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广东省深圳市福田区2025-2026学年九年级数学中考适应性考试试卷
1．在网络地图中，赤道纬度为0°，赤道以北纬度为正，赤道以南纬度为负，纬度数值越大表示越靠北边。在下列纬度中，最北边的是（　　）
A．39.9° B．22.5° C．-22.9° D．-33.9°
2．将一款台灯按如图的方式摆放，其俯视图为（　　）
A． B．
C． D．
3．福田红树林生态公园为推进“每周半天计划”，提供“潮汐湿地红树林探秘”“鸟儿调查员”“公园设计师”“水侦探”四项课程供班级随机选报，每个班级可以从中选择一项课程参加。某班级选中“水侦探”的概率为（　　）
A． B． C． D．
4．下列计算正确的是（　　）
A． B．
C． D．
5．电视的尺寸常指屏幕对角线的长度。如图2，可以把一个55英寸电视屏幕抽象成矩形ABCD，其中AC=55英寸。若则电视屏幕宽度BC的长度为（　　）
A．英寸 B．110英寸 C．英寸 D．英寸
6．中国古代器物与装饰纹饰在构图上多遵循主从分明、比例相宜的传统布局原则，常将主体纹样放大突出，辅助纹样缩小衬托，其构图方式蕴含位似变换的数学思想。如图，若某主体纹饰与辅助纹饰的相似比为1：2，辅助纹饰的宽度AB=6cm，则主体纹饰的宽度CD为（　　）
A．6cm B．9cm C．12cm D．18cm
7．目前世界上最长的高速公路隧道是乌尉高速公路天山胜利隧道，它全长约22千米。该隧道启用了我国自主研发的硬岩掘进机，其挖掘速度是传统钻爆法的5倍，用时缩短约200个月。设传统钻爆法挖掘速度为x千米/月，可列方程（　　）
A． B．
C． D．
8．如图，圆内接四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点E，BD是⊙O的直径，若则∠AEB的度数是（　　）
A．30° B．40° C．50° D．60°
9．在平面直角坐标系中，若点A（5，m-2）在x轴上，则m的值为　 　。
10．若在实数范围内有意义，写出一个符合要求的x的值：　 　。
11．如图5-1，是一个三轮滑板车。在组装车轮时需注意车轮与车身支架保持平行，可有效防止车轮磨损，即图5-2中AB∥CD∥EF。若∠1=50°，则∠2的度数为　 　。
12．如图，直线y=x-3与反比例函数的图象交于点A，与x轴交于点B，将直线y=x-3向上平移得到直线直线与反比例函数的图象交于点C，与y轴交于点D。若则b的值为　 　。
13．如图，在正方形ABCD中，AB=3，将点A折叠到BC边上的点G处，折痕为EF，若AE=2BE，则DF=　 　。
14．计算：
15．先化简，再求值：，其中a=2。
16．
背景1 某校利用“AI智慧体育系统”从九年级学生中随机选出男女生各10名，收集学生在一节体育课上的中等运动强度时长，科学规划体育课的运动强度，避免运动不足或过度疲劳。
背景2 根据《健康中国行动（2019—2030年）》，有益健康的体育锻炼需同时达到以下两个要求： ①运动强度达到中等运动强度； ②中等强度运动时长达到30分钟及以上。
背景3 中等运动强度是指在运动时心率达到最大心率（单位：bpm）的64%~76%的运动强度（最大心率等于220减去年龄）。 如小福（15岁）运动时心率为153bpm，得因74.63%在64%~76%之间，则小福的运动强度达到中等运动强度。
数据的收集与整理 ①10名男生的中等运动强度时长为：（单位：min） 12，18，25，28，30，30，30，30，32，35 ②10名女生的中等运动强度时长为：
数据的描述 经过计算，得到以下表格： 中等强度运动时长平均数（min）中位数（min）众数（min）方差（min2）男生27a3043.6女生2725b49.8
⑴任务1 九年级学生小田（15岁）在运动时的心率为150bpm，他的运动强度 ▲ （填“是”/“否”）达到中等运动强度。
⑵任务2 表格中：a= ▲ ，b= ▲ 。
⑶任务3 数据的分析：结合上述信息和所学的数学知识，你对一节体育课的运动强度规划有什么建议，并说明理由。
17． 2026年，深圳将在200所学校推进学生“舒心躺睡”服务。某校计划采购A型普通款和B型加宽款两种可躺式课桌椅，价格信息如下：
①买1套A型课桌椅与2套B型课桌椅共需2800元
②买2套A型课桌椅比3套B型课桌椅少花费1400元
③买5套A型课桌椅与4套B型课桌椅花费相同
（1）请你从上述3个条件中任选2个作为条件，求出A型、B型课桌椅的单价分别是多少元
（2）若该校计划采购A型、B型课桌椅共200套，且总费用不超过180000元，则采购B型课桌椅至多多少套
18．如图1，在△ABC中，点O、D在边AB上，且点D在点O右侧。以O为圆心，OA为半径作⊙O交AB于点E，点C恰好在⊙O上。过点D作AB的垂线交BC的延长线于点F，若∠F=2∠A。
（1）求证：BC是⊙O的切线；
（2）若⊙O的半径是2，，求DF的长。
（3）尺规作图：作△ABC边BC上的高。（保留作图痕迹，不写作法）
19．【问题背景】旋转是一种常见的图形运动方式。某数学学习小组在学习旋转的相关知识后，深入研究了矩形的旋转。如图1，矩形ABCD绕点A旋转得到矩形.AB'C'D'，点B，C，D分别旋转到点B'，C'，D'。
（1）【初步探究】
如图2，若AB=5，AD=3，CD恰好经过点B，则　 　，B'到AB的距离为　 　。
（2）【深入探究】
如图3，若C'D'恰好经过点B，连接DB'交AB于E，试判断线段DE与B'E的数量关系，并证明。
（3）【探究应用】
若AB=5，AD=3，C'D'所在直线恰好经过点B，求BB'的长。
20．综合与实践
【问题背景】“尖鼻蛙”是“蛙届”跳远之王。对蛙类的立定跳远项目进行比较与测量，可以为研究蛙类跳跃极限、“仿蛙机器人”跳跃性能等，提供参考数据。
【模型构建】如图1，当“尖鼻蛙”以45°倾斜角起跳（以下简称“起跳”）时，若以地面上的起跳点为坐标原点，以地面上水平向右的方向为x轴正方向，建立平面直角坐标系，则其运动路线可以近似地用公式表示，其中，v0（m/s）是起跳时的速度。
（1）【模型应用】
如图1，当“尖鼻蛙”起跳速度时，则其跳远距离OA=　 　m，在这个过程中，“尖鼻蛙”离地的最大高度是　 　m。
（2）如图1，若“尖鼻蛙”起跳速度为v0，从起跳到落地的过程中：
①求其离地的最大高度是多少 （用含v0的代数式表示）
②记①中离地的最大高度为h，记OA=l，求证：l=4h。
（3）如图2，“尖鼻蛙”连续两次起跳，共跳了8m远。在起跳点正上方1.25m处，设有一条平行于地面的观测线MN。若在两次跳跃过程中，“尖鼻蛙”均没有触碰到MN。设两次离地的最大高度分别为CD，EF.
