资源简介 重难专攻16 概率、统计中的创新交汇问题（时间：50分钟，满分：62分）1.（15分）（2023·新高考Ⅱ卷19题）某研究小组经过研究发现某种疾病的患病者与未患病者的某项医学指标有明显差异，经过大量调查，得到如下的患病者和未患病者该指标的频率分布直方图：利用该指标制定一个检测标准，需要确定临界值c，将该指标大于c的人判定为阳性，小于或等于c的人判定为阴性，此检测标准的漏诊率是将患病者判定为阴性的概率，记为p（c）；误诊率是将未患病者判定为阳性的概率，记为q（c）.假设数据在组内均匀分布.以事件发生的频率作为相应事件发生的概率.（1）当漏诊率p（c）＝0.5％时，求临界值c和误诊率q（c）；（2）设函数f（c）＝p（c）＋q（c）.当c∈[95，105]时，求f（c）的解析式，并求f（c）在区间[95，105]的最小值.2.（15分）（2026·北京模拟）为考查一种新的治疗方案是否优于标准治疗方案，现从一批患者中随机抽取100名患者，均分为两组，分别采用新治疗方案与标准治疗方案治疗，记其中采用新治疗方案与标准治疗方案治疗受益的患者数分别为X和Y.在治疗过程中，用指标I衡量患者是否受益：若μ－σ≤I≤μ＋σ，则认为指标I正常；若I＞μ＋σ，则认为指标I偏高；若I＜μ－σ，则认为指标I偏低.若治疗后患者的指标I正常，则认为患者受益于治疗方案，否则认为患者未受益于治疗方案.根据历史数据，受益于标准治疗方案的患者比例为0.6.（1）求E（Y）和D（Y）；（2）统计量是关于样本的函数，选取合适的统计量可以有效地反映样本信息.设采用新治疗方案的第i位患者治疗后指标I的值为xi，i＝1，2，…，50，定义函数：f（xi）＝①简述以下统计量所反映的样本信息，并说明理由.A＝｜f（x1）｜＋｜f（x2）｜＋…＋｜f（x50）｜；B＝{f（x1）[f（x1）＋1]＋f（x2）[f（x2）＋1]＋…＋f（x50）[f（x50＋1）]}；②为确定新的治疗方案是否优于标准治疗方案，请在①中的统计量中选择一个合适的统计量，并根据统计量的取值作出统计决策.3.（15分）（2026·山东泰安模拟）为备战全国机器人大赛，某高校机器人甲队和乙队进行练习赛，两队均由两台机器人组成.比赛要求每轮两局，每局比赛两队需派不同机器人参赛，每局比赛获胜得1分，否则得0分.设每轮比赛中各局结果互不影响，各轮结果也互不影响.已知甲队机器人a，b每局比赛获胜的概率分别为，.（1）设前两轮比赛中甲队得3分为事件A，前两轮比赛中机器人a得2分为事件B，求P（B｜A）；（2）受机器人电池蓄航能力影响，本次比赛最多进行10轮，规定当一队得分比另一队得分多2分时比赛结束.设比赛结束时共进行了X轮，求X的数学期望.4.（17分）（2026·山东潍坊模拟）n维空间中点的坐标可以表示为（x1，x2，x3，…，xn），其中xi（i＝1，2，3，…，n）为该点的第i个坐标.定义n维空间中任意两点A（x1，x2，x3，…，xn），B（y1，y2，y3，…，yn）之间的平均离差二乘距离d（A，B）＝（xi－yi）2.设n维空间点集M＝{（x1，x2，x3，…，xn）｜xi＝0或1，其中i＝1，2，3，…，n}（n≥2）.（1）若n＝3，A，B∈M，且点A（0，1，0），d（A，B）＝，写出所有的点B的坐标；（2）任取n维空间中的不同两点P，Q∈M.①若n＝4，求d（P，Q）＝的概率；②记随机变量X＝d（P，Q），求E（X2）的取值范围.重难专攻16 概率、统计中的创新交汇问题1.解：（1）由题图知，（100－95）×0.002＝1%＞0.5%，所以95＜c＜100，则p（c）＝（c－95）×0.002＝0.5%，所以c＝97.5，所以q（c）＝0.01×2.5＋0.002×5＝3.5%.（2）依题意，当c∈[95，100]时，f（c）＝p（c）＋q（c）＝（c－95）×0.002＋（100－c）×0.01＋5×0.002＝－0.008c＋0.82；当c∈（100，105]时，f（c）＝p（c）＋q（c）＝5×0.002＋（c－100）×0.012＋（105－c）×0.002＝0.01c－0.98.故f（c）＝所以f（c）在区间[95，105]的最小值为f（100）＝0.02.2.解：（1）由题设知Y服从二项分布B（50，0.6），所以E（Y）＝50×0.6＝30，D（Y）＝50×0.6×0.4＝12.（2）①统计量A反映了未受益于新治疗方案的患者数，理由如下：若第i位患者受益于新治疗方案，则其指标I的值xi满足f（xi）＝0，否则｜f（xi）｜＝1，会被统计量A计入，且每位未受益于新治疗方案的患者恰使得统计量A的数值加1.统计量B反映了未受益于新治疗方案且指标I偏高的患者数量，理由如下：若第i位患者接受新治疗方案后指标I偏低或正常，则其指标I的值xi满足f（xi）[f（xi）＋1]＝0，若指标I偏高，则f（xi）[f（xi）＋1]＝2，＝1，会被统计量B计入，且每位未受益于新治疗方案且指标I偏高的患者恰使得统计量B的数值加1.