资源简介

第6节　二项分布、超几何分布与正态分布
（时间：60分钟，满分：99分）
[备注：单选、填空题5分，多选题6分]
1.已知随机变量X服从二项分布X～B（n，p），若E（X）＝，D（X）＝，则p＝（　　）
A. B.
C. D.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
2.某高三学生进行心理素质测试，场景相同的条件下每次通过测试的概率为，则连续测试4次，至少有3次通过的概率为（　　）
A. B.
C. D.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
3.某校高一有学生980人，在一次模拟考试中这些学生的数学成绩X服从正态分布 N（100，σ2），已知 P（90＜X≤100）＝0.1，则该校高一学生数学成绩在110分以上的人数大约为（　　）
A.784 B.490
C.392 D.294
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
4.数学教师从6道习题中随机抽3道让学生自我检测，规定至少要解答正确2道题才能及格.某同学只能求解其中的4道题，则他能及格的概率是（　　）
A. B.
C. D.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
5.〔一题多解〕〔多选〕（2026·浙江台州模拟）下列选项正确的是（　　）
A.若随机变量X～B（ 6，），则D（X）＝
B.若随机变量X～N（6，4），则E（X）＝6
C.若随机变量X服从0～1分布，且P（X＝1）＝，则D（X）＝
D.若随机变量X满足P（X＝k）＝，k＝0，1，2，则E（X）＝
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
6.〔多选〕一袋中有大小相同的4个红球和2个白球，则下列结论正确的是（　　）
A.从中任取3球，恰有一个白球的概率是
B.从中有放回地取球6次，每次任取一球，恰好有两次取到白球的概率为
C.从中有放回地取球3次，每次任取一球，则至少有一次取到红球的概率为
D.现从中不放回地取球2次，每次任取1球，则在第一次取到红球后，第二次再次取到红球的概率为
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
7.（2026·浙江台州模拟）若随机变量X～N（1，σ2），且P（X＜0.9）＝0.3，则P（｜X－1｜＜0.1）＝　　　　.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
8.（2025·全国Ⅰ卷14题）有5个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，从中有放回地随机取3次，每次取1个球.记X为这5个球中至少被取出1次的球的个数，则X的数学期望E（X）＝　　　　.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
9.（15分）为了切实加强学校体育工作，促进学生积极参加体育锻炼，养成良好的锻炼习惯，某高中学校计划优化课程，增加学生体育锻炼时间，提高体质健康水平.某体质监测中心抽取了该校10名学生进行体质测试，得到如下表格.
序号i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
成绩 xi（分） 38 41 44 51 54 56 58 64 74 80
记这10名学生体质测试成绩的平均分与方差分别为，s2，经计算（xi－）2＝1 690，＝33 050.
（1）求；
（2）规定体质测试成绩低于50分为不合格，从这10名学生中任取3名，记体质测试成绩不合格的人数为X，求X的分布列；
（3）经统计，高中生体质测试成绩近似服从正态分布N（μ，σ2），用，s2的值分别作为μ，σ2的近似值，若监测中心计划从全市抽查100名高中生进行体质测试，记这100名高中生的体质测试成绩恰好落在区间[30，82]的人数为Y，求Y的数学期望E（Y）.
附：若ξ～N（μ，σ2），则P（μ－σ≤ξ≤μ＋σ）≈0.682 7，P（μ－2σ≤ξ≤μ＋2σ）≈0.954 5，P（μ－3σ≤ξ≤μ＋3σ）≈0.997 3.
10.（2026·湖北武汉调研）已知连续型随机变量ξ服从正态分布N（ ，），记函数f（x）＝P（ξ≤x），则f（x）的图象（　　）
A.关于直线x＝对称
B.关于直线x＝对称
C.关于点（ ，）成中心对称
D.关于点（ ，）成中心对称
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
11.（2025·山师附中一模）甲、乙两人玩一种扑克游戏，每局开始前每人手中各有6张扑克牌，点数分别为1～6，两人各随机出牌1张，当两张牌的点数之差为偶数时，视为平局，当两张牌的点数之差为奇数时，谁的牌点数大谁胜，重复上面的步骤，游戏进行到一方比对方多胜2次或平局4次时停止，记游戏停止时甲、乙各出牌X次，则P（X＝4）＝（　　）
A. B.
C. D.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
12.〔多选〕（2026·山西吕梁模拟）小明上学有时乘公交车，有时骑自行车.他各记录了100次乘公交车和骑自行车上学所用的时间，经数据分析得到：乘公交车平均用时20 min，样本标准差为6；骑自行车平均用时24 min，样本标准差为2.已知若随机变量ξ～N（μ，σ2），则～N（0，1）.假设小明乘公交车用时X和骑自行车用时Y都服从正态分布，则（　　）
A.X～N（20，6）
B.～N（0，1）
C.若某天有28 min可用，小明要想尽可能不迟到应选择骑自行车
D.若某天有25 min可用，小明要想尽可能不迟到应选择乘公交车
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
13.32名业余棋手组队与甲、乙2名专业棋手进行车轮挑战赛，每名业余棋手随机选择一名专业棋手进行一盘比赛，每盘比赛结果相互独立，若获胜的业余棋手人数不少于10名，则业余棋手队获胜.已知每名业余棋手与甲比赛获胜的概率均为，每名业余棋手与乙比赛获胜的概率均为，若业余棋手队获胜，则选择与甲进行比赛的业余棋手人数至少为　　　　.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
14.（15分）（2026·江西赣州模拟）某人准备应聘甲、乙两家公司的高级工程师，两家公司应聘程序都是：应聘者先进行三项专业技能测试，专业技能测试通过后进入面试.已知该应聘者应聘甲公司，每项专业技能测试通过的概率均为，该应聘者应聘乙公司，三项专业技能测试通过的概率依次为，，m，其中0＜m＜1，技能测试是否通过相互独立.
（1）若m＝.求该应聘者应聘乙公司三项专业技能测试恰好通过两项的概率；
（2）已知甲、乙两家公司的招聘在同一时间进行，该应聘者只能应聘其中一家，应聘者以专业技能测试通过项目数的数学期望为决策依据，若该应聘者更有可能通过乙公司的技能测试，求m的取值范围.
15.〔创新交汇〕〔多选〕（2026·湖北武汉调研）已知离散型随机变量X服从二项分布B（n，p），其中n∈N*，0＜p＜1.记X为奇数的概率为a，X为偶数的概率为b，则下列说法中正确的有（　　）
A.a＋b＝1
B.当p＝时，a＝b
C.当0＜p＜时，a随着n的增大而增大
D.当＜p＜1时，a随着n的增大而减小
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
第6节　二项分布、超几何分布与正态分布
1.A　2.A　3.C　4.D　5.ABD　
6.ABC　一袋中有大小相同的4个红球和2个白球，对于A，从中任取3球，恰有一个白球的概率是P＝＝，故正确；对于B，从中有放回地取球6次，每次任取一球，每次取到白球的概率为P＝＝，则恰好有两次取到白球的概率为P＝×（ ）4×（ ）2＝，故正确；对于C，从中有放回地取球3次，每次任取一球，每次取到红球的概率为P＝＝，则至少有一次取到红球的概率为P＝1－×（ ）3＝，故正确.对于D，设A＝“第一次取到红球”，B＝“第二次取到红球”，则P（A）＝，P（AB）＝＝，所以P（B｜A）＝＝，故错误.
7.0.4　
8.　解析：X的所有取值为1，2，3，X＝1表示3次取同一个数字的球，则P（X＝1）＝（）3＝；X＝3表示3次取不同数字的球并排序，则P（X＝3）＝（）3＝；X＝2表示3次取2个不同数字的球，其中一个球取了两次并排序，P（X＝2）＝×2×3×（）3＝.（优解）P（X＝2）＝1－P（X＝1）－P（X＝3）＝.
所以X的分布列为
X 1 2 3
P
所以E（X）＝1×＋2×＋3×＝.
9.解：（1）＝×（38＋41＋44＋51＋54＋56＋58＋64＋74＋80）＝56.
（2）因为体质测试不合格的学生有3名，
所以X的可能取值为0，1，2，3.
因为P（X＝0）＝＝，
P（X＝1）＝＝，
P（X＝2）＝＝，
P（X＝3）＝＝.
所以X的分布列为
X 0 1 2 3
P
（3）因为＝56，s2＝（xi－）2＝×1 690＝169，
所以μ＝56，σ＝13.
因为P（30≤X≤82）＝P（μ－2σ≤ξ≤μ＋2σ）≈0.954 5，　
所以学生的体质测试成绩恰好落在区间[30，82]的概率约为0.954 5，
故Y～B（100，0.954 5），
所以E（Y）＝100×0.954 5＝95.45.
