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微专题　比赛情境下的概率分布问题
　　体育比赛中赛制的选择，输赢的估计等方面都蕴含着非常丰富的概率知识.解决体育比赛中的概率问题首先要对体育比赛的赛制有所了解，其次是能准确判断事件之间是否互斥、独立，理解积事件、和事件，及n次独立重复实验k次发生的意义，真正把握概念和各模型之间的联系与区别.
n局m胜制
〔多选〕在某次国际围棋比赛中，甲、乙两人进入最后决赛，决赛采用五局三胜制和三局两胜制其中一种，若每局比赛甲胜乙的概率都为，没有和局，且各局比赛的胜负互不影响，则下列说法中正确的是（　　）
A.若采用三局两胜制，甲获得冠军时，比分为2∶1的可能性最大
B.若采用五局三胜制，甲获得冠军时，比分为3∶0和3∶1的可能性相等
C.若采用五局三胜制，则比赛对乙更有利
D.若采用五局三胜制，乙先赢了一局，甲仍有超过50％的可能性获得冠军
听课记录　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　n局m胜制的规则特点为一旦某方获得m次胜利即终止比赛，所以若比赛提前结束，则一定在最后一次比赛中某方达到m胜.
连胜制
甲、乙两队举行比赛，比赛共有7局，若有一方连胜3局，则比赛立即终止.已知甲每局获胜的概率为，则甲在第5局终止比赛并获胜的概率为　　　　.
听课记录　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　连胜制的规则特点是：规定某方连胜m场即终止比赛，所以若提前结束比赛，则最后m场某方连胜且之前没有某方达到m场连胜.
比分差距制
乒乓球比赛的规则是首先由发球员发球2次，再由接发球员发球2次，两者交替，胜者得1分，败者得0分.在一局比赛中，先得11分的一方为胜方（胜方至少比对方多2分），10平后，先多得2分的一方为胜方.甲、乙两位同学进行乒乓球单打比赛，甲在一次发球中，得1分的概率为，乙在一次发球中，得1分的概率为.如果在一局比赛中，由乙同学先发球.
（1）甲、乙的比分暂时为8∶8，求最终甲以11∶9赢得比赛的概率；
（2）求发球3次后，甲的累计得分的分布列及数学期望.
　　比分差距制的规则特点是：规定某方比对方多m分即终止比赛，此时首先根据比赛局数确定比分，在得分过程中要注意使两方的分差小于m.
积分制
（2026·福建厦门模拟）甲、乙、丙、丁四支球队进行单循环小组赛，比赛分三轮，每轮两场比赛，具体赛程如下表：
第一轮 甲VS乙 丙VS丁
第二轮 甲VS丙 乙VS丁
第三轮 甲VS丁 乙VS丙
规定：每场比赛获胜的球队记3分，输的球队记0分，平局两队各记1分，三轮比赛结束后以总分排名.总分相同的球队以抽签的方式确定排名，排名前两位的球队出线.假设甲、乙、丙三支球队水平相当，彼此间胜、负、平的概率均为，丁的水平较弱，面对其他任意一支球队胜、负、平的概率都分别为，，.每场比赛结果相互独立.
（1）求丁的总分为7分的概率，判断此时丁能否出线，并说明理由；
（2）若第一轮比赛结束，甲、乙、丙、丁四支球队的积分分别为3，0，3，0，求丁以6分的成绩出线的概率.
　　规定m场后各队按照积分排名决定比赛名次，此时要注意积分的规则.
淘汰制
（2026·湖北武汉二调）有A，B，C，D，E，F，G，H八名运动员参加乒乓球赛事，该赛事采用预赛、半决赛和决赛三轮淘汰制决定最后的冠军，八名运动员在比赛开始前抽签随机决定各自的位置编号.已知B～H这七名运动员互相对决时彼此间的获胜概率均为，A运动员与其他运动员对决时，A获胜的概率为，每场对决没有平局，且结果相互独立.
