出决策，比较概率模型中的数字特征，确定解决问题的最优方
案，做出决策.
训练2 猜歌名游戏是根据歌曲的主旋律制成的铃声来猜歌名，一局游戏中
有A，B，C三首歌曲.嘉宾甲参加猜歌名游戏，且可自主选择猜歌顺序，
只有猜对当前歌曲的歌名才有资格猜下一首，并且获得本歌曲对应的奖励
基金.假设甲猜对每首歌曲的歌名相互独立，猜对三首歌曲的概率及猜对
时获得相应的奖励基金如表：
歌曲 A B C
猜对的概率 0.8 0.5 0.5
获得的奖励基金金额/元 1 000 2 000 3 000
（1）求甲按“A，B，C”的顺序猜歌名，至少猜对两首歌名的概率；
解： 由题意可知甲按“A，B，C”的顺序猜歌名，至少猜对两首歌名分
两种情况：猜对A，B；猜对A，B，C，这两种情况不会同时发生.
设“甲按‘A，B，C’的顺序猜歌名至少猜对两首歌名”为事件E，
由甲猜对每首歌曲的歌名相互独立可得
P（E）＝P（AB ＋ABC）＝0.8×0.5×（1－0.5）＋0.8×0.5×0.5＝
0.4.
解：甲决定按“A，B，C”的顺序猜歌名，获得的奖金数记为X，
则X的所有可能取值为0，1 000，3 000，6 000，
P（X＝0）＝1－0.8＝0.2，
P（X＝1 000）＝0.8×（1－0.5）＝0.4，
P（X＝3 000）＝0.8×0.5×（1－0.5）＝0.2，
P（X＝6 000）＝0.8×0.5×0.5＝0.2，
（2）甲决定按“A，B，C”或者“C，B，A”两种顺序猜歌名，请你
计算两种猜歌顺序嘉宾甲获得奖励基金的期望；为了得到更多的奖励基
金，请你给出合理的选择建议，并说明理由.
所以E（X）＝0×0.2＋1 000×0.4＋3 000×0.2＋6 000×0.2＝2 200；
甲决定按“C，B，A”的顺序猜歌名，获得的奖金数记为Y，
则Y的所有可能取值为0，3 000，5 000，6 000，
P（Y＝0）＝0.5，
P（Y＝3 000）＝0.5×（1－0.5）＝0.25，
P（Y＝5 000）＝0.5×0.5×（1－0.8）＝0.05，
P（Y＝6 000）＝0.5×0.5×0.8＝0.2，
所以E（Y）＝0×0.5＋3 000×0.25＋5 000×0.05＋6 000×0.2＝2 200.
参考答案一：由于D（X）＝（0－2 200）2×0.2＋（1 000－2 200）
2×0.4＋（3 000－2 200）2×0.2＋（6 000－2 200）2×0.2＝4 560 000，
D（Y）＝（0－2 200）2×0.5＋（3 000－2 200）2×0.25＋（5 000－2
200）2×0.05＋（6 000－2 200）2×0.2＝5 860 000，
由于D（Y）＞D（X），所以应该按照“A，B，C”的顺序猜歌名.
参考答案二：甲按“C，B，A”的顺序猜歌名时，获得0元的概率为
0.5，大于按照“A，B，C”的顺序猜歌名时获得0元的概率0.2，所以应
该按照“A，B，C”的顺序猜歌名.其他合理答案均可.
03
PART
课时跟踪检测
（时间：60分钟，满分：99分）
[备注：单选、填空题5分，多选题6分]
1. 甲、乙两人下象棋，赢了得3分，平局得1分，输了得0分，共下三局.用
ζ表示甲的得分，则{ζ＝3}表示（　　）
A. 甲赢三局
B. 甲赢一局输两局
C. 甲、乙平局二次
D. 甲赢一局输两局或甲、乙平局三次
1
2
3
4
5
6
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12
13
14
15
√
解析： 　因为甲、乙两人下象棋，赢了得3分，平局得1分，输了得0分，
故{ζ＝3}表示两种情况，即甲赢一局输两局或甲、乙平局三次.
2. 设随机变量ξ的分布列如下表，则P（｜ξ－3｜＝1）＝（　　）
ξ 1 2 3 4
P a
A. B.
√
C. D.
解析： 　∵ ＋a＋ ＋ ＝1，∴a＝ ，由｜ξ－3｜＝1，解得ξ＝2或
ξ＝4，∴P（｜ξ－3｜＝1）＝P（ξ＝2）＋P（ξ＝4）＝ ＋ ＝ ，故
选A.