①填空：CD+EF= ▲ m；
②设其第一次起跳的速度为v0（m/s），求v0的取值范围。
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】正数、负数的实际应用
【解析】【解答】解：在网络地图中，赤道纬度为0°，赤道以北纬度为正，赤道以南纬度为负，纬度数值越大表示越靠北边，
则四个选项中的纬度中，39.9°为正数，且数值最大，
即最北边的是39.9°，
故答案为：A．
【分析】用正负数表示两种具有相反意义的量，据此进行判断即可.
2．【答案】C
【知识点】简单几何体的三视图
【解析】【解答】解：这个几何体的俯视图为：
故答案为：C．
【分析】根据简单几何体三视图的画法画出它的俯视图即可．
3．【答案】C
【知识点】概率公式
【解析】【解答】解：∵福田红树林生态公园提供“潮汐湿地红树林探秘”“鸟儿调查员”“公园设计师”“水侦探”四项课程供班级随机选报，每个班级可以从中选择一项课程参加，
∴某班级选中“水侦探”的概率为，
故答案为：C．
【分析】直接由概率公式求解即可.
4．【答案】B
【知识点】同底数幂的除法；平方差公式及应用；合并同类项法则及应用；积的乘方运算
【解析】【解答】解：A． （ab）5＝a5b5，因此选项A不符合题意；
B． （a＋1）（a 1）＝a2 1，因此选项B符合题意；
C．a2与a3不是同类项，不能合并运算，因此选项C不符合题意；
D．a6÷a2＝a6 2＝a4，因此选项D不符合题意；
故答案为：B．
【分析】根据幂的乘方与积的乘方，平方差公式以及同底数幂的乘除法的计算方法逐项进行判断即可．
5．【答案】A
【知识点】解直角三角形；解直角三角形的其他实际应用
【解析】【解答】解：∵矩形ABCD，
∴∠B＝90°，
∵sin∠CAB＝，AC＝55英寸，
∴BC＝AC＝英寸．
故答案为：A．
【分析】根据矩形的性质，通过解直角三角形即可解答．
6．【答案】C
【知识点】相似三角形的实际应用；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：∵主体纹饰与辅助纹饰的相似比为2：1，辅助纹饰的宽度AB＝6cm，
∴主体纹饰的宽度CD为12cm.
故答案为：C．
【分析】结合相似三角形的性质可得答案．
7．【答案】A
【知识点】列分式方程
【解析】【解答】解：设传统钻爆法挖掘速度为x千米/月，则启用硬岩掘进机挖掘速度为5x千米/月，
根据题意得：．
故答案为：A．
【分析】设传统钻爆法挖掘速度为x千米/月，则启用硬岩掘进机挖掘速度为5x千米/月，利用工作时间＝工作总量÷工作效率，结合启用硬岩掘进机后用时缩短约200个月，即可列出关于x的分式方程，此题得解．
8．【答案】D
【知识点】三角形外角的概念及性质；圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理
【解析】【解答】解：∵BD为⊙O的直径，
∴∠BAD＝90°，
∵∠BAC＝80°，
∴∠DAE＝90° 80°＝10°，
∵弧AB=弧AC，
∴AB＝AC，
∴∠C＝∠ABC＝50°，
∵∠D＝∠C＝50°，
∴∠AEB＝∠D＋∠DAE＝50°＋10°＝60°．
故答案为：D．
【分析】根据圆周角定理得到∠BAD＝90°，即可得∠DAE＝90° 80°＝10°，根据圆心角、弧、弦的关系和等腰三角形的性质得出∠C＝50°，根据圆周角定理得∠D＝∠C＝50°，再根据三角形外角的性质即可得出答案．
9．【答案】2
【知识点】点的坐标
【解析】【解答】解：∵点A（5，m 2）在x轴上，
∴m 2＝0，
解得：m＝2，
故答案为：2．
【分析】根据x轴上的点纵坐标为0可得：m 2＝0，然后进行计算即可解答．
10．【答案】2（x≥2即可）
【知识点】二次根式有无意义的条件
【解析】【解答】解：在实数范围内有意义，则x 2≥0，即x≥2，
所以x的值可以为：2（不唯一）．
故答案为：2（不唯一）．
【分析】根据二次根式有意义的条件进行解答即可．