（1）求这八名运动员各自获得冠军的概率；
（2）求B与A对决过且最后获得冠军的概率；
（3）求B与C对决过且最后获得冠军的概率.
　　在比赛的过程中，如果在某一阶段失败，则被淘汰.此类问题要注意若达到第m阶段，则意味着前（m－1）个阶段均能通关.
1.甲、乙两位同学进行乒乓球比赛，约定打满4局，获胜3局或3局以上的赢得比赛（单局中无平局）.若甲、乙每局获胜的概率相同，则甲赢得比赛的概率为（　　）
A.　　　 B. C.　　　 D.
2.〔一题多解〕某项选拔共有三轮考核，每轮设有一个问题，回答问题正确者进入下一轮考核，否则即被淘汰.已知某选手能正确回答第一、二、三轮的问题的概率分别为，，，且各轮问题能否正确回答互不影响.则该选手被淘汰的概率为（　　）
A. B. C. D.
3.〔多选〕甲、乙两人进行乒乓球比赛，比赛打满2k（k∈N*）局，且每局甲获胜的概率和乙获胜的概率均为.若某人获胜的局数大于k，则此人赢得比赛.下列说法正确的是（　　）
A.k＝1时，甲、乙比赛结果为平局的概率为
B.k＝2时，甲赢得比赛与乙赢得比赛的概率均为
C.在2k局比赛中，甲获胜的局数的期望为k
D.随着k的增大，甲赢得比赛的概率会越来越接近
4.（2026·北京市第35中学模拟）为丰富校园文化生活，学校举办了乒乓球比赛.决赛采用三局二胜制的比赛规则（先赢得2局的队伍获胜并结束比赛）.已知甲、乙两队进入决赛，且根据以往比赛统计得知，在每局比赛中甲队获胜的概率为p（0＜p＜1），乙队获胜的概率为1－p，每局比赛的结果互不影响.
（1）若p＝，求乙队以2∶0获胜的概率；
（2）若p＝，比赛结束时甲队获胜的局数记为X，求X的期望；
（3）若比赛打满3局的概率记为f（p），请直接写出f（p）的最大值及此时p的值，并解释此时的实际意义.
微专题　比赛情境下的概率分布问题
【例1】　BD　对于A，若采用三局两胜制，甲以2∶0获胜的概率为，甲以2∶1获胜的概率为×××＝＜，故A错误；对于B，若采用五局三胜制，甲以3∶0获胜的概率为，甲以3∶1获胜的概率为×（ ）2××＝，故B正确；对于C，因为采用三局两胜制甲胜的概率为＋＝，采用五局三胜制甲胜的概率为＋＋×（ ）2×（ ）2×＝，所以采用三局两胜制和五局三胜制乙胜的概率分别为和，所以采用三局两胜制对乙更有利，故C错误；对于D，若采用五局三胜制，乙先赢了一局，甲获得冠军的概率为（ ）3＋（ ）2××＝＞，所以D正确.
【例2】　　解析：要使甲在第5局终止比赛并获胜，可分为2类情况：①甲前2局均失败，后3局中连胜，则甲在第5局终止比赛并获胜的概率为p1＝（ 1－）×（ 1－）×××＝；②甲第1局胜，第2局负，后3局中连胜，则甲在第5局终止比赛并获胜的概率为p2＝×（ 1－）×××＝.所以甲在第5局终止比赛并获胜的概率为p＝p1＋p2＝＋＝.
【例3】　解：（1）甲以11∶9赢得比赛，共计20次发球，在后4次发球中，需甲在最后一次获胜，最终甲以11∶9赢得比赛的概率为P＝×（）2×（）2＋（）2××＝.
（2）设发球3次后甲累计得分为随机变量X，X的可能取值为0，1，2，3.
P（X＝0）＝（）2×＝，
P（X＝1）＝×（）2×＋（）2×＝，
P（X＝2）＝×（）2×＋（）2×＝，
P（X＝3）＝（）2×＝，
所以随机变量X的分布列为
X 0 1 2 3
P
所以E（X）＝0×＋1×＋2×＋3×＝.