1
2
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3. 随机变量X的取值范围为{0，1，2}，若P（X＝0）＝ ，E（X）＝
1，则D（X）＝（　　）
A. B.
C. D.
√
解析： 　设P（X＝1）＝p，P（X＝2）＝q，由题意得E（X）＝
0× ＋p＋2q＝1，且 ＋p＋q＝1，解得p＝ ，q＝ ，所以D（X）＝
×（0－1）2＋ ×（1－1）2＋ ×（2－1）2＝ .
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4. 小林从A地出发去往B地，1小时内到达的概率为0.4，1小时10分到达
的概率为0.3，1小时20分到达的概率为0.3.现规定1小时内到达的奖励为
200元，若超过1小时到达，则每超过1分钟奖励少2元.设小林最后获得的
奖励为X元，则E（X）＝（　　）
A. 176 B. 182
C. 184 D. 186
√
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15
解析： 　依题意可得X的所有可能取值为200，180，160.P（X＝200）
＝0.4，P（X＝180）＝0.3，P（X＝160）＝0.3，X的分布列如下，
X 200 180 160
P 0.4 0.3 0.3
则E（X）＝200×0.4＋（180＋160）×0.3＝182，故选B.
1
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15
5. 〔多选〕已知随机变量X的分布列为
X －1 0 1 2
P a b c 0.25
且a，b，c成等差数列，下列结论正确的是（　　）
A. D（bX＋1）＝ D（X）
B. P（｜X｜＝1）＝0.5
C. 若E（aX）＝0.08，则a＝0.1
D. a－c可能等于0.1
√
√
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
解析： 　依题意，a＋b＋c＝3b＝0.75，解得b＝0.25，a＋c＝
0.5.D（ X＋1）＝ D（X），A正确；P（｜X｜＝1）＝P（X＝－
1）＋P（X＝1）＝a＋c＝0.5，B正确；E（X）＝－a＋c＋0.5＝1－
2a，则E（aX）＝aE（X）＝a（1－2a）＝0.08，解得a＝0.1或a＝
0.4，C错误；当a＝0.3，c＝0.2时，a－c＝0.1，D正确.
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6. 〔多选〕已知某商场销售一种商品的单件销售利润为X＝0，a，2，根
据以往销售经验可得0＜a＜2，随机变量X的分布列为
X 0 a 2
P b
下列结论正确的是（　　）
A. b＝
B. 若该商场销售该商品5件，其中3件销售利润为0的概率为
C. D（X）min＝
D. 当D（X）最小时，E（X）＝
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√
解析： 　由题意 ＋b＋ ＝1，∴b＝ ，故选项A正确；该商场销售
该商品5件，其中3件销售利润为0的概率为 ×（ ）3×（ ）2＝ ，故
选项B正确；随机变量X的均值E（X）＝0× ＋a× ＋2× ＝ （a＋
1），可知方差D（X）＝［0－ （a＋1）］2× ＋［a－ （a＋1）］
2× ＋［2－ （a＋1）］2× ＝ ×（2a2－2a＋5）＝ ×［2（ a－ ）2
＋ ］，当a＝ 时，D（X）min＝ ，故选项C正确；当D（X）最小时，
a＝ ，此时E（X）＝ ×（ ＋1）＝ ，故选项D错误.
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7. 已知某生物技术公司研制出一种新药，并进行了临床试验，该临床试验
的成功概率是失败概率的2倍.若记一次试验中成功的次数为X，则随机变
量X的数学期望为 .
解析：设试验成功概率为p，则p＋ ＝1，解得p＝ .X的可能取值为0，
1，P（X＝0）＝ ，P（X＝1）＝ ，随机变量X的数学期望E（X）＝
0× ＋1× ＝ .
　
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8. 已知随机变量X的分布列为
X －2 －1 0 1 2 3
P
若P（X2＜x）＝ ，则实数x的取值范围是 .
（4，9]　
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解析：X2的可能取值为0，1，4，9，P（X2＝0）＝P（X＝0）＝ ，P
（X2＝1）＝P（X＝－1）＋P（X＝1）＝ ＋ ＝ ，P（X2＝4）＝P
（X＝－2）＋P（X＝2）＝ ＋ ＝ ，P（X2＝9）＝P（X＝3）＝
.因为P（X2＜x）＝ ＝ ＋ ＋ ，所以实数x的取值范围是4＜x≤9.
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9. （15分）（2026·山东烟台模拟）为加强中小学科学教育，某市科协，
市教育局拟于2026年4月联合举办第四届全市中小学机器人挑战赛.比赛共
设置穿越障碍、搬运物品两个项目.每支参赛队先挑战穿越障碍项目，挑
战成功后，方可挑战且必须挑战搬运物品项目.每支参赛队每个项目至多
挑战两次，若第一次挑战成功，则获得奖金2 000元，该项目不再挑战：若
第一次挑战失败，则必须第二次挑战该项目，若第二次挑战成功，则获得
奖金1 000元，否则，不获得奖金.假设甲参赛队在每个项目中，第一次挑
战成功的概率为 ，第一次挑战失败但第二次挑战该项目成功的概率为 ；
两个项目是否挑战成功相互独立.