11．【答案】130°
【知识点】平行线的性质；平行线的应用-求角度
【解析】【解答】解：∵EF∥CD，
∴∠1＋∠2＝180°．
∵∠1＝50°，
∴∠2＝180° 50°＝130°．
故答案为：130°．
【分析】根据平行线的性质进行计算即可．
12．【答案】3
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题；一次函数图象的平移变换
【解析】【解答】解：作AE⊥x轴于E，
∵直线y＝x 3与x轴交于点B，
∴B（3，0），
由直线y＝x 3可知∠ABE＝45°，
∴AE＝BE，
∵AB＝，
∴AE＝BE＝1，
∴A（4，1），
∵点A在反比例函数y＝(x＞0)的图象上，
∴k1＝4×1＝4，
∴反比例函数为y＝，
∵将直线y＝x 3向上平移得到直线y＝k2x＋b，AB＝CD＝，
∴线段AB相当于向左平移3单位，再向上平移b个单位得到CD，
∴C（1，b＋1），
把C点的坐标代入y＝，得b＋1＝4，
解得b＝3，
故答案为：3．
【分析】根据直线AB的解析式∠ABE＝45°，B（3，0），由AB＝，即可求得AE＝BE＝1，求得A（4，1），利用待定系数法求得反比例函数为y＝，根据平移的性质以及AB＝CD＝，即可求得C（1，1＋b），代入反比例函数解析式即可求得b的值．
13．【答案】
【知识点】正方形的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝AB＝3，∠A＝∠B＝∠D＝90°，
∵将点A折叠到BC边上的点G处，∠AEF＝∠BEG，
∴EG＝AE，
∵AE＝2BE，
∴AE＝2，BE＝1，
∴EG＝2BE＝2，
∴∠EGB＝30°，
∴∠BEG＝60°，
∴∠AEF＝60°，
过F作FH⊥AB于H，
则四边形AHFD是矩形，
∴FH＝AD＝3，AH＝DF，
∵∠FHE＝90°，
∴HE＝HF＝，
∴DF＝AH＝AE EH＝，
故答案为：．
【分析】根据正方形的性质得到AD＝AB＝3，∠A＝∠B＝∠D＝90°，根据折叠的性质得到EG＝AE，根据直角三角形的性质得到∠EGB＝30°，求得∠AEF＝60°，过F作FH⊥AB于H，则四边形AHFD是矩形，根据矩形的性质得到FH＝AD＝3，AH＝DF，根据直角三角形的性质即可得到结论．
14．【答案】解：原式：=1-6+4+
【知识点】零指数幂；负整数指数幂；实数的混合运算（含开方）；特殊角的三角函数的混合运算
【解析】【分析】利用零指数幂，负整数指数幂，特殊锐角函数值，算术平方根的定义计算后再算加减即可．
15．【答案】解法一：原式：
当a=2时，
原式
解法二：原式：
当a=2时，
原式
【知识点】分式的化简求值-直接代入
【解析】【分析】将括号内的式子通分并计算，然后把除法化为乘法并约分，最后代入已知数值计算即可．
16．【答案】解：任务3：①男生和女生的平均数都是27，达不到30，体育课总体强度还需要提高一点；
②男生的中位数30，女生中位数25，有一半以上的学生达不到30，总体强度还需要提高一点（或可以分组锻炼，让一半学生加强锻炼，一半学生维持锻炼）；
③男生的众数是30，女生的众数是35，男生的众数较小，可让男女生分组锻炼，加强男生的训练强度；
④女生的方差比男生的方差大，结合原始数据看，是因为女生中运动强度特别高的学生达40%，优秀表现突出．在提高运动强度训练方面，男生应向这些女生看齐（答案不唯一）．
【知识点】折线统计图
【解析】【解答】解：任务1：由题意，∵最大心率＝220 年龄＝220 15＝205（bpm），
∴运动心率占比：×100%≈73.17%，
∴64%＜73.17%＜76%，则到中等运动强度．
故答案为：是；
任务2：由题意，∵男生的数据为：12，18，25，28，30，30，30，30，32，35，共有10个数据，
∴中位数是第5个数据和第6个数据的平均数，即中位数a＝＝30；
∵女生数据中35出现了4次，次数最多，
∴b＝35．
故答案为：30，35.