【例4】　解：（1）记第i轮比赛丁胜、平、负的事件分别为Ai，Bi，Ci（i＝1，2，3），每场比赛结果相互独立.丁总分为7分，则丁三场比赛两胜一平，记丁三轮比赛两胜一平的事件为D，P（D）＝P（A1A2B3）＋P（A1B2A3）＋P（B1A2A3）＝3×（ ）2×＝，丁总分7分一定出线，理由如下：丁三场比赛中赢两场，这两场丁的对手比分最多6分.由于小组赛两队出线，所以丁一定出线.
（2）第一轮比赛，甲胜乙，丙胜丁.又丁总分为6分，则丁对战甲、乙都获胜，此时，乙队总分最多3分，少于丁队总分，
①第二轮中若甲负于丙或平丙时，甲总分最多4分，少于丁队总分，此时甲、乙两队总分少于丁队总分，丁一定出线，其相应的概率为P1＝［（ ＋）×］×＝；
②第二轮中若甲胜丙，第三轮中丙平乙或负于乙时，丙总分最多4分，此时丙、乙两队总分少于丁队总分，丁一定出线，其相应的概率为P2＝（ ×）×［×（ ＋）］＝；
③第二轮中若甲胜丙，第三轮中丙胜乙时，甲、丁、丙队总分均为6分，此时由抽签确定出线，三队中有两队出线，每队出线的概率为，丁队出线的概率P3＝（ ×）×（ ×）×＝；
综上，丁以6分出线的概率为P1＋P2＋P3＝＋＋＝＝.
【例5】　解：（1）A夺冠即为三轮比赛都获胜，所以A夺冠的概率为（）3＝.
由题意，B～H七名运动员水平相同，且八名运动员各自夺冠概率之和为1.
所以B～H七名运动员各自夺冠的概率均为×（1－）＝.
（2）记事件B＝“B获得冠军”，事件A＝“B与A对决过”，事件Ai＝“B与A在第i轮对决”，i＝1，2，3.
不妨设A在①号位，则B在第1，2，3轮能与A对决时其位置编号分别为②，③④，⑤⑥⑦⑧.
P（AB）＝P（（A1＋A2＋A3）B）＝P（A1B）＋P（A2B）＋P（A3B），
P（A1B）＝×（1－）××＝，
P（A2B）＝×××（1－）×＝，
P（A3B）＝×××××（1－）＝，
所以P（AB）＝＋＋＝，故所求概率为.
（3）记事件C＝“B与C对决过”.
B没有与A对决过且最后获得冠军的概率为P（B）＝P（B）－P（AB）＝－＝.
P（BC）＝P（（A＋）BC）＝P（ABC）＋P（BC）＝P（AB）P（C｜AB）＋P（B）P（C｜B）.
由题意，C～H六名运动员与B对决过的概率相同，B夺冠时共与三名运动员对决.
所以P（C｜AB）＝，P（C｜B）＝，代入得P（BC）＝×＋×＝，故所求概率为.
强化训练
1.C　
2.D　法一　选手在第一轮被淘汰，则P1＝，选手在第二轮被淘汰，则P2＝×＝，选手在第三轮被淘汰，则P3＝××＝，故选手被淘汰的概率为P＝P1＋P2＋P3＝.
法二　设事件Ai为“选手正确回答第i轮问题”，事件A为“选手被淘汰”，所以P（A）＝1－P（）＝1－P（A1A2A3）＝1－××＝.
3.BCD　对于A，k＝1时，甲、乙比赛结果为平局的概率为××＝，故A错误；对于B，k＝2时，甲赢得比赛的概率为·（）4＋·（）4＝，乙赢得比赛的概率为·（）4＋·（）4＝，故B正确；对于C，由二项分布的数学期望公式知，在2k局比赛中，甲获胜的局数的期望为2k×＝k，故C正确；对于D，在2k局比赛中，甲赢得比赛的概率为·［1－·（）2k］，故随着k的增大，甲赢得比赛的概率会越来越接近，故D正确.
