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第三单元 整式的乘除
期末专题复习（教师版）
姓名：__________ 班级：__________ 得分：__________
一、考点回顾
考点01 同底数幂的乘法（3.1）
1. 同底数幂相乘，底数不变，指数相加。a ·a = a （m、n为正整数）。
2. 底数可以是具体的数、字母或多项式；三个及以上同底数幂相乘同样适用。
3. 注意区分"同底数幂相乘"与"合并同类项"：前者指数相加，后者系数相加字母不变。
考点02 幂的乘方（3.1）
1. 幂的乘方，底数不变，指数相乘。(a ) = a （m、n为正整数）。
2. 注意区分(a ) 与a ·a ：前者指数相乘（等于a ），后者指数相加（等于a ）。
考点03 积的乘方（3.1）
1. 积的乘方等于各因式乘方的积。(ab)n = a ·b （n为正整数）。
2. 拓展：(abc)n = a ·b ·c ，即每个因式都要乘方。
考点04 单项式乘单项式（3.2）
1. 系数相乘作为积的系数；同底数幂分别相乘；单独的字母连同指数作为积的因式。
2. 运算步骤：系数×系数 → 同底数幂相乘（底不变指数加）→ 单独字母照抄。
3. 注意符号：先确定积的符号，再计算绝对值。
考点05 单项式乘多项式（3.2）
1. 用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加。m(a+b+c) = ma+mb+mc。
2. 注意：①不要漏乘任何一项；②注意每一项的符号；③结果要合并同类项。
考点06 多项式乘多项式（3.2）
1. 用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加。
2. (a+b)(m+n) = am+ an + bm + bn，合并同类项前共有四项（2×2=4项）。
3. 口诀：首乘首，首乘尾，尾乘首，尾乘尾，再加起来。
考点07 乘法公式（3.3）
1. 平方差公式：(a+b)(a-b) = a - b 。注意：两数和与两数差的乘积。
2. 完全平方公式：(a+b) = a +2ab+b ；(a-b) = a -2ab+b 。
3. 注意区分符号：(a-b) ≠ a -b ；(-a-b) = (a+b) = a +2ab+b 。
考点08 整式的除法（3.4）
1. 同底数幂的除法：a ÷a = a -n（a≠0，m>n，m,n为正整数）。
2. 零指数幂：任何非零数的零次幂等于1。
3. 单项式除以单项式：系数÷系数，同底数幂分别相除。
4. 多项式除以单项式：(ma+mb+mc)÷m = a+b+c（m≠0）。
二、考点例题讲解
例1 （同底数幂运算）化简的结果是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】先化简乘方，再利用单项式乘单项式的法则进行计算即可．
【详解】解：，
故选：D．
例2 （幂的乘方运算）下列运算正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据幂的乘方运算法则即可求解．
【详解】解：A：，故A正确；
B：，故B错误；
C：，故C错误；
D：，故D错误；
故选：A
例3 （乘法公式应用）下列运用平方差公式或完全平方公式计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】利用平方差公式和完全平方公式对每个选项进行逐一判断即可得出结论．
【详解】解：，
A．选项的计算不正确，不符合题意；
，
B．选项的计算正确，符合题意；
，
C．选项的计算不正确，不符合题意；
，
D．选项的计算不正确，不符合题意．
故选：B．
例4 （多项式乘多项式）若，，其中a为任意实数，则M与N的大小关系是（　　）
A．无法确定 B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了多项式乘多项式．分别计算，然后比较与0的大小关系即可．
【详解】解：，，
∴
∵，
∴，
∴，
∴，
故选D．
例5 （整式的混合运算）计算:
(1);
(2)因式分解:.