【分析】任务1：依据题意，由最大心率＝220 年龄＝220 15＝205（bpm），则运动心率占比：×100%≈73.17%，故64%＜73.17%＜76%，则到中等运动强度，从而可以得解；
任务2：依据题意，由中位数、众数的意义进行计算可以得解；
任务3：依据题意，由平均数、中位数、众数、方差的意义进行分析可以得解．
17．【答案】（1）选①②：
设A型课桌椅单价为x元，B型课桌椅单价为y元，则根据题意可列方程组如下：
解得
答：A型课桌椅单价为800元，B型课桌椅单价为1000元。
选①③：
设A型课桌椅单价为x元，B型课桌椅单价为y元，则根据题意可列方程组如下：
解得
答：A型课桌椅单价为800元，B型课桌椅单价为1000元。
选②③：
设A型课桌椅单价为x元，B型课桌椅单价为y元，则根据题意可列方程组如下：
解得
答：A型课桌椅单价为800元，B型课桌椅单价为1000元。
（2）解：设采购B型课桌椅m套，则采购A型课桌椅（200-m）套。根据题意可列不等式如下：
800（200-m）+1000m≤180000。
解得m≤100。
答：采购B型课桌椅至多100套。
【知识点】一元一次不等式的应用；二元一次方程组的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设A型课桌椅单价为x元/套，B型课桌椅单价为y元/套，从上述3个条件中任选2个作为条件，可列出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设采购B型课桌椅m套，则采购A型课桌椅（200 m）套，利用总价＝单价×数量，结合总价不超过180000元，可列出关于m的一元一次不等式，解之取其中的最大值，即可得出结论．
18．【答案】（1）证法1：连接OC，
∵点A在⊙O上，
∴∠EOC=2∠A，
∵∠F=2∠A，
∴∠F=∠EOC。
∵∠B=∠B，
∴△BOC∽△BFD，
∵FD⊥AB，
∴∠FDB=90°，
∴∠OCB=∠FDB=90°。
∴OC⊥BF
∵点C在⊙O上，
∴BC是⊙O的切线。
证法2：连接OC，
∵点A在⊙O上，
∴∠EOC=2∠A，
∵∠F=2∠A，
∴∠F=∠EOC。
∵FD⊥AB，
∴∠F+∠B=90°，
∴∠EOC+∠B=90°，
∴∠OCB=90°。
∴OC⊥BF
∵点C在⊙O上，
∴BC是⊙O的切线。
（2）证法1：在Rt△OCB中，
∵OC=2，BC=3，
由（1）得，△BOC∽△BFD，
即
证法2：在Rt△OCB中，
∵OC=2，BC=3，
在Rt△BDF中，
即
（3）法一：作垂线。 法二：作2∠A（或∠F）。 法三：作OC的平行线。
法四：以AC为直径作圆。 法五：作BG=BA且CG=CA，连接AG亦可得。
如图所示，AH即为△ABC边BC上的高。
【知识点】切线的判定；切线的判定与性质；相似三角形的判定；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】（1）连接OC，证明OC⊥BF即可；
（2）利用勾股定理求出OBM再利用相似三角形的性质求出DF即可．
（3）根据三角形的高的定义作出图形．
19．【答案】（1）4；3
（2）DE=B'E，证明如下：
证法一：过点B'作B'H⊥AB，垂足为H。
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠DAB=90°，
∵B'H⊥AB，
∴∠B'HA=90°，
∴∠DAB=∠B'HA。
∵四边形AB'C'D'是矩形，
∴D'C'∥AB'
∴∠D'BA=∠B'AB
在△D'AB和△HB'A中，
∴△D'AB≌△HB'A
∴B'H=AD
在△DAE和△B'HE中，
∴△DAE≌△B'HE。
∴DE=B'E。
证法二：过点B'作B'H⊥AB，垂足为H，连接DH。
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠DAB=90°，
∵B'H⊥AB，
∴∠B'HA=90°，
∴∠DAB=∠B'HA，
∴AD∥B'H。
∵四边形AB'C'D'是矩形，
∴D'C'∥AB'
∴∠D'BA=∠B'AB
在△D'AB和△HB'A中，
∴△D'AB≌△HB'A
∴B'H=AD'。
∴B'H=AD
∴四边形AB'HD是平行四边形。
∴DE=B'E。
（3）①当点B在线段C'D'上时，在Rt△AHB'中，
∴BH=AB-AH=5-4=1，在Rt△BHB'中，
②当点B在线段C'D'外时，过点B'作B'H⊥AB，垂足为H。
∵C'，D'，B共线，
∴∠AD'B=90°。
∵AB=5，AD'=3，
∵∠B'AD'=90°，
∴∠HAB'+∠BAD'=90°，
∵∠ABD'+∠BAD'=90°，
∴∠HAB'=∠ABD'，
∵AB'=5，
∴B'H=AB'·sin∠HAB'=3，
∴BH=9。
∴在Rt△BHB'中，
综上所述，BB'长度为或3
【知识点】三角形全等的判定；矩形的性质；解直角三角形；旋转的性质；分类讨论
【解析】【解答】解：（1）∵矩形ABCD绕点A旋转得到矩形AB'C'D'，C'D'恰好经过点B，
∴∠D'＝∠D＝90°，AD'＝AD＝3，
∵AB＝5，
∴BD'＝＝4，
过B'作B'H⊥AB于H，
∴∠AHB'＝∠D'＝90°，
∵∠D'AB'＝90°，
∴∠D'AB＋∠B'AB＝∠B'AB＋∠AB'H＝90°，
∴∠D'AB＝∠AB'H，
∵AB＝AB'，
∴△ABD'≌△B'AH（AAS），
∴B'H＝AD'＝3，
∴B'到AB的距离为3，
故答案为：4，3；
【分析】（1）根据旋转的性质得到∠D'＝∠D＝90°，AD'＝AD＝3，根据勾股定理得到BD'＝＝4，过B'作B'H⊥AB于H，根据全等三角形的性质得到B'H＝AD'＝3；
（2）过B'作B'G⊥AB于G，由（1）知，B'G＝3＝AD，根据全等三角形的判定和性质定理得到DE＝B'E；
（3）连接BB'，根据旋转的性质得到B'C'＝BC＝3，∠C'＝∠C＝90°，由（1）知BD'＝4，根据勾股定理得到．
20．【答案】（1）1；
（2）①解法一：根据二次函数最值知
最大高度为
解法二：根据二次函数对称轴知
当时，
最大高度为
②令y=0，即
解得
而
故l=4h。
（3）①2；
②由题意得，两次跳跃的高度CD和EF均小于1.25，
由①得，EF=2-CD<1.25，
故，0.75由（2）得，
即，
解得：
【知识点】二次函数的其他应用
【解析】【解答】解：（1）当“尖鼻蛙”起跳速度v0＝m/s时，
y＝ x2＋x，令y＝0，
解得x＝0或1，
即图象与x轴的交点坐标分别为（0，0）和（1，0），
∴OA＝1，
此时“尖鼻蛙”离地的最大高度即函数的最大值，
当x＝时，y最大为，
故答案为：1，；
【分析】（1）当“尖鼻蛙”起跳速度v0＝m/s时，y＝ x2＋x，令y＝0，求出x即可解答；
（2）①根据二次函数的顶点坐标公式即可求解；②令y＝0，求出x的值即可解答；
（3）①根据（2）中的结论，结合总距离为8即可解答；②根据题意，列出不等式组，解不等式即可．
1 / 1广东省深圳市福田区2025-2026学年九年级数学中考适应性考试试卷
1．在网络地图中，赤道纬度为0°，赤道以北纬度为正，赤道以南纬度为负，纬度数值越大表示越靠北边。在下列纬度中，最北边的是（　　）
A．39.9° B．22.5° C．-22.9° D．-33.9°
【答案】A
【知识点】正数、负数的实际应用
【解析】【解答】解：在网络地图中，赤道纬度为0°，赤道以北纬度为正，赤道以南纬度为负，纬度数值越大表示越靠北边，
则四个选项中的纬度中，39.9°为正数，且数值最大，
即最北边的是39.9°，
故答案为：A．
【分析】用正负数表示两种具有相反意义的量，据此进行判断即可.