②由题设知新治疗方案优于标准治疗方案等价于一次试验中X的观测值大于Y的数学期望，由①知X的观测值x＝50－A，因此当50－A＞30，即A＜20时，认为新治疗方案优于标准治疗方案；当50－A＝30，即A＝20时，认为新治疗方案与标准治疗方案相当；当50－A＜30，即A＞20时，认为新治疗方案劣于标准治疗方案.3.解：（1）设前两轮比赛中a得i分为事件Ci，b得j分为事件Dj，i，j＝0，1，2，∴P（C1）＝（）2＝，P（C2）＝（）2＝，P（D1）＝（）1（）1＝，P（D2）＝（）2＝，由题意A＝C1D2＋C2D1，AB＝C2D1，∵各轮比赛，各局比赛结果互不影响，C1D2与C2D1互斥，∴P（A）＝P（C1D2）＋P（C2D1）＝P（C1）P（D2）＋P（C2）P（D1）＝×＋×＝，P（AB）＝P（C2）P（D1）＝×＝，∴P（B｜A）＝＝.（2）由题意，X＝1，2，…，10，设第k轮两队比分为1∶1为事件Ek，k＝1，2，…，9，∵各局比赛互不影响，∴P（Ek）＝×（1－）＋（1－）×＝，∴P（）＝1－P（Ek）＝，由题意，k＝1时，P（X＝1）＝P（）＝，k≥2时，事件“X＝k”＝E1E2…Ek－1，k＝2，3，…，9，∵各轮比赛互不影响，∴P（X＝k）＝P（E1）P（E2）…P（Ek－1）·P（）＝××…××＝（）k，k＝2，3，…，9，∵P（X＝10）＝P（E1）P（E2）…P（E9）＝（）9，∴E（X）＝1×＋2×（）2＋…＋9×（）9＋10×（）9，设S＝1×＋2×（）2＋…＋9×（）9，∴S＝1×（）2＋…＋8×（）9＋9×（）10，∴S－S＝＋（）2＋…＋（）9－9×（）10，∴S＝1－（）9－9×（）10，∴S＝2－11×（）9，∴E（X）＝2－（）9＝.4.解：（1）由定义可知，d（A，B）＝[（0－y1）2＋（1－y2）2＋（0－y3）2]＝.即＋（1－y2）2＋＝2，且y1，y2，y3∈{0，1}，所以解得满足方程的B点坐标为：（0，0，1），（1，0，0），（1，1，1）.（2）①（固定点P）：设点P（p1，p2，p3，p4），Q（q1，q2，q3，q4），因为（pi－qi）2＝[（p1－q1）2＋（p2－q2）2＋（p3－q3）2＋（p4－q4）2]＝，因为pi＝0或1，qi＝0或1，所以（p1－q1）2，（p2－q2）2，（p3－q3）2，（p4－q4）2中有两项等于0，两项等于1，所以满足条件的所有可能情况有＝6，因为两不同点P，Q所有可能情况共有24－1＝15种，所以d（P，Q）＝的概率P＝＝.②设随机变量X＝d（P，Q）＝，其中k＝1，2，3，…，n，因为P（X＝）＝，所以E（X2）＝（）2＝（＋22＋32＋…＋n2），因为（1＋x）n＝＋x＋x2＋x3＋…＋xn，两边同时求导，得n（1＋x）n－1＝＋2x＋3x2＋…＋nxn－1，上式两边同乘x，求导得n（1＋nx）（1＋x）n－2＝＋22x＋32x2＋…＋n2xn－1，令x＝1，得＋22＋32＋…＋n2＝n（n＋1）2n－2，所以E（X2）＝＝＝＝，因为－＝＜0，所以E（X2）单调递减，因为n≥2，所以E（X2）∈（ ，］.1 / 1重难专攻16 概率、统计中的创新交汇问题 概率、统计中的创新交汇问题是考查学生应用意识的重要载体，解决此类问题的关键是通过阅读理解题意，作出分析判断，获取关键信息；搞清各数据、各事件间的关系，建立适当的数学模型，把实际问题转化为数学问题，结合已有的数学知识，对实际问题作出合理的解释或决策. 概率、统计与函数的交汇问题（师生共研过关）（2026·山东齐鲁名校大联考）已知A，B两个不透明的袋子中均装有若干个大小，质地完全相同的红球和白球，从A袋中摸出一个红球的概率是，从B袋中摸出一个红球的概率是p.在每轮中，甲同学先选择一个袋子摸一次球并放回，乙再选择一个袋子摸一次球并放回，则该轮结束.已知在每轮中甲选A，B两袋的概率均为.如果甲选A袋，则乙选B袋的概率为；如果甲选B袋，则乙选B的概率为.（1）若p＝，求在一轮中乙从B袋中摸出红球的概率；（2）求在一轮中乙摸出红球的概率；（3）若甲，乙两位同学进行了3轮摸球.乙同学认为，p越大，3轮摸球后他摸出2个红球的概率越大，你同意他的观点吗？请说明理由. 概率、统计与函数交汇问题的解题步骤 第一步：通读题目，仔细审题，理解题意； 第二步：根据题目所要解决的问题，确定自变量及其取值范围； 第三步：构建函数模型，写出函数的解析式； 第四步：通过函数的单调性（有时借助导数）等求函数最值达到解决问题的目的.训练1 为了丰富孩子们的校园生活，某校团委牵头，发起同一年级两个级部A、B进行体育运动和文化项目比赛，由A部、B部争夺最后的综合冠军.决赛先进行两天，每天实行三局两胜制，即先赢两局的级部获得该天胜利，此时该天比赛结束.若A部、B部中的一方能连续两天胜利，则其为最终冠军；若前两天A部、B部各赢一天，则第三天只进行一局附加赛，该附加赛的获胜方为最终冠军.设每局比赛A部获胜的概率为p（0＜p＜1），每局比赛的结果没有平局且结果互相独立.（1）记第一天需要进行的比赛局数为X.①求E（X），并求当E（X）取最大值时p的值；②结合实际，谈谈①中结论的意义.（2）当p＝时，记一共进行的比赛局数为Y，求P（Y≤5）.概率、统计与数列的交汇问题（师生共研过关）（2026·广东广州模拟预测）甲，乙两人轮流投掷质地均匀的骰子，第一轮甲先后投掷两次，接着乙先后投掷两次，依此轮流每人连续投掷两次.