资源简介

微专题　概率中的数列特征——马尔科夫链
　　概率中的数列特征——马尔科夫链是一种具有“无后效性”的随机过程，即未来状态的概率仅依赖于当前状态，与“更早期的历史状态”无关.这一特性使其在模拟随机演化系统（如天气变化、股票波动、自然语言生成等）中具有广泛应用，其关键性质为：若P（Xn＋1＝j｜Xn＝i，Xn－1＝in－1，…，X0＝i0）＝P（Xn＋1＝j｜Xn＝i）＝Pij，即未来状态Xn＋1只受当前状态Xn的影响，与之前的Xn－1，Xn－2，…，X0无关.
连续两项递推特征
有n个编号分别为1，2，…，n的盒子，第1个盒子中有2个白球、1个黑球，其余盒子中均为1个白球、1个黑球.现从第1个盒子中任取一球放入第2个盒子，再从第2个盒子中任取一球放入第3个盒子，以此类推，则从第2个盒子中取到白球的概率是　　　　，从第n个盒子中取到白球的概率是　　　　.
听课记录　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　连续两项递推特征一般为an＋1＝pan＋q（pq≠0，p≠1），通常转化为{an＋1－an}或{an＋}等比数列求解.
连续三项递推特征
（2025·山东临沂三模）在这个科技飞速发展的时代，机器人和AI已应用到国防军事方面，在2024年的珠海航展上，中国“机器狗”升级成“机器狼”闪耀亮相，具备侦察、战斗和综合保障等功能，展现中国四足机器人技术进步，引发国内外关注.升级后的“机器狼”相比之前的“机器狗”有一特殊之处，无论是在平地上还是台阶上，“机器狼”的行进速度都相当之快，动作灵敏.为了展示“机器狼”上台阶的性能，在一个有n步的台阶上，假设“机器狼”每次只能上一步或两步台阶，且每次上一步或两步台阶是随机的.记每次上一步台阶的概率为p（0＜p＜1），上两步台阶的概率为1－p，且每次上一步台阶用时0.2 s，上两步台阶用时0.3 s.
（1）假设n＝4，“机器狼”上完这个台阶用时最少为多少秒？
（2）若p＝，记“机器狼”从地面上到第n步台阶的概率为Pn，其中n∈N*，证明：数列{Pn＋1－Pn}是等比数列，并求Pn.
　　连续三项递推特征一般为an＋1＝pan＋q（pq≠0），通常变形构造等比数列求解.
（2026·广东广州模拟）n（n∈N*，n≥3）个人相互传球，传球规则如下：若球由甲手中传出，则甲传给乙；否则，传球者等可能地将球传给另外的n－1个人中的任何一个.第一次传球由甲手中传出，第k（k∈N*）次传球后，球在甲手中的概率记为An（k），球在乙手中的概率记为Bn（k）.
（1）求A5（2），B5（2），A5（3），B5（3）；
（2）求An（k）；
（3）比较Bn（k＋1）与An（k）的大小，并说明理由.
微专题　概率中的数列特征——马尔科夫链
【例1】　　×（）n＋　解析：第1个盒子中取出白球的概率为P1＝，取出黑球的概率为1－P1＝，当第1个盒子中取出白球，第2个盒子中取出白球的概率为＝×＝，当第1个盒子中取出黑球，第2个盒子中取出白球的概率为＝×＝，故P2＝＋＝；设第n－1个盒子中取得白球的概率为Pn－1，则取得黑球的概率为1－Pn－1，故Pn＝Pn－1＋（1－Pn－1）＝Pn－1＋，即Pn－＝（Pn－1－），又P1－＝，故{Pn－}是首项为，公比为的等比数列，所以Pn－＝×（）n－1＝×（）n，即Pn＝×（）n＋.
【例2】　解：（1）“机器狼”上完4步台阶的走法有：
当4＝2＋2时，用时0.3＋0.3＝0.6（s）；
当4＝1＋1＋2时，用时0.2＋0.2＋0.3＝0.7（s）；
当4＝1＋1＋1＋1时，用时0.2＋0.2＋0.2＋0.2＝0.8（s）；
所以“机器狼”上完这个台阶用时最少为0.6秒.