2．将一款台灯按如图的方式摆放，其俯视图为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】简单几何体的三视图
【解析】【解答】解：这个几何体的俯视图为：
故答案为：C．
【分析】根据简单几何体三视图的画法画出它的俯视图即可．
3．福田红树林生态公园为推进“每周半天计划”，提供“潮汐湿地红树林探秘”“鸟儿调查员”“公园设计师”“水侦探”四项课程供班级随机选报，每个班级可以从中选择一项课程参加。某班级选中“水侦探”的概率为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】概率公式
【解析】【解答】解：∵福田红树林生态公园提供“潮汐湿地红树林探秘”“鸟儿调查员”“公园设计师”“水侦探”四项课程供班级随机选报，每个班级可以从中选择一项课程参加，
∴某班级选中“水侦探”的概率为，
故答案为：C．
【分析】直接由概率公式求解即可.
4．下列计算正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】同底数幂的除法；平方差公式及应用；合并同类项法则及应用；积的乘方运算
【解析】【解答】解：A． （ab）5＝a5b5，因此选项A不符合题意；
B． （a＋1）（a 1）＝a2 1，因此选项B符合题意；
C．a2与a3不是同类项，不能合并运算，因此选项C不符合题意；
D．a6÷a2＝a6 2＝a4，因此选项D不符合题意；
故答案为：B．
【分析】根据幂的乘方与积的乘方，平方差公式以及同底数幂的乘除法的计算方法逐项进行判断即可．
5．电视的尺寸常指屏幕对角线的长度。如图2，可以把一个55英寸电视屏幕抽象成矩形ABCD，其中AC=55英寸。若则电视屏幕宽度BC的长度为（　　）
A．英寸 B．110英寸 C．英寸 D．英寸
【答案】A
【知识点】解直角三角形；解直角三角形的其他实际应用
【解析】【解答】解：∵矩形ABCD，
∴∠B＝90°，
∵sin∠CAB＝，AC＝55英寸，
∴BC＝AC＝英寸．
故答案为：A．
【分析】根据矩形的性质，通过解直角三角形即可解答．
6．中国古代器物与装饰纹饰在构图上多遵循主从分明、比例相宜的传统布局原则，常将主体纹样放大突出，辅助纹样缩小衬托，其构图方式蕴含位似变换的数学思想。如图，若某主体纹饰与辅助纹饰的相似比为1：2，辅助纹饰的宽度AB=6cm，则主体纹饰的宽度CD为（　　）
A．6cm B．9cm C．12cm D．18cm
【答案】C
【知识点】相似三角形的实际应用；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：∵主体纹饰与辅助纹饰的相似比为2：1，辅助纹饰的宽度AB＝6cm，
∴主体纹饰的宽度CD为12cm.
故答案为：C．
【分析】结合相似三角形的性质可得答案．
7．目前世界上最长的高速公路隧道是乌尉高速公路天山胜利隧道，它全长约22千米。该隧道启用了我国自主研发的硬岩掘进机，其挖掘速度是传统钻爆法的5倍，用时缩短约200个月。设传统钻爆法挖掘速度为x千米/月，可列方程（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】列分式方程
【解析】【解答】解：设传统钻爆法挖掘速度为x千米/月，则启用硬岩掘进机挖掘速度为5x千米/月，
根据题意得：．
故答案为：A．
【分析】设传统钻爆法挖掘速度为x千米/月，则启用硬岩掘进机挖掘速度为5x千米/月，利用工作时间＝工作总量÷工作效率，结合启用硬岩掘进机后用时缩短约200个月，即可列出关于x的分式方程，此题得解．
8．如图，圆内接四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点E，BD是⊙O的直径，若则∠AEB的度数是（　　）
A．30° B．40° C．50° D．60°
【答案】D
【知识点】三角形外角的概念及性质；圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理
【解析】【解答】解：∵BD为⊙O的直径，
∴∠BAD＝90°，
∵∠BAC＝80°，
∴∠DAE＝90° 80°＝10°，
∵弧AB=弧AC，
∴AB＝AC，
∴∠C＝∠ABC＝50°，
∵∠D＝∠C＝50°，
∴∠AEB＝∠D＋∠DAE＝50°＋10°＝60°．
故答案为：D．
【分析】根据圆周角定理得到∠BAD＝90°，即可得∠DAE＝90° 80°＝10°，根据圆心角、弧、弦的关系和等腰三角形的性质得出∠C＝50°，根据圆周角定理得∠D＝∠C＝50°，再根据三角形外角的性质即可得出答案．
9．在平面直角坐标系中，若点A（5，m-2）在x轴上，则m的值为　 　。
【答案】2
【知识点】点的坐标
【解析】【解答】解：∵点A（5，m 2）在x轴上，
∴m 2＝0，
解得：m＝2，
故答案为：2．
【分析】根据x轴上的点纵坐标为0可得：m 2＝0，然后进行计算即可解答．
10．若在实数范围内有意义，写出一个符合要求的x的值：　 　。
【答案】2（x≥2即可）
【知识点】二次根式有无意义的条件
【解析】【解答】解：在实数范围内有意义，则x 2≥0，即x≥2，
所以x的值可以为：2（不唯一）．
故答案为：2（不唯一）．
【分析】根据二次根式有意义的条件进行解答即可．
11．如图5-1，是一个三轮滑板车。在组装车轮时需注意车轮与车身支架保持平行，可有效防止车轮磨损，即图5-2中AB∥CD∥EF。若∠1=50°，则∠2的度数为　 　。
【答案】130°
【知识点】平行线的性质；平行线的应用-求角度