（1）甲先后投掷两次，在第一次掷出偶数点的条件下，求甲两次掷出的点数之和大于6的概率；（2）若第一轮甲连续两次掷出的点数均为偶数，则甲获胜.同时比赛结束；否则，由另一人继续投掷，直到有人连续两次掷出的点数均为偶数，则此人获胜且比赛结束.求甲获胜的概率.（注：若0＜p＜1，当n→＋∞时，pn看作0） 概率、统计与数列问题的交汇，多以概率的求解为主线，建立关于概率的递推关系.解决此类问题的基本步骤为： （1）精准定性，即明确所求概率的“事件属性”； （2）准确建模，即通过概率的求解，建立递推关系，转化为数列模型问题； （3）解决模型，即转化为等差、等比数列的问题求解.在求解过程应灵活运用数列的性质.训练2 （2026·江苏扬州两校联考）某校为了合理配置校本课程资源，教务部门对学生们进行了问卷调查.据统计，其中的学生计划只选择校本课程一，另外的学生计划既选择校本课程一又选择校本课程二.每位学生若只选择校本课程一，则记1分；若既选择校本课程一又选择校本课程二，则记2分.假设每位选择校本课程一的学生是否计划选择校本课程二相互独立，视频率为概率.（1）从学生中随机抽取3人，记这3人的合计得分为X，求X的分布列和数学期望；（2）从学生中随机抽取n人（n∈N*），记这n人的合计得分恰为n＋1的概率为pn，求p1＋p2＋…＋pn.概率、统计中的新定义问题（师生共研过关）（2026·湖北武汉调研）已知常数p∈（0，1），在成功的概率为p的伯努利试验中，记X为首次成功时所需的试验次数，X的取值为所有正整数，此时称离散型随机变量X的概率分布为几何分布.（1）对于正整数k，求P（X＝k），并根据E（X）＝kP（X＝k）＝（kP（X＝k））求E（X）；（2）对于几何分布的拓展问题，在成功的概率为p的伯努利试验中，记首次出现连续两次成功时所需的试验次数的期望为E2，现提供一种求E2的方式：先进行第一次试验，若第一次试验失败，因为出现试验失败对出现连续两次成功毫无帮助，可以认为后续期望仍是E2，即总的试验次数为（E2＋1）；若第一次试验成功，则进行第二次试验，当第二次试验成功时，试验停止，此时试验次数为2，若第二次试验失败，相当于重新试验，此时总的试验次数为（E2＋2）.①求E2；②记首次出现连续n次成功时所需的试验次数的期望为En，求En. 对于概率统计背景下的新定义问题，构建解题模型是解决问题的关键.学生需要根据题目的具体要求和已学知识，构建出适合解决该问题的统计模型.这个模型可以是基于某种统计分布的假设检验模型，也可以是基于数据特征的描述统计模型.在构建模型的过程中，学生需要充分考虑新定义的条件和结论，确保模型的准确性和有效性.训练3 某工厂生产某种元件，其质量按测试指标划分为：指标大于或等于82为合格品，小于82为次品，现抽取这种元件100件进行检测，检测结果统计如下表：测试指标 [20，76） [76，82） [82，88） [88，94） [94，100]元件数（件） 12 18 36 30 4（1）现从这100件样品中随机抽取2件，若其中一件为合格品，求另一件也为合格品的概率；（2）关于随机变量，俄国数学家切比雪夫提出切比雪夫不等式：若随机变量X具有数学期望E（X）＝μ，方差D（X）＝σ2，则对任意正数ε，均有P（｜x－μ｜≥ε）≤成立.①若X～B（ 100，），证明：P（0≤X≤25）≤；②利用该结论表示即使分布未知，随机变量的取值范围落在期望左右的一定范围内的概率是有界的.若该工厂声称本厂元件合格率为90％，那么根据所给样本数据，请结合“切比雪夫不等式”说明该工厂所提供的合格率是否可信？（注：当随机事件A发生的概率小于0.05时，可称事件A为小概率事件）重难专攻16 概率、统计中的创新交汇问题考点1【例1】 解：（1）设D＝“甲从A袋中摸球”，E＝“乙从B袋中摸球”，C＝“乙摸出的是红球”，由全概率公式知，乙从B袋中摸球的概率P（E）＝P（D）P（E｜D）＋P（）P（E｜）＝×＋×＝，所以在一轮中，乙从B袋中摸出红球的概率为P（EC）＝P（E）P（C｜E）＝×＝.（2）在一轮中，乙摸出红球的概率P（C）＝P（E）P（C｜E）＋P（）P（C｜）＝×p＋×＝（7p＋1）.（3）由题意知3轮摸球后摸出红球的个数服从二项分布B（3，（7p＋1）），则3轮摸球后乙摸出2个红球的概率为P＝［（7p＋1）］2［1－（7p＋1）］＝（7p＋1）2（9－7p）（0＜p＜1），设f（p）＝（7p＋1）2（9－7p），则f'（p）＝7（7p＋1）·（17－21p），令f'（p）＝0，解得p＝，则当0＜p＜时，f'（p）＞0，f（p）单调递增，当＜p＜1时，f'（p）＜0，f（p）单调递减，所以当p＝时，3轮摸球后乙摸出2个红球的概率最大，所以不同意乙的观点.训练1 解：（1）①X的所有可能取值为2，3.P（X＝2）＝p2＋（1－p）2＝2p2－2p＋1；P（X＝3）＝2p（1－p）＝－2p2＋2p.故E（X）＝2（2p2－2p＋1）＋3（－2p2＋2p）＝－2p2＋2p＋2，即E（X）＝－2（p－）2＋，则当p＝时，E（X）取得最大值.