4.解：（1）乙队以2∶0获胜意味着乙队在前两局中均获胜.乙队每局获胜的概率为1－p，因此乙队以2∶0获胜的概率为：P（乙队2∶0获胜）＝（1－p）2＝（ 1－）2＝（ ）2＝.
（2）比赛结束时甲队获胜的局数X的可能取值为0，1，2.计算各情况的概率如下：
X＝0：甲队一局未胜，即乙队以2∶0获胜，概率为P（X＝0）＝（1－p）2.
X＝1：甲队仅胜1局，乙队胜2局，可能的情况有两种（甲胜第1局或第2局），概率为：
P（X＝1）＝2p（1－p）2.
X＝2：甲队胜2局，可能的情况有两种（甲胜前2局或前2局胜1局），概率为：
P（X＝2）＝p2＋2p2（1－p）＝p2（3－2p）.
因此，X的期望为：
E（X）＝0×P（X＝0）＋1×P（X＝1）＋2×P（X＝2）＝0×＋1×2××（ ）2＋2×（ ）2×（ 3－）＝.
（3）比赛打满3局的概率f（p）表示比赛进行到第3局才分出胜负.
这种情况发生当且仅当前两局双方各胜1局，因此f（p）＝2p（1－p）.
将f（p）视为关于p的函数，其最大值出现在p＝处，最大值为f（ ）＝2××（ 1－）＝.
实际意义是当甲、乙两队实力相当时，比赛打满3局的概率最大.
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微专题　比赛情境下的概率分布问题
　　体育比赛中赛制的选择，输赢的估计等方面都蕴含着非常丰富的概率
知识.解决体育比赛中的概率问题首先要对体育比赛的赛制有所了解，其
次是能准确判断事件之间是否互斥、独立，理解积事件、和事件，及n次
独立重复实验k次发生的意义，真正把握概念和各模型之间的联系与区别.
n局m胜制
〔多选〕在某次国际围棋比赛中，甲、乙两人进入最后决赛，决赛采
用五局三胜制和三局两胜制其中一种，若每局比赛甲胜乙的概率都为 ，
没有和局，且各局比赛的胜负互不影响，则下列说法中正确的是（　BD）
A. 若采用三局两胜制，甲获得冠军时，比分为2∶1的可能性最大
B. 若采用五局三胜制，甲获得冠军时，比分为3∶0和3∶1的可能性相等
C. 若采用五局三胜制，则比赛对乙更有利
D. 若采用五局三胜制，乙先赢了一局，甲仍有超过50％的可能性获得冠军
BD
解析：　对于A，若采用三局两胜制，甲以2∶0获胜的概率为 ，甲以2∶1
获胜的概率为 × × × ＝ ＜ ，故A错误；对于B，若采用五局三
胜制，甲以3∶0获胜的概率为 ，甲以3∶1获胜的概率为 ×（ ）2×
× ＝ ，故B正确；对于C，因为采用三局两胜制甲胜的概率为 ＋ ＝
，采用五局三胜制甲胜的概率为 ＋ ＋ ×（ ）2×（ ）2× ＝
，所以采用三局两胜制和五局三胜制乙胜的概率分别为 和 ，所以采
用三局两胜制对乙更有利，故C错误；对于D，若采用五局三胜制，乙先赢了一局，甲获得冠军的概率为（ ）3＋ （ ）2× × ＝ ＞ ，所以D正确.
　　n局m胜制的规则特点为一旦某方获得m次胜利即终止比赛，所以若
比赛提前结束，则一定在最后一次比赛中某方达到m胜.
连胜制
甲、乙两队举行比赛，比赛共有7局，若有一方连胜3局，则比赛立即
终止.已知甲每局获胜的概率为 ，则甲在第5局终止比赛并获胜的概率
为 .