【解析】【解答】解：∵EF∥CD，
∴∠1＋∠2＝180°．
∵∠1＝50°，
∴∠2＝180° 50°＝130°．
故答案为：130°．
【分析】根据平行线的性质进行计算即可．
12．如图，直线y=x-3与反比例函数的图象交于点A，与x轴交于点B，将直线y=x-3向上平移得到直线直线与反比例函数的图象交于点C，与y轴交于点D。若则b的值为　 　。
【答案】3
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题；一次函数图象的平移变换
【解析】【解答】解：作AE⊥x轴于E，
∵直线y＝x 3与x轴交于点B，
∴B（3，0），
由直线y＝x 3可知∠ABE＝45°，
∴AE＝BE，
∵AB＝，
∴AE＝BE＝1，
∴A（4，1），
∵点A在反比例函数y＝(x＞0)的图象上，
∴k1＝4×1＝4，
∴反比例函数为y＝，
∵将直线y＝x 3向上平移得到直线y＝k2x＋b，AB＝CD＝，
∴线段AB相当于向左平移3单位，再向上平移b个单位得到CD，
∴C（1，b＋1），
把C点的坐标代入y＝，得b＋1＝4，
解得b＝3，
故答案为：3．
【分析】根据直线AB的解析式∠ABE＝45°，B（3，0），由AB＝，即可求得AE＝BE＝1，求得A（4，1），利用待定系数法求得反比例函数为y＝，根据平移的性质以及AB＝CD＝，即可求得C（1，1＋b），代入反比例函数解析式即可求得b的值．
13．如图，在正方形ABCD中，AB=3，将点A折叠到BC边上的点G处，折痕为EF，若AE=2BE，则DF=　 　。
【答案】
【知识点】正方形的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝AB＝3，∠A＝∠B＝∠D＝90°，
∵将点A折叠到BC边上的点G处，∠AEF＝∠BEG，
∴EG＝AE，
∵AE＝2BE，
∴AE＝2，BE＝1，
∴EG＝2BE＝2，
∴∠EGB＝30°，
∴∠BEG＝60°，
∴∠AEF＝60°，
过F作FH⊥AB于H，
则四边形AHFD是矩形，
∴FH＝AD＝3，AH＝DF，
∵∠FHE＝90°，
∴HE＝HF＝，
∴DF＝AH＝AE EH＝，
故答案为：．
【分析】根据正方形的性质得到AD＝AB＝3，∠A＝∠B＝∠D＝90°，根据折叠的性质得到EG＝AE，根据直角三角形的性质得到∠EGB＝30°，求得∠AEF＝60°，过F作FH⊥AB于H，则四边形AHFD是矩形，根据矩形的性质得到FH＝AD＝3，AH＝DF，根据直角三角形的性质即可得到结论．
14．计算：
【答案】解：原式：=1-6+4+
【知识点】零指数幂；负整数指数幂；实数的混合运算（含开方）；特殊角的三角函数的混合运算
【解析】【分析】利用零指数幂，负整数指数幂，特殊锐角函数值，算术平方根的定义计算后再算加减即可．
15．先化简，再求值：，其中a=2。
【答案】解法一：原式：
当a=2时，
原式
解法二：原式：
当a=2时，
原式
【知识点】分式的化简求值-直接代入
【解析】【分析】将括号内的式子通分并计算，然后把除法化为乘法并约分，最后代入已知数值计算即可．
16．
背景1 某校利用“AI智慧体育系统”从九年级学生中随机选出男女生各10名，收集学生在一节体育课上的中等运动强度时长，科学规划体育课的运动强度，避免运动不足或过度疲劳。
背景2 根据《健康中国行动（2019—2030年）》，有益健康的体育锻炼需同时达到以下两个要求： ①运动强度达到中等运动强度； ②中等强度运动时长达到30分钟及以上。
背景3 中等运动强度是指在运动时心率达到最大心率（单位：bpm）的64%~76%的运动强度（最大心率等于220减去年龄）。 如小福（15岁）运动时心率为153bpm，得因74.63%在64%~76%之间，则小福的运动强度达到中等运动强度。
数据的收集与整理 ①10名男生的中等运动强度时长为：（单位：min） 12，18，25，28，30，30，30，30，32，35 ②10名女生的中等运动强度时长为：
数据的描述 经过计算，得到以下表格： 中等强度运动时长平均数（min）中位数（min）众数（min）方差（min2）男生27a3043.6女生2725b49.8
⑴任务1 九年级学生小田（15岁）在运动时的心率为150bpm，他的运动强度 ▲ （填“是”/“否”）达到中等运动强度。
⑵任务2 表格中：a= ▲ ，b= ▲ 。
⑶任务3 数据的分析：结合上述信息和所学的数学知识，你对一节体育课的运动强度规划有什么建议，并说明理由。
【答案】解：任务3：①男生和女生的平均数都是27，达不到30，体育课总体强度还需要提高一点；
②男生的中位数30，女生中位数25，有一半以上的学生达不到30，总体强度还需要提高一点（或可以分组锻炼，让一半学生加强锻炼，一半学生维持锻炼）；
③男生的众数是30，女生的众数是35，男生的众数较小，可让男女生分组锻炼，加强男生的训练强度；
④女生的方差比男生的方差大，结合原始数据看，是因为女生中运动强度特别高的学生达40%，优秀表现突出．在提高运动强度训练方面，男生应向这些女生看齐（答案不唯一）．
【知识点】折线统计图
【解析】【解答】解：任务1：由题意，∵最大心率＝220 年龄＝220 15＝205（bpm），
∴运动心率占比：×100%≈73.17%，
∴64%＜73.17%＜76%，则到中等运动强度．
故答案为：是；
任务2：由题意，∵男生的数据为：12，18，25，28，30，30，30，30，32，35，共有10个数据，
∴中位数是第5个数据和第6个数据的平均数，即中位数a＝＝30；
∵女生数据中35出现了4次，次数最多，
∴b＝35．
故答案为：30，35.