10.C　由连续型随机变量ξ服从正态分布N（ ，），可得μ＝，σ2＝，可得μ＝，σ＝，所以正态密度曲线关于x＝对称，即P（ξ≤x）＝P（ξ≥1－x），由f（x）＝P（ξ≤x），可得f（x）＝P（ξ≤x）在x≤时增加较快，在x＞时增加越来越慢，所以f（x）无对称轴，故A、B错误；f（x）＋f（1－x）＝P（ξ≤x）＋P（ξ≤1－x）＝P（ξ≥1－x）＋P（ξ≤1－x）＝1，所以f（x）关于点（ ，）成中心对称，故C正确，D错误.故选C.
11.D　甲乙每次出牌1张，若两人出牌的
点数都是偶数或都是奇数，则平局，所以平局的概率p1＝＝，若甲胜，则结果有（2，1），（3，2），（4，1），（4，3），（5，2），（5，4），（6，1），（6，3），（6，5），共9种，所以甲胜的概率为p2＝＝，
同理乙胜的概率也为，各出牌4次后停止游戏，若4次全平局，概率为（ ）4＝；若平局2次，则最后1次不能是平局，另外2次甲全胜或乙全胜，概率为（ ）2×××2＝，若平局0次，则一方3胜1负，且负的1次只能在前2次中，概率为××（ ）3×2＝，所以P（X＝4）＝＋＋＝.故选D.
12.BCD　根据题意知X～N（20，62），～N（0，1），故A错误，B正确；若有28 min可用，分别设随机变量X，Y的平均数和样本标准差为μX，μY，σX，σY，则P（｜Y－24｜≤4）＝P（｜Y－μY｜≤2σY）＝P（｜X－μX｜≤2σX）＝P（｜X－20｜≤12）＞P（｜X－20｜≤8），故P（X≤28）＜P（Y≤28），小明要想尽可能不迟到应选择骑自行车，故C正确；若有25 min可用，则P（X≤25）＝P（ ≤），P（Y≤25）＝P（ ≤），因为～N（0，1），～N（0，1），故P（X≤25）＞P（Y≤25），小明要想尽可能不迟到应选择乘公交车，故D正确.
13.24　解析：设选择与甲进行比赛且获胜的业余棋手人数为X，选择与乙进行比赛且获胜的业余棋手人数为Y，选择与甲进行比赛的业余棋手人数为n，则选择与乙进行比赛的业余棋手人数为32－n.X所有可能的取值为0，1，2，…，n，则X～B（ n，），E（X）＝.Y所有可能的取值为0，1，2，…，32－n，则Y～B（ 32－n，），E（Y）＝，所以获胜的业余棋手总人数的均值E（X＋Y）＝E（X）＋E（Y）＝＋＝≥10，解得n≥24.
14.解：（1）记“该应聘者应聘乙公司三项专业技能测试恰好通过两项”为事件A，
由题设P（A）＝×××＋××（）2＝.
故该应聘者应聘乙公司三项专业技能测试恰好通过两项的概率为.
（2）分别记“该应聘者应聘甲、乙公司三项专业技能测试中通过的项目数为ξ，η”，
由题设知：ξ～B（3，），所以E（ξ）＝3×＝2.
η的所有可能取值为0，1，2，3，
P（η＝0）＝××（1－m）＝，
P（η＝1）＝××（1－m）＋××（1－m）＋××m＝，
P（η＝2）＝××（1－m）＋××m＋××m＝，
P（η＝3）＝××m＝＝，
故η的分布列为
η 0 1 2 3
P
从而E（η）＝0×＋1×＋2×＋3×＝.
由得解得＜m＜1，故m的取值范围为（，1）.
15.ABC　对于A，由概率的基本性质可知a＋b＝1，故A正确；对于B，当p＝时，离散型随机变量X服从二项分布B（n，），则P（X＝k）＝（）k（1－）n－k（k＝0，1，2，3，…，n），所以a＝（）n（＋＋＋…）＝（）n×2n－1＝，b＝（）n（＋＋＋…）＝（）n×2n－1＝，所以a＝b，故B正确；对于C，D，a＝p1·（1－p）n－1＋p3（1－p）n－3＋…＝＝，当0＜p＜时，a＝为正项，且a随着n的增大而增大，故C正确；当＜p＜1时，（1－2p）n正负交替，故D不正确.
1 / 1第6节　二项分布、超几何分布与正态分布
1.通过具体实例，理解（课标变化：了解→理解）伯努利试验，掌握二项分布及其数字特征，并能解决简单的实际问题. 2.通过具体实例，了解超几何分布及其均值，并能解决简单的实际问题. 3.通过误差模型，了解服从正态分布的随机变量；通过具体实例，借助频率直方图的几何直观，了解正态分布的特征；了解正态分布的均值、方差及其含义.
知识梳理
1.伯努利试验与二项分布
（1）伯努利试验：只包含　　　　可能结果的试验叫做伯努利试验；将一个伯努利试验独立地重复进行n次所组成的随机试验称为　　　　　　　　；
（2）二项分布：一般地，在n重伯努利试验中，设每次试验中事件A发生的概率为p（0＜p＜1），用X表示事件A发生的次数，则X的分布列为P（X＝k）＝　　　　　　　　，k＝0，1，2，…，n；
如果随机变量X的分布列具有上式的形式，则称随机变量X服从二项分布，记作　　　　　　.
2.超几何分布
一般地，假设一批产品共有N件，其中有M件次品.从N件产品中随机抽取n件（不放回），用X表示抽取的n件产品中的次品数，则X的分布列为P（X＝k）＝　　　　　　　　，k＝m，m＋1，m＋2，…，r，其中n，N，M∈N*，M≤N，n≤N，m＝max{0，n－N＋M}，r＝min{n，M}.如果随机变量X的分布列具有上式的形式，那么称随机变量X服从超几何分布.
提醒：超几何分布中的随机变量为抽到的某类个体的个数.主要特征为：①考察对象分两类；②已知各类对象的个数；③从中抽取若干个个体，考查某类个体数X的概率分布.超几何分布主要用于抽检产品、摸不同类别的小球等概率模型，其实质是古典概型.
3.正态分布
若随机变量X服从正态分布，记为X～N（μ，σ2），其中E（X）＝μ，D（X）＝σ2，其正态密度函数为f（x）＝.当μ＝0，σ＝1时，随机变量X服从标准正态分布.
（1）正态曲线的特点
①曲线位于x轴　　　　，与x轴不相交；
②曲线是单峰的，它关于直线　　　　　对称；
③曲线在x＝μ处达到峰值　　　　　　；
④曲线与x轴之间的面积为　　　；
⑤当σ一定时，曲线的位置由μ确定，曲线随着μ的变化而沿x轴平移；
⑥当μ一定时，曲线的形状由σ确定，σ越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中；σ越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散.
（2）正态分布的三个常用数据
①P（μ－σ≤X≤μ＋σ）≈0.682 7；
②P（μ－2σ≤X≤μ＋2σ）≈0.954 5；
③P（μ－3σ≤X≤μ＋3σ）≈0.997 3.
1.对于二项分布X～B（n，p），E（X）＝np，D（X）＝np（1－p）. 2.对于超几何分布X～H（n，M，N），E（X）＝，D（X）＝·（ 1－）·. 3.对于正态分布X～N（μ，σ2），E（X）＝μ，D（X）＝σ2.
诊断自测
1.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）
（1）n重伯努利试验中各次试验的结果相互独立.（　　）
（2）若X表示n次重复抛掷1枚骰子出现点数是3的倍数的次数，则X服从二项分布.（　　）
（3）超几何分布的总体里只有两类物品.（　　）
（4）正态曲线是单峰的，其与x轴围成的面积是随参数μ，σ的变化而变化的.（　　）
（5）正态分布是对连续型随机变量而言的.（　　）
2.已知随机变量X服从正态分布N（3，1），且P（X＞2c－1）＝P（X＜c＋3），则c＝（　　）
A. B.
C.1 D.
3.将一枚质地均匀的硬币连续抛掷4次，X表示“正面朝上”出现的次数，则E（X）＝　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　，
D（X）＝　　　　.
4.在含有3件次品的10件产品中，任取4件，X表示取到的次品数，则P（X＝2）＝　　　　.
5.若某射手每次射击击中目标的概率为0.9，每次射击的结果相互独立，则在他连续4次的射击中，恰好有一次未击中目标的概率是　　　　.
