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广东省广州市第二中学教育集团2025-2026学年七年级下学期期中数学试卷
1．下列四个数中，是无理数的是（　　）
A． B． C． D．3
【答案】B
【知识点】无理数的概念
【解析】【解答】解：A、是分数，属于有理数；
B、是开方开不尽的数，是无限不循环小数，属于无理数
C、是有限小数，可化为分数，属于有理数；
D、是整数，属于有理数．
故选：B
【分析】根据有理数和无理数的定义，对选项逐个判断即可．
2．如图，直线 a，b相交于点 O，如果∠1+∠2=60°，那么∠1的度数为(　　)
A．25° B．30° C．45° D．60°
【答案】B
【知识点】对顶角及其性质
【解析】【解答】解：∵∠1与∠2是对顶角，∠1+∠2=60°，
∴∠1=∠2=30°，
故答案为： B.
【分析】利用对顶角的性质及∠1+∠2=60°，求出∠1=∠2=30°即可.
3．如图，上课时，唐老师用手在平面直角坐标系中遮住一个点，这个点的坐标可能为(　　)
A．(2， 2) B．(-2， 2)
C．(-2， - 2) D．(2， - 2)
【答案】C
【知识点】点的坐标与象限的关系
【解析】【解答】解：∵手在第三象限，第三象限的点坐标的特征是：横坐标为负数，纵坐标为负数，
∴点（-2，-2）符合题意，
故答案为： C.
【分析】利用四个象限点坐标的符号特点（①第一象限（+，+）；②第二象限（-，+）；③第三象限（-，-）；④第四象限（+，-））分析求解即可.
4．如图，与∠1是同位角的是(　　)
A．∠2 B．∠3 C．∠4 D．∠5
【答案】B
【知识点】同位角的概念
【解析】【解答】解：根据图形可得，与∠1时同位角的是∠3，
故答案为：B.
【分析】利用同位角的定义（两条直线被第三条直线所截，两个角分别在两条被截线同一方并且都在截线同一侧）及特征分析求解即可.
5．方程组 的解为 则被遮盖的两个数分别为(　　)
A．2， 1 B．5， 1 C．2， 3 D．2， 4
【答案】B
【知识点】二元一次方程的解；已知二元一次方程组的解求参数
【解析】【解答】解：将x=2代入x+y=3中，可得2+y=3，解得：y=1，
将x=2，y=1代入2x+y可得2×2+1=5，
∴被遮盖的两个数分别5，1，
故答案为：B.
【分析】先将x=2代入x+y=3中求出y的值，再将x、y的值代入2x+y求解即可.
6．如果点 P (m+3，m-4)在平面直角坐标系的 x轴上，那么 P点坐标为(　　)
A．(0， 7) B．(-7， 0)
C．(7， 0) D．(0， - 7)
【答案】C
【知识点】点的坐标
【解析】【解答】解：∵点P在x轴上，
∴m-4=0，
解得：m=4，
∴m+3=7，
∴点P的坐标为（7，0），
故答案为：C.
【分析】利用x轴上点坐标的特征可得m-4=0，求出m的值，再求出点P的坐标即可.
7．一条船顺流航行，每小时行驶 18km；逆流航行，每小时行驶 16km.若设船在静水中的速度为 xkm/h，水流度为 ykm/h，则列出的方程组为(　　)
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】二元一次方程组的实际应用-行程问题；列二元一次方程组
【解析】【解答】解：设船在静水中的速度为 xkm/h，水流度为 ykm/h，
根据题意可得：，
故答案为：B.
【分析】 设船在静水中的速度为 xkm/h，水流度为 ykm/h，利用“ 一条船顺流航行，每小时行驶 18km ”和“ 逆流航行，每小时行驶 16km ”列出方程组即可.
8．已知 n是整数，且 则 n的值是(　　)
A．8 B．9 C．10 D．11
【答案】A
【知识点】无理数的估值
【解析】【解答】解：∵64<70<81，
∴8<<9，
∵
∴n=8，
故答案为：A.
【分析】利用估算无理数大小的方法求出n的值即可.
9．如图， AC⊥BC， CD⊥AB，则点 C到直线 AB的距离是(　　)
A．线段 AC的长 B．线段 BC的长
C．线段 CD的长 D．线段 AB的长
【答案】C
【知识点】点到直线的距离
【解析】【解答】解：∵CD⊥AB，
∴ 点C到直线 AB的距离是线段CD的长，
故答案为：C.
【分析】利用点到直线的距离的定义（点到直线的距离是指该点到直线的垂线段的长度）分析求解即可.
