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微专题　二项分布与超几何分布中的最值问题
　　人A选三P81探究与发现研究了二项分布的有关性质，你明白研究此类问题的方法吗？实际上，这类通过若干次试验，观察其结果，利用试验结果得到某个参数值能够使样本出现的概率为最大，则称为极大似然估计.
　　极大似然估计是建立在极大似然原理的基础上的一个统计方法，是概率论在统计学中的应用.极大似然估计提供了一种给定观察数据来评估模型参数的方法，即：“模型已定，参数未知”.
二项分布中的最值问题
1.当p给定时，可得到函数f（k）＝pk（1－p）n－k，k＝0，1，2，…，n，这个是数列的最值问题：＝＝＝＝1＋.
当k＜（n＋1）p时，pk＞pk－1，pk随k值的增大而增大；当k＞（n＋1）p时，pk＜pk－1，pk随k值的增大而减小.如果（n＋1）p为正整数，当k＝（n＋1）p时，pk＝pk－1，此时这两项概率均为最大值.如果（n＋1）p为非整数，而k取（n＋1）p的整数部分，则pk是唯一的最大值.
提醒：在二项分布中，若数学期望为整数，则当随机变量k等于期望时，概率最大.
2.当k给定时，可得到函数f（p）＝pk（1－p）n－k，p∈（0，1），这个是函数的最值问题，可以用导数求函数最值与最值点：f'（p）＝[kpk－1（1－p）n－k－pk（n－k）（1－p）n－k－1]＝pk－1（1－p）n－k－1[k（1－p）－（n－k）p]＝pk－1（1－p）n－k－1（k－np）.
当k＝1，2，…，n－1时，由于当p＜时，f'（p）＞0，f（p）单调递增，当p＞时，f'（p）＜0，f（p）单调递减，故当p＝时，f（p）取得最大值，f（p）max＝f（ ）.又当p→0，f（p）→0，当p→1时，f（p）→0，从而f（p）无最小值.
角度1　“p定型”二项分布的最值
（2026·山东临沂模拟）体育是培养学生高尚人格的重要途径之一.足球作为一项团队运动项目，深受学生喜爱，为了解学生喜爱足球运动是否与性别有关，随机抽取了100名学生作为样本，统计得到如下的列联表：
喜爱足球运动 不喜爱足球运动 合计
男生 40 a
女生 b 25
合计 100
已知从这100名学生样本中随机抽取1个，抽到喜爱足球运动的学生的概率为.
（1）求a，b；
（2）根据小概率值α＝0.001的独立性检验，判断学生喜爱足球运动是否与性别有关？
（3）用样本分布的频率估计总体分布的概率，现在从喜爱足球运动的学生中随机抽取30名，记其中男生的人数为Z，求使事件“Z＝k”概率最大的k的值.
附：χ2＝，
α 0.01 0.005 0.001
xα 6.635 7.879 10.828
　　本题解题的关键是理解X服从二项分布Z～B（ 30，），结合二项分布的概率公式，利用＝及＝与1进行比较大小，得到P（X＝k）最大时k的取值；也可以利用不等式组求解.
角度2　“k定型”二项分布的最值
杭州亚运会是首届采用云上转播的亚运会，预计在云上传输最大60路高清和超高清信号，某企业负责生产所需的某种高清转播设备，设生产该款设备的次品率为p（0＜p＜1），且各套设备的生产互不影响.
（1）生产该款设备需要两道工序，且互不影响，假设每道工序的次品率依次为p1＝，p2＝.
①求p；
②现对该企业生产的设备进行自动智能检测，自动智能检测为次品（注：合格品不会被误检成次品）的设备会被自动淘汰，若自动智能检测为合格，则再进行人工抽检，已知自动智能检测显示该款设备的合格率为96％，求人工抽检时，抽检的一套设备是合格品的概率.
（2）视p为概率，记从该企业生产的设备中随机抽取n套，其中恰含m（n＞m）个次品的概率为f（p），求证：f（p）在p＝时取得最大值.
　　本题解题的关键是在寻求f（p）＝pm·（1－p）n－m（0＜p＜1）的最大值时，把f（p）理解为p的函数，利用导数与函数的最值关系求解.