二项分布
（定向精析突破）
考向1　n重伯努利试验及其概率
（1）下列事件是n重伯努利试验的是（　　）
A.运动员甲射击一次，“射中9环”与“射中8环”
B.甲、乙两运动员各射击一次，“甲射中10环”与“乙射中9环”
C.甲、乙两运动员各射击一次，“甲、乙都射中目标”与“甲、乙都没射中目标”
D.在相同的条件下，甲射击10次，5次击中目标
（2）机械研究所对新研发的某批次机械元件进行寿命追踪调查，随机抽查的200个机械元件情况如表：
使用时间/天 10～20 21～30 31～40 41～50 51～60
个数 10 40 80 50 20
若以频率估计概率，现从该批次机械元件中随机抽取3个，则至少有2个元件的使用寿命在30天以上的概率为（　　）
A. B.
C. D.
（3）一个口袋内有n（n＞3）个大小相同的球，其中3个红球和（n－3）个白球，已知从口袋中随机取出1个球是红球的概率为p，6p∈N，若有放回地从口袋中连续4次取球（每次只取1个球），在4次取球中恰好2次取到红球的概率大于，则n＝（　　）
A.5 B.6
C.7 D.8
听课记录　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
n重伯努利试验的判断及相应概率的求解策略 （1）符合n重伯努利试验必须满足的两个特征：①每次试验的条件完全相同，有关事件的概率保持不变；②各次试验的结果互不影响，即各次试验相互独立； （2）在求n重伯努利试验中事件恰好发生k次的概率时，首先要确定好n，p和k的值，再准确利用公式P（X＝k）＝pk（1－p）n－k，k＝0，1，2，…，n求概率.
考向2　二项分布
（2026·山东济南模拟）某公司升级了智能客服系统，在测试时，当输入的问题表达清晰时，智能客服的回答被采纳的概率为，当输入的问题表达不清晰时，智能客服的回答被采纳的概率为.已知输入的问题表达不清晰的概率为.
（1）求智能客服的回答被采纳的概率；
（2）在某次测试中输入了3个问题（3个问题相互独立），设X表示智能客服的回答被采纳的次数.求X的分布列、期望及方差.
二项分布问题的解题关键 （1）定型：①在每一次试验中，事件发生的概率相同；②各次试验中的事件是相互独立的；③在每一次试验中，试验的结果只有两个，即发生与不发生； （2）定参：确定二项分布中的两个参数n和p，即试验发生的次数和试验中事件发生的概率.
训练1 （2025·浙江台州二模）某市为了推广垃圾分类，在全市范围内开展了一系列宣传活动.为了评估宣传效果，市环保部门随机抽取了1 000名市民进行调查.假设该市成年人口为100万，且调查结果可以代表全市成年人口的情况.调查结果如下：
了解情况 非常了解 一般了解 不了解
人数（名） 580 320 100
（1）从该市成年人口中随机抽取1人，求其对垃圾分类知识“不了解”的概率；
（2）该市环保部门计划对“不了解”垃圾分类知识的市民进行重点宣传.假设经过重点宣传后，“不了解”的市民中有50％转变为“一般了解”，有20％转变为“非常了解”，其余保持不变.经过重点宣传后，从该市成年人口中随机抽取3人，记X为其中对垃圾分类知识“非常了解”的人数，求X的分布列及数学期望.
超几何分布
（师生共研过关）
（2026·广东广州模拟）
已知某种业公司培育了新品种的软籽石榴，从收获的果实中随机抽取了50个软籽石榴，按质量（单位：g）将它们分成5组：[360，380），[380，400），[400，420），[420，440），[440，460]，得到如下频率分布直方图.
（1）用样本估计总体，估计该品种石榴质量的平均数；（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）
（2）在样本中从质量在区间[380，400），[400，420），[420，440）上的石榴中按分层随机抽样抽取7个石榴进行检测，再从中抽取3个石榴作进一步检测.
①已知抽取的3个石榴不完全来自同一区间，求这3个石榴恰好来自不同区间的概率；
②记这3个石榴中质量在区间[420，440）上的个数为X，求X的分布列与数学期望.
求超几何分布的分布列的步骤
训练2 （2026·山东济宁模拟）为了解高三（一）班和高三（二）班的数学建模水平，现从两个班级中各随机抽取10名学生参加数学建模能力比赛（满分100分），成绩如下：
数据Ⅰ（高三（一）班）：68，80，58，75，65，70，54，90，88，92；
数据Ⅱ（高三（二）班）：72，55，83，59，56，90，83，52，80，95.
（1）求数据Ⅰ（高三（一）班）的第80百分位数；
（2）从上述成绩在60分以下的学生中随机抽取3人作下一步调研，设被抽到的3人中来自于高三（二）班的学生人数为X，求X的概率分布列和数学期望.
正态分布
（师生共研过关）
（1）（2021·新高考Ⅱ卷6题）某物理量的测量结果服从正态分布N（10，σ2），下列结论中不正确的是（　　）
A.σ越小，该物理量在一次测量中在（9.9，10.1）的概率越大
B.σ越小，该物理量在一次测量中大于10的概率为0.5
C.σ越小，该物理量在一次测量中小于9.99与大于10.01的概率相等
D.σ越小，该物理量在一次测量中落在（9.9，10.2）与落在（10，10.3）的概率相等
（2）〔一题多解〕〔多选〕（2024·新高考Ⅰ卷9题）随着“一带一路”国际合作的深入，某茶叶种植区多措并举推动茶叶出口.为了解推动出口后的亩收入（单位：万元）情况，从该种植区抽取样本，得到推动出口后亩收入的样本均值＝2.1，样本方差s2＝0.01.已知该种植区以往的亩收入X服从正态分布N（1.8，0.12），假设推动出口后的亩收入Y服从正态分布N（，s2），则（若随机变量Z服从正态分布N（μ，σ2），则P（Z＜μ＋σ）≈0.841 3）（　　）
A.P（X＞2）＞0.2
B.P（X＞2）＜0.5
C.P（Y＞2）＞0.5
D.P（Y＞2）＜0.8
听课记录　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
解决正态分布问题有三个关键点 （1）对称轴x＝μ； （2）标准差σ； （3）分布区间.利用对称性可求指定范围内的概率值；由μ，σ，分布区间的特征进行转化，使分布区间转化为3σ特殊区间，从而求出所求概率.注意只有在标准正态分布下对称轴才为x＝0.
训练3 （1）〔多选〕已知三个密度函数fi（x）＝（x∈R，i＝1，2，3）的图象如图所示，则（　　）
A.μ1＝μ2＞μ3
B.σ1＝σ2＜σ3
C.若X～N（1，），P（X＜2）＝0.7，则P（0＜X＜2）＝0.4
D.若X～N（μ2，），Y～N（μ3，），则存在实数x0，使得P（X＜x0）＝P（Y＜x0）
（2）（2026·山东临沂模拟）已知随机变量ξ～N（ 0，），为使ξ在（ －，）内的概率不小于0.954 5（若X～N（μ，σ2），则P（｜X－μ｜＜2σ）＝0.954 5），则a的最小值为（　　）
A.8 B.16
C.32 D.64
二项分布与超几何分布的辨析
　　超几何分布的抽取是不放回抽取，各次抽取不独立，二项分布的抽取是有放回抽取，各次抽取相互独立.当超几何分布所对应的总体数量很大时可以近似地看作二项分布.
在一个不透明的密闭纸箱中装有 10个大小、形状完全相同的小球，其中8个白球，2个黑球.小张每次从纸箱中随机摸出一个小球观察其颜色，连续摸4次，记随机变量X为小张摸出白球的个数.
（1）若小张每次从纸箱中随机摸出一个小球后放回纸箱，求E（X）和D（X）；
（2）若小张每次从纸箱中随机摸出一个小球后不放回纸箱，求X的分布列和E（X）.
第6节　二项分布、超几何分布与正态分布
【夯实必备知识】
知识梳理
1.（1）两个　n重伯努利试验　（2）pk（1－p）n－k　X～B（n，p）　2.
3.（1）①上方　②x＝μ　③　④1
诊断自测
1.（1）√　（2）√　（3）√　（4）×　（5）√
2.D　3.2　1　4.　5.0.291 6
【研透核心考点】
考点1
【例1】　（1）D　（2）D　（3）B　解析：（1）选项A、C为互斥事件，不符合n重伯努利试验的定义，选项B虽然是相互独立的两个事件，但是“甲射中10环”与“乙射中9环”的概率不一定相同，因此不是n重伯努利试验，选项D中，甲射击10次，每次击中与否是相互独立的，且在相同条件下，符合n重伯努利试验.
（2）由题意可知，该批次每个机械元件使用寿命在30天以上的概率为，因此，从该批次机械元件中随机抽取3个，至少有2个元件的使用寿命在30天以上的概率为P＝×（ ）2×＋×（ ）3＝.
（3）因为4次取球中恰好2次取到红球的概率大于，所以p2（1－p）2＞，所以p2（1－p）2＞，因为p（1－p）＞0，所以p（1－p）＞，所以＜p＜，所以2＜6p＜4，又因为6p∈N，所以6p＝3，所以p＝.又因为从口袋中随机取出1个球是红球的概率为p＝，所以＝，解得n＝6.
【例2】　解：（1）设A＝“智能客服的回答被采纳”，B＝“输入的问题表达不清晰”，
依题意，P（B）＝，P（）＝，P（A｜B）＝，P（A｜）＝，
因此P（A）＝P（B）P（A｜B）＋P（）P（A｜）＝×＋×＝，
所以智能客服的回答被采纳的概率为.