　
解析：要使甲在第5局终止比赛并获胜，可分为2类情况：①甲前2局均失
败，后3局中连胜，则甲在第5局终止比赛并获胜的概率为p1＝（ 1－ ）×
（ 1－ ）× × × ＝ ；②甲第1局胜，第2局负，后3局中连胜，则
甲在第5局终止比赛并获胜的概率为p2＝ ×（ 1－ ）× × × ＝ .
所以甲在第5局终止比赛并获胜的概率为p＝p1＋p2＝ ＋ ＝ .
　　连胜制的规则特点是：规定某方连胜m场即终止比赛，所以若提前结
束比赛，则最后m场某方连胜且之前没有某方达到m场连胜.
比分差距制
乒乓球比赛的规则是首先由发球员发球2次，再由接发球员发球2次，
两者交替，胜者得1分，败者得0分.在一局比赛中，先得11分的一方为胜
方（胜方至少比对方多2分），10平后，先多得2分的一方为胜方.甲、乙
两位同学进行乒乓球单打比赛，甲在一次发球中，得1分的概率为 ，乙在
一次发球中，得1分的概率为 .如果在一局比赛中，由乙同学先发球.
（1）甲、乙的比分暂时为8∶8，求最终甲以11∶9赢得比赛的概率；
解： 甲以11∶9赢得比赛，共计20次发球，在后4次发球中，需甲在最后
一次获胜，最终甲以11∶9赢得比赛的概率为P＝ ×（ ）2×（ ）2＋
（ ）2× × ＝ .
（2）求发球3次后，甲的累计得分的分布列及数学期望.
解：设发球3次后甲累计得分为随机变量X，X的可能取值为0，1，2，3.
P（X＝0）＝（ ）2× ＝ ，
P（X＝1）＝ ×（ ）2× ＋（ ）2× ＝ ，
P（X＝2）＝ ×（ ）2× ＋（ ）2× ＝ ，
P（X＝3）＝（ ）2× ＝ ，
所以随机变量X的分布列为
A 0 1 2 3
P
所以E（X）＝0× ＋1× ＋2× ＋3× ＝ .
　　比分差距制的规则特点是：规定某方比对方多m分即终止比赛，此时
首先根据比赛局数确定比分，在得分过程中要注意使两方的分差小于m.
积分制
（2026·福建厦门模拟）甲、乙、丙、丁四支球队进行单循环小组赛，
比赛分三轮，每轮两场比赛，具体赛程如下表：
第一轮 甲VS乙 丙VS丁
第二轮 甲VS丙 乙VS丁
第三轮 甲VS丁 乙VS丙
规定：每场比赛获胜的球队记3分，输的球队记0分，平局两队各记1分，
三轮比赛结束后以总分排名.总分相同的球队以抽签的方式确定排名，排
名前两位的球队出线.假设甲、乙、丙三支球队水平相当，彼此间胜、
负、平的概率均为 ，丁的水平较弱，面对其他任意一支球队胜、负、平
的概率都分别为 ， ， .每场比赛结果相互独立.
（1）求丁的总分为7分的概率，判断此时丁能否出线，并说明理由；
解： 记第i轮比赛丁胜、平、负的事件分别为Ai，Bi，Ci（i＝1，2，
3），每场比赛结果相互独立.丁总分为7分，则丁三场比赛两胜一平，记
丁三轮比赛两胜一平的事件为D，P（D）＝P（A1A2B3）＋P
（A1B2A3）＋P（B1A2A3）＝3×（ ）2× ＝ ，丁总分7分一定出线，
理由如下：丁三场比赛中赢两场，这两场丁的对手比分最多6分.由于小组
赛两队出线，所以丁一定出线.
（2）若第一轮比赛结束，甲、乙、丙、丁四支球队的积分分别为3，0，
3，0，求丁以6分的成绩出线的概率.