②结合实际，当p＝时，双方实力最接近，比赛越激烈，则一天中进行比赛的局数会更多.（2）当p＝时，双方前两天每一天的比分为2∶0或0∶2的概率均为×＝；比分为2∶1或1∶2的概率均为2×××＝.Y≤5则Y＝4或Y＝5.Y＝4即获胜方两天均为2∶0获胜，故P（Y＝4）＝2××＝；Y＝5即获胜方前两天的比分为2∶0和2∶1或者2∶0和0∶2再加附加赛，故P（Y＝5）＝2×（××2＋××2×）＝.所以P（Y≤5）＝P（Y＝4）＋P（Y＝5）＝＋＝.考点2【例2】 解：（1）设事件A＝“甲第一次掷出偶数点”，事件B＝“甲两次掷出的点数之和大于6”，样本空间Ω＝{（m，n）｜m，n∈{1，2，3，4，5，6}}，样本空间包含的样本点个数为n（Ω）＝6×6＝36，且每个样本点都是等可能的.A＝{（m，n）｜m∈{2，4，6}，n∈{1，2，3，4，5，6}}，n（A）＝3×6＝18，AB＝{（2，5），（2，6），（4，3），（4，4），（4，5），（4，6），（6，1），（6，2），（6，3），（6，4），（6，5），（6，6）}，n（AB）＝12，则P（A）＝＝，P（AB）＝＝，所以P（B｜A）＝＝＝，（或P（B｜A）＝＝＝）即在甲第一次掷出偶数点的条件下，两次掷出的点数之和大于6的概率为.（2）若甲第一轮获胜，概率为P1＝＝；若甲第二轮获胜，即第一轮投掷后两人的两个点数均不都为偶数，第二轮甲投掷后的两个点数都为偶数，概率为P2＝（1－）×（1－）×＝（）2×；若甲第三轮获胜，即前两轮投掷后两人的两个点数均不都为偶数，第三轮甲投掷后的两个点数都为偶数，概率为P3＝（）4×；由以上可得，若甲第n（n≥1）轮获胜，即前n－1轮投掷后两人的两个点数均不都为偶数，第n轮甲投掷后的两个点数都为偶数.概率为Pn＝［（）2］n－1×＝（）2n－2×；于是，P1，P2，P3，…，Pn组成一个以为首项，（）2为公比的等比数列.所以P1＋P2＋P3＋…＋Pn＝＝［1－（）2n］.则当n→＋∞时，P＝，故甲获胜的概率为.训练2 解：（1）由题意知，每位学生计划不选择校本课程二的概率为，选择校本课程二的概率为，则X的可能取值为3，4，5，6，P（X＝3）＝＝，P（X＝4）＝××＝，P（X＝5）＝××＝，P（X＝6）＝＝，所以X的分布列为X 3 4 5 6P所以E（X）＝3×＋4×＋5×＋6×＝.（2）因为这n人的合计得分为n＋1分，所以其中只有1人计划选择校本课程二，所以pn＝·×＝，设Sn＝p1＋p2＋…＋pn＝＋＋＋…＋， ①则Sn＝＋＋＋…＋， ②①－②得Sn＝＋＋＋…＋－，即Sn＝3×－＝1－－＝1－，所以p1＋p2＋…＋pn＝（1－）＝－.考点3【例3】 解：（1）P（X＝k）＝（1－p）k－1p，k（1－p）k－1p＝p[1＋2（1－p）＋3（1－p）2＋…＋n（1－p）n－1]，记Sn＝1＋2（1－p）＋3（1－p）2＋…＋n（1－p）n－1，则（1－p）Sn＝（1－p）＋2（1－p）2＋…＋（n－1）·（1－p）n－1＋n（1－p）n，两式相减得pSn＝1＋（1－p）＋（1－p）2＋…＋（1－p）n－1－n（1－p）n＝－n（1－p）n＝－n（1－p）n.由题意E（X）＝（pSn）＝［－n（1－p）n］＝.（2）①E2＝（1－p）·（E2＋1）＋p2·2＋p（1－p）·（E2＋2），解得E2＝.②期待在En－1（n≥2）次试验后，首次出现连续（n－1）次成功，若下一次试验成功，则试验停止，此时试验次数为（En－1＋1）；若下一次试验失败，相当于重新试验，后续期望仍是En，此时总的试验次数为（En－1＋1＋En），即En＝p·（En－1＋1）＋（1－p）·（En－1＋1＋En），整理得En＝（En－1＋1），即En＋＝，所以En＋＝.由①知E2＝，代入得En＝.训练3 解：（1）记事件A为抽到一件合格品，事件B为抽到两个合格品，P（AB）＝＝，P（A）＝＝，P（B｜A）＝＝＝.（2）①由题知X～B（100，），则E（X）＝50，D（X）＝25，又P（X＝k）＝（）100＝P（X＝100－k），所以P（0≤X≤25）＝P（0≤X≤25或75≤X≤100）＝P（｜X－50｜≥25），由切比雪夫不等式可知，P（｜X－50｜≥25）≤＝，所以P（0≤X≤25）≤.②设随机抽取100件产品中合格品的件数为X，假设厂家关于产品合格率为90％的说法成立，则X～B（100，0.9），所以E（X）＝90，D（X）＝9，由切比雪夫不等式知，P（X＝70）≤P（｜X－90｜≥20）≤＝0.022 5，即在假设下100个元件中合格品为70个的概率不超过0.022 5，此概率极小，由小概率原理可知，一般来说在一次试验中是不会发生的，据此我们有理由推断工厂的合格率不可信.1 / 1(共54张PPT)重难专攻16 概率、统计中的创新交汇问题重难解读 概率、统计中的创新交汇问题是考查学生应用意识的重要载体，解决此类问题的关键是通过阅读理解题意，作出分析判断，获取关键信息；搞清各数据、各事件间的关系，建立适当的数学模型，把实际问题转化为数学问题，结合已有的数学知识，对实际问题作出合理的解释或决策.