【分析】任务1：依据题意，由最大心率＝220 年龄＝220 15＝205（bpm），则运动心率占比：×100%≈73.17%，故64%＜73.17%＜76%，则到中等运动强度，从而可以得解；
任务2：依据题意，由中位数、众数的意义进行计算可以得解；
任务3：依据题意，由平均数、中位数、众数、方差的意义进行分析可以得解．
17． 2026年，深圳将在200所学校推进学生“舒心躺睡”服务。某校计划采购A型普通款和B型加宽款两种可躺式课桌椅，价格信息如下：
①买1套A型课桌椅与2套B型课桌椅共需2800元
②买2套A型课桌椅比3套B型课桌椅少花费1400元
③买5套A型课桌椅与4套B型课桌椅花费相同
（1）请你从上述3个条件中任选2个作为条件，求出A型、B型课桌椅的单价分别是多少元
（2）若该校计划采购A型、B型课桌椅共200套，且总费用不超过180000元，则采购B型课桌椅至多多少套
【答案】（1）选①②：
设A型课桌椅单价为x元，B型课桌椅单价为y元，则根据题意可列方程组如下：
解得
答：A型课桌椅单价为800元，B型课桌椅单价为1000元。
选①③：
设A型课桌椅单价为x元，B型课桌椅单价为y元，则根据题意可列方程组如下：
解得
答：A型课桌椅单价为800元，B型课桌椅单价为1000元。
选②③：
设A型课桌椅单价为x元，B型课桌椅单价为y元，则根据题意可列方程组如下：
解得
答：A型课桌椅单价为800元，B型课桌椅单价为1000元。
（2）解：设采购B型课桌椅m套，则采购A型课桌椅（200-m）套。根据题意可列不等式如下：
800（200-m）+1000m≤180000。
解得m≤100。
答：采购B型课桌椅至多100套。
【知识点】一元一次不等式的应用；二元一次方程组的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设A型课桌椅单价为x元/套，B型课桌椅单价为y元/套，从上述3个条件中任选2个作为条件，可列出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设采购B型课桌椅m套，则采购A型课桌椅（200 m）套，利用总价＝单价×数量，结合总价不超过180000元，可列出关于m的一元一次不等式，解之取其中的最大值，即可得出结论．
18．如图1，在△ABC中，点O、D在边AB上，且点D在点O右侧。以O为圆心，OA为半径作⊙O交AB于点E，点C恰好在⊙O上。过点D作AB的垂线交BC的延长线于点F，若∠F=2∠A。
（1）求证：BC是⊙O的切线；
（2）若⊙O的半径是2，，求DF的长。
（3）尺规作图：作△ABC边BC上的高。（保留作图痕迹，不写作法）
【答案】（1）证法1：连接OC，
∵点A在⊙O上，
∴∠EOC=2∠A，
∵∠F=2∠A，
∴∠F=∠EOC。
∵∠B=∠B，
∴△BOC∽△BFD，
∵FD⊥AB，
∴∠FDB=90°，
∴∠OCB=∠FDB=90°。
∴OC⊥BF
∵点C在⊙O上，
∴BC是⊙O的切线。
证法2：连接OC，
∵点A在⊙O上，
∴∠EOC=2∠A，
∵∠F=2∠A，
∴∠F=∠EOC。
∵FD⊥AB，
∴∠F+∠B=90°，
∴∠EOC+∠B=90°，
∴∠OCB=90°。
∴OC⊥BF
∵点C在⊙O上，
∴BC是⊙O的切线。
（2）证法1：在Rt△OCB中，
∵OC=2，BC=3，
由（1）得，△BOC∽△BFD，
即
证法2：在Rt△OCB中，
∵OC=2，BC=3，
在Rt△BDF中，
即
（3）法一：作垂线。 法二：作2∠A（或∠F）。 法三：作OC的平行线。
法四：以AC为直径作圆。 法五：作BG=BA且CG=CA，连接AG亦可得。
如图所示，AH即为△ABC边BC上的高。
【知识点】切线的判定；切线的判定与性质；相似三角形的判定；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】（1）连接OC，证明OC⊥BF即可；
（2）利用勾股定理求出OBM再利用相似三角形的性质求出DF即可．
（3）根据三角形的高的定义作出图形．
19．【问题背景】旋转是一种常见的图形运动方式。某数学学习小组在学习旋转的相关知识后，深入研究了矩形的旋转。如图1，矩形ABCD绕点A旋转得到矩形.AB'C'D'，点B，C，D分别旋转到点B'，C'，D'。
（1）【初步探究】
如图2，若AB=5，AD=3，CD恰好经过点B，则　 　，B'到AB的距离为　 　。
（2）【深入探究】
如图3，若C'D'恰好经过点B，连接DB'交AB于E，试判断线段DE与B'E的数量关系，并证明。
（3）【探究应用】
若AB=5，AD=3，C'D'所在直线恰好经过点B，求BB'的长。
【答案】（1）4；3
（2）DE=B'E，证明如下：
证法一：过点B'作B'H⊥AB，垂足为H。
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠DAB=90°，