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（1）设事件A＝“甲参赛队两个项目均挑战成功”，求P（　A　）；
解： 每个项目挑战成功的概率p＝ ＋ × ＝ ，
则P（A）＝（ ）2＝ .
A
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（2）设比赛结束时，甲参赛队获得奖金数为随机变量X，求X的分布列；
解： 甲参赛队获得奖金数为随机变量X的所有可能取值为4 000，3
000，2 000，1 000，0.
P（X＝4 000）＝ × ＝ ；P（X＝3 000）＝2× ×（ × ）＝ ；
P（X＝2 000）＝（ × ）2＋ × ＝ ＋ ＝ ；
P（X＝1 000）＝（ × ）× ＝ ；P（X＝0）＝ .
所以甲获得奖金数X的分布列为
X 4 000 3 000 2 000 1 000 0
P
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（3）假设本届比赛共有36支参赛队，且根据往届比赛成绩，甲参赛队获
得奖金数近似为各参赛队获得奖金数的平均水平.某赞助商计划提供全部
奖金，试估计其需提供的奖金总额.
解： 由（2）得出甲参赛队获得奖金数数学期望
E（X）＝4 000× ＋3 000× ＋2 000× ＋1 000× ＋0× ＝
元，
因为假设本届比赛共有36支参赛队，估计其需提供的奖金总额为36×E
（X）＝36× ＝109 250元.
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10. 现有7张卡片，分别写上数字1，2，2，3，4，5，6.从这7张卡片中随
机抽取3张，记所抽取卡片上数字的最小值为ξ，则E（ξ）＝（　　）
A. B.
C. D.
√
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解析： 　由题意知ξ的可能取值为1，2，3，4，P（ξ＝1）＝ ＝ ＝
，P（ξ＝2）＝ ＝ ，P（ξ＝3）＝ ＝ ，P（ξ＝4）＝
＝ ，所以ξ的分布列为
ξ 1 2 3 4
P
E（ξ）＝1× ＋2× ＋3× ＋4× ＝ .故选D.
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11. 据统计，一年中一个家庭万元以上的财产被窃的概率为0.005，保险公
司开办一年期万元以上家庭财产保险，交保险费100元，若一年内万元以
上财产被窃，保障公司赔偿a元（a＞1 000），为确保保险公司有可能获
益，则a的取值范围是（　　）
A. （100，200） B. （200，300）
C. （1 000，20 000） D. （2 000，30 000）
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解析： 　设保险公司的收益为X，则X的所有可能取值有100，100－a
（a＞1 000），由已知P（X＝100）＝0.995，P（X＝100－a）＝
0.005.所以随机变量X的分布列为
X 100 100－a
P 0.995 0.005
所以E（X）＝100×0.995＋（100－a）×0.005＝100－0.005a，令100
－0.005a＞0，解得a＜20 000，故1 000＜a＜20 000，所以为确保保险公
司有可能获益，a的取值范围是（1 000，20 000）.
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12. 〔多选〕设随机变量X的分布列如表所示，则下列说法中正确的是
（　　）
X 1 2 3 4 5 6
P p1 p2 p3 p4 p5 p6
A. P（X≥4）＝1－P（X≤3）
B. 随机变量X的数学期望E（X）可以等于3.5
C. 当pn＝ （n＝1，2，3，4，5）时，p6＝
D. 数列{pn}的通项公式可以为pn＝ （n＝1，2，3，4，5，6）
√
√
√
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解析： A选项，由已知p1＋p2＋p3＋p4＋p5＋p6＝1，则P
（X≥4）＝p4＋p5＋p6＝1－（p1＋p2＋p3）＝1－P（X≤3），正确；
B选项，当p1＝p2＝p3＝p4＝p5＝p6＝ 时，期望为E（X）＝1× ＋
2× ＋3× ＋4× ＋5× ＋6× ＝3.5，正确；C选项，由pn＝ （n
＝1，2，3，4，5），则p6＝1－（p1＋p2＋…＋p5）＝1－（ ＋
＋…＋ ）＝1－ ＝ ，正确；D选项，由pn＝ ＝ － （n＝1，2，3，4，5，6），则其前6项和为1－ ＋ － ＋…＋ － ＝ ≠1，错误.
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13. 已知A，B两个不透明盒中各有形状、大小都相同的红球、白球若干
个，A盒中有m个红球与10－m个白球，B盒中有10－m个红球与m个白
球（0＜m＜10），若从A，B盒中各取一个球，ξ表示所取的2个球中红球
的个数，则当D（ξ）取到最大值时，m＝ .