概率、统计与函数的交汇问题（师生共研过关）（2026·山东齐鲁名校大联考）已知A，B两个不透明的袋子中均装有若干个大小，质地完全相同的红球和白球，从A袋中摸出一个红球的概率是 ，从B袋中摸出一个红球的概率是p.在每轮中，甲同学先选择一个袋子摸一次球并放回，乙再选择一个袋子摸一次球并放回，则该轮结束.已知在每轮中甲选A，B两袋的概率均为 .如果甲选A袋，则乙选B袋的概率为 ；如果甲选B袋，则乙选B的概率为 .（1）若p＝ ，求在一轮中乙从B袋中摸出红球的概率；解： 设D＝“甲从A袋中摸球”，E＝“乙从B袋中摸球”，C＝“乙摸出的是红球”，由全概率公式知，乙从B袋中摸球的概率P（E）＝P（D）P（E｜D）＋P（ ）P（E｜ ）＝ × ＋ ×＝ ，所以在一轮中，乙从B袋中摸出红球的概率为P（EC）＝P（E）P（C｜E）＝ × ＝ .（2）求在一轮中乙摸出红球的概率；解：在一轮中，乙摸出红球的概率P（C）＝P（E）P（C｜E）＋P（ ）P（C｜ ）＝ ×p＋ ×＝ （7p＋1）.（3）若甲，乙两位同学进行了3轮摸球.乙同学认为，p越大，3轮摸球后他摸出2个红球的概率越大，你同意他的观点吗？请说明理由.解：由题意知3轮摸球后摸出红球的个数服从二项分布B（3， （7p＋1）），则3轮摸球后乙摸出2个红球的概率为P＝ ［ （7p＋1）］2［1－ （7p＋1）］＝ （7p＋1）2（9－7p）（0＜p＜1），设f（p）＝（7p＋1）2（9－7p），则f'（p）＝7（7p＋1）·（17－21p），令f'（p）＝0，解得p＝ ，则当0＜p＜ 时，f'（p）＞0，f（p）单调递增，当 ＜p＜1时，f'（p）＜0，f（p）单调递减，所以当p＝ 时，3轮摸球后乙摸出2个红球的概率最大，所以不同意乙的观点. 概率、统计与函数交汇问题的解题步骤第一步：通读题目，仔细审题，理解题意；第二步：根据题目所要解决的问题，确定自变量及其取值范围；第三步：构建函数模型，写出函数的解析式；第四步：通过函数的单调性（有时借助导数）等求函数最值达到解决问题的目的.训练1 为了丰富孩子们的校园生活，某校团委牵头，发起同一年级两个级部A、B进行体育运动和文化项目比赛，由A部、B部争夺最后的综合冠军.决赛先进行两天，每天实行三局两胜制，即先赢两局的级部获得该天胜利，此时该天比赛结束.若A部、B部中的一方能连续两天胜利，则其为最终冠军；若前两天A部、B部各赢一天，则第三天只进行一局附加赛，该附加赛的获胜方为最终冠军.设每局比赛A部获胜的概率为p（0＜p＜1），每局比赛的结果没有平局且结果互相独立.（1）记第一天需要进行的比赛局数为X.①求E（X），并求当E（X）取最大值时p的值；②结合实际，谈谈①中结论的意义.解： ①X的所有可能取值为2，3.P（X＝2）＝p2＋（1－p）2＝2p2－2p＋1；P（X＝3）＝2p（1－p）＝－2p2＋2p.故E（X）＝2（2p2－2p＋1）＋3（－2p2＋2p）＝－2p2＋2p＋2，即E（X）＝－2（p－ ）2＋ ，则当p＝ 时，E（X）取得最大值.②结合实际，当p＝ 时，双方实力最接近，比赛越激烈，则一天中进行比赛的局数会更多.（2）当p＝ 时，记一共进行的比赛局数为Y，求P（Y≤5）.解：当p＝ 时，双方前两天每一天的比分为2∶0或0∶2的概率均为 ×＝ ；比分为2∶1或1∶2的概率均为2× × × ＝ .Y≤5则Y＝4或Y＝5.Y＝4即获胜方两天均为2∶0获胜，故P（Y＝4）＝2× × ＝ ；Y＝5即获胜方前两天的比分为2∶0和2∶1或者2∶0和0∶2再加附加赛，故P（Y＝5）＝2×（ × ×2＋ × ×2× ）＝ .所以P（Y≤5）＝P（Y＝4）＋P（Y＝5）＝ ＋ ＝ .概率、统计与数列的交汇问题（师生共研过关）（2026·广东广州模拟预测）甲，乙两人轮流投掷质地均匀的骰子，第一轮甲先后投掷两次，接着乙先后投掷两次，依此轮流每人连续投掷两次.（1）甲先后投掷两次，在第一次掷出偶数点的条件下，求甲两次掷出的点数之和大于6的概率；解： 设事件A＝“甲第一次掷出偶数点”，事件B＝“甲两次掷出的点数之和大于6”，样本空间Ω＝{（m，n）｜m，n∈{1，2，3，4，5，6}}，样本空间包含的样本点个数为n（Ω）＝6×6＝36，且每个样本点都是等可能的.A＝{（m，n）｜m∈{2，4，6}，n∈{1，2，3，4，5，6}}，n（A）＝3×6＝18，AB＝{（2，5），（2，6），（4，3），（4，4），（4，5），（4，6），（6，1），（6，2），（6，3），（6，4），（6，5），（6，6）}，n（AB）＝12，则P（A）＝ ＝ ，P（AB）＝ ＝ ，所以P（B｜A）＝ ＝ ＝ ，（或P（B｜A）＝ ＝ ＝ ）即在甲第一次掷出偶数点的条件下，两次掷出的点数之和大于6的概率为 .（2）若第一轮甲连续两次掷出的点数均为偶数，则甲获胜.同时比赛结束；否则，由另一人继续投掷，直到有人连续两次掷出的点数均为偶数，则此人获胜且比赛结束.求甲获胜的概率.（注：若0＜p＜1，当n→＋∞时，pn看作0）解：若甲第一轮获胜，概率为P1＝ ＝ ；若甲第二轮获胜，即第一轮投掷后两人的两个点数均不都为偶数，第二轮甲投掷后的两个点数都为偶数，概率为P2＝（1－ ）×（1－ ）× ＝（ ）2× ；若甲第三轮获胜，即前两轮投掷后两人的两个点数均不都为偶数，第三轮甲投掷后的两个点数都为偶数，概率为P3＝（ ）4× ；由以上可得，若甲第n（n≥1）轮获胜，即前n－1轮投掷后两人的两个点数均不都为偶数，第n轮甲投掷后的两个点数都为偶数.