超几何分布中的最值问题
将从a件次品，b件正品中取出n件产品的可能组合的全体作为样本点，总数为.其中，次品出现k次的可能为.令N＝a＋b，则所求概率为hk（N）＝，即＝＝.令＝λ，则当an＞kN时，λ＞1；当an＜kN时，λ＜1，即当N＜时，hk（N）单调递增；当N＞时，hk（N）单调递减.所以当N＝［］时，hk（N）达到最大值.
（1）一个袋中有形状、大小完全相同的100个小球，其中n（2≤n≤92）个红球，其余为白球.从中一次性任取10个小球，将“恰好含有2个红球”的概率记为f（n），则f（n）取得最大值时n＝（　　）
A.10 B.20
C.30 D.40
（2）2023年中央一号文件指出，民族要复兴，乡村必振兴.为助力乡村振兴，某电商平台准备为某地的农副特色产品开设直播带货专场直播前，此平台用不同的单价试销.并在购买的顾客中进行体验调查问卷.已知有N（N＞30）名热心参与问卷的顾客，此平台决定在直播中专门为他们设置两次抽奖活动，每次抽奖都是由系统独立、随机地从这N名顾客中抽取20名顾客，抽中顾客会有礼品赠送，若直播时这N名顾客都在线，记两次抽中的顾客总人数为X（不重复计数），则使P（X＝30）取得最大值时的整数N的值为（　　）
A.38或39 B.39或40 C.40或41 D.41或42
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　　解决超几何分布中概率f（n）的最值问题，与二项分布中概率的最值问题类似，也有两种方法，一是把n看作自变量，利用函数性质求最值；二是用方程组求解.
1.已知随机变量X～B（ n，），当且仅当k＝4时，P（X＝k）取得最大值，则n＝（　　）
A.7 B.8
C.9 D.10
2.设随机变量X～B（n，p），记pk＝pk（1－p，k＝0，1，2，…，n，下列说法正确的是（　　）
A.当k由0增大到n时，pk先增后减，当且仅当k取某一个正整数时达到最大
B.如果（n＋1）p为正整数，当且仅当k＝（n＋1）p时，pk取最大值
C.如果（n＋1）p为非整数，当且仅当k取（n＋1）p的整数部分时，pk取最大值
D.E（X）＝np（1－p）
3.〔一题多解〕（2026·湖南长沙调研）某综艺节目中，有一个盲拧魔方游戏，就是玩家先观察魔方状态并进行记忆，记住后蒙住眼睛快速还原魔方.为了解某市盲拧魔方爱好者的水平状况，某兴趣小组在全市范围内随机抽取了100名盲拧魔方爱好者进行调查，得到的情况如表所示：
用时/秒 [5，10] （10，15] （15，20] （20，25]
男性人数 15 22 14 9
女性人数 5 11 17 7
以这100名盲拧魔方爱好者用时不超过10秒的频率，代替全市所有盲拧魔方爱好者用时不超过10秒的概率，每位盲拧魔方爱好者用时是否超过10秒相互独立.若该兴趣小组在全市范围内再随机抽取20名盲拧魔方爱好者进行测试，其中用时不超过10秒的人数最有可能（即概率最大）是（　　）
A.2 B.3
C.4 D.5
4.2024年7月26日至8月11日在法国巴黎举行夏季奥运会.为了普及奥运知识，M大学举办了一次奥运知识竞赛，竞赛分为初赛与决赛，初赛通过后才能参加决赛.
（1）初赛从6道题中任选2题作答，2题均答对则进入决赛.已知这6道题中小王能答对其中4道题，记小王在初赛中答对的题目个数为X，求X的数学期望以及小王在已经答对一题的前提下，仍未进入决赛的概率；
（2）M大学为鼓励大学生踊跃参赛并取得佳绩，对进入决赛的参赛大学生给予一定的奖励.奖励规则如下：已进入决赛的参赛大学生允许连续抽奖3次，中奖1次奖励120元，中奖2次奖励180元，中奖3次奖励360元，若3次均未中奖，则只奖励60元.假定每次抽奖中奖的概率均为p（ 0＜p＜），且每次是否中奖相互独立.记一名进入决赛的大学生恰好中奖1次的概率为f（p），求f（p）的极大值.
5.某校参加某次大型考试时采用了线上考试和线下考试两种形式.现随机抽取200名同学的数学成绩做分析，其中线上人数占40％，线下人数占60％，分别统计他们的数学成绩，得到了如图所示的两个频率分布直方图.
其中（50，70]称为合格，（70，90]称为中等，（90，110]称为良好，（110，130]称为优秀，（130，150]称为优异.