解：第一轮比赛，甲胜乙，丙胜丁.又丁总分为6分，则丁对战甲、乙都获
胜，此时，乙队总分最多3分，少于丁队总分，
①第二轮中若甲负于丙或平丙时，甲总分最多4分，少于丁队总分，此时
甲、乙两队总分少于丁队总分，丁一定出线，其相应的概率为P1＝［（
＋ ）× ］× ＝ ；
②第二轮中若甲胜丙，第三轮中丙平乙或负于乙时，丙总分最多4分，此
时丙、乙两队总分少于丁队总分，丁一定出线，其相应的概率为P2＝（
× ）×［ ×（ ＋ ）］＝ ；
③第二轮中若甲胜丙，第三轮中丙胜乙时，甲、丁、丙队总分均为6分，
此时由抽签确定出线，三队中有两队出线，每队出线的概率为 ，丁队出
线的概率P3＝（ × ）×（ × ）× ＝ ；
综上，丁以6分出线的概率为P1＋P2＋P3＝ ＋ ＋ ＝ ＝ .
　　规定m场后各队按照积分排名决定比赛名次，此时要注意积分的规则.
淘汰制
（2026·湖北武汉二调）有A，B，C，D，E，F，G，H八名运动
员参加乒乓球赛事，该赛事采用预赛、半决赛和决赛三轮淘汰制决定最后
的冠军，八名运动员在比赛开始前抽签随机决定各自的位置编号.已知
B～H这七名运动员互相对决时彼此间的获胜概率均为 ，A运动员与其他
运动员对决时，A获胜的概率为 ，每场对决没有平局，且结果相互独立.
（1）求这八名运动员各自获得冠军的概率；
解： A夺冠即为三轮比赛都获胜，所以A夺冠的概率为（ ）3＝ .
由题意，B～H七名运动员水平相同，且八名运动员各自夺冠概率之和
为1.
所以B～H七名运动员各自夺冠的概率均为 ×（1－ ）＝ .
（2）求B与A对决过且最后获得冠军的概率；
解： 记事件B＝“B获得冠军”，事件A＝“B与A对决过”，事件Ai＝
“B与A在第i轮对决”，i＝1，2，3.
不妨设A在①号位，则B在第1，2，3轮能与A对决时其位置编号分别为
②，③④，⑤⑥⑦⑧.
P（AB）＝P（（A1＋A2＋A3）B）＝P（A1B）＋P（A2B）＋P
（A3B），
P（A1B）＝ ×（1－ ）× × ＝ ，
P（A2B）＝ × × ×（1－ ）× ＝ ，
P（A3B）＝ × × × × ×（1－ ）＝ ，
所以P（AB）＝ ＋ ＋ ＝ ，故所求概率为 .
（3）求B与C对决过且最后获得冠军的概率.
解： 记事件C＝“B与C对决过”.
B没有与A对决过且最后获得冠军的概率为P（ B）＝P（B）－P
（AB）＝ － ＝ .
P（BC）＝P（（A＋ ）BC）＝P（ABC）＋P（ BC）＝P（AB）
P（C｜AB）＋P（ B）P（C｜ B）.
由题意，C～H六名运动员与B对决过的概率相同，B夺冠时共与三名运
动员对决.
所以P（C｜AB）＝ ，P（C｜ B）＝ ，代入得P（BC）＝ ×
＋ × ＝ ，故所求概率为 .
　　在比赛的过程中，如果在某一阶段失败，则被淘汰.此类问题要注意
若达到第m阶段，则意味着前（m－1）个阶段均能通关.
1. 甲、乙两位同学进行乒乓球比赛，约定打满4局，获胜3局或3局以上的
赢得比赛（单局中无平局）.若甲、乙每局获胜的概率相同，则甲赢得比
赛的概率为（　　）
A. B. C. D.
√
解析： 甲、乙打满4局比赛的
胜负情况如图所示，
由树状图可知，胜负情况共有16
种，其中甲赢得比赛的情况有5种，故所求概率P＝ .
2. 〔一题多解〕某项选拔共有三轮考核，每轮设有一个问题，回答问题正
确者进入下一轮考核，否则即被淘汰.已知某选手能正确回答第一、二、
三轮的问题的概率分别为 ， ， ，且各轮问题能否正确回答互不影响.