∵B'H⊥AB，
∴∠B'HA=90°，
∴∠DAB=∠B'HA。
∵四边形AB'C'D'是矩形，
∴D'C'∥AB'
∴∠D'BA=∠B'AB
在△D'AB和△HB'A中，
∴△D'AB≌△HB'A
∴B'H=AD
在△DAE和△B'HE中，
∴△DAE≌△B'HE。
∴DE=B'E。
证法二：过点B'作B'H⊥AB，垂足为H，连接DH。
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠DAB=90°，
∵B'H⊥AB，
∴∠B'HA=90°，
∴∠DAB=∠B'HA，
∴AD∥B'H。
∵四边形AB'C'D'是矩形，
∴D'C'∥AB'
∴∠D'BA=∠B'AB
在△D'AB和△HB'A中，
∴△D'AB≌△HB'A
∴B'H=AD'。
∴B'H=AD
∴四边形AB'HD是平行四边形。
∴DE=B'E。
（3）①当点B在线段C'D'上时，在Rt△AHB'中，
∴BH=AB-AH=5-4=1，在Rt△BHB'中，
②当点B在线段C'D'外时，过点B'作B'H⊥AB，垂足为H。
∵C'，D'，B共线，
∴∠AD'B=90°。
∵AB=5，AD'=3，
∵∠B'AD'=90°，
∴∠HAB'+∠BAD'=90°，
∵∠ABD'+∠BAD'=90°，
∴∠HAB'=∠ABD'，
∵AB'=5，
∴B'H=AB'·sin∠HAB'=3，
∴BH=9。
∴在Rt△BHB'中，
综上所述，BB'长度为或3
【知识点】三角形全等的判定；矩形的性质；解直角三角形；旋转的性质；分类讨论
【解析】【解答】解：（1）∵矩形ABCD绕点A旋转得到矩形AB'C'D'，C'D'恰好经过点B，
∴∠D'＝∠D＝90°，AD'＝AD＝3，
∵AB＝5，
∴BD'＝＝4，
过B'作B'H⊥AB于H，
∴∠AHB'＝∠D'＝90°，
∵∠D'AB'＝90°，
∴∠D'AB＋∠B'AB＝∠B'AB＋∠AB'H＝90°，
∴∠D'AB＝∠AB'H，
∵AB＝AB'，
∴△ABD'≌△B'AH（AAS），
∴B'H＝AD'＝3，
∴B'到AB的距离为3，
故答案为：4，3；
【分析】（1）根据旋转的性质得到∠D'＝∠D＝90°，AD'＝AD＝3，根据勾股定理得到BD'＝＝4，过B'作B'H⊥AB于H，根据全等三角形的性质得到B'H＝AD'＝3；
（2）过B'作B'G⊥AB于G，由（1）知，B'G＝3＝AD，根据全等三角形的判定和性质定理得到DE＝B'E；
（3）连接BB'，根据旋转的性质得到B'C'＝BC＝3，∠C'＝∠C＝90°，由（1）知BD'＝4，根据勾股定理得到．
20．综合与实践
【问题背景】“尖鼻蛙”是“蛙届”跳远之王。对蛙类的立定跳远项目进行比较与测量，可以为研究蛙类跳跃极限、“仿蛙机器人”跳跃性能等，提供参考数据。
【模型构建】如图1，当“尖鼻蛙”以45°倾斜角起跳（以下简称“起跳”）时，若以地面上的起跳点为坐标原点，以地面上水平向右的方向为x轴正方向，建立平面直角坐标系，则其运动路线可以近似地用公式表示，其中，v0（m/s）是起跳时的速度。
（1）【模型应用】
如图1，当“尖鼻蛙”起跳速度时，则其跳远距离OA=　 　m，在这个过程中，“尖鼻蛙”离地的最大高度是　 　m。
（2）如图1，若“尖鼻蛙”起跳速度为v0，从起跳到落地的过程中：
①求其离地的最大高度是多少 （用含v0的代数式表示）
②记①中离地的最大高度为h，记OA=l，求证：l=4h。
（3）如图2，“尖鼻蛙”连续两次起跳，共跳了8m远。在起跳点正上方1.25m处，设有一条平行于地面的观测线MN。若在两次跳跃过程中，“尖鼻蛙”均没有触碰到MN。设两次离地的最大高度分别为CD，EF.
①填空：CD+EF= ▲ m；
②设其第一次起跳的速度为v0（m/s），求v0的取值范围。
【答案】（1）1；
（2）①解法一：根据二次函数最值知
最大高度为
解法二：根据二次函数对称轴知
当时，
最大高度为
②令y=0，即
解得
而
故l=4h。
（3）①2；
②由题意得，两次跳跃的高度CD和EF均小于1.25，
由①得，EF=2-CD<1.25，
故，0.75由（2）得，
即，
解得：
【知识点】二次函数的其他应用
【解析】【解答】解：（1）当“尖鼻蛙”起跳速度v0＝m/s时，
y＝ x2＋x，令y＝0，
解得x＝0或1，
即图象与x轴的交点坐标分别为（0，0）和（1，0），
∴OA＝1，
此时“尖鼻蛙”离地的最大高度即函数的最大值，
当x＝时，y最大为，
故答案为：1，；
【分析】（1）当“尖鼻蛙”起跳速度v0＝m/s时，y＝ x2＋x，令y＝0，求出x即可解答；
（2）①根据二次函数的顶点坐标公式即可求解；②令y＝0，求出x的值即可解答；
（3）①根据（2）中的结论，结合总距离为8即可解答；②根据题意，列出不等式组，解不等式即可．
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