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第四章-因式分解
回顾与复习
目录
因式分解概念与本质理解
提公因式法——基础首选方法
公式法——结构匹配型分解
综合应用与分解彻底性训练
01
02
03
04
01
概念与本质
揭开因式分解的数学面纱
什么是因式分解
■ 本质定义：
把一个多项式化成几个整式乘积的形式，这种恒等变形叫做因式分解。
■ 关键特征：
● 必须是恒等变形，左右两边值完全相等；
● 结果必须是整式的积，不能含加减运算；
● 分解必须在指定数域（如整数、有理数、实数）内进行。
※ 因式分解不是‘算出结果’，而是‘改写形式’——就像把‘12’写成‘3×4’，本质未变，结构更清晰
因式分解与整式乘除的联系
因式分解
2
把一个多项式化为几个整式的积的形式。
化和差为积
整式乘法
1
几个整式相乘，展开为多项式。
化积为和差
多项式
几个整式的乘积
整式乘法
因式分解
02
提公因式法
基础首选方法
二、提公因式法
1. 一般地，多项式的各项都含有的因式，叫做这个
多项式各项的________，简称多项式的________.
2. 公因式的确定：
(1)定系数：多项式各项整数系数的 ；
(2)定字母：多项式各项　 　的字母；
(3)定各字母指数：取次数最　　的．
公因式
公因式
最大公约数
相同
低
知识梳理
提公因式法分解因式
例2 因式分解：
(1) 8a3b2＋12ab3c；
(2) (a＋b)(a－b)－a－b.
解：(1) 原式 ＝ 4ab2(2a2＋3bc).
(2) 原式 ＝ (a＋b)(a－b－1).
方法归纳：公因式既可以是一个单项式的形式，也可以是一个多项式的形式.
(3) -2a3+12a2-18a
解：-2a3+12a2-18a
=-2a(a2-6a+9)
=-2a(a-3)2
多项式第一项前有“–”时，先提出“-”号，注意多项式的各项要变号
03
公式法
结构匹配型分解
平方差公式应用
三、公式法 —— 平方差公式
1. 因式分解中的平方差公式
a2－b2＝　 　 ；
2. 多项式的特征：(1) 可化为____个整式；
(2) 两项符号______；
(3) 每一项都是整式的______.
3. 注意事项：(1) 有公因式时，先提出公因式；
(2) 进行到每一个多项式都不能再分解为止.
(a＋b)(a－b)
两
相反
平方
平方差公式练习
例3 分解因式：
(1)(a＋b)2－4a2； (2)9(m＋n)2－(m－n)2.
解：(1) 原式＝(a＋b－2a)(a＋b＋2a)
＝(b－a)(3a＋b).
(2) 原式＝(3m＋3n－m＋n)(3m＋3n＋m－n)
＝(2m＋4n)(4m＋2n)
＝4(m＋2n)(2m＋n)．
完全平方公式
四、公式法 —— 完全平方公式
1. 完全平方公式：a2 + 2ab + b2 = ( )2
a2 - 2ab + b2 = ( )2
2. 完全平方式的特征：(1) 三项式；
(2) 有两项是两个数 (或式) 的_______的形式；
(3) 另一项是这两个数 (或式) 的______的_____倍.
3. 注意事项：有公因式时，应先提出_______.
a + b
a - b
平方和
乘积
±2
公因式
完全平方公式练习
(1) 4x4-4x2y2+y4
解：4x4-4x2y2+y4
=(2x2)2-4x2y2+(y2)2
=(2x2-y2)2
(3) m4-16n4
解：m4-16n4
=(m2+4n2)(m2-4n2)
=(m2+4n2)(m+2n)(m-2n)
一定要分解到不能再分解为止
04
综合应用与分解彻底性训练
让每一步变形都无可挑剔
分解步骤口诀
■ 一提：优先提取各项公因式，包括数字、字母及多项式公因式
■ 二套：无公因式时，尝试套用公式——平方差、完全平方公式等
■ 三检查：检查因式分解的结果是否彻底
※ ‘分解到不能再分为止’指每个因式均为不可约整式（在实数范围内无法再分解为更低次整式乘积）
因式分解简化计算
把下列各式因式分解：
(1) 16a2(x-y) +9b2(y-x)
解：16a2(x-y) +9b2(y-x)
=16a2(x-y) -9b2(x-y)
=(x-y)(16a2-9b2)
=(x-y)(4a+3b)(4a-3b)
因式分解简化计算
易错点总结
谢谢大家

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