10．如图，在平面直角坐标系上有一个点 A (-1，0)，点 A第 1次向上跳动 1个单位至点 A (-1，1)，紧接着第 2次向右跳动 2个单位至点 A2 (1，1)，第 3次向上跳动 1个单位，第 4次向左跳动 3个单位，第 5次又向上跳动 1个单位，第 6次向右跳动 4个单位，…，依此规律跳动下去，若点 A第 2026次跳动至点 A2026的坐标是(a，b) ，则 a+b的和为(　　)
A．506 B．507 C．1518 D．1520
【答案】D
【知识点】点的坐标；探索规律-点的坐标规律
【解析】【解答】解：按照题中的跳动规律，推理前面12个点的坐标如下：
A1（ 1，1），A2（1，1），A3（1，2），A4（ 2，2），
A5（ 2，3），A6（2，3），A7（2，4），A8（ 3，4），
A9（ 3，5），A10（3，5），A11（3，6），A12（ 4，6），
…，
以此类推发现规律：
A4n 3（ n，2n 1），A4n 2（n，2n 1），A4n 1（n，2n），A4n（ n 1，2n），其中n为正整数；
∵2026÷4＝506……2，
∴A2026（507，2×507 1）即A2026（507，1013），
∴a＝507，b＝1013，
∴a＋b＝507＋1013＝1520．
故答案为：D．
【分析】按照题中的跳动规律，通过前面12个点的坐标，归纳出坐标的变化规律，即可求解．
11．比较大小：　 　3．（选填“”、“”或“”）
【答案】
【知识点】实数的大小比较；求算术平方根
【解析】【解答】解：，
，
，
故答案为：．
【分析】估算无理数的范围即可求出答案.
12．命题“如果 x=y，那么 是　 　命题. (填“真”或“假”) .
【答案】真
【知识点】等式的基本性质；真命题与假命题；举反例判断命题真假
【解析】【解答】解：∵x=y，
∴x2=y2，
∴命题“ 如果 x=y，那么 ”是真命题，
故答案为：真.
【分析】利用等式的性质及真假命题的定义分析求解即可.
13．已知 是方程 3x+ my=5的一个解，那么 m=　 　.
【答案】4
【知识点】已知二元一次方程的解求参数
【解析】【解答】解：将代入3x+ my=5，
可得：-3+2m=5，
解得：m=4，
故答案为：4.
【分析】将代入3x+ my=5，可得-3+2m=5，再求出m的值即可.
14．伞兵在高空跳离飞机往下降落，在打开降落伞前，下降的高度 h (米)与下降的时间 t (秒)的关系为h=4.9t2(不计空气阻力)，一个伞兵在打开降落伞前的一段时间内下降了 490米，则下落的这段时间为　 　秒.
【答案】10
【知识点】求代数式的值-直接代入求值
【解析】【解答】解：将h=490代入 h=4.9t2 ，
可得：490=4.9t2 ，
解得：t=10（负值舍），
故答案为：10.
【分析】将h=490代入 h=4.9t2 可得方程490=4.9t2 ，再求出t的值即可.
15．如图，若白棋①的位置记为(0，2)，黑棋②的位置记为(1，3)，则白棋③的位置应记为　 　.
【答案】（5，6）
【知识点】用坐标表示地理位置；平面直角坐标系的构成
【解析】【解答】解：由白棋①的位置记为（0，2），黑棋②的位置记为（1，3）可得坐标系如图所示：
由坐标系可知：白棋③横坐标为：5，纵坐标为：6，
故白棋③的位置应记为（5，6）；
故答案为：（5，6）．
【分析】可根据“白棋①的位置记为（0，2），黑棋②的位置记为（1，3）”建立坐标系，然后问题可求解．
16．如图， AB||CD， CE||BD， 点 E在 CA延长线上， DE， AB交于 F， P 为线段 DC上一动点，Q为线段 PC上一点， 且满足∠FQP=∠QFP，FM为∠EFP的平分线， 则下列结论：
①∠AFE=40 °；
②FQ平分∠AFP；
③FQ||AC；
④∠QFM=20 °，
其中结论正确的有　 　.(填序号)
【答案】①②④
【知识点】平行线的性质；角平分线的概念；平行线的应用-求角度
【解析】【解答】解：AB∥CD，CE∥BD，点E在CA延长线上，DE，AB交于F，
结论①∠AFE＝40°，
∵AB∥CD，
∴∠AFE＝∠CDF＝40°，
故①正确，符合题意．
结论②FQ平分∠AFP，
∵AB∥CD，
∴∠AFQ＝∠FQP；
又∵∠FQP＝∠QFP，
∴∠AFQ＝∠QFP，
即FQ平分∠AFP，
②正确，符合题意．
结论③FQ∥AC，
∵P是DC上动点，P位置变化时，∠AFP 随之变化，
∴∠AFQ＝∠PFQ＝∠AFP 也随之变化，
∵∠AFD （AF，FD为定直线）是定值，
∴∠AFD ∠AFQ＝∠QFD也随之变化，
∵∠E （AC所在直线的角）是定值，
∴∠QFD 不恒等于∠E，
∴FQ不恒平行于AC，
③错误，不符合题意．
结论④∠QFM＝20°，
∵FM平分∠EFP，
∴∠EFM＝∠PFM＝∠EFP；
由②知FQ平分∠AFP，
∴∠AFQ＝∠PFQ＝∠AFP；
又∵∠EFP＝∠AFE＋∠AFP＝40°＋∠AFP，
∴∠QFM＝∠PFM ∠PFQ＝∠EFP ∠AFP＝(40°＋∠AFP) ∠AFP＝20°，
④正确，符合题意．
故答案为：①②④．
【分析】因为AB∥CD，所以可利用平行线的同位角相等性质，结合∠CDF＝40°，判断∠AFE的度数，即可验证结论①．因为AB∥CD，所以可利用平行线的内错角相等性质，结合∠FQP＝∠QFP，即可验证结论②．先证出∠QFD是个可变的角，∠E 是定角，再利用同位角的关系可验证结论③．由平分线的性质，证出∠EFM＝∠PFM＝∠EFP，∠AFQ＝∠PFQ＝∠AFP，利用角度间的数量关系即可推导出∠QFM 的度数，验证结论④．
17．计算：
【答案】解：原式=
=
【知识点】实数的绝对值；求算术平方根；开立方（求立方根）
【解析】【分析】先利用算术平方根、立方根和绝对值的性质化简，再求解即可.