（2）依题意，X的所有可能取值为0，1，2，3，X～B（ 3，），
P（X＝0）＝（ ）0（ ）3＝，P（X＝1）＝（ ）1（ ）2＝，
P（X＝2）＝（ ）2（ ）1＝，P（X＝3）＝（ ）3（ ）0＝，
所以X的分布列为
X 0 1 2 3
P
数学期望E（X）＝3×＝；D（X）＝3××＝.
训练1　解：（1）已知随机抽取了1 000名市民进行调查，其中“不了解”的人数为100名，
根据古典概型概率公式可得P＝＝0.1，
所以从该市成年人口中随机抽取1人，对垃圾分类知识“不了解”的概率P＝0.1.
（2）原来“不了解”的市民占比为0.1，“非常了解”的市民占比为＝0.58，“一般了解”的市民占比为＝0.32，
经过重点宣传后，“不了解”的市民中有50％转变为“一般了解”，有20％转变为“非常了解”，其余保持不变，
所以重点宣传后“非常了解”的概率为0.58＋0.1×20％＝0.58＋0.02＝0.6.
从该市成年人口中随机抽取3人，记X为其中对垃圾分类知识“非常了解”的人数，因为每次抽取是相互独立的，且抽取到“非常了解”的概率都为0.6，所以X～B（3，0.6），
根据二项分布的概率公式P（X＝k）＝0.6k（1－0.6）3－k，k＝0，1，2，3.
P（X＝0）＝0.60（1－0.6）3－0＝1×1×0.43＝0.064，
P（X＝1）＝0.61（1－0.6）3－1＝3×0.6×0.42＝0.288，
P（X＝2）＝0.62（1－0.6）3－2＝3×0.36×0.4＝0.432，
P（X＝3）＝0.63＝0.63＝0.216.
所以X的分布列为
X 0 1 2 3
P 0.064 0.288 0.432 0.216
因为X～B（3，0.6），根据二项分布的数学期望公式可得E（X）＝3×0.6＝1.8.
考点2
【例3】　解：（1）由题意知这50个软籽石榴质量的平均数为20×[370×0.005＋（390＋410＋450）×0.010＋430×0.015]＝416（g），
所以估计该品种石榴质量的平均数为416 g.
（2）由题意知这7个石榴中，质量在区间[380，400），[400，420），[420，440）上的频率之比为0.010∶0.010∶0.015＝2∶2∶3，
所以抽取的质量在区间[380，400），[400，420），[420，440）上的石榴个数分别为2，2，3.
①记事件A＝“抽取的3个石榴不完全来自同一区间”，事件B＝“这3个石榴恰好来自不同区间”，
则P（A）＝＝，P（AB）＝＝，
所以P（B∣A）＝＝＝，
即所求概率为.
②由题意知X的所有可能取值为0，1，2，3，则P（X＝0）＝＝，P（X＝1）＝＝，P（X＝2）＝＝，P（X＝3）＝＝，
所以X的分布列为
X 0 1 2 3
P
所以E（X）＝0×＋1×＋2×＋3×＝.
训练2　解：（1）将数据Ⅰ从小到大排列为：54，58，65，68，70，75，80，88，90，92，
因为10×80％＝8，所以数据Ⅰ的第80百分位数为＝89.
（2）数据Ⅰ中60分以下的有54分，58分；
数据Ⅱ中60分以下的有52分，55分，56分，59分；
即符合题意共6人，其中高三（一）班有2人，高三（二）班有4人.
可知X的所有可能取值为1，2，3，
则P（X＝1）＝＝＝，
P（X＝2）＝＝＝，
P（X＝3）＝＝＝，
所以X的概率分布列为
X 1 2 3
P
数学期望E（X）＝1×＋2×＋3×＝2.
考点3
【例4】　（1）D　（2）BC　解析：（1）对于A，σ越小，正态分布的图象越瘦长，总体分布越集中在对称轴附近，故A正确；对于B、C，由于正态分布图象的对称轴为μ＝10，显然B、C正确.D显然错误.故选D.
（2）法一　依题可知，＝2.1，s2＝0.01，所以Y～N（2.1，0.12），故P（Y＞2）＝P（Y＞2.1－0.1）＝P（Y＜2.1＋0.1）≈0.841 3＞0.5，C正确，D错误；因为X～N（1.8，0.12），所以P（X＞2）＝P（X＞1.8＋2×0.1），因为P（X＜1.8＋0.1）≈0.841 3，所以P（X＞1.8＋0.1）≈1－0.841 3＝0.158 7＜0.2，而P（X＞2）＝P（X＞1.8＋2×0.1）＜P（X＞1.8＋0.1）＜0.2，B正确，A错误，故选B、C.
法二　由P（Z＜μ＋σ）≈0.841 3，得P（μ－σ＜Z＜μ＋σ）≈0.682 6，又Y～N（2.1，0.12），X～N（1.8，0.12），则P（X＞2）＝≈＝0.022 8＜0.5，P（Y＞2）＝0.5＋≈0.5＋0.341 3＝0.841 3＞0.8＞0.5，故选B、C.
训练3　（1）BCD　（2）C　解析：（1）根据正态曲线关于x＝μ对称，且μ越大曲线越靠近右边，则μ1＜μ2＝μ3，故A错误；又σ越小数据越集中，曲线越瘦高，则σ1＝σ2＜σ3，故B正确；X～N（1，），P（X＜2）＝0.7，则P（X＞2）＝1－0.7＝0.3 P（1＜X＜2）＝0.5－0.3＝0.2，所以P（0＜X＜2）＝2×0.2＝0.4，C正确；若X～N（μ2，），Y～N（μ3，），μ2＝μ3，则存在实数x0＝μ2＝μ3，使P（X＜x0）＝P（Y＜x0），D正确.故选B、C、D.
（2）若随机变量ξ～N（ 0，），则μ＝0，σ2＝＞0，P（｜X－μ｜＜2σ）＝P（ －2＜ξ＜2）＝0.954 5，为使ξ在（ －，）内的概率不小于0.954 5，则2≤，解得a≥32，即a的最小值为32.故选C.
衔接教材
【例】　解：（1）由小张每次从纸箱中随机摸出一个小球观察其颜色，连续摸4次，且每次从纸箱中随机摸出一个小球后放回纸箱，所以X～B（4，0.8），
所以E（X）＝4×0.8＝3.2，D（X）＝4×0.8×（1－0.8）＝0.64.
（2）由小张每次从纸箱中随机摸出一个小球观察其颜色，连续摸4次，且每次从纸箱中随机摸出一个小球后不放回纸箱，随机变量X服从超几何分布，
则P（X＝k）＝，k＝2，3，4，
可得P（X＝2）＝＝，
P（X＝3）＝＝，
P（X＝4）＝＝，
所以X的分布列为
X 2 3 4
P
E（X）＝2×＋3×＋4×＝＝3.2.
1 / 1(共90张PPT)
第6节　二项分布、超几何分布与正态分布
课标要求
1. 通过具体实例，理解（课标变化：了解→理解）伯努利试验，掌握二项分布及其数字特征，并能解决简单的实际问题.
2. 通过具体实例，了解超几何分布及其均值，并能解决简单的实际问题.
3. 通过误差模型，了解服从正态分布的随机变量；通过具体实例，借助频率直方图的几何直观，了解正态分布的特征；了解正态分布的均值、方差及其含义.
目录/
CONTENTS
夯实必备知识
01
研透核心考点
02
课时跟踪检测
03
01
PART
夯实必备知识
知识梳理
1. 伯努利试验与二项分布
（1）伯努利试验：只包含 可能结果的试验叫做伯努利试验；将
一个伯努利试验独立地重复进行n次所组成的随机试验称为
；
（2）二项分布：一般地，在n重伯努利试验中，设每次试验中事件A发生
的概率为p（0＜p＜1），用X表示事件A发生的次数，则X的分布列为P
（X＝k）＝ ，k＝0，1，2，…，n；
如果随机变量X的分布列具有上式的形式，则称随机变量X服从二项分
布，记作 .
两个　
n重伯努利
试验　
pk（1－p）n－k　
X～B（n，p）　
2. 超几何分布
一般地，假设一批产品共有N件，其中有M件次品.从N件产品中随机抽
取n件（不放回），用X表示抽取的n件产品中的次品数，则X的分布列为
P（X＝k）＝ ，k＝m，m＋1，m＋2，…，r，其中n，
N，M∈N*，M≤N，n≤N，m＝max{0，n－N＋M}，r＝min{n，
M}.如果随机变量X的分布列具有上式的形式，那么称随机变量X服从超
几何分布.
　
提醒：超几何分布中的随机变量为抽到的某类个体的个数.主要特征为：
①考察对象分两类；②已知各类对象的个数；③从中抽取若干个个体，考
查某类个体数X的概率分布.超几何分布主要用于抽检产品、摸不同类别的
小球等概率模型，其实质是古典概型.