（2）“机器狼”从地面上到第n步台阶，它是由第n－2步台阶上两步到达第n步台阶，或由第n－1步台阶上一步到达第n步台阶.
所以Pn＝Pn－1＋（1－）Pn－2（n≥2，n∈N*），
所以Pn－Pn－1＝－（Pn－1－Pn－2），
则Pn＋2－Pn＋1＝－（Pn＋1－Pn）（n∈N*），
又P1＝，P2＝（1－）＋×＝，
所以P2－P1＝，
所以{Pn＋1－Pn}是以为首项，－为公比的等比数列，
所以Pn＋1－Pn＝×（－）n－1＝（－）n＋1，
所以Pn＝（Pn－Pn－1）＋（Pn－1－Pn－2）＋…＋（P2－P1）＋P1＝（－）n＋（－）n－1＋…＋（－）2＋＝＋＝＋×（－）n，即Pn＝＋×（－）n.
强化训练
解：（1）
∴A5（2）＝，B5（2）＝0，A5（3）＝×＝，B5（3）＝＋×＝.
（2）由题意，设第k－1次传球球在甲手中的概率记为An（k－1），则球不在甲手中的概率为1－An（k－1），
要求第k次传球球在甲手中的概率，则第k－1次传球球一定不在甲手中，故An（k）＝[1－An（k－1）]，k≥2，An（1）＝0，
∴An（k）－＝－［An（k－1）－］，而An（1）－＝－≠0，
∴{An（k）－}是以－为首项，－为公比的等比数列，
∴An（k）－＝－（－）k－1，
∴An（k）＝［1－（－）k－1］.
（3）由题意知，第k＋1次球到乙手中分两种情况，一是第k次球在甲手中，甲传给乙；二是第k次球不在甲、乙手中，概率为[1－An（k）－Bn（k）]，此时传给乙的概率是，
∴Bn（k＋1）＝An（k）＋[1－An（k）－Bn（k）] Bn（k＋1）＝An（k）＋－Bn（k） Bn（k＋1）－An（k）＝[1－Bn（k）]≥0（k＝1时可取“＝”），
∴Bn（k＋1）≥An（k）.
1 / 1(共16张PPT)
微专题　概率中的数列特征——马尔科夫链
　　概率中的数列特征——马尔科夫链是一种具有“无后效性”的随机过
程，即未来状态的概率仅依赖于当前状态，与“更早期的历史状态”无
关.这一特性使其在模拟随机演化系统（如天气变化、股票波动、自然语
言生成等）中具有广泛应用，其关键性质为：若P（Xn＋1＝j｜Xn＝i，Xn
－1＝in－1，…，X0＝i0）＝P（Xn＋1＝j｜Xn＝i）＝Pij，即未来状态Xn＋1
只受当前状态Xn的影响，与之前的Xn－1，Xn－2，…，X0无关.
连续两项递推特征

　
×（ ）n＋ 　
解析：第1个盒子中取出白球的概率为P1＝ ，取出黑球的概率为1－P1＝
，当第1个盒子中取出白球，第2个盒子中取出白球的概率为 ＝ ×
＝ ，当第1个盒子中取出黑球，第2个盒子中取出白球的概率为 ＝
× ＝ ，故P2＝ ＋ ＝ ；
设第n－1个盒子中取得白球的概率为Pn－1，则取得黑球的概率为1－Pn－1，
故Pn＝ Pn－1＋ （1－Pn－1）＝ Pn－1＋ ，即Pn－ ＝ （Pn－1－ ），
又P1－ ＝ ，故{Pn－ }是首项为 ，公比为 的等比数列，所以Pn－
＝ ×（ ）n－1＝ ×（ ）n，即Pn＝ ×（ ）n＋ .
　　连续两项递推特征一般为an＋1＝pan＋q（pq≠0，p≠1），通常转化
为{an＋1－an}或{an＋ }等比数列求解.