18．解方程组：
【答案】解：
由①×2+②，可得：
5x=10，
解得：x=2，
将x=2代入①，可得：
2-y=3，
解得：y=-1，
∴方程组的解为
【知识点】加减消元法解二元一次方程组
【解析】【分析】利用加减消元法的计算方法分析求解即可.
19．如图， 在平面直角坐标系中， 点 A (-1， 5) ， B (-1， 0) ， C (-4， 3) ， 三角形 ABC向右平移 5个单位长度后得到的三角形 A1B1C1.
（1） 画出平移后的三角形 A1B1C1， 并写出 A1， B1， C1的坐标；
（2） 求三角形 A1B1C1的面积.
【答案】（1）解：作图如下：
A1（4，5），B1（4，0），C1（1，3）
（2）解：S△A1B1C1=×A1B1×3=×5×3=
【知识点】三角形的面积；作图﹣平移
【解析】【分析】（1）先利用点坐标平移的特征（上加下减、左减右加）找出点A、B、C的对应点，再连接并直接求出点A1， B1， C1的坐标 即可；
（2）利用三角形的面积公式列出算式求解即可.
20． 2026马年央视春晚中，宇树科技的机器人《武 BOT》展示了单腿连续后空翻、托马斯全旋等高难度动作，是本届春晚科技与文化融合的巅峰之作.随着人工智能与物联网等技术的快速发展，人形机器人的应用场景不断拓展，某快递企业为提高工作效率.拟购买 A、B两种型号智能机器人进行快递分拣.若买 1台 A型机器人、3台 B型机器人，共需 260万元；若买 3台 A型机器人、2台 B型机器人，共需 360万元.求 A、B两种型号智能机器人的单价.
【答案】解：设A种型号智能机器人的单价为x万元， B种型号智能机器人的单价为y万元，
根据题意可得：，
解得：，
答：A型智能机器人的单价是80万元，B型智能机器人的单价是60万元．
【知识点】二元一次方程组的实际应用-销售问题
【解析】【分析】设A种型号智能机器人的单价为x万元， B种型号智能机器人的单价为y万元，利用“ 买 1台 A型机器人、3台 B型机器人，共需 260万元 ”和“ 买 3台 A型机器人、2台 B型机器人，共需 360万元 ”列出方程组求解即可.
21．完成下面的证明.
已知：如图，
求证： ∠B=∠CDE.
证明： ∠ADC+∠DCE=180°(已知) ，
∴AD∥CE 　 　 ，
∴∠2=∠　 　(两直线平行，内错角相等) ，
∵∠1=∠E (已知) ，
∴∠1=∠2 (等量代换)，
∴　 　　 　 ，
∴∠B=∠CDE 　 　 .
【答案】同旁内角互补，两直线平行；E；AB∥DE；内错角相等，两直线平行；两直线平行，同位角相等
【知识点】平行线的判定与性质；推理与论证
【解析】【解答】解：证明：∠ADC＋∠DCE＝180°（已知），
∴AD∥CE（同旁内角互补，两直线平行），
∴∠2＝∠E（两直线平行，内错角相等），
∵∠1＝∠E（已知），
∴∠1＝∠2（等量代换），
∴AB∥DE（内错角相等，两直线平行），
∴∠B＝∠CDE（两直线平行，同位角相等）．
故答案为：同旁内角互补，两直线平行；E；AB∥DE；内错角相等，两直线平行；两直线平行，同位角相等．
【分析】根据平行线的性质和判定进行证明即可．
22．小丽想用一块面积为 100cm2的正方形纸片，沿着边的方向裁出一块面积为 72cm2的长方形纸片，使它的长与宽的比为 2：1.但她不知道能否裁得出来，正在发愁，小明见了说：“别发愁，一定能用一块面积大的纸片裁出一块面积小的纸片！”
（1）求原正方形纸片的边长；
（2）你同意小明的说法吗 小丽能用这块纸片裁出想要的纸片吗
【答案】（1）解：∵一块面积为100cm2的正方形纸片，
∴
∴正方形纸片的边长为10cm.