3. 正态分布
若随机变量X服从正态分布，记为X～N（μ，σ2），其中E（X）＝μ，D
（X）＝σ2，其正态密度函数为f（x）＝ .当μ＝0，σ＝1
时，随机变量X服从标准正态分布.
（1）正态曲线的特点
①曲线位于x轴 ，与x轴不相交；
②曲线是单峰的，它关于直线 对称；
③曲线在x＝μ处达到峰值 ；
④曲线与x轴之间的面积为 ；
上方　
x＝μ　
　
1　
⑤当σ一定时，曲线的位置由μ确定，曲线随着μ的变化而沿x轴平移；
⑥当μ一定时，曲线的形状由σ确定，σ越小，曲线越“瘦高”，表示总体
的分布越集中；σ越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散.
（2）正态分布的三个常用数据
①P（μ－σ≤X≤μ＋σ）≈0.682 7；
②P（μ－2σ≤X≤μ＋2σ）≈0.954 5；
③P（μ－3σ≤X≤μ＋3σ）≈0.997 3.
1. 对于二项分布X～B（n，p），E（X）＝np，D（X）＝np（1－p）.
2. 对于超几何分布X～H（n，M，N），E（X）＝ ，D（X）＝
·（ 1－ ）· .
3. 对于正态分布X～N（μ，σ2），E（X）＝μ，D（X）＝σ2.
诊断自测
1. 判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）
（1）n重伯努利试验中各次试验的结果相互独立. （　√　）
（2）若X表示n次重复抛掷1枚骰子出现点数是3的倍数的次数，则X服从
二项分布. （　√　）
（3）超几何分布的总体里只有两类物品. （　√　）
（4）正态曲线是单峰的，其与x轴围成的面积是随参数μ，σ的变化而变化
的. （　×　）
（5）正态分布是对连续型随机变量而言的. （　√　）
√
√
√
×
√
2. 已知随机变量X服从正态分布N（3，1），且P（X＞2c－1）＝P（X
＜c＋3），则c＝（　　）
A. B. C. 1 D.
√
解析： 　随机变量X服从正态分布N（3，1），∵P（X＞2c－1）＝P
（X＜c＋3），∴ ＝3，∴c＝ .
3. 将一枚质地均匀的硬币连续抛掷4次，X表示“正面朝上”出现的次
数，则E（X）＝ ，D（X）＝ .
解析：一枚质地均匀的硬币抛掷一次正面朝上的概率为 ，且每次是否正
面朝上相互独立，所以X～B（ 4， ），所以E（X）＝4× ＝2，D
（X）＝4× × ＝1.
　
　
4. 在含有3件次品的10件产品中，任取4件，X表示取到的次品数，则P
（X＝2）＝ .
解析：由题意，X服从超几何分布，其中N＝10，M＝3，n＝4，故P（X
＝2）＝ ＝ .
5. 若某射手每次射击击中目标的概率为0.9，每次射击的结果相互独立，
则在他连续4次的射击中，恰好有一次未击中目标的概率是 .
解析：设事件A＝“恰好有一次未击中目标”，则P（A）＝ ×0.93×
（1－0.9）＝0.291 6.
　
0.291 6　
02
PART
研透核心考点
二项分布（定向精析突破）
考向1　n重伯努利试验及其概率
（1）下列事件是n重伯努利试验的是（　D　）
A. 运动员甲射击一次，“射中9环”与“射中8环”
B. 甲、乙两运动员各射击一次，“甲射中10环”与“乙射中9环”
C. 甲、乙两运动员各射击一次，“甲、乙都射中目标”与“甲、乙都没射
中目标”
D. 在相同的条件下，甲射击10次，5次击中目标
D
解析： 选项A、C为互斥事件，不符合n重伯努利试验的定义，选项B虽然
是相互独立的两个事件，但是“甲射中10环”与“乙射中9环”的概率不
一定相同，因此不是n重伯努利试验，选项D中，甲射击10次，每次击中
与否是相互独立的，且在相同条件下，符合n重伯努利试验.
（2）机械研究所对新研发的某批次机械元件进行寿命追踪调查，随机抽
查的200个机械元件情况如表：
使用时间/
天 10～20 21～30 31～40 41～50 51～60
个数 10 40 80 50 20
若以频率估计概率，现从该批次机械元件中随机抽取3个，则至少有2个元
件的使用寿命在30天以上的概率为（　D　）
A. B. C. D.
D
解析：由题意可知，该批次每个机械元件使用寿命在30天以上的概率为
，因此，从该批次机械元件中随机抽取3个，至少有2个元件的使用寿命
在30天以上的概率为P＝ ×（ ）2× ＋ ×（ ）3＝ .
（3）一个口袋内有n（n＞3）个大小相同的球，其中3个红球和（n－3）
个白球，已知从口袋中随机取出1个球是红球的概率为p，6p∈N，若有放
回地从口袋中连续4次取球（每次只取1个球），在4次取球中恰好2次取到
红球的概率大于 ，则n＝（　B　）
A. 5 B. 6
C. 7 D. 8
B
解析：因为4次取球中恰好2次取到红球的概率大于 ，所以 p2（1－
p）2＞ ，所以p2（1－p）2＞ ，因为p（1－p）＞0，所以p（1－p）
＞ ，所以 ＜p＜ ，所以2＜6p＜4，又因为6p∈N，所以6p＝3，所以
p＝ .又因为从口袋中随机取出1个球是红球的概率为p＝ ，所以 ＝ ，
解得n＝6.
n重伯努利试验的判断及相应概率的求解策略
（1）符合n重伯努利试验必须满足的两个特征：①每次试验的条件完全相
同，有关事件的概率保持不变；②各次试验的结果互不影响，即各次试验
相互独立；
（2）在求n重伯努利试验中事件恰好发生k次的概率时，首先要确定好
n，p和k的值，再准确利用公式P（X＝k）＝ pk（1－p）n－k，k＝
0，1，2，…，n求概率.
考向2　二项分布
（2026·山东济南模拟）某公司升级了智能客服系统，在测试时，当输
入的问题表达清晰时，智能客服的回答被采纳的概率为 ，当输入的问题
表达不清晰时，智能客服的回答被采纳的概率为 .已知输入的问题表达不
清晰的概率为 .
（1）求智能客服的回答被采纳的概率；
解： 设A＝“智能客服的回答被采纳”，B＝“输入的问题表达不清晰”，
依题意，P（B）＝ ，P（ ）＝ ，P（A｜B）＝ ，P（A｜ ）＝ ，
因此P（A）＝P（B）P（A｜B）＋P（ ）P（A｜ ）＝ × ＋
× ＝ ，
所以智能客服的回答被采纳的概率为 .
（2）在某次测试中输入了3个问题（3个问题相互独立），设X表示智能客
服的回答被采纳的次数.求X的分布列、期望及方差.
解：依题意，X的所有可能取值为0，1，2，3，X～B（ 3， ），
P（X＝0）＝ （ ）0（ ）3＝ ，P（X＝1）＝ （ ）1（ ）2
＝ ，
P（X＝2）＝ （ ）2（ ）1＝ ，P（X＝3）＝ （ ）3（ ）0
＝ ，
X 0 1 2 3
P
数学期望E（X）＝3× ＝ ，D（X）＝3× × ＝ .
所以X的分布列为
二项分布问题的解题关键
（1）定型：①在每一次试验中，事件发生的概率相同；②各次试验中的
事件是相互独立的；③在每一次试验中，试验的结果只有两个，即发生与
不发生；
（2）定参：确定二项分布中的两个参数n和p，即试验发生的次数和试验
中事件发生的概率.
训练1 （2025·浙江台州二模）某市为了推广垃圾分类，在全市范围内开展
了一系列宣传活动.为了评估宣传效果，市环保部门随机抽取了1 000名市
民进行调查.假设该市成年人口为100万，且调查结果可以代表全市成年人
口的情况.调查结果如下：
了解情况 非常了解 一般了解 不了解
人数（名） 580 320 100
（1）从该市成年人口中随机抽取1人，求其对垃圾分类知识“不了解”的
概率；
解： 已知随机抽取了1 000名市民进行调查，其中“不了解”的人数
为100名，
根据古典概型概率公式可得P＝ ＝0.1，
所以从该市成年人口中随机抽取1人，对垃圾分类知识“不了解”的概
率P＝0.1.
（2）该市环保部门计划对“不了解”垃圾分类知识的市民进行重点宣传.
假设经过重点宣传后，“不了解”的市民中有50％转变为“一般了解”，
有20％转变为“非常了解”，其余保持不变.经过重点宣传后，从该市成
年人口中随机抽取3人，记X为其中对垃圾分类知识“非常了解”的人数，
求X的分布列及数学期望.
解：原来“不了解”的市民占比为0.1，“非常了解”的市民占比为
＝0.58，“一般了解”的市民占比为 ＝0.32，
经过重点宣传后，“不了解”的市民中有50％转变为“一般了解”，有20
％转变为“非常了解”，其余保持不变，
所以重点宣传后“非常了解”的概率为0.58＋0.1×20％＝0.58＋0.02＝
0.6.