（1）根据频率分布直方图，求这200名学生的数学平均分（同一组数据可取该组区间的中点值代替）；
（2）现从这200名学生中随机抽取一名同学的数学成绩为良好，试分析他是来自线上考试的可能性大，还是来自线下考试的可能性大；
（3）现从样本中线下考试的学生中随机抽取10名同学，且抽到k个学生的数学成绩为中等的可能性最大，试求k的值.
微专题　二项分布与超几何分布中的最值问题
【例1】　解：（1）由题意可知，b＝100×－40＝20，a＝100－40－25－b＝15.
（2）根据题意，补全2×2列联表如下：
喜爱足球 运动 不喜爱足球 运动 合计
男生 40 15 55
女生 20 25 45
合计 60 40 100
零假设H0：喜爱足球运动与性别无关，
则χ2＝≈8.249＜10.828，
根据小概率值α＝0.001的独立性检验，我们推断H0成立，因此可以认为喜爱足球运动与性别无关.
（3）现在从喜爱足球运动的学生中随机抽取1名学生，该学生是男生的概率是P＝＝，
从而从喜爱足球运动的学生中随机抽取30名时，记其中男生的人数为Z，则Z～B（ 30，），
所以P（Z＝k）＝（ ）k（ ）30－k（k＝0，1，…，30），则
解得≤k≤，
又因为k∈N，所以k＝20，
故使事件“Z＝k”概率最大的k的值为20.
【例2】　解：（1）①因为两道生产工序互不影响，所以p＝1－（1－p1）（1－p2）＝.
②记该款设备自动智能检测合格为事件A，人工抽检合格为事件B，
且P（A）＝96％，P（AB）＝1－p＝，
则人工抽检时，抽检的一套设备恰是合格品的概率为P（B｜A）＝＝.
（2）证明：因为各套设备的生产互不影响，所以f（p）＝pm（1－p）n－m（0＜p＜1），
则f'（p）＝[mpm－1（1－p）n－m－（n－m）·pm（1－p）n－m－1]＝pm－1（1－p）n－m－1（m－np）.
令f'（p）＝0，得p＝，
当0＜p＜时，f'（p）＞0，f（p）单调递增；
当＜p＜1时，f'（p）＜0，f（p）单调递减，
所以，当p＝时，f（p）取得最大值.
【例3】　（1）B　（2）B　解析：（1）f（n）＝，f（n）取得最大值，也即是取最大值，所以解得≤n≤，故n＝20.
（2）由于P（X＝30）＝＝，记f（N）＝，即求f（N）在何时取到最大值，下面讨论f（N）的单调性：＝＝＝≤1 N≥39，≤1 N≤40，解得39≤N≤40，所以当N＝39或40时，P（X＝30）取到最大值.
强化训练
1.B　由题得P（X＝k）＝（ ）n，k＝0，1，…，n，由题知在（ ）n，（ ）n，…，（ ）n中，最大值只有（ ）n，即在，，…，中，最大值只有，由二项式系数的对称性可知n＝8.故选B.
2.C　因为X～B（n，p），pk＝pk（1－p，k＝0，1，2，…，n，由得
解得（n＋1）p－1≤k≤（n＋1）p，若（n＋1）p为正整数，则当k＝（n＋1）p或k＝（n＋1）p－1时，pk取最大值，故B错误；若（n＋1）p为非整数，则当k取（n＋1）p的整数部分时，pk取最大值，故C正确；综上所述，当k由0增大到n时，pk先增后减，在某一个（或两个）k值处达到最大，故A错误；因为E（X）＝np，故D错误.
3.C　法一　根据题意得，1名盲拧魔方爱好者用时不超过10秒的概率为＝，设随机抽取的20名盲拧魔方爱好者中用时不超过10秒的人数为ξ，则ξ～B（ 20，），其中P（ξ＝k）＝（ ）k（ ）20－k，k＝0，1，2，…20，当k≥1时，由得
化简得解得≤k≤，又k∈Z，则k＝4，则这20名盲拧魔方爱好者中用时不超过10秒的人数最有可能是4.
法二　由E（ξ）＝nP＝4，当k＝4时，p（k＝4）的概率最大，故这20名盲拧魔方爱好者用时不超过10秒的人数最有可能是4.