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查整式的混合计算，因式分解．
（1）先利用积的乘方公式去括号，再利用同底数幂相除即可得到本题答案；
（2）先找出公因式提出再对剩余式子整理即可得到本题答案．
【详解】（1）解:,
,
,
,
,
（2）解:,
,
,
．
三、课后训练
（一）选择题
1.化简的结果是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】先化简乘方，再利用单项式乘单项式的法则进行计算即可．
【详解】解：，
故选：D．
2.下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据合并同类项法则、同底数幂乘除法法则、幂的乘方运算法则分别求出各项的结果再进行判断即可得到结果．
【详解】解：A. ，原选项计算错误，故不符合题意；
B. ，原选项计算错误，故不符合题意；
C. ，原选项计算正确，故符合题意；
D. ，原选项计算错误，故不符合题意．
故选：C．
3.下列运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】本题考查整式的运算，掌握运算法则是解题的关键．
根据单项式乘法、合并同类项、平方差公式、幂的乘方与同底数幂乘法的运算法则逐一判断选项即可．
【详解】解：A、，故选项A错误；
B、，故选项B错误；
C、，故选项C错误；
D、，故选项D符合题意．
故选：D．
4.下列运算中，结果正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据同底数幂的乘法，合并同类项，幂的乘方，同底数幂的除法等运算法则逐项进行计算判断即可．
【详解】解：、，本选项正确，故符合题意；
、，本选项错误，故不符合题意；
、，本选项错误，故不符合题意；
、，本选项错误，故不符合题意．
故选：．
5.已知，则x的值为（　　）
A．17 B．16 C．15 D．14
【答案】A
【分析】本题主要考查了幂的乘方、同底数幂的乘法，熟练掌握幂的乘方、同底数幂的乘法的运算法则是解题的关键．
根据幂的乘方与同底数幂的乘法法则进行解题即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
故选：A．
6.表示由四个互不相等的正整数组成的数组，按以下规则生成新数组：第一个新数组为（相邻两项相乘，最后一项与第一项相乘），第二个新数组由第一个新数组按同样规则生成，以此类推．记，，…，第个新数组的四数之积为（为正整数）．现对于任意正整数，，下列说法：
①；
②当，，，时，在的所有因数中，能被整除但不能被整除的共有个；
③若，是大于的整数，则满足条件的的最小值为．
正确的有（ ）个
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了幂的乘方，同底数幂的乘法，积的乘方等．分别求出，，，以此类推即可判断①，求出，列出能被整除但不能被整除的因数，即可判断②，根据求出，结合题意即可求出满足条件的的最小值，判断③，即可得出答案．
【详解】解：∵，，
∴，
∴，
，
以此类推，，故①说法错误；
∵，，，，
∴，
∴，
故能被整除但不能被整除的因数有：，，，共有个，故②说法错误；
∵，，
∴，
即，
∵是大于的整数，
∴，
∵，，
∴满足条件的的最小值为，③说法正确．
故选：B．
填空题
7.计算： ________．
【答案】5
【详解】解：．
8.化简：= ________．
【答案】
【分析】先利用平方差公式，单项式乘以多项式进行整式的乘法运算，再合并同类项即可.
【详解】解：
故答案为：
9.北宋沈括在《梦溪笔谈》中首创“隙积术”，引出一个酒坛问题：如图，酒馆店家将酒坛一层层堆放，第一层长有4个酒坛，宽有3个酒坛，往下每一层长宽皆比上一层多一个酒坛，则第n层酒坛的个数比第一层酒坛的个数多_____个．（用含n的代数式表示）
【答案】
【分析】本题考查了代数式的表示和计算，以及对数据变化规律的观察能力．根据题意得出第n层酒坛数量的表达式是本题的关键．
通过上面三层酒坛的排列规律，得出第n层酒坛数量的表达式，即可求出答案．
【详解】解：根据题意，第一层酒坛数量为：；
第二层酒坛数量为：；
第三层酒坛数量为：；
以此类推，第n层酒坛数量为：．
则第n层酒坛与第一层酒坛的差为：．
故答案为：．
10.已知，，则_____．
【答案】8
【分析】由平方差公式可知：x2-y2=(x-y) (x+y)，将已知数据代入计算即可；
【详解】∵x-y=2，x+y=4，
∴ x2-y2=(x-y)(x+y)=2×4=8
故答案为：8．
解答题
11.计算：
(1)
(2)
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）原式根据多项式除以单项式运算法则进行计算即可；