从该市成年人口中随机抽取3人，记X为其中对垃圾分类知识“非常了解”
的人数，因为每次抽取是相互独立的，且抽取到“非常了解”的概率都为
0.6，所以X～B（3，0.6），
根据二项分布的概率公式P（X＝k）＝ 0.6k·（1－0.6）3－k，k＝0，
1，2，3.
P（X＝0）＝ 0.60（1－0.6）3－0＝1×1×0.43＝0.064，
P（X＝1）＝ 0.61（1－0.6）3－1＝3×0.6×0.42＝0.288，
P（X＝2）＝ 0.62（1－0.6）3－2＝3×0.36×0.4＝0.432，
P（X＝3）＝ 0.63＝0.63＝0.216.
所以X的分布列为
X 0 1 2 3
P 0.064 0.288 0.432 0.216
因为X～B（3，0.6），根据二项分布的数学期望公式可得E（X）＝
3×0.6＝1.8.
超几何分布（师生共研过关）
（2026·广东广州模拟）已知某种业公司培育了新品种的软籽石榴，从
收获的果实中随机抽取了50个软籽石榴，按质量（单位：g）将它们分成5
组：[360，380），[380，400），[400，420），[420，440），[440，
460]，得到如下频率分布直方图.
（1）用样本估计总体，估计该品种石榴质量的平均数；（同一组中的数
据用该组区间的中点值作代表）
解： 由题意知这50个软籽石榴质量的平均数为20×[370×0.005＋（390
＋410＋450）×0.010＋430×0.015]＝416（g），
所以估计该品种石榴质量的平均数为416 g.
②记这3个石榴中质量在区间[420，440）上的个数为X，求X的分布列与
数学期望.
（2）在样本中从质量在区间[380，400），[400，420），[420，440）上
的石榴中按分层随机抽样抽取7个石榴进行检测，再从中抽取3个石榴作进
一步检测.
①已知抽取的3个石榴不完全来自同一区间，求这3个石榴恰好来自不同区
间的概率；
解：由题意知这7个石榴中，质量在区间[380，400），[400，420），
[420，440）上的频率之比为0.010∶0.010∶0.015＝2∶2∶3，
所以抽取的质量在区间[380，400），[400，420），[420，440）上的石
榴个数分别为2，2，3.
①记事件A＝“抽取的3个石榴不完全来自同一区间”，事件B＝“这3个
石榴恰好来自不同区间”，
则P（A）＝ ＝ ，P（AB）＝ ＝ ，
所以P（B∣A）＝ ＝ ＝ ，
即所求概率为 .
②由题意知X的所有可能取值为0，1，2，3，则P（X＝0）＝ ＝ ，P
（X＝1）＝ ＝ ，P（X＝2）＝ ＝ ，P（X＝3）＝ ＝ ，
所以X的分布列为
X 0 1 2 3
P
所以E（X）＝0× ＋1× ＋2× ＋3× ＝ .
求超几何分布的分布列的步骤
训练2 （2026·山东济宁模拟）为了解高三（一）班和高三（二）班的数学
建模水平，现从两个班级中各随机抽取10名学生参加数学建模能力比赛
（满分100分），成绩如下：
数据Ⅰ（高三（一）班）：68，80，58，75，65，70，54，90，88，92；
数据Ⅱ（高三（二）班）：72，55，83，59，56，90，83，52，80，95.
（1）求数据Ⅰ（高三（一）班）的第80百分位数；
解： 将数据Ⅰ从小到大排列为：54，58，65，68，70，75，80，88，90，
92，
因为10×80％＝8，所以数据Ⅰ的第80百分位数为 ＝89.
（2）从上述成绩在60分以下的学生中随机抽取3人作下一步调研，设被抽
到的3人中来自于高三（二）班的学生人数为X，求X的概率分布列和数学
期望.
解：数据Ⅰ中60分以下的有54分，58分；
数据Ⅱ中60分以下的有52分，55分，56分，59分；
即符合题意共6人，其中高三（一）班有2人，高三（二）班有4人.
可知X的所有可能取值为1，2，3，
则P（X＝1）＝ ＝ ＝ ，
P（X＝2）＝ ＝ ＝ ，
P（X＝3）＝ ＝ ＝ ，
X 1 2 3
P
数学期望E（X）＝1× ＋2× ＋3× ＝2.
所以X的概率分布列为
正态分布（师生共研过关）
（1）（2021·新高考Ⅱ卷6题）某物理量的测量结果服从正态分布N
（10，σ2），下列结论中不正确的是（　D　）
A. σ越小，该物理量在一次测量中在（9.9，10.1）的概率越大
B. σ越小，该物理量在一次测量中大于10的概率为0.5
C. σ越小，该物理量在一次测量中小于9.99与大于10.01的概率相等
D. σ越小，该物理量在一次测量中落在（9.9，10.2）与落在（10，
10.3）的概率相等
D
解析： 对于A，σ越小，正态分布的图象越瘦长，总体分布越集中在对称
轴附近，故A正确；对于B、C，由于正态分布图象的对称轴为μ＝10，显
然B、C正确.D显然错误.故选D.
（2）〔一题多解〕〔多选〕（2024·新高考Ⅰ卷9题）随着“一带一路”国
际合作的深入，某茶叶种植区多措并举推动茶叶出口.为了解推动出口后
的亩收入（单位：万元）情况，从该种植区抽取样本，得到推动出口后亩
收入的样本均值 ＝2.1，样本方差s2＝0.01.已知该种植区以往的亩收入
X服从正态分布N（1.8，0.12），假设推动出口后的亩收入Y服从正态分
布N（ ，s2），则（若随机变量Z服从正态分布N（μ，σ2），则P（Z＜
μ＋σ）≈0.841 3）（　BC　）
A. P（X＞2）＞0.2 B. P（X＞2）＜0.5
C. P（Y＞2）＞0.5 D. P（Y＞2）＜0.8
BC
解析：法一　依题可知， ＝2.1，s2＝0.01，所以Y～N（2.1，0.12），
故P（Y＞2）＝P（Y＞2.1－0.1）＝P（Y＜2.1＋0.1）≈0.841 3＞
0.5，C正确，D错误；因为X～N（1.8，0.12），所以P（X＞2）＝P
（X＞1.8＋2×0.1），因为P（X＜1.8＋0.1）≈0.841 3，所以P（X＞
1.8＋0.1）≈1－0.841 3＝0.158 7＜0.2，而P（X＞2）＝P（X＞1.8＋
2×0.1）＜P（X＞1.8＋0.1）＜0.2，B正确，A错误，故选B、C.
法二　由P（Z＜μ＋σ）≈0.841 3，得P（μ－σ＜Z＜μ＋σ）≈0.682 6，
又Y～N（2.1，0.12），X～N（1.8，0.12），则P（X＞2）＝
≈ ＝0.022 8＜0.5，P（Y＞2）＝0.5＋
≈0.5＋0.341 3＝0.841 3＞0.8＞0.5，故选B、C.
解决正态分布问题有三个关键点
（1）对称轴x＝μ；
（2）标准差σ；
（3）分布区间.利用对称性可求指定范围内的概率值；由μ，σ，分布区间
的特征进行转化，使分布区间转化为3σ特殊区间，从而求出所求概率.注
意只有在标准正态分布下对称轴才为x＝0.
训练3 （1）〔多选〕已知三个密度函数fi（x）＝
（x∈R，i＝1，2，3）的图象如图所示，则（　BCD　）
BCD
A. μ1＝μ2＞μ3
B. σ1＝σ2＜σ3
C. 若X～N（1， ），P（X＜2）＝0.7，
则P（0＜X＜2）＝0.4
D. 若X～N（μ2， ），Y～N（μ3， ），则存在实数x0，使得P（X
＜x0）＝P（Y＜x0）
解析： 根据正态曲线关于x＝μ对称，且μ越大曲线越靠近右边，则μ1＜μ2
＝μ3，故A错误；又σ越小数据越集中，曲线越瘦高，则σ1＝σ2＜σ3，故B正
确；X～N（1， ），P（X＜2）＝0.7，则P（X＞2）＝1－0.7＝
0.3 P（1＜X＜2）＝0.5－0.3＝0.2，所以P（0＜X＜2）＝2×0.2＝
0.4，C正确；若X～N（μ2， ），Y～N（μ3， ），μ2＝μ3，则存在
实数x0＝μ2＝μ3，使P（X＜x0）＝P（Y＜x0），D正确.故选B、C、D.