4.解：（1）由题意知，X的可能取值为0，1，2，
则P（X＝0）＝＝，
P（X＝1）＝＝，
P（X＝2）＝＝，
故X的分布列为
X 0 1 2
P
则E（X）＝0×＋1×＋2×＝.
记事件A：小王已经答对一题，事件B：小王未进入决赛，
则小王在已经答对一题的前提下，仍未进入决赛的概率为P（B｜A）＝＝＝＝.
（2）由题意知，f（p）＝p（1－p）2＝3p3－6p2＋3p（0＜p＜），
则f'（p）＝3（3p－1）（p－1），
令f'（p）＝0，解得p＝或p＝1（舍），
当p∈（0，）时，f'（p）＞0，
当p∈（，）时，f'（p）＜0，
所以f（p）在区间（0，）上单调递增，在区间（，）上单调递减，
所以当p＝时，f（p）有极大值，且f（p）的极大值为f（）＝.
5.解：（1）线上考试同学的平均分为（60×0.005＋80×0.017 5＋100×0.02＋120×0.005＋140×0.002 5）×20＝93（分）；
线下考试同学的平均分为（60×0.007 5＋80×0.012 5＋100×0.015＋120×0.01＋140×0.005）×20＝97（分）.
又200名同学，线上人数占40％，线下人数占60％，
所以这200名同学的平均分为＝95.4（分）.
（2）线上同学成绩良好的人数为0.02×20×200×40％＝32，
线下同学成绩良好的人数为0.015×20×200×60％＝36，
因为抽取的数学成绩为良好，且＜，所以来自线下的可能性大.
（3）由线下成绩中等同学人数为0.012 5×20×200×60％＝30，其他同学90人，
所以从线下学生中随机抽取10名同学，抽到k个学生的成绩为中等的概率P（X＝k）＝，1＜k＜10且k∈N*.
要使P（X＝k）最大，
则
即
所以解得＜k＜，又k∈N*，故k＝2.
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微专题　二项分布与超几何分布中的最值问题
　　人A选三P81探究与发现研究了二项分布的有关性质，你明白研究此类
问题的方法吗？实际上，这类通过若干次试验，观察其结果，利用试验结
果得到某个参数值能够使样本出现的概率为最大，则称为极大似然估计.
　　极大似然估计是建立在极大似然原理的基础上的一个统计方法，是概
率论在统计学中的应用.极大似然估计提供了一种给定观察数据来评估模
型参数的方法，即：“模型已定，参数未知”.
二项分布中的最值问题
1. 当p给定时，可得到函数f（k）＝ pk（1－p）n－k，k＝0，1，
2，…，n，这个是数列的最值问题： ＝ ＝
＝ ＝1＋ .
当k＜（n＋1）p时，pk＞pk－1，pk随k值的增大而增大；当k＞（n＋
1）p时，pk＜pk－1，pk随k值的增大而减小.如果（n＋1）p为正整数，
当k＝（n＋1）p时，pk＝pk－1，此时这两项概率均为最大值.如果（n＋
1）p为非整数，而k取（n＋1）p的整数部分，则pk是唯一的最大值.
提醒：在二项分布中，若数学期望为整数，则当随机变量k等于期望时，
概率最大.
2. 当k给定时，可得到函数f（p）＝ pk（1－p）n－k，p∈（0，1），
这个是函数的最值问题，可以用导数求函数最值与最值点：f'（p）＝
[kpk－1（1－p）n－k－pk（n－k）·（1－p）n－k－1]＝ pk－1（1－p）n－
k－1[k（1－p）－（n－k）p]＝ pk－1（1－p）n－k－1（k－np）.
当k＝1，2，…，n－1时，由于当p＜ 时，f'（p）＞0，f（p）单调递
增，当p＞ 时，f'（p）＜0，f（p）单调递减，故当p＝ 时，f（p）取
得最大值，f（p）max＝f（ ）.又当p→0，f（p）→0，当p→1时，f
（p）→0，从而f（p）无最小值.
角度1　“p定型”二项分布的最值
（2026·山东临沂模拟）体育是培养学生高尚人格的重要途径之一.足
球作为一项团队运动项目，深受学生喜爱，为了解学生喜爱足球运动是否
与性别有关，随机抽取了100名学生作为样本，统计得到如下的列联表：
喜爱足球运动 不喜爱足球运动 合计
男生 40 a
女生 b 25
合计 100
已知从这100名学生样本中随机抽取1个，抽到喜爱足球运动的学生的概率
为 .