（2）解：设长方形的长为2x cm，宽为x cm，
由题意得，2x x＝72，
解得x＝6或x＝ 6（舍去），
∴2x＝12，
∵12＞10，
∴长方形的长大于正方形的边长，
∴不同意小明的说法，小丽不能用这块纸片裁出想要的纸片．
【知识点】二次根式的实际应用；算术平方根的实际应用
【解析】【分析】（1）根据正方形的面积公式求解即可；
（2）设长方形的长为2x cm，宽为x cm，根据长方形的面积公式建立方程求出长方形的长，再与正方形的边长比较即可得到结论．
23．在平面直角坐标系中，对于点 P (x1， y1) 、点 Q (x2， y2) ，若满足 x1x2+y1y2=m，其中 m为常数，则称点P 与点 Q互为“m阶元元点”，例如：点 P (-4， 3)与 Q (1， 2)互为“2阶元元点”.
（1）下列选项中，是点 A (1，2)的“8阶元元点”的有　 　(填序号)；
① (4， 2) ；
② (2， 1) ；
③ (-2， 5) .
（2）点 A (1， 2)和点 B (4， a)互为“2026阶元元点”，求 a的值；
（3）若点 C (m+7， 3m-1)到两条坐标轴的距离相等，且与点 A (1， 2)互为“a阶元元点”，求 a的值.
【答案】（1）①③
（2）解：∵点A（1，2）和点B（4，a）互为“2026阶元元点”，
∴1×4＋2a＝2026，
∴a＝1011
（3）解：由条件可知|m＋7|＝|3m 1|，
∴m＋7＝3m 1或m＋7＝ （3m 1），
∴m＝4或m＝ ；
当m＝4时，m＋7＝11，3m 1＝11，
∵点C（m＋7，3m 1）与点A（1，2）互为“a阶元元点”，
∴a＝1×11＋2×11＝33；
当m＝ 时，m＋7＝，3m 1＝ ，
∵点C（m＋7，3m 1）与点A（1，2）互为“a阶元元点”，
∴a＝1×＋2×( )＝ 11＝ ；
综上所述，a的值为33或 ．
【知识点】解含绝对值符号的一元一次方程；点的坐标；分类讨论
【解析】【解答】解：（1）①∵1×4＋2×2＝8，
∴点（4，2）是点A（1，2）的“8阶元元点”；
②∵2×1＋1×2＝4≠8，
∴点（2，1）不是点A（1，2）的“8阶元元点”；
③∵ 2×1＋5×2＝8，
∴点（ 2，5）是点A（1，2）的“8阶元元点”；
故答案为：①③；
【分析】（1）根据“8阶元元点”的定义逐一判断即可；
（2）根据“2026阶元元点”的定义可得1×4＋2a＝2026，解方程即可得到答案；
（3）平面直角坐标系中，一点到x轴的距离为该点纵坐标的绝对值，到y轴的距离为该点横坐标的绝对值，据此建立关于m的方程求出m的值，进而得到点C的横纵坐标，再根据“a阶元元点”的定义求解即可．
24．如图 1，已知直线 MN∥PQ，点 A在直线 PQ上，点 B在直线 MN、PQ之间， ∠BAP=45°，点 C在直线MN上，记∠MCB=α.作∠ABD交直线 PQ于点 D (D在 A的右侧)使得
（1）当α=　 　时， AB⊥BC；
（2）求∠BDP (用含有α的式子表示) ；
（3）点 E为平面内一点且满足 直线 CE与直线 BD交于点 F.问∠BFC是否为定值 若是，请求出这个值，若不是，则求出∠BFC与∠MCB的数量关系.
【答案】（1）45°
（2）解：如图，过点B作BK∥MN，
由（1）得∠ABC＝α＋45°，∠ABK＝∠BAP＝45°，
∴∠ABD＝∠ABC＝α＋15°．
∴∠KBD＝∠ABK ∠ABD＝45° (α＋15°)＝30° α，
∵BK∥PQ，
∴∠BDP＝∠KBD＝30° α；
（3）解：∵∠ABC＝α＋45°，∠ABD＝∠ABC，
∴∠ABD＝α＋15°，∠CBD＝∠ABC＝α＋30°．
分两种情况：
当点E在直线MN下方时，如图，过点F作FT∥MN，过点B作BI∥MN，
∵∠MCE＝∠BCE，
∴∠MCF＝∠MCB＝α，
∵FT∥MN，BI∥MN，
∴∠TFC＝∠MCF＝α，∠CBI＝∠MCB＝α，BI∥FT，
∴∠DBI＝∠CBD ∠CBI＝α＋30° α＝30° α，
∵BI∥FT，
∴∠TFD＝∠IBD＝30° α，
∴∠BFC＝∠TFD＋∠TFC＝30° α＋α＝30°；
当点E在直线MN上方时，如图，过点F作FT∥MN，过点B作BI∥MN，
∵∠MCE＝∠BCE，
∴∠MCF＝∠MCB＝α，
∵FT∥MN，BI∥MN，
∴∠TFC＝∠MCF＝α，∠CBI＝∠MCB＝α，BI∥FT，
∴∠DBI＝∠CBD ∠CBI＝α＋30° α＝30° α，
∵BI∥FT，
∴∠TFD＝∠IBD＝30° α，