（2）原式根据平方在公式和完全平方公式去括号，再合并即可．
【详解】（1）
=
=
（2）
=
=
=．
12.先化简，再求值：，其中，．
【答案】，
【分析】本题考查整式的混合运算及化简求值，先计算平方差、完全平方、单项式乘多项式，再去括号、合并同类项，最后将，代入求值即可．
【详解】解：原式
，
将，代入，得：
原式
．
13.材料准备：如图①的三种纸片，A种纸片是边长为a的正方形，B种纸片是边长为b的正方形，C种纸片是长为b，宽为a的长方形，并用A种纸片一张，B种纸片一张，C种纸片两张拼成如图②的大正方形．
(1)解决问题：观察图②，写出代数式，，ab之间的等量关系是 ；
(2)解决问题：根据（1）中的等量关系，解决下面问题：已知，，求的值；
(3)解决问题：若有3张边长为a的正方形纸片，4张边长分别为a，的长方形纸片，5张边长为b的正方形纸片，现从其中取出若干张纸片（每种纸片至少取一张），拼成一个正方形（不重叠无缝隙），则所拼成的正方形的边长最长可以为（ ），并画出所拼的正方形（模仿图②标注长度数据）．
A．；B．；C．；D．
【答案】(1)
(2)3
(3)D，见解析
【分析】（1）分别表示出A、B、C的面积，再根据长方形面积公式表示出图②面积，即可得出结论；
（2）把，代入（1）中的等式，即可求解；
（3）选择1个A ，4个B和2个C即可拼出．
【详解】（1）解：根据题意得：
A的面积为：；B的面积为：；C的面积为：；
图②的面积为：；
∴，
故答案为：；
（2）把，代入得：
，
解得：；
（3）如图所示：
由图可知：正方形边长最多为，
故选：D．
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第三单元 整式的乘除
期末专题复习（学生版）
姓名：__________ 班级：__________ 得分：__________
一、考点回顾
考点01 同底数幂的乘法（3.1）
1. 同底数幂相乘，底数不变，指数相加。a ·a = a （m、n为正整数）。
2. 底数可以是具体的数、字母或多项式；三个及以上同底数幂相乘同样适用。
3. 注意区分"同底数幂相乘"与"合并同类项"：前者指数相加，后者系数相加字母不变。
考点02 幂的乘方（3.1）
1. 幂的乘方，底数不变，指数相乘。(a ) = a （m、n为正整数）。
2. 注意区分(a ) 与a ·a ：前者指数相乘（等于a ），后者指数相加（等于a ）。
考点03 积的乘方（3.1）
1. 积的乘方等于各因式乘方的积。(ab)n = a ·b （n为正整数）。
2. 拓展：(abc)n = a ·b ·c ，即每个因式都要乘方。
考点04 单项式乘单项式（3.2）
1. 系数相乘作为积的系数；同底数幂分别相乘；单独的字母连同指数作为积的因式。
2. 运算步骤：系数×系数 → 同底数幂相乘（底不变指数加）→ 单独字母照抄。
3. 注意符号：先确定积的符号，再计算绝对值。
考点05 单项式乘多项式（3.2）
1. 用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加。m(a+b+c) = ma+mb+mc。
2. 注意：①不要漏乘任何一项；②注意每一项的符号；③结果要合并同类项。
考点06 多项式乘多项式（3.2）
1. 用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加。
2. (a+b)(m+n) = am + an + bm + bn，合并同类项前共有四项（2×2=4项）。
3. 口诀：首乘首，首乘尾，尾乘首，尾乘尾，再加起来。
考点07 乘法公式（3.3）
1. 平方差公式：(a+b)(a-b) = a - b 。注意：两数和与两数差的乘积。
2. 完全平方公式：(a+b) = a +2ab+b ；(a-b) = a -2ab+b 。
3. 注意区分符号：(a-b) ≠ a -b ；(-a-b) = (a+b) = a +2ab+b 。
考点08 整式的除法（3.4）
1. 同底数幂的除法：a ÷a = a -n（a≠0，m>n，m,n为正整数）。
2. 零指数幂：a0 = 1（a≠0），即任何非零数的零次幂等于1。
3. 单项式除以单项式：系数÷系数，同底数幂分别相除。
4. 多项式除以单项式：(ma+mb+mc)÷m = a+b+c（m≠0）。
二、考点例题讲解（演练）
例1 （同底数幂运算）化简的结果是（ ）
A． B． C． D．
例2 （幂的乘方运算）下列运算正确的是（ ）
B． C． D．
例3 （乘法公式应用）下列运用平方差公式或完全平方公式计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
例4 （多项式乘多项式）若，，其中a为任意实数，则M与N的大小关系是（　　）
A．无法确定 B． C． D．
例5 （整式的混合运算）计算:
(1);
(2)因式分解:.