（1）求a，b；
解： 由题意可知，b＝100× －40＝20，a＝100－40－25－b＝15.
（2）根据小概率值α＝0.001的独立性检验，判断学生喜爱足球运动是否
与性别有关？
解：根据题意，补全2×2列联表如下：
喜爱足球运动 不喜爱足球运动 合计
男生 40 15 55
女生 20 25 45
合计 60 40 100
零假设H0：喜爱足球运动与性别无关，
则χ2＝ ≈8.249＜10.828，
根据小概率值α＝0.001的独立性检验，我们推断H0成立，因此可以认为喜
爱足球运动与性别无关.
（3）用样本分布的频率估计总体分布的概率，现在从喜爱足球运动的学
生中随机抽取30名，记其中男生的人数为Z，求使事件“Z＝k”概率最大
的k的值.
附：χ2＝ ，
α 0.01 0.005 0.001
xα 6.635 7.879 10.828
解：现在从喜爱足球运动的学生中随机抽取1名学生，该学生是男生的概
率是P＝ ＝ ，
从而从喜爱足球运动的学生中随机抽取30名时，记其中男生的人数为Z，
则Z～B（ 30， ），
所以P（Z＝k）＝ （ ）k（ ）30－k（k＝0，1，…，30），则

解得 ≤k≤ ，又因为k∈N，所以k＝20，
故使事件“Z＝k”概率最大的k的值为20.
　　本题解题的关键是理解X服从二项分布Z～B（ 30， ），结合二项
分布的概率公式，利用 ＝ 及 ＝
与1进行比较大小，得到P（X＝k）最大时k的取值；也可以利
用不等式组 求解.
角度2　“k定型”二项分布的最值
杭州亚运会是首届采用云上转播的亚运会，预计在云上传输最大60路
高清和超高清信号，某企业负责生产所需的某种高清转播设备，设生产该
款设备的次品率为p（0＜p＜1），且各套设备的生产互不影响.
（1）生产该款设备需要两道工序，且互不影响，假设每道工序的次品率
依次为p1＝ ，p2＝ .
①求p；
②现对该企业生产的设备进行自动智能检测，自动智能检测为次品（注：
合格品不会被误检成次品）的设备会被自动淘汰，若自动智能检测为合
格，则再进行人工抽检，已知自动智能检测显示该款设备的合格率为96
％，求人工抽检时，抽检的一套设备是合格品的概率.
解： ①因为两道生产工序互不影响，所以p＝1－（1－p1）（1－p2）＝
.
②记该款设备自动智能检测合格为事件A，人工抽检合格为事件B，
且P（A）＝96％，P（AB）＝1－p＝ ，
则人工抽检时，抽检的一套设备恰是合格品的概率为P（B｜A）＝
＝ .
（2）视p为概率，记从该企业生产的设备中随机抽取n套，其中恰含m
（n＞m）个次品的概率为f（p），求证：f（p）在p＝ 时取得最大值.
解：证明：因为各套设备的生产互不影响，所以f（p）＝ pm（1－p）
n－m（0＜p＜1），
则f'（p）＝ [mpm－1（1－p）n－m－（n－m）·pm（1－p）n－m－1]＝
pm－1（1－p）n－m－1（m－np）.
令f'（p）＝0，得p＝ ，当0＜p＜ 时，f'（p）＞0，f（p）单调递增；
当 ＜p＜1时，f'（p）＜0，f（p）单调递减，
所以，当p＝ 时，f（p）取得最大值.
　　本题解题的关键是在寻求f（p）＝ pm·（1－p）n－m（0＜p＜
1）的最大值时，把f（p）理解为p的函数，利用导数与函数的最值关
系求解.
超几何分布中的最值问题
将从a件次品，b件正品中取出n件产品的可能组合的全体作为样本点，总
数为 .其中，次品出现k次的可能为 .令N＝a＋b，则所求概
率为hk（N）＝ ，即 ＝ ＝ .令
＝λ，则当an＞kN时，λ＞1；当an＜kN时，λ＜1，即当N＜
时，hk（N）单调递增；当N＞ 时，hk（N）单调递减.所以当N＝
［ ］时，hk（N）达到最大值.