∴∠BFC＝∠TFD ∠TFC＝30° α α＝30° α，
∴∠BFC＝30° ∠MCB．
综上，当点E在直线MN上方时，∠BFC＝30° ∠MCB；当点E在直线MN下方时，∠BFC＝30°．
【知识点】平行线的性质；平行线的应用-求角度；平行线的应用-证明问题；平行公理的推论；分类讨论
【解析】【解答】解：（1）如图，过点B作BK∥MN，
∴∠CBK＝∠MCB＝α．
∵BK∥MN，MN∥PQ，
∴BK∥PQ，
∴∠ABK＝∠BAP＝45°．
∴∠ABC＝∠CBK＋∠ABK＝α＋45°．
当AB⊥BC时，∠ABC＝α＋45°＝90°，
解得α＝45°，
故答案为：45°；
【分析】（1）过点B作BK∥MN，则BK∥PQ，由平行线的性质得∠CBK＝∠MCB＝α，∠ABK＝∠BAP＝45°．进而可得∠ABC＝∠CBK＋∠ABK＝α＋45°，由此可解；
（2）由（1）得∠ABC＝α＋45°，∠ABK＝∠BAP＝45°，根据∠KBD＝∠ABK ∠ABD求出∠KBD，进而根据平行线的性质可解；
（3）分点E在直线MN的上方、下方两种情况，根据平行线的判定与性质，结合前两问结论，分别求解即可．
25．如图 1，在平面直角坐标系中，已知点 A (a，-4) ， B (-4， b) ，且满足 点 C为 y轴正半轴上的一个动点.
（1） a=　 　， b=　 　；
（2）连接 AC、OB交于点 D，若三角形 ABD和三角形 COD的面积相等，求点 C的坐标；
（3）如图 2，过点 C作 AB的平行线 l，点 M、N为直线 l上两个动点，线段 AM和线段 BN相交于点 E，且满足 AM=10， BN=8，求四边形 ABMN面积的最大值.
【答案】（1）-2；-3
（2）解：如图1，过点A作AG⊥y轴于点G，过点B作BH⊥x轴于点H，延长HB，GA交于点T，连接OA，
由（1）得A（ 2， 4），B（ 4， 3），
∴AG＝2，OG＝4，OH＝4，BH＝3，BT＝ 3 （ 4）＝1，AT＝ 2 （ 4）＝2，
∴S△AOB＝S长方形OHTG S△BOH S△AOG S△ABT
＝4×4 ×3×4 ×2×4 ×1×2
＝5；
∵三角形ABD和三角形COD的面积相等，
∴S△ABD＋S△AOD＝S△COD＋S△AOD，
∴S△AOC＝S△AOB＝5，
∴OC AG＝5，
∴OC＝5，
∴点C的坐标为（0，5）；
（3）解：如图2，将线段MA平移得到线段NS，连接AS（其中点M与点N是对应点），
∴AS∥MN，AS＝MN，SN＝AM＝10，
∵AB∥MN，
∴AB∥AS，
∴A、B、S三点共线，
∵MN∥AB，
∴S△ABM＝S△ABN；
∵平行线间的距离处处相等，
∴S△AMN＝S△ANS，
∴S四边形ABMN＝S△ABM＋S△AMN＝S△ABN＋S△ANS＝S△BNS；
∵垂线段最短，
∴点B到NS的距离一定不大于BN的长，
∴当BN⊥NS时，△BNS的面积有最大值，最大值为×10×8＝40，
∴四边形ABMN的面积的最大值为40．
【知识点】三角形的面积；算术平方根的性质（双重非负性）；绝对值的非负性；几何图形的面积计算-割补法
【解析】【解答】解：（1）∵依题意得：
，
解得：
，
故答案为： 2； 3；
【分析】（1）根据非负数的性质求解即可；
（2）过点A作AG⊥y轴于点G，过点B作BH⊥x轴于点H，延长HB，GA交于点T，连接OA，可求出△AOB的面积，再证明S△AOC＝S△AOB，据此利用三角形的面积公式求解即可；
（3）将线段MA平移得到线段NS，连接AS（其中点M与点N是对应点），则AS＝MN，SN＝AM＝10，AS∥MN，可证明A、B、S三点共线，可证明S四边形ABMN＝S△BNS；根据点B到NS的距离一定不大于BN的长，故当BN⊥NS时，△BNS的面积有最大值，最大值为×10×8＝40，则四边形ABMN的面积的最大值为40．
1 / 1广东省广州市第二中学教育集团2025-2026学年七年级下学期期中数学试卷
1．下列四个数中，是无理数的是（　　）
A． B． C． D．3
2．如图，直线 a，b相交于点 O，如果∠1+∠2=60°，那么∠1的度数为(　　)
A．25° B．30° C．45° D．60°
3．如图，上课时，唐老师用手在平面直角坐标系中遮住一个点，这个点的坐标可能为(　　)
A．(2， 2) B．(-2， 2)
C．(-2， - 2) D．(2， - 2)
4．如图，与∠1是同位角的是(　　)
A．∠2 B．∠3 C．∠4 D．∠5
5．方程组 的解为 则被遮盖的两个数分别为(　　)
A．2， 1 B．5， 1 C．2， 3 D．2， 4