概率为Pn＝［（ ）2］n－1× ＝（ ）2n－2× ；于是，P1，P2，P3，…，Pn组成一个以 为首项，（ ）2为公比的等比数列.所以P1＋P2＋P3＋…＋Pn＝ ＝ ［1－（ ）2n］.则当n→＋∞时，P＝ ，故甲获胜的概率为 . 概率、统计与数列问题的交汇，多以概率的求解为主线，建立关于概率的递推关系.解决此类问题的基本步骤为：（1）精准定性，即明确所求概率的“事件属性”；（2）准确建模，即通过概率的求解，建立递推关系，转化为数列模型问题；（3）解决模型，即转化为等差、等比数列的问题求解.在求解过程应灵活运用数列的性质.训练2 （2026·江苏扬州两校联考）某校为了合理配置校本课程资源，教务部门对学生们进行了问卷调查.据统计，其中 的学生计划只选择校本课程一，另外 的学生计划既选择校本课程一又选择校本课程二.每位学生若只选择校本课程一，则记1分；若既选择校本课程一又选择校本课程二，则记2分.假设每位选择校本课程一的学生是否计划选择校本课程二相互独立，视频率为概率.（1）从学生中随机抽取3人，记这3人的合计得分为X，求X的分布列和数学期望；解： 由题意知，每位学生计划不选择校本课程二的概率为 ，选择校本课程二的概率为 ，则X的可能取值为3，4，5，6，P（X＝3）＝ ＝ ，P（X＝4）＝ × × ＝ ，P（X＝5）＝ × × ＝ ，P（X＝6）＝ ＝ ，所以X的分布列为X 3 4 5 6P 所以E（X）＝3× ＋4× ＋5× ＋6× ＝ .（2）从学生中随机抽取n人（n∈N*），记这n人的合计得分恰为n＋1的概率为pn，求p1＋p2＋…＋pn.解：因为这n人的合计得分为n＋1分，所以其中只有1人计划选择校本课程二，所以pn＝ · × ＝ ，设Sn＝p1＋p2＋…＋pn＝ ＋ ＋ ＋…＋ ， ①则 Sn＝ ＋ ＋ ＋…＋ ， ②①－②得 Sn＝ ＋ ＋ ＋…＋ － ，即 Sn＝3× － ＝1－ － ＝1－ ，所以p1＋p2＋…＋pn＝ ＝ － .概率、统计中的新定义问题（师生共研过关）（2026·湖北武汉调研）已知常数p∈（0，1），在成功的概率为p的伯努利试验中，记X为首次成功时所需的试验次数，X的取值为所有正整数，此时称离散型随机变量X的概率分布为几何分布.（1）对于正整数k，求P（X＝k），并根据E（X）＝ kP（X＝k）＝ （ kP（X＝k））求E（X）；解： P（X＝k）＝（1－p）k－1p，k（1－p）k－1p＝p[1＋2（1－p）＋3（1－p）2＋…＋n（1－p）n－1]，记Sn＝1＋2（1－p）＋3（1－p）2＋…＋n（1－p）n－1，则（1－p）Sn＝（1－p）＋2（1－p）2＋…＋（n－1）·（1－p）n－1＋n（1－p）n，两式相减得pSn＝1＋（1－p）＋（1－p）2＋…＋（1－p）n－1－n（1－p）n＝ －n（1－p）n＝ －n（1－p）n.由题意E（X）＝ （pSn）＝ ［ －n（1－p）n］＝ .（2）对于几何分布的拓展问题，在成功的概率为p的伯努利试验中，记首次出现连续两次成功时所需的试验次数的期望为E2，现提供一种求E2的方式：先进行第一次试验，若第一次试验失败，因为出现试验失败对出现连续两次成功毫无帮助，可以认为后续期望仍是E2，即总的试验次数为（E2＋1）；若第一次试验成功，则进行第二次试验，当第二次试验成功时，试验停止，此时试验次数为2，若第二次试验失败，相当于重新试验，此时总的试验次数为（E2＋2）.①求E2；②记首次出现连续n次成功时所需的试验次数的期望为En，求En.②期待在En－1（n≥2）次试验后，首次出现连续（n－1）次成功，若下一次试验成功，则试验停止，此时试验次数为（En－1＋1）；若下一次试验失败，相当于重新试验，后续期望仍是En，此时总的试验次数为（En－1＋1＋En），即En＝p·（En－1＋1）＋（1－p）·（En－1＋1＋En），整理得En＝ （En－1＋1），解：①E2＝（1－p）·（E2＋1）＋p2·2＋p（1－p）·（E2＋2），解得E2＝ .由①知E2＝ ，代入得En＝ .即En＋ ＝ ，所以En＋ ＝ . 对于概率统计背景下的新定义问题，构建解题模型是解决问题的关键.学生需要根据题目的具体要求和已学知识，构建出适合解决该问题的统计模型.这个模型可以是基于某种统计分布的假设检验模型，也可以是基于数据特征的描述统计模型.在构建模型的过程中，学生需要充分考虑新定义的条件和结论，确保模型的准确性和有效性.训练3 某工厂生产某种元件，其质量按测试指标划分为：指标大于或等于82为合格品，小于82为次品，现抽取这种元件100件进行检测，检测结果统计如下表：测试指标 [20，76） [76，82） [82，88） [88，94） [94，100]元件数（件） 12 18 36 30 4（1）现从这100件样品中随机抽取2件，若其中一件为合格品，求另一件也为合格品的概率；解： 记事件A为抽到一件合格品，事件B为抽到两个合格品，P（AB）＝ ＝ ，P（A）＝ ＝ ，P（B｜A）＝＝ ＝ .