（1）一个袋中有形状、大小完全相同的100个小球，其中n
（2≤n≤92）个红球，其余为白球.从中一次性任取10个小球，将“恰好
含有2个红球”的概率记为f（n），则f（n）取得最大值时n＝
（　B　）
A. 10 B. 20
C. 30 D. 40
解析： f（n）＝ ，f（n）取得最大值，也即是 取最大
值，所以 解得 ≤n≤ ，故n＝20.
B
（2）2023年中央一号文件指出，民族要复兴，乡村必振兴.为助力乡村振
兴，某电商平台准备为某地的农副特色产品开设直播带货专场直播前，此
平台用不同的单价试销.并在购买的顾客中进行体验调查问卷.已知有N
（N＞30）名热心参与问卷的顾客，此平台决定在直播中专门为他们设置
两次抽奖活动，每次抽奖都是由系统独立、随机地从这N名顾客中抽取20
名顾客，抽中顾客会有礼品赠送，若直播时这N名顾客都在线，记两次抽
中的顾客总人数为X（不重复计数），则使P（X＝30）取得最大值时的
整数N的值为（　B　）
A. 38或39 B. 39或40
C. 40或41 D. 41或42
B
解析：由于P（X＝30）＝ ＝ ，记f（N）＝ ，即
求f（N）在何时取到最大值，下面讨论f（N）的单调性： ＝
＝ ＝ ≤1 N≥39，
≤1 N≤40，解得39≤N≤40，所以当N＝39或40时，P（X＝30）取到
最大值.
　　解决超几何分布中概率f（n）的最值问题，与二项分布中概率的最值
问题类似，也有两种方法，一是把n看作自变量，利用函数性质求最值；
二是用方程组 求解.
1. 已知随机变量X～B（ n， ），当且仅当k＝4时，P（X＝k）取得最
大值，则n＝（　　）
A. 7 B. 8
C. 9 D. 10
√
解析： 　由题得P（X＝k）＝ （ ）n，k＝0，1，…，n，由题知在
（ ）n， （ ）n，…， （ ）n中，最大值只有 （ ）n，即
在 ， ，…， 中，最大值只有 ，由二项式系数的对称性可知n＝
8.故选B.
2. 设随机变量X～B（n，p），记pk＝ pk（1－p ，k＝0，1，
2，…，n，下列说法正确的是（　　）
A. 当k由0增大到n时，pk先增后减，当且仅当k取某一个正整数时达到最
大
B. 如果（n＋1）p为正整数，当且仅当k＝（n＋1）p时，pk取最大值
C. 如果（n＋1）p为非整数，当且仅当k取（n＋1）p的整数部分时，pk
取最大值
D. E（X）＝np（1－p）
√
解析： 　因为X～B（n，p），pk＝ pk（1－p ，k＝0，1，
2，…，n，由 得 解得（n＋1）p－
1≤k≤（n＋1）p，若（n＋1）p为正整数，则当k＝（n＋1）p或k＝
（n＋1）p－1时，pk取最大值，故B错误；若（n＋1）p为非整数，则当
k取（n＋1）p的整数部分时，pk取最大值，故C正确；综上所述，当k由
0增大到n时，pk先增后减，在某一个（或两个）k值处达到最大，故A错
误；因为E（X）＝np，故D错误.
3. 〔一题多解〕（2026·湖南长沙调研）某综艺节目中，有一个盲拧魔方
游戏，就是玩家先观察魔方状态并进行记忆，记住后蒙住眼睛快速还原魔
方.为了解某市盲拧魔方爱好者的水平状况，某兴趣小组在全市范围内随
机抽取了100名盲拧魔方爱好者进行调查，得到的情况如表所示：
用时/秒 [5，10] （10，15] （15，20] （20，25]
男性人数 15 22 14 9
女性人数 5 11 17 7
以这100名盲拧魔方爱好者用时不超过10秒的频率，代替全市所有盲拧魔
方爱好者用时不超过10秒的概率，每位盲拧魔方爱好者用时是否超过10秒
相互独立.若该兴趣小组在全市范围内再随机抽取20名盲拧魔方爱好者进
行测试，其中用时不超过10秒的人数最有可能（即概率最大）是（　　）
A. 2 B. 3
C. 4 D. 5
√
解析： 　法一　根据题意得，1名盲拧魔方爱好者用时不超过10秒的概率
为 ＝ ，设随机抽取的20名盲拧魔方爱好者中用时不超过10秒的人数为
ξ，则ξ～B（ 20， ），其中P（ξ＝k）＝ （ ）k（ ）20－k，k＝0，
1，2，…20，当k≥1时，由 得
化简得
解得 ≤k≤ ，又k∈Z，则k＝4，则这20名盲
拧魔方爱好者中用时不超过10秒的人数最有可能是4.