6．如果点 P (m+3，m-4)在平面直角坐标系的 x轴上，那么 P点坐标为(　　)
A．(0， 7) B．(-7， 0)
C．(7， 0) D．(0， - 7)
7．一条船顺流航行，每小时行驶 18km；逆流航行，每小时行驶 16km.若设船在静水中的速度为 xkm/h，水流度为 ykm/h，则列出的方程组为(　　)
A． B．
C． D．
8．已知 n是整数，且 则 n的值是(　　)
A．8 B．9 C．10 D．11
9．如图， AC⊥BC， CD⊥AB，则点 C到直线 AB的距离是(　　)
A．线段 AC的长 B．线段 BC的长
C．线段 CD的长 D．线段 AB的长
10．如图，在平面直角坐标系上有一个点 A (-1，0)，点 A第 1次向上跳动 1个单位至点 A (-1，1)，紧接着第 2次向右跳动 2个单位至点 A2 (1，1)，第 3次向上跳动 1个单位，第 4次向左跳动 3个单位，第 5次又向上跳动 1个单位，第 6次向右跳动 4个单位，…，依此规律跳动下去，若点 A第 2026次跳动至点 A2026的坐标是(a，b) ，则 a+b的和为(　　)
A．506 B．507 C．1518 D．1520
11．比较大小：　 　3．（选填“”、“”或“”）
12．命题“如果 x=y，那么 是　 　命题. (填“真”或“假”) .
13．已知 是方程 3x+ my=5的一个解，那么 m=　 　.
14．伞兵在高空跳离飞机往下降落，在打开降落伞前，下降的高度 h (米)与下降的时间 t (秒)的关系为h=4.9t2(不计空气阻力)，一个伞兵在打开降落伞前的一段时间内下降了 490米，则下落的这段时间为　 　秒.
15．如图，若白棋①的位置记为(0，2)，黑棋②的位置记为(1，3)，则白棋③的位置应记为　 　.
16．如图， AB||CD， CE||BD， 点 E在 CA延长线上， DE， AB交于 F， P 为线段 DC上一动点，Q为线段 PC上一点， 且满足∠FQP=∠QFP，FM为∠EFP的平分线， 则下列结论：
①∠AFE=40 °；
②FQ平分∠AFP；
③FQ||AC；
④∠QFM=20 °，
其中结论正确的有　 　.(填序号)
17．计算：
18．解方程组：
19．如图， 在平面直角坐标系中， 点 A (-1， 5) ， B (-1， 0) ， C (-4， 3) ， 三角形 ABC向右平移 5个单位长度后得到的三角形 A1B1C1.
（1） 画出平移后的三角形 A1B1C1， 并写出 A1， B1， C1的坐标；
（2） 求三角形 A1B1C1的面积.
20． 2026马年央视春晚中，宇树科技的机器人《武 BOT》展示了单腿连续后空翻、托马斯全旋等高难度动作，是本届春晚科技与文化融合的巅峰之作.随着人工智能与物联网等技术的快速发展，人形机器人的应用场景不断拓展，某快递企业为提高工作效率.拟购买 A、B两种型号智能机器人进行快递分拣.若买 1台 A型机器人、3台 B型机器人，共需 260万元；若买 3台 A型机器人、2台 B型机器人，共需 360万元.求 A、B两种型号智能机器人的单价.
21．完成下面的证明.
已知：如图，
求证： ∠B=∠CDE.
证明： ∠ADC+∠DCE=180°(已知) ，
∴AD∥CE 　 　 ，
∴∠2=∠　 　(两直线平行，内错角相等) ，
∵∠1=∠E (已知) ，
∴∠1=∠2 (等量代换)，
∴　 　　 　 ，
∴∠B=∠CDE 　 　 .
22．小丽想用一块面积为 100cm2的正方形纸片，沿着边的方向裁出一块面积为 72cm2的长方形纸片，使它的长与宽的比为 2：1.但她不知道能否裁得出来，正在发愁，小明见了说：“别发愁，一定能用一块面积大的纸片裁出一块面积小的纸片！”
（1）求原正方形纸片的边长；
（2）你同意小明的说法吗 小丽能用这块纸片裁出想要的纸片吗
23．在平面直角坐标系中，对于点 P (x1， y1) 、点 Q (x2， y2) ，若满足 x1x2+y1y2=m，其中 m为常数，则称点P 与点 Q互为“m阶元元点”，例如：点 P (-4， 3)与 Q (1， 2)互为“2阶元元点”.
（1）下列选项中，是点 A (1，2)的“8阶元元点”的有　 　(填序号)；
① (4， 2) ；
② (2， 1) ；
③ (-2， 5) .
（2）点 A (1， 2)和点 B (4， a)互为“2026阶元元点”，求 a的值；
（3）若点 C (m+7， 3m-1)到两条坐标轴的距离相等，且与点 A (1， 2)互为“a阶元元点”，求 a的值.