则该选手被淘汰的概率为（　　）
A. B.
C. D.
√
解析： 　法一　选手在第一轮被淘汰，则P1＝ ，选手在第二轮被淘
汰，则P2＝ × ＝ ，选手在第三轮被淘汰，则P3＝ × × ＝ ，故
选手被淘汰的概率为P＝P1＋P2＋P3＝ .
法二　设事件Ai为“选手正确回答第i轮问题”，事件A为“选手被淘
汰”，所以P（A）＝1－P（ ）＝1－P（A1A2A3）＝1－ × × ＝ .
3. 〔多选〕甲、乙两人进行乒乓球比赛，比赛打满2k（k∈N*）局，且每
局甲获胜的概率和乙获胜的概率均为 .若某人获胜的局数大于k，则此人
赢得比赛.下列说法正确的是（　　）
A. k＝1时，甲、乙比赛结果为平局的概率为
B. k＝2时，甲赢得比赛与乙赢得比赛的概率均为
C. 在2k局比赛中，甲获胜的局数的期望为k
D. 随着k的增大，甲赢得比赛的概率会越来越接近
√
√
√
解析： 　对于A，k＝1时，甲、乙比赛结果为平局的概率为 ×
× ＝ ，故A错误；对于B，k＝2时，甲赢得比赛的概率为 ·（ ）4＋
·（ ）4＝ ，乙赢得比赛的概率为 ·（ ）4＋ ·（ ）4＝ ，故B
正确；对于C，由二项分布的数学期望公式知，在2k局比赛中，甲获胜的
局数的期望为2k× ＝k，故C正确；对于D，在2k局比赛中，甲赢得比赛
的概率为 ·［1－ ·（ ）2k］，故随着k的增大，甲赢得比赛的概率会
越来越接近 ，故D正确.
4. （2026·北京市第35中学模拟）为丰富校园文化生活，学校举办了乒乓
球比赛.决赛采用三局二胜制的比赛规则（先赢得2局的队伍获胜并结束比
赛）.已知甲、乙两队进入决赛，且根据以往比赛统计得知，在每局比赛
中甲队获胜的概率为p（0＜p＜1），乙队获胜的概率为1－p，每局比赛
的结果互不影响.
（1）若p＝ ，求乙队以2∶0获胜的概率；
解： 乙队以2∶0获胜意味着乙队在前两局中均获胜.乙队每局获胜的
概率为1－p，因此乙队以2∶0获胜的概率为：P（乙队2∶0获胜）＝（1
－p）2＝（ 1－ ）2＝（ ）2＝ .
（2）若p＝ ，比赛结束时甲队获胜的局数记为X，求X的期望；
解： 比赛结束时甲队获胜的局数X的可能取值为0，1，2.计算各
情况的概率如下：
X＝0：甲队一局未胜，即乙队以2∶0获胜，概率为P（X＝0）＝（1－
p）2.
X＝1：甲队仅胜1局，乙队胜2局，可能的情况有两种（甲胜第1局或第
2局），概率为：
P（X＝1）＝2p（1－p）2.
X＝2：甲队胜2局，可能的情况有两种（甲胜前2局或前2局胜1局），
概率为：
P（X＝2）＝p2＋2p2（1－p）＝p2（3－2p）.
因此，X的期望为：
E（X）＝0×P（X＝0）＋1×P（X＝1）＋2×P（X＝2）＝0× ＋
1×2× ×（ ）2＋2×（ ）2×（ 3－ ）＝ .
（3）若比赛打满3局的概率记为f（p），请直接写出f（p）的最大值及
此时p的值，并解释此时的实际意义.
解： 比赛打满3局的概率f（p）表示比赛进行到第3局才分出胜负.
这种情况发生当且仅当前两局双方各胜1局，因此f（p）＝2p（1－p）.
将f（p）视为关于p的函数，其最大值出现在p＝ 处，最大值为f（ ）
＝2× ×（ 1－ ）＝ .
实际意义是当甲、乙两队实力相当时，比赛打满3局的概率最大.
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