（2）（2026·山东临沂模拟）已知随机变量ξ～N（ 0， ），为使ξ在
（ － ， ）内的概率不小于0.954 5（若X～N（μ，σ2），则P（｜X－
μ｜＜2σ）＝0.954 5），则a的最小值为（　C　）
A. 8 B. 16
C. 32 D. 64
C
解析：若随机变量ξ～N（ 0， ），则μ＝0，σ2＝ ＞0，P（｜X－μ｜＜
2σ）＝P（ －2 ＜ξ＜2 ）＝0.954 5，为使ξ在（ － ， ）内的概率
不小于0.954 5，则2 ≤ ，解得a≥32，即a的最小值为32.故选C.
二项分布与超几何分布的辨析
　　超几何分布的抽取是不放回抽取，各次抽取不独立，二项分布的抽取
是有放回抽取，各次抽取相互独立.当超几何分布所对应的总体数量很大
时可以近似地看作二项分布.
在一个不透明的密闭纸箱中装有 10个大小、形状完全相同的小球，其中
8个白球，2个黑球.小张每次从纸箱中随机摸出一个小球观察其颜色，连
续摸4次，记随机变量X为小张摸出白球的个数.
（1）若小张每次从纸箱中随机摸出一个小球后放回纸箱，求E（X）和D
（X）；
解： 由小张每次从纸箱中随机摸出一个小球观察其颜色，连续摸4次，且
每次从纸箱中随机摸出一个小球后放回纸箱，所以X～B（4，0.8），
所以E（X）＝4×0.8＝3.2，D（X）＝4×0.8×（1－0.8）＝0.64.
（2）若小张每次从纸箱中随机摸出一个小球后不放回纸箱，求X的分布列
和E（X）.
解：由小张每次从纸箱中随机摸出一个小球观察其颜色，连续摸4次，
且每次从纸箱中随机摸出一个小球后不放回纸箱，随机变量X服从超几
何分布，
则P（X＝k）＝ ，k＝2，3，4，
可得P（X＝2）＝ ＝ ，
P（X＝3）＝ ＝ ，
P（X＝4）＝ ＝ ，
所以X的分布列为
X 2 3 4
P
E（X）＝2× ＋3× ＋4× ＝ ＝3.2.
03
PART
课时跟踪检测
（时间：60分钟，满分：99分）
[备注：单选、填空题5分，多选题6分]
1. 已知随机变量X服从二项分布X～B（n，p），若E（X）＝ ，D
（X）＝ ，则p＝（　　）
A. B.
C. D.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
√
解析： 　由题意 解得 故选A.
2. 某高三学生进行心理素质测试，场景相同的条件下每次通过测试的概率
为 ，则连续测试4次，至少有3次通过的概率为（　　）
A. B.
C. D.
√
解析： 　4次测试即为4次独立重复实验，故至少有3次通过的概率为
（ ）3× ＋ （ ）4＝ .
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
3. 某校高一有学生980人，在一次模拟考试中这些学生的数学成绩X服从
正态分布 N（100，σ2），已知 P（90＜X≤100）＝0.1，则该校高一学生
数学成绩在110分以上的人数大约为（　　）
A. 784 B. 490
C. 392 D. 294
√
解析： 　因为X～N（100，σ2），且P（90＜X≤100）＝0.1，所以P
（100＜X≤110）＝P（90＜X≤100）＝0.1，所以P（X＞110）＝0.5－
P（100＜X≤110）＝0.5－0.1＝0.4，又因为高一有学生980人，所以该
校高一学生数学成绩在110分以上的人数大约为980×0.4＝392.故选C.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
4. 数学教师从6道习题中随机抽3道让学生自我检测，规定至少要解答正确
2道题才能及格.某同学只能求解其中的4道题，则他能及格的概率是
（　　）
A. B.
C. D.
√
解析： 　设X表示解答正确的习题的个数，由题意知X服从超几何分
布，由超几何分布的概率公式可得，他能及格的概率是P（X≥2）＝P
（X＝2）＋P（X＝3）＝ ＋ ＝ .
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
5. 〔一题多解〕〔多选〕（2026·浙江台州模拟）下列选项正确的是
（　　）
A. 若随机变量X～B（ 6， ），则D（X）＝
B. 若随机变量X～N（6，4），则E（X）＝6
C. 若随机变量X服从0～1分布，且P（X＝1）＝ ，则D（X）＝
D. 若随机变量X满足P（X＝k）＝ ，k＝0，1，2，则E（X）＝
√
√
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
解析： 对于A，若随机变量X～B（ 6， ），则D（X）＝6× ×
（ 1－ ）＝ ，故正确；对于B，若随机变量X～N（6，4），则E（X）
＝6，故正确；对于C，若随机变量X服从0～1分布，且P（X＝1）＝ ，
则D（X）＝ ×（ 1－ ）＝ ，故错误；
对于D，法一　由随机变量X满足P（X＝k）＝ ，k＝0，1，2，
则P（X＝0）＝ ，P（X＝1）＝ ＝ ，P（X＝2）＝ ，所以E
（X）＝0× ＋1× ＋2× ＝ ，故正确；
法二　依题意有X～H（n，M，N）.其中n＝2，M＝2，N＝6，∴E
（x）＝ ＝ ＝ ，正确.故选A、B、D.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
6. 〔多选〕一袋中有大小相同的4个红球和2个白球，则下列结论正确的是
（　　）
A. 从中任取3球，恰有一个白球的概率是
B. 从中有放回地取球6次，每次任取一球，恰好有两次取到白球的概率为
C. 从中有放回地取球3次，每次任取一球，则至少有一次取到红球的概率
为
D. 现从中不放回地取球2次，每次任取1球，则在第一次取到红球后，第
二次再次取到红球的概率为
√
√
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
解析： 　一袋中有大小相同的4个红球和2个白球，对于A，从中
任取3球，恰有一个白球的概率是P＝ ＝ ，故正确；对于B，从
中有放回地取球6次，每次任取一球，每次取到白球的概率为P＝ ＝
，则恰好有两次取到白球的概率为P＝ ×（ ）4×（ ）2＝ ，
故正确；对于C，从中有放回地取球3次，每次任取一球，每次取到红
球的概率为P＝ ＝ ，则至少有一次取到红球的概率为P＝1－ ×
（ ）3＝ ，故正确.对于D，设A＝“第一次取到红球”，B＝“第二次取到红球”，则P（A）＝ ，P（AB）＝ ＝ ，所以P（B｜A）＝ ＝ ，故错误.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
7. （2026·浙江台州模拟）若随机变量X～N（1，σ2），且P（X＜0.9）
＝0.3，则P（｜X－1｜＜0.1）＝ .
解析：由｜X－1｜＜0.1可得－0.1＜X－1＜0.1，即0.9＜X＜1.1，因为
随机变量X～N（1，σ2），且P（X＜0.9）＝0.3，故P（｜X－1｜＜
0.1）＝P（0.9＜X＜1.1）＝1－2P（X＜0.9）＝1－2×0.3＝0.4.
0.4　
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
8. （2025·全国Ⅰ卷14题）有5个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，
从中有放回地随机取3次，每次取1个球.记X为这5个球中至少被取出1次的
球的个数，则X的数学期望E（X）＝ .
　
解析：X的所有取值为1，2，3，X＝1表示3次取同一个数字的球，则P
（X＝1）＝ （ ）3＝ ；X＝3表示3次取不同数字的球并排序，则P
（X＝3）＝ （ ）3＝ ；X＝2表示3次取2个不同数字的球，其中一个
球取了两次并排序，P（X＝2）＝ ×2×3×（ ）3＝ .（优解）P
（X＝2）＝1－P（X＝1）－P（X＝3）＝ .
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
所以X的分布列为
X 1 2 3
P
所以E（X）＝1× ＋2× ＋3× ＝ .
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
9. （15分）为了切实加强学校体育工作，促进学生积极参加体育锻炼，养
成良好的锻炼习惯，某高中学校计划优化课程，增加学生体育锻炼时间，
提高体质健康水平.某体质监测中心抽取了该校10名学生进行体质测试，
得到如下表格.
序号i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
成绩 xi（分） 38 41 44 51 54 56 58 64 74 80
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
记这10名学生体质测试成绩的平均分与方差分别为 ，s2，经计算 （xi
－ ）2＝1 690， ＝33 050.
（1）求 ；
解： ＝ ×（38＋41＋44＋51＋54＋56＋58＋64＋74＋80）＝56.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
（2）规定体质测试成绩低于50分为不合格，从这10名学生中任取3名，记
体质测试成绩不合格的人数为X，求X的分布列；
解： 因为体质测试不合格的学生有3名，
所以X的可能取值为0，1，2，3.
因为P（X＝0）＝ ＝ ，
P（X＝1）＝ ＝ ，
P（X＝2）＝ ＝ ，
P（X＝3）＝ ＝ .
所以X的分布列为
X 0 1 2 3
P
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
（3）经统计，高中生体质测试成绩近似服从正态分布N（μ，σ2），用
，s2的值分别作为μ，σ2的近似值，若监测中心计划从全市抽查100名高中
生进行体质测试，记这100名高中生的体质测试成绩恰好落在区间[30，
82]的人数为Y，求Y的数学期望E（Y）.