法二　由E（ξ）＝nP＝4，当k＝4时，p（k＝4）的概率最大，故这20名
盲拧魔方爱好者用时不超过10秒的人数最有可能是4.
4. 2024年7月26日至8月11日在法国巴黎举行夏季奥运会.为了普及奥运知
识，M大学举办了一次奥运知识竞赛，竞赛分为初赛与决赛，初赛通过后
才能参加决赛.
（1）初赛从6道题中任选2题作答，2题均答对则进入决赛.已知这6道题中
小王能答对其中4道题，记小王在初赛中答对的题目个数为X，求X的数学
期望以及小王在已经答对一题的前提下，仍未进入决赛的概率；
解：（1）由题意知，X的可能取值为0，1，2，
则P（X＝0）＝ ＝ ，
P（X＝1）＝ ＝ ，
P（X＝2）＝ ＝ ，
故X的分布列为
X 0 1 2
P
则E（X）＝0× ＋1× ＋2× ＝ .
记事件A：小王已经答对一题，事件B：小王未进入决赛，
则小王在已经答对一题的前提下，仍未进入决赛的概率为P（B｜A）＝
＝ ＝ ＝ .
（2）M大学为鼓励大学生踊跃参赛并取得佳绩，对进入决赛的参赛大学
生给予一定的奖励.奖励规则如下：已进入决赛的参赛大学生允许连续抽
奖3次，中奖1次奖励120元，中奖2次奖励180元，中奖3次奖励360元，若3
次均未中奖，则只奖励60元.假定每次抽奖中奖的概率均为p（0＜p＜
），且每次是否中奖相互独立.记一名进入决赛的大学生恰好中奖1次的
概率为f（p），求f（p）的极大值.
解：由题意知，f（p）＝ p（1－p）2＝3p3－6p2＋3p（0＜p＜ ），
则f'（p）＝3（3p－1）（p－1），
令f'（p）＝0，解得p＝ 或p＝1（舍），
当p∈（0， ）时，f'（p）＞0，
当p∈（ ， ）时，f'（p）＜0，
所以f（p）在区间（0， ）上单调递增，在区间（ ， ）上单调递减，
所以当p＝ 时，f（p）有极大值，且f（p）的极大值为f（ ）＝ .
5. 某校参加某次大型考试时采用了线上考试和线下考试两种形式.现随机
抽取200名同学的数学成绩做分析，其中线上人数占40％，线下人数占60
％，分别统计他们的数学成绩，得到了如图所示的两个频率分布直方图.
其中（50，70]称为合格，（70，90]称为中等，（90，110]称为良好，
（110，130]称为优秀，（130，150]称为优异.
（1）根据频率分布直方图，求这200名学生的数学平均分（同一组数据可
取该组区间的中点值代替）；
解： 线上考试同学的平均分为（60×0.005＋80×0.017 5＋
100×0.02＋120×0.005＋140×0.002 5）×20＝93（分）；
线下考试同学的平均分为（60×0.007 5＋80×0.012 5＋100×0.015＋
120×0.01＋140×0.005）×20＝97（分）.
又200名同学，线上人数占40％，线下人数占60％，
所以这200名同学的平均分为 ＝95.4（分）.
（2）现从这200名学生中随机抽取一名同学的数学成绩为良好，试分析他
是来自线上考试的可能性大，还是来自线下考试的可能性大；
解： 线上同学成绩良好的人数为0.02×20×200×40％＝32，
线下同学成绩良好的人数为0.015×20×200×60％＝36，
因为抽取的数学成绩为良好，且 ＜ ，所以来自线下的可能性大.
（3）现从样本中线下考试的学生中随机抽取10名同学，且抽到k个学生的
数学成绩为中等的可能性最大，试求k的值.
解： 由线下成绩中等同学人数为0.012 5×20×200×60％＝30，其他
同学90人，
所以从线下学生中随机抽取10名同学，抽到k个学生的成绩为中等的概率
P（X＝k）＝ ，1＜k＜10且k∈N*.
要使P（X＝k）最大，
则
即
所以 解得 ＜k＜ ，又k∈N*，
故k＝2.
THANKS
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