①若X～B（100， ），证明：P（0≤X≤25）≤ ；②利用该结论表示即使分布未知，随机变量的取值范围落在期望左右的一定范围内的概率是有界的.若该工厂声称本厂元件合格率为90％，那么根据所给样本数据，请结合“切比雪夫不等式”说明该工厂所提供的合格率是否可信？（注：当随机事件A发生的概率小于0.05时，可称事件A为小概率事件）（2）关于随机变量，俄国数学家切比雪夫提出切比雪夫不等式：若随机变量X具有数学期望E（X）＝μ，方差D（X）＝σ2，则对任意正数ε，均有P（｜x－μ｜≥ε）≤ 成立.解：①由题知X～B（100， ），则E（X）＝50，D（X）＝25，又P（X＝k）＝ （ ）100＝P（X＝100－k），所以P（0≤X≤25）＝ P（0≤X≤25或75≤X≤100）＝ P（｜X－50｜≥25），由切比雪夫不等式可知，P（｜X－50｜≥25）≤ ＝ ，所以P（0≤X≤25）≤ .②设随机抽取100件产品中合格品的件数为X，假设厂家关于产品合格率为90％的说法成立，则X～B（100，0.9），所以E（X）＝90，D（X）＝9，由切比雪夫不等式知，P（X＝70）≤P（｜X－90｜≥20）≤ ＝0.022 5，即在假设下100个元件中合格品为70个的概率不超过0.022 5，此概率极小，由小概率原理可知，一般来说在一次试验中是不会发生的，据此我们有理由推断工厂的合格率不可信.课时跟踪检测（时间：50分钟，满分：62分）1. （15分）（2023·新高考Ⅱ卷19题）某研究小组经过研究发现某种疾病的患病者与未患病者的某项医学指标有明显差异，经过大量调查，得到如下的患病者和未患病者该指标的频率分布直方图：1234利用该指标制定一个检测标准，需要确定临界值c，将该指标大于c的人判定为阳性，小于或等于c的人判定为阴性，此检测标准的漏诊率是将患病者判定为阴性的概率，记为p（c）；误诊率是将未患病者判定为阳性的概率，记为q（c）.假设数据在组内均匀分布.以事件发生的频率作为相应事件发生的概率.（1）当漏诊率p（c）＝0.5％时，求临界值c和误诊率q（c）；解： 题图知，（100－95）×0.002＝1％＞0.5％，所以95＜c＜100，则p（c）＝（c－95）×0.002＝0.5％，所以c＝97.5，所以q（c）＝0.01×2.5＋0.002×5＝3.5％.1234（2）设函数f（c）＝p（c）＋q（c）.当c∈[95，105]时，求f（c）的解析式，并求f（c）在区间[95，105]的最小值.解： 依题意，当c∈[95，100]时，f（c）＝p（c）＋q（c）＝（c－95）×0.002＋（100－c）×0.01＋5×0.002＝－0.008c＋0.82；当c∈（100，105]时，f（c）＝p（c）＋q（c）＝5×0.002＋（c－100）×0.012＋（105－c）×0.002＝0.01c－0.98.故f（c）＝所以f（c）在区间[95，105]的最小值为f（100）＝0.02.12342. （15分）（2026·北京模拟）为考查一种新的治疗方案是否优于标准治疗方案，现从一批患者中随机抽取100名患者，均分为两组，分别采用新治疗方案与标准治疗方案治疗，记其中采用新治疗方案与标准治疗方案治疗受益的患者数分别为X和Y. 在治疗过程中，用指标I衡量患者是否受益：若μ－σ≤I≤μ＋σ，则认为指标I正常；若I＞μ＋σ，则认为指标I偏高；若I＜μ－σ，则认为指标I偏低.若治疗后患者的指标I正常，则认为患者受益于治疗方案，否则认为患者未受益于治疗方案.根据历史数据，受益于标准治疗方案的患者比例为0.6.（1）求E（Y）和D（Y）；解： 由题设知Y服从二项分布B（50，0.6），所以E（Y）＝50×0.6＝30，D（Y）＝50×0.6×0.4＝12.1234（2）统计量是关于样本的函数，选取合适的统计量可以有效地反映样本信息.设采用新治疗方案的第i位患者治疗后指标I的值为xi，i＝1，2，…，50，定义函数：f（xi）＝①简述以下统计量所反映的样本信息，并说明理由.A＝｜f（x1）｜＋｜f（x2）｜＋…＋｜f（x50）｜；B＝ {f（x1）[f（x1）＋1]＋f（x2）[f（x2）＋1]＋…＋f（x50）[f（x50＋1）]}；1234②为确定新的治疗方案是否优于标准治疗方案，请在①中的统计量中选择一个合适的统计量，并根据统计量的取值作出统计决策.解： ①统计量A反映了未受益于新治疗方案的患者数，理由如下：若第i位患者受益于新治疗方案，则其指标I的值xi满足f（xi）＝0，否则｜f（xi）｜＝1，会被统计量A计入，且每位未受益于新治疗方案的患者恰使得统计量A的数值加1.统计量B反映了未受益于新治疗方案且指标I偏高的患者数量，理由如下：1234若第i位患者接受新治疗方案后指标I偏低或正常，则其指标I的值xi满足f（xi）[f（xi）＋1]＝0，若指标I偏高，则f（xi）[f（xi）＋1]＝2， ＝1，会被统计量B计入，且每位未受益于新治疗方案且指标I偏高的患者恰使得统计量B的数值加1.