解析：ξ的可能取值为0，1，2，P（ξ＝0）＝ ＝ ，P
（ξ＝1）＝ ＝ ，P（ξ＝2）＝
＝ ，所以ξ的分布列为
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ξ 0 1 2
P
所以E（ξ）＝1× ＋2× ＝1，D（ξ）＝E（ξ2）－
[E（ξ）]2＝12× ＋22× －1＝－ （m－5）2＋ .因
此当m＝5时，D（ξ）取最大值 .
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14. （15分）某公司为活跃气氛、提升士气，年终拟通过抓阄兑奖的方式
对所有员工进行奖励.规定：每位员工从一个装有4个标有面值的阄的袋中
一次性随机摸出2个阄，阄上所标的面值之和为该员工获得的奖励金额.
（1）若袋中所装的4个阄中有1个所标的面值为800元，其余3个均为200
元，求：
①员工所获得的奖励金额为1 000元的概率；
②员工所获得的奖励金额的分布列及均值.
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解： 设员工所获得的奖励金额为X，
①P（X＝1 000）＝ ＝ ，
∴员工所获得的奖励金额为1 000元的概率为 .
②X所有可能的取值为400，1 000，
P（X＝400）＝ ＝ ，
∴X的分布列为
X 400 1 000
P
∴员工所获得的奖励金额的均值为E（X）＝400× ＋1 000× ＝700.
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（2）公司对奖励金额的预算是人均1 000元，并规定袋中的4个阄只能
由标有面值200元和800元的两种阄或标有面值400元和600元的两种阄
组成.为了使员工得到的奖励金额尽可能符合公司的预算且每位员工所
获得的奖励金额相对均衡，请对袋中的4个阄的面值给出一个合适的设
计，并说明理由.
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解： 根据公司预算，每个员工的平均奖励金额为1 000元，
∴先寻找均值为1 000元的可能方案，
对于面值由800元和200元组成的情况，
如果选择（200，200，200，800）的方案，
∵1 000元是面值之和的最大值，∴均值不可能为1 000元，
如果选择（800，800，800，200）的方案，
∵1 000元是面值之和的最小值，∴均值不可能为1 000元，
因此可能的方案是（800，800，200，200），记为方案1；
同理，对于面值由600元和400元组成的情况，
排除（600，600，600，400）和（400，400，400，600）的方案，
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∴可能的方案是（400，400，600，600），记为方案2.
对于方案1，设员工所获得的奖励金额为X1，X1可取400，1 000，1 600，
P（X1＝400）＝ ＝ ，P（X1＝1 000）＝ ＝ ，P（X1＝1 600）＝
＝ ，
∴E（X1）＝400× ＋1 000× ＋1 600× ＝1 000，
D（X1）＝（400－1 000）2× ＋（1 000－1 000）2× ＋（1 600－
1 000）2× ＝120 000；
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对于方案2，设员工所获得的奖励金额为X2，X2可取800，1 000，1 200，
P（X2＝800）＝ ＝ ，P（X2＝1 000）＝ ＝ ，P（X2＝1 200）＝
＝ ，
∴E（X2）＝800× ＋1 000× ＋1 200× ＝1 000，
D（X2）＝ ×（800－1 000）2＋ ×（1 000－1 000）2＋ ×（1 200－
1 000）2＝ ，
由于两种方案的奖励金额都符合预算要求，但方案2的方差比方案1小，
∴应选择方案2.
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15. 〔创新设问〕〔多选〕将2n（n∈N*）个有编号的球随机放入2个不同
的盒子中，已知每个球放入这2个盒子中的可能性相同，且每个盒子容纳
的球数不限.记2个盒子中最少的球数为X（0≤X≤n，X∈N*），则下列
说法中正确的是（　　）
A. 当n＝1时，方差D（X）＝
B. 当n＝2时，P（X＝1）＝
C. n≥3， k∈[0，n）（k，n∈N*），使得P（X＝k）＞P（X＝k
＋1）成立
D. 当n确定时，期望E（X）＝
√
√
√
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解析： 　当n＝1时，P（X＝0）＝ ，P（X＝1）＝ ，E（X）＝
，E（X2）＝ ，则D（X）＝E（X2）－（E（X））2＝ ，A正确；
当n＝2时，P（X＝1）＝2 × ＝ ，B错误；由已知得，P（X＝k）
＝2 × ，P（X＝k＋1）＝2 × ，k≤n－2，P（X＝n）
＝ ，又 ＝ ＞1，所以P（X＝n－1）＞P（X＝n），C正确；
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又E（X）＝ ＋ ＝ － ＝ （ 2k －n ）
＝ （ 4n －n ）＝ （ 4 － ）＝ （
4 － ）＝ （4× － ）＝ ，D正确.故选A、
C、D.
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