连续三项递推特征
（2025·山东临沂三模）在这个科技飞速发展的时代，机器人和AI已应
用到国防军事方面，在2024年的珠海航展上，中国“机器狗”升级成“机
器狼”闪耀亮相，具备侦察、战斗和综合保障等功能，展现中国四足机器
人技术进步，引发国内外关注.升级后的“机器狼”相比之前的“机器
狗”有一特殊之处，无论是在平地上还是台阶上，“机器狼”的行进速度
都相当之快，动作灵敏.为了展示“机器狼”上台阶的性能，在一个有n步
的台阶上，假设“机器狼”每次只能上一步或两步台阶，且每次上一步或
两步台阶是随机的.记每次上一步台阶的概率为p（0＜p＜1），上两步台
阶的概率为1－p，且每次上一步台阶用时0.2 s，上两步台阶用时0.3 s.
（1）假设n＝4，“机器狼”上完这个台阶用时最少为多少秒？
解： “机器狼”上完4步台阶的走法有：
当4＝2＋2时，用时0.3＋0.3＝0.6（s）；
当4＝1＋1＋2时，用时0.2＋0.2＋0.3＝0.7（s）；
当4＝1＋1＋1＋1时，用时0.2＋0.2＋0.2＋0.2＝0.8（s）；
所以“机器狼”上完这个台阶用时最少为0.6秒.
（2）若p＝ ，记“机器狼”从地面上到第n步台阶的概率为Pn，其中
n∈N*，证明：数列{Pn＋1－Pn}是等比数列，并求Pn.
解：“机器狼”从地面上到第n步台阶，它是由第n－2步台阶上两步到达
第n步台阶，或由第n－1步台阶上一步到达第n步台阶.
所以Pn＝ Pn－1＋（1－ ）Pn－2（n≥2，n∈N*），
所以Pn－Pn－1＝－ （Pn－1－Pn－2），
则Pn＋2－Pn＋1＝－ （Pn＋1－Pn）（n∈N*），
又P1＝ ，P2＝（1－ ）＋ × ＝ ，
所以P2－P1＝ ，
所以{Pn＋1－Pn}是以 为首项，－ 为公比的等比数列，
所以Pn＋1－Pn＝ ×（－ ）n－1＝（－ ）n＋1，
所以Pn＝（Pn－Pn－1）＋（Pn－1－Pn－2）＋…＋（P2－P1）＋P1＝（－
）n＋（－ ）n－1＋…＋（－ ）2＋ ＝ ＋ ＝
＋ ×（－ ）n，即Pn＝ ＋ ×（－ ）n.
　　连续三项递推特征一般为an＋1＝pan＋q（pq≠0），通常变形构造等
比数列求解.
（2026·广东广州模拟）n（n∈N*，n≥3）个人相互传球，传球规则如
下：若球由甲手中传出，则甲传给乙；否则，传球者等可能地将球传给另
外的n－1个人中的任何一个.第一次传球由甲手中传出，第k（k∈N*）次
传球后，球在甲手中的概率记为An（k），球在乙手中的概率记为Bn
（k）.
（1）求A5（2），B5（2），A5（3），B5（3）；
解： ∴A5（2）＝ ，B5（2）＝0，A5（3）＝ × ＝ ，B5（3）＝ ＋
× ＝ .
（2）求An（k）；
解：由题意，设第k－1次传球球在甲手中的概率记为An（k－1），则球
不在甲手中的概率为1－An（k－1），
要求第k次传球球在甲手中的概率，则第k－1次传球球一定不在甲手中，
故An（k）＝ [1－An（k－1）]，k≥2，An（1）＝0，
∴An（k）－ ＝－ ［An（k－1）－ ］，而An（1）－ ＝－ ≠0，
∴{An（k）－ }是以－ 为首项，－ 为公比的等比数列，
∴An（k）－ ＝－ （－ ）k－1，
∴An（k）＝ ［1－（－ ）k－1］.
（3）比较Bn（k＋1）与 An（k）的大小，并说明理由.
解：由题意知，第k＋1次球到乙手中分两种情况，一是第k次球在甲手
中，甲传给乙；二是第k次球不在甲、乙手中，概率为[1－An（k）－Bn
（k）]，此时传给乙的概率是 ，
∴Bn（k＋1）＝An（k）＋ [1－An（k）－Bn（k）] Bn（k＋1）
＝ An（k）＋ － Bn（k） Bn（k＋1）－ An（k）＝ [1
－Bn（k）]≥0（k＝1时可取“＝”），
∴Bn（k＋1）≥ An（k）.
THANKS
演示完毕 感谢观看

展开更多......

收起↑