②由题设知新治疗方案优于标准治疗方案等价于一次试验中X的观测值大于Y的数学期望，由①知X的观测值x＝50－A，因此当50－A＞30，即A＜20时，认为新治疗方案优于标准治疗方案；当50－A＝30，即A＝20时，认为新治疗方案与标准治疗方案相当；当50－A＜30，即A＞20时，认为新治疗方案劣于标准治疗方案.12343. （15分）（2026·山东泰安模拟）为备战全国机器人大赛，某高校机器人甲队和乙队进行练习赛，两队均由两台机器人组成.比赛要求每轮两局，每局比赛两队需派不同机器人参赛，每局比赛获胜得1分，否则得0分.设每轮比赛中各局结果互不影响，各轮结果也互不影响.已知甲队机器人a，b每局比赛获胜的概率分别为 ， .（1）设前两轮比赛中甲队得3分为事件A，前两轮比赛中机器人a得2分为事件B，求P（B｜A）；1234解： 设前两轮比赛中a得i分为事件Ci，b得j分为事件Dj，i，j＝0，1，2，∴P（C1）＝ （ ）2＝ ，P（C2）＝ （ ）2＝ ，P（D1）＝ （ ）1（ ）1＝ ，P（D2）＝ （ ）2＝ ，由题意A＝C1D2＋C2D1，AB＝C2D1，∵各轮比赛，各局比赛结果互不影响，C1D2与C2D1互斥，∴P（A）＝P（C1D2）＋P（C2D1）＝P（C1）·P（D2）＋P（C2）P（D1）＝ × ＋ × ＝ ，P（AB）＝P（C2）P（D1）＝ × ＝ ，∴P（B｜A）＝ ＝ .1234（2）受机器人电池蓄航能力影响，本次比赛最多进行10轮，规定当一队得分比另一队得分多2分时比赛结束.设比赛结束时共进行了X轮，求X的数学期望.解： 由题意，X＝1，2，…，10，设第k轮两队比分为1∶1为事件Ek，k＝1，2，…，9，∵各局比赛互不影响，∴P（Ek）＝ ×（1－ ）＋（1－ ）× ＝ ，∴P（ ）＝1－P（Ek）＝ ，由题意，k＝1时，P（X＝1）＝P（ ）＝ ，1234k≥2时，事件“X＝k”＝E1E2…Ek－1 ，k＝2，3，…，9，∵各轮比赛互不影响，∴P（X＝k）＝P（E1）P（E2）…P（Ek－1）P（ ）＝ × ×…× × ＝（ ）k，k＝2，3，…，9，∵P（X＝10）＝P（E1）P（E2）…P（E9）＝（ ）9，∴E（X）＝1× ＋2×（ ）2＋…＋9×（ ）9＋10×（ ）9，设S＝1× ＋2×（ ）2＋…＋9×（ ）9，∴ S＝1×（ ）2＋…＋8×（ ）9＋9×（ ）10，1234∴S－ S＝ ＋（ ）2＋…＋（ ）9－9×（ ）10，∴ S＝1－（ ）9－9×（ ）10，∴S＝2－11×（ ）9，∴E（X）＝2－（ ）9＝ .12344. （17分）（2026·山东潍坊模拟）n维空间中点的坐标可以表示为（x1，x2，x3，…，xn），其中xi（i＝1，2，3，…，n）为该点的第i个坐标.定义n维空间中任意两点A（x1，x2，x3，…，xn），B（y1，y2，y3，…，yn）之间的平均离差二乘距离d（A，B）＝ （xi－yi）2.设n维空间点集M＝{（x1，x2，x3，…，xn）｜xi＝0或1，其中i＝1，2，3，…，n}（n≥2）.1234（1）若n＝3，A，B∈M，且点A（0，1，0），d（A，B）＝ ，写出所有的点B的坐标；解： 由定义可知，d（A，B）＝ [（0－y1）2＋（1－y2）2＋（0－y3）2]＝ .即 ＋（1－y2）2＋ ＝2，且y1，y2，y3∈{0，1}，所以解得满足方程的B点坐标为：（0，0，1），（1，0，0），（1，1，1）.1234解： ①（固定点P）：设点P（p1，p2，p3，p4），Q（q1，q2，q3，q4），因为 （pi－qi）2＝ [（p1－q1）2＋（p2－q2）2＋（p3－q3）2＋（p4－q4）2]＝ ，因为pi＝0或1，qi＝0或1，所以（p1－q1）2，（p2－q2）2，（p3－q3）2，（p4－q4）2中有两项等于0，两项等于1，（2）任取n维空间中的不同两点P，Q∈M.①若n＝4，求d（P，Q）＝ 的概率；②记随机变量X＝d（P，Q），求E（X2）的取值范围.1234所以满足条件的所有可能情况有 ＝6，因为两不同点P，Q所有可能情况共有24－1＝15种，所以d（P，Q）＝ 的概率P＝ ＝ .②设随机变量X＝d（P，Q）＝ ，其中k＝1，2，3，…，n，因为P（X＝ ）＝ ，所以E（X2）＝ （ ）2 ＝ （ ＋22 ＋32 ＋…＋n2 ），因为（1＋x）n＝ ＋ x＋ x2＋ x3＋…＋ xn，1234两边同时求导，得n（1＋x）n－1＝ ＋2 x＋3 x2＋…＋n xn－1，上式两边同乘x，求导得n（1＋nx）（1＋x）n－2＝ ＋22 x＋32 x2＋…＋n2 xn－1，令x＝1，得 ＋22 ＋32 ＋…＋n2 ＝n（n＋1）2n－2，所以E（X2）＝ ＝ ＝ ＝ ，因为 － ＝ ＜0，所以E（X2）单调递减，因为n≥2，所以E（X2）∈（ ， ］.1234THANKS演示完毕 感谢观看 展开更多...... 收起↑ 资源列表 重难专攻16 概率、统计中的创新交汇问题.docx 重难专攻16 概率、统计中的创新交汇问题.pptx 重难专攻16 概率、统计中的创新交汇问题（练习，含解析）.docx
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