三、课后训练
（一）选择题
1.化简的结果是（ ）
A． B． C． D．
2.下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
3.下列运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
4.下列运算中，结果正确的是（ ）
A． B． C． D．
5.已知，则x的值为（　　）
A．17 B．16 C．15 D．14
6.表示由四个互不相等的正整数组成的数组，按以下规则生成新数组：第一个新数组为（相邻两项相乘，最后一项与第一项相乘），第二个新数组由第一个新数组按同样规则生成，以此类推．记，，…，第个新数组的四数之积为（为正整数）．现对于任意正整数，，下列说法：
①；
②当，，，时，在的所有因数中，能被整除但不能被整除的共有个；
③若，是大于的整数，则满足条件的的最小值为．
正确的有（ ）个
A． B． C． D．
填空题
7.计算： ________．
8.化简：= ________．
9.北宋沈括在《梦溪笔谈》中首创“隙积术”，引出一个酒坛问题：如图，酒馆店家将酒坛一层层堆放，第一层长有4个酒坛，宽有3个酒坛，往下每一层长宽皆比上一层多一个酒坛，则第n层酒坛的个数比第一层酒坛的个数多_____个．（用含n的代数式表示）
定义：如果一个正整数能表示成两个正整数m，n的平方差，那么称这个正整数为“智慧数”．例如，就是一个“智慧数”，可以利用进行研究．下列结论：
①所有的正奇数都是“智慧数”，②除4以外所有能被4整除的正整数都是“智慧数”；③被4除余2的正整数都不是“智慧数”．其中正确的结论是__________．（填序号）
10.已知，，则_____．
解答题
11.计算：
(1)
(2)
12.先化简，再求值：，其中，．
13.材料准备：如图①的三种纸片，A种纸片是边长为a的正方形，B种纸片是边长为b的正方形，C种纸片是长为b，宽为a的长方形，并用A种纸片一张，B种纸片一张，C种纸片两张拼成如图②的大正方形．
(1)解决问题：观察图②，写出代数式，，ab之间的等量关系是 ；
(2)解决问题：根据（1）中的等量关系，解决下面问题：已知，，求的值；
(3)解决问题：若有3张边长为a的正方形纸片，4张边长分别为a，的长方形纸片，5张边长为b的正方形纸片，现从其中取出若干张纸片（每种纸片至少取一张），拼成一个正方形（不重叠无缝隙），则所拼成的正方形的边长最长可以为（ ），并画出所拼的正方形（模仿图②标注长度数据）．
A．；B．；C．；D．
四、参考答案
例题答案
例一：【答案】D
【分析】先化简乘方，再利用单项式乘单项式的法则进行计算即可．
【详解】解：，
故选：D．
例二：【答案】A
【分析】根据幂的乘方运算法则即可求解．
【详解】解：A：，故A正确；
B：，故B错误；
C：，故C错误；
D：，故D错误；
故选：A
例三：【答案】B
【分析】利用平方差公式和完全平方公式对每个选项进行逐一判断即可得出结论．
【详解】解：，
A．选项的计算不正确，不符合题意；
，
B．选项的计算正确，符合题意；
，
C．选项的计算不正确，不符合题意；
，
D．选项的计算不正确，不符合题意．
故选：B．
例四：【答案】D
【分析】本题考查了多项式乘多项式．分别计算，然后比较与0的大小关系即可．
【详解】解：，，
∴
∵，
∴，
∴，
∴，
故选D．
例五：【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查整式的混合计算，因式分解．
（1）先利用积的乘方公式去括号，再利用同底数幂相除即可得到本题答案；
（2）先找出公因式提出再对剩余式子整理即可得到本题答案．
【详解】（1）解:,
,
,
,
,
（2）解:,
,
,
．
课后训练答案
一、选择题
1.【答案】D
【分析】先化简乘方，再利用单项式乘单项式的法则进行计算即可．