24．如图 1，已知直线 MN∥PQ，点 A在直线 PQ上，点 B在直线 MN、PQ之间， ∠BAP=45°，点 C在直线MN上，记∠MCB=α.作∠ABD交直线 PQ于点 D (D在 A的右侧)使得
（1）当α=　 　时， AB⊥BC；
（2）求∠BDP (用含有α的式子表示) ；
（3）点 E为平面内一点且满足 直线 CE与直线 BD交于点 F.问∠BFC是否为定值 若是，请求出这个值，若不是，则求出∠BFC与∠MCB的数量关系.
25．如图 1，在平面直角坐标系中，已知点 A (a，-4) ， B (-4， b) ，且满足 点 C为 y轴正半轴上的一个动点.
（1） a=　 　， b=　 　；
（2）连接 AC、OB交于点 D，若三角形 ABD和三角形 COD的面积相等，求点 C的坐标；
（3）如图 2，过点 C作 AB的平行线 l，点 M、N为直线 l上两个动点，线段 AM和线段 BN相交于点 E，且满足 AM=10， BN=8，求四边形 ABMN面积的最大值.
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】无理数的概念
【解析】【解答】解：A、是分数，属于有理数；
B、是开方开不尽的数，是无限不循环小数，属于无理数
C、是有限小数，可化为分数，属于有理数；
D、是整数，属于有理数．
故选：B
【分析】根据有理数和无理数的定义，对选项逐个判断即可．
2．【答案】B
【知识点】对顶角及其性质
【解析】【解答】解：∵∠1与∠2是对顶角，∠1+∠2=60°，
∴∠1=∠2=30°，
故答案为： B.
【分析】利用对顶角的性质及∠1+∠2=60°，求出∠1=∠2=30°即可.
3．【答案】C
【知识点】点的坐标与象限的关系
【解析】【解答】解：∵手在第三象限，第三象限的点坐标的特征是：横坐标为负数，纵坐标为负数，
∴点（-2，-2）符合题意，
故答案为： C.
【分析】利用四个象限点坐标的符号特点（①第一象限（+，+）；②第二象限（-，+）；③第三象限（-，-）；④第四象限（+，-））分析求解即可.
4．【答案】B
【知识点】同位角的概念
【解析】【解答】解：根据图形可得，与∠1时同位角的是∠3，
故答案为：B.
【分析】利用同位角的定义（两条直线被第三条直线所截，两个角分别在两条被截线同一方并且都在截线同一侧）及特征分析求解即可.
5．【答案】B
【知识点】二元一次方程的解；已知二元一次方程组的解求参数
【解析】【解答】解：将x=2代入x+y=3中，可得2+y=3，解得：y=1，
将x=2，y=1代入2x+y可得2×2+1=5，
∴被遮盖的两个数分别5，1，
故答案为：B.
【分析】先将x=2代入x+y=3中求出y的值，再将x、y的值代入2x+y求解即可.
6．【答案】C
【知识点】点的坐标
【解析】【解答】解：∵点P在x轴上，
∴m-4=0，
解得：m=4，
∴m+3=7，
∴点P的坐标为（7，0），
故答案为：C.
【分析】利用x轴上点坐标的特征可得m-4=0，求出m的值，再求出点P的坐标即可.
7．【答案】B
【知识点】二元一次方程组的实际应用-行程问题；列二元一次方程组
【解析】【解答】解：设船在静水中的速度为 xkm/h，水流度为 ykm/h，
根据题意可得：，
故答案为：B.
【分析】 设船在静水中的速度为 xkm/h，水流度为 ykm/h，利用“ 一条船顺流航行，每小时行驶 18km ”和“ 逆流航行，每小时行驶 16km ”列出方程组即可.
8．【答案】A
【知识点】无理数的估值
【解析】【解答】解：∵64<70<81，
∴8<<9，
∵
∴n=8，
故答案为：A.
【分析】利用估算无理数大小的方法求出n的值即可.
9．【答案】C
【知识点】点到直线的距离
【解析】【解答】解：∵CD⊥AB，
∴ 点C到直线 AB的距离是线段CD的长，
故答案为：C.
【分析】利用点到直线的距离的定义（点到直线的距离是指该点到直线的垂线段的长度）分析求解即可.
10．【答案】D
【知识点】点的坐标；探索规律-点的坐标规律
【解析】【解答】解：按照题中的跳动规律，推理前面12个点的坐标如下：
A1（ 1，1），A2（1，1），A3（1，2），A4（ 2，2），
A5（ 2，3），A6（2，3），A7（2，4），A8（ 3，4），
A9（ 3，5），A10（3，5），A11（3，6），A12（ 4，6），
…，
以此类推发现规律：
A4n 3（ n，2n 1），A4n 2（n，2n 1），A4n 1（n，2n），A4n（ n 1，2n），其中n为正整数；
∵2026÷4＝506……2，
∴A2026（507，2×507 1）即A2026（507，1013），
∴a＝507，b＝1013，
∴a＋b＝507＋1013＝1520．
故答案为：D．
【分析】按照题中的跳动规律，通过前面12个点的坐标，归纳出坐标的变化规律，即可求解．
11．【答案】
【知识点】实数的大小比较；求算术平方根
【解析】【解答】解：，
，
，
故答案为：．
【分析】估算无理数的范围即可求出答案.