附：若ξ～N（μ，σ2），则P（μ－σ≤ξ≤μ＋σ）≈0.682 7，P（μ－
2σ≤ξ≤μ＋2σ）≈0.954 5，P（μ－3σ≤ξ≤μ＋3σ）≈0.997 3.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
解： 因为 ＝56，s2＝ （xi－ ）2＝ ×1 690＝169，
所以μ＝56，σ＝13.
因为P（30≤X≤82）＝P（μ－2σ≤ξ≤μ＋2σ）≈0.954 5，　
所以学生的体质测试成绩恰好落在区间[30，82]的概率约为0.954 5，
故Y～B（100，0.954 5），
所以E（Y）＝100×0.954 5＝95.45.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
10. （2026·湖北武汉调研）已知连续型随机变量ξ服从正态分布N（ ，
），记函数f（x）＝P（ξ≤x），则f（x）的图象（　　）
A. 关于直线x＝ 对称
B. 关于直线x＝ 对称
C. 关于点（ ， ）成中心对称
D. 关于点（ ， ）成中心对称
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
解析： 　由连续型随机变量ξ服从正态分布N（ ， ），可得μ＝ ，σ2
＝ ，可得μ＝ ，σ＝ ，所以正态密度曲线关于x＝ 对称，即P
（ξ≤x）＝P（ξ≥1－x），由f（x）＝P（ξ≤x），可得f（x）＝P
（ξ≤x）在x≤ 时增加较快，在x＞ 时增加越来越慢，所以f（x）无对
称轴，故A、B错误；f（x）＋f（1－x）＝P（ξ≤x）＋P（ξ≤1－x）
＝P（ξ≥1－x）＋P（ξ≤1－x）＝1，所以f（x）关于点（ ， ）成中
心对称，故C正确，D错误.故选C.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
11. （2025·山师附中一模）甲、乙两人玩一种扑克游戏，每局开始前每人
手中各有6张扑克牌，点数分别为1～6，两人各随机出牌1张，当两张牌的
点数之差为偶数时，视为平局，当两张牌的点数之差为奇数时，谁的牌点
数大谁胜，重复上面的步骤，游戏进行到一方比对方多胜2次或平局4次时
停止，记游戏停止时甲、乙各出牌X次，则P（X＝4）＝（　　）
A. B.
C. D.
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
解析： 　甲乙每次出牌1张，若两人出牌的点数都是偶数或都是奇数，则
平局，所以平局的概率p1＝ ＝ ，若甲胜，则结果有（2，1），
（3，2），（4，1），（4，3），（5，2），（5，4），（6，1），
（6，3），（6，5），共9种，所以甲胜的概率为p2＝ ＝ ，同理乙胜
的概率也为 ，各出牌4次后停止游戏，若4次全平局，概率为（ ）4＝ ；
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
若平局2次，则最后1次不能是平局，另外2次甲全胜或乙全胜，概率为
（ ）2× × ×2＝ ，若平局0次，则一方3胜1负，且负的1次只能在前
2次中，概率为 × ×（ ）3×2＝ ，所以P（X＝4）＝ ＋ ＋
＝ .故选D.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
12. 〔多选〕（2026·山西吕梁模拟）小明上学有时乘公交车，有时骑自行
车.他各记录了100次乘公交车和骑自行车上学所用的时间，经数据分析得
到：乘公交车平均用时20 min，样本标准差为6；骑自行车平均用时24
min，样本标准差为2.已知若随机变量ξ～N（μ，σ2），则 ～N（0，
1）.假设小明乘公交车用时X和骑自行车用时Y都服从正态分布，则（　）
A. X～N（20，6）
B. ～N（0，1）
C. 若某天有28 min可用，小明要想尽可能不迟到应选择骑自行车
D. 若某天有25 min可用，小明要想尽可能不迟到应选择乘公交车
√
√
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
解析： 　根据题意知X～N（20，62）， ～N（0，1），故A错
误，B正确；若有28 min可用，分别设随机变量X，Y的平均数和样本标准
差为μX，μY，σX，σY，则P（｜Y－24｜≤4）＝P（｜Y－μY｜≤2σY）
＝P（｜X－μX｜≤2σX）＝P（｜X－20｜≤12）＞P（｜X－20｜
≤8），故P（X≤28）＜P（Y≤28），小明要想尽可能不迟到应选择骑
自行车，故C正确；若有25 min可用，则P（X≤25）＝P（
≤ ），P（Y≤25）＝P（ ≤ ），因为 ～N（0，
1）， ～N（0，1），故P（X≤25）＞P（Y≤25），小明要想尽可
能不迟到应选择乘公交车，故D正确.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
13.32名业余棋手组队与甲、乙2名专业棋手进行车轮挑战赛，每名业余棋
手随机选择一名专业棋手进行一盘比赛，每盘比赛结果相互独立，若获胜
的业余棋手人数不少于10名，则业余棋手队获胜.已知每名业余棋手与甲
比赛获胜的概率均为 ，每名业余棋手与乙比赛获胜的概率均为 ，若业余
棋手队获胜，则选择与甲进行比赛的业余棋手人数至少为 .
24　
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
解析：设选择与甲进行比赛且获胜的业余棋手人数为X，选择与乙进行比
赛且获胜的业余棋手人数为Y，选择与甲进行比赛的业余棋手人数为n，
则选择与乙进行比赛的业余棋手人数为32－n.X所有可能的取值为0，1，
2，…，n，则X～B（ n， ），E（X）＝ .Y所有可能的取值为0，1，
2，…，32－n，则Y～B（ 32－n， ），E（Y）＝ ，所以获胜的
业余棋手总人数的均值E（X＋Y）＝E（X）＋E（Y）＝ ＋ ＝
≥10，解得n≥24.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
14. （15分）（2026·江西赣州模拟）某人准备应聘甲、乙两家公司的高级
工程师，两家公司应聘程序都是：应聘者先进行三项专业技能测试，专业
技能测试通过后进入面试.已知该应聘者应聘甲公司，每项专业技能测试
通过的概率均为 ，该应聘者应聘乙公司，三项专业技能测试通过的概率
依次为 ， ，m，其中0＜m＜1，技能测试是否通过相互独立.
（1）若m＝ .求该应聘者应聘乙公司三项专业技能测试恰好通过两项的
概率；
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
解： 记“该应聘者应聘乙公司三项专业技能测试恰好通过两项”为
事件A，
由题设P（A）＝ × × × ＋ × ×（ ）2＝ .
故该应聘者应聘乙公司三项专业技能测试恰好通过两项的概率为 .
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
（2）已知甲、乙两家公司的招聘在同一时间进行，该应聘者只能应聘其
中一家，应聘者以专业技能测试通过项目数的数学期望为决策依据，若该
应聘者更有可能通过乙公司的技能测试，求m的取值范围.
解： 分别记“该应聘者应聘甲、乙公司三项专业技能测试中通过的
项目数为ξ，η”，
由题设知：ξ～B（3， ），所以E（ξ）＝3× ＝2.
η的所有可能取值为0，1，2，3，
P（η＝0）＝ × ×（1－m）＝ ，
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
P（η＝1）＝ × ×（1－m）＋ × ×（1－m）＋ × ×m＝ ，
P（η＝2）＝ × ×（1－m）＋ × ×m＋ × ×m＝ ，
P（η＝3）＝ × ×m＝ ＝ ，
故η的分布列为
η 0 1 2 3
P
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
从而E（η）＝0× ＋1× ＋2× ＋3× ＝ .
由 得 解得 ＜m＜1，故m的取值范围为
（ ，1）.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
15. 〔创新交汇〕〔多选〕（2026·湖北武汉调研）已知离散型随机变量X
服从二项分布B（n，p），其中n∈N*，0＜p＜1.记X为奇数的概率为
a，X为偶数的概率为b，则下列说法中正确的有（　　）
A. a＋b＝1
B. 当p＝ 时，a＝b
C. 当0＜p＜ 时，a随着n的增大而增大
D. 当 ＜p＜1时，a随着n的增大而减小
√
√
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
解析： 　对于A，由概率的基本性质可知a＋b＝1，故A正确；对于
B，当p＝ 时，离散型随机变量X服从二项分布B（n， ），则P（X＝
k）＝ （ ）k（1－ ）n－k（k＝0，1，2，3，…，n），所以a＝
（ ）n（ ＋ ＋ ＋…）＝（ ）n×2n－1＝ ，b＝（ ）n（ ＋
＋ ＋…）＝（ ）n×2n－1＝ ，所以a＝b，故B正确；对于C，D，a＝ p1·（1－p）n－1＋ p3（1－p）n－3＋…＝ ＝ ，当0＜p＜ 时，a＝ 为正项，且a随着n的增大而增大，故C正确；当 ＜p＜1时，（1－2p）n正负交替，故D不正确.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
THANKS
演示完毕 感谢观看

展开更多......

收起↑