【详解】解：，
故选：D．
2.【答案】C
【分析】根据合并同类项法则、同底数幂乘除法法则、幂的乘方运算法则分别求出各项的结果再进行判断即可得到结果．
【详解】解：A. ，原选项计算错误，故不符合题意；
B. ，原选项计算错误，故不符合题意；
C. ，原选项计算正确，故符合题意；
D. ，原选项计算错误，故不符合题意．
故选：C．
3.【答案】D
【分析】本题考查整式的运算，掌握运算法则是解题的关键．
根据单项式乘法、合并同类项、平方差公式、幂的乘方与同底数幂乘法的运算法则逐一判断选项即可．
【详解】解：A、，故选项A错误；
B、，故选项B错误；
C、，故选项C错误；
D、，故选项D符合题意．
故选：D．
4.【答案】A
【分析】根据同底数幂的乘法，合并同类项，幂的乘方，同底数幂的除法等运算法则逐项进行计算判断即可．
【详解】解：、，本选项正确，故符合题意；
、，本选项错误，故不符合题意；
、，本选项错误，故不符合题意；
、，本选项错误，故不符合题意．
故选：．
5.【答案】A
【分析】本题主要考查了幂的乘方、同底数幂的乘法，熟练掌握幂的乘方、同底数幂的乘法的运算法则是解题的关键．
根据幂的乘方与同底数幂的乘法法则进行解题即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
故选：A．
6.【答案】B
【分析】本题考查了幂的乘方，同底数幂的乘法，积的乘方等．分别求出，，，以此类推即可判断①，求出，列出能被整除但不能被整除的因数，即可判断②，根据求出，结合题意即可求出满足条件的的最小值，判断③，即可得出答案．
【详解】解：∵，，
∴，
∴，
，
以此类推，，故①说法错误；
∵，，，，
∴，
∴，
故能被整除但不能被整除的因数有：，，，共有个，故②说法错误；
∵，，
∴，
即，
∵是大于的整数，
∴，
∵，，
∴满足条件的的最小值为，③说法正确．
故选：B．
二、填空题
7.【答案】5
【详解】解：．
8.【答案】
【分析】先利用平方差公式，单项式乘以多项式进行整式的乘法运算，再合并同类项即可.
【详解】解：
故答案为：
9.【答案】
【分析】本题考查了代数式的表示和计算，以及对数据变化规律的观察能力．根据题意得出第n层酒坛数量的表达式是本题的关键．
通过上面三层酒坛的排列规律，得出第n层酒坛数量的表达式，即可求出答案．
【详解】解：根据题意，第一层酒坛数量为：；
第二层酒坛数量为：；
第三层酒坛数量为：；
以此类推，第n层酒坛数量为：．
则第n层酒坛与第一层酒坛的差为：．
故答案为：．
10.【答案】8
【分析】由平方差公式可知：x2-y2=(x-y) (x+y)，将已知数据代入计算即可；
【详解】∵x-y=2，x+y=4，
∴ x2-y2=(x-y)(x+y)=2×4=8
故答案为：8．
三、解答题
11.【答案】(1)
(2)
【分析】（1）原式根据多项式除以单项式运算法则进行计算即可；
（2）原式根据平方在公式和完全平方公式去括号，再合并即可．
【详解】（1）
=
=
（2）
=
=
=．
12.【答案】，
【分析】本题考查整式的混合运算及化简求值，先计算平方差、完全平方、单项式乘多项式，再去括号、合并同类项，最后将，代入求值即可．
【详解】解：原式
，
将，代入，得：
原式
．
13.【答案】(1)
(2)3
(3)D，见解析
【分析】（1）分别表示出A、B、C的面积，再根据长方形面积公式表示出图②面积，即可得出结论；
（2）把，代入（1）中的等式，即可求解；
（3）选择1个A ，4个B和2个C即可拼出．
【详解】（1）解：根据题意得：
A的面积为：；B的面积为：；C的面积为：；
图②的面积为：；
∴，
故答案为：；
（2）把，代入得：
，
解得：；
（3）如图所示：
由图可知：正方形边长最多为，
故选：D．
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