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丰城九中2025-2026学年下学期初三年级数学期中作业
满分：120分
一．单选题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
1．下列运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
2．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
3．如图，点，，在数轴上，为原点．若，则点表示的数是（ ）
A． B．
C． D．
4．如图，一束平行于主光轴的光线经凸透镜折射后，其折射光线与经过光心的光线相交于点，点为焦点．若，，则的度数为（ ）
A． B．
C． D．
5．如图，在平面直角坐标系中，直线与坐标轴交于，两点，圆心在轴上的经过，两点，则的半径为（ ）
A． B．
C． D．
6．二次函数的对称轴为，且过点，下列结论：①；②；③；④若，是抛物线上两点，则；⑤．其中正确的有（ ）
A． B． C． D．
二．填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
7．因式分解：________．
8．已知关于的一元二次方程没有实数根，则的取值范围是________．
9．如果两个相似三角形的周长比为，那么这两个相似三角形的面积比为________．
10．若圆锥的底面半径为，母线长为，则圆锥的侧面积为________（结果保留）．
11．如图，在平面直角坐标系中，，，，边的中点在轴上，将沿轴向右平移得到．若经过点，则点的坐标为________．
12．如图，在中，，，是射线上一点，将沿折叠，得到，连接．当为直角三角形时，的度数为________．
三．（本大题共5小题，每小题6分，共30分）
13．（1）计算：；（2）解不等式组：．
14．计算：．下面是甲同学的部分计算过程：
解：原式…
（1）甲同学解法的依据是________．（填序号）
①等式的基本性质；②分式的基本性质；③乘法分配律；④乘法交换律．
（2）请写出完整的解答过程，并从，，中选择一个合适的数作为的值代入求值．
15．图①、图②均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点．⊙经过，，三个格点，只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图．
（1）在图①中的圆上找一点，使得平分；
（2）在图②中的圆上找一点，使得平分
16．云南九大高原湖泊是我国唯一不冰冻的湖区，是不可多得的“高原明珠”，被当地人亲切地称为“海子”，这些湖泊具有调节区域气候、维持区域生态系统平衡和生物多样性等重要功能．今年五一，小昆计划从九大湖泊中的异龙湖、泸沽湖、杞麓湖三个景点随机选择一个进行游玩，每一个被选到的可能性相等；小明准备从异龙湖、泸沽湖两个景点中随机选择一个进行游玩，每一个被选到的可能性相等；将异龙湖记为，泸沽湖记为，杞麓湖记为C．
（1）小明选择游玩杞麓湖属于________（填序号）．
①必然事件 ②随机事件 ③不可能事件
（2）求小昆，小明两人选择游玩的景点互不相同的概率．
17．如图，在矩形中，对角线和相交于点，是上一点，连接并延长至点，使得．
（1）求证：；
（2）若，求的长．
四、（本大题共3小题，每小题8分，共24分）
18．如图，是半圆的直径，点是弦延长线上一点，连接，，．
（1）求证：是半圆的切线；
（2）当时，求的长．
19．如图，一次函数的图像与反比例函数的图像交于，两点，与轴，轴分别交于点，D．
（1）求反比例函数与一次函数的表达式；
（2）已知点的横坐标为，求的面积．
20．2021年，河南省多地义务教育阶段学校积极响应教育部号召，提供课后延时服务，并因地制宜，各具特色．河南省某市教育局为了解该市中学课后延时服务的开展情况，从甲、乙两所中学中各随机抽取100名学生的家长进行问卷调查，将每位学生家长对延时服务的评分记为，将所得数据分为5组（A．；B．；C．；D．；E．），并对数据进行整理、分析，得到部分信息如下：
1．甲中学延时服务得分情况扇形统计图
2．乙中学延时服务得分情况频数分布表（不完整）
组别 A B C D E
频数 15 30 10 5
3．将乙中学在B组的得分按从小到大的顺序排列，前10个数据如下：
81，81，81，82，82，83，83，83，83，83．
4．甲、乙两中学延时服务得分的平均数中位数、众数如下表：
学校 平均数 中位数 众数
甲
乙
根据以上信息，回答下列问题：
（1）________，________．
（2）已知乙中学共有名学生，若对延时服务的评分在80分以上（含80分）表示认为学校延时服务合格，请你估计乙中学有多少名学生的家长认为该校延时服务合格．
（3）小明说：“乙中学的课后延时服务开展得比甲中学好．”你同意小明的说法吗？请写出一条理由．
五、（本大题共2小题，每小题9分，共18分）
21．如图（1）是一架踏板式人字梯，图（2）是其侧面抽象示意图，是攀爬梯，是支撑梯．在攀爬梯上焊接了块宽度相同的踏板，当梯子完全撑开时，踏板均平行于水平地面，且相邻两块踏板之间的竖直距离及地面与最低一层踏板之间的竖直距离均为，最上面一层踏板正好可以连接两边的梯子与．已知，，．
（1）求这架人字梯的张角的大小；
（2）求人字梯的最高点到水平地面的距离．（结果精确到）
（参考数据：，，，）
22．某水产养殖户进行小龙虾养殖．已知每千克小龙虾养殖成本为元，在整个销售旺季的天里，销售单价元/千克与时间第天之间的函数关系为：，日销售量（千克）与时间第（天）之间的函数关系如图所示：
（1）求日销售量与时间的函数关系式？
（2）哪一天的日销售利润最大？最大利润是多少？
（3）在实际销售的前天中，该养殖户决定每销售千克小龙虾，就捐赠元给村里的特困户，在这前天中，每天扣除捐赠后的日销售利润随时间的增大而增大，求的取值范围．
六、（本大题共1小题，共12分）
23．综合与实践：
【问题提出】如图（1）在中，，为的中点，点沿折线——运动（运动到点停止），以为边在上方作正方形．设点运动的路程为，正方形的面积为．
【初步感悟】
（1）当点在上运动时，①若，则________；②关于的函数关系式为________；
（2）当点从点运动到点时，经探究发现是关于的二次函数，并绘制成如图（2）所示的函数图象，直线是其图象所在抛物线的对称轴，求关于的函数关系式（写出自变量的取值范围）．
【延伸探究】
（3）当时，的长为________，此时关于的函数图象上点的坐标为________；
（4）连接正方形的对角线，，两对角线的交点为．求点在内部时和的取值范围．

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