12．【答案】真
【知识点】等式的基本性质；真命题与假命题；举反例判断命题真假
【解析】【解答】解：∵x=y，
∴x2=y2，
∴命题“ 如果 x=y，那么 ”是真命题，
故答案为：真.
【分析】利用等式的性质及真假命题的定义分析求解即可.
13．【答案】4
【知识点】已知二元一次方程的解求参数
【解析】【解答】解：将代入3x+ my=5，
可得：-3+2m=5，
解得：m=4，
故答案为：4.
【分析】将代入3x+ my=5，可得-3+2m=5，再求出m的值即可.
14．【答案】10
【知识点】求代数式的值-直接代入求值
【解析】【解答】解：将h=490代入 h=4.9t2 ，
可得：490=4.9t2 ，
解得：t=10（负值舍），
故答案为：10.
【分析】将h=490代入 h=4.9t2 可得方程490=4.9t2 ，再求出t的值即可.
15．【答案】（5，6）
【知识点】用坐标表示地理位置；平面直角坐标系的构成
【解析】【解答】解：由白棋①的位置记为（0，2），黑棋②的位置记为（1，3）可得坐标系如图所示：
由坐标系可知：白棋③横坐标为：5，纵坐标为：6，
故白棋③的位置应记为（5，6）；
故答案为：（5，6）．
【分析】可根据“白棋①的位置记为（0，2），黑棋②的位置记为（1，3）”建立坐标系，然后问题可求解．
16．【答案】①②④
【知识点】平行线的性质；角平分线的概念；平行线的应用-求角度
【解析】【解答】解：AB∥CD，CE∥BD，点E在CA延长线上，DE，AB交于F，
结论①∠AFE＝40°，
∵AB∥CD，
∴∠AFE＝∠CDF＝40°，
故①正确，符合题意．
结论②FQ平分∠AFP，
∵AB∥CD，
∴∠AFQ＝∠FQP；
又∵∠FQP＝∠QFP，
∴∠AFQ＝∠QFP，
即FQ平分∠AFP，
②正确，符合题意．
结论③FQ∥AC，
∵P是DC上动点，P位置变化时，∠AFP 随之变化，
∴∠AFQ＝∠PFQ＝∠AFP 也随之变化，
∵∠AFD （AF，FD为定直线）是定值，
∴∠AFD ∠AFQ＝∠QFD也随之变化，
∵∠E （AC所在直线的角）是定值，
∴∠QFD 不恒等于∠E，
∴FQ不恒平行于AC，
③错误，不符合题意．
结论④∠QFM＝20°，
∵FM平分∠EFP，
∴∠EFM＝∠PFM＝∠EFP；
由②知FQ平分∠AFP，
∴∠AFQ＝∠PFQ＝∠AFP；
又∵∠EFP＝∠AFE＋∠AFP＝40°＋∠AFP，
∴∠QFM＝∠PFM ∠PFQ＝∠EFP ∠AFP＝(40°＋∠AFP) ∠AFP＝20°，
④正确，符合题意．
故答案为：①②④．
【分析】因为AB∥CD，所以可利用平行线的同位角相等性质，结合∠CDF＝40°，判断∠AFE的度数，即可验证结论①．因为AB∥CD，所以可利用平行线的内错角相等性质，结合∠FQP＝∠QFP，即可验证结论②．先证出∠QFD是个可变的角，∠E 是定角，再利用同位角的关系可验证结论③．由平分线的性质，证出∠EFM＝∠PFM＝∠EFP，∠AFQ＝∠PFQ＝∠AFP，利用角度间的数量关系即可推导出∠QFM 的度数，验证结论④．
17．【答案】解：原式=
=
【知识点】实数的绝对值；求算术平方根；开立方（求立方根）
【解析】【分析】先利用算术平方根、立方根和绝对值的性质化简，再求解即可.
18．【答案】解：
由①×2+②，可得：
5x=10，
解得：x=2，
将x=2代入①，可得：
2-y=3，
解得：y=-1，
∴方程组的解为
【知识点】加减消元法解二元一次方程组
【解析】【分析】利用加减消元法的计算方法分析求解即可.
19．【答案】（1）解：作图如下：
A1（4，5），B1（4，0），C1（1，3）
（2）解：S△A1B1C1=×A1B1×3=×5×3=
【知识点】三角形的面积；作图﹣平移
【解析】【分析】（1）先利用点坐标平移的特征（上加下减、左减右加）找出点A、B、C的对应点，再连接并直接求出点A1， B1， C1的坐标 即可；
（2）利用三角形的面积公式列出算式求解即可.
20．【答案】解：设A种型号智能机器人的单价为x万元， B种型号智能机器人的单价为y万元，
根据题意可得：，
解得：，
答：A型智能机器人的单价是80万元，B型智能机器人的单价是60万元．
【知识点】二元一次方程组的实际应用-销售问题
【解析】【分析】设A种型号智能机器人的单价为x万元， B种型号智能机器人的单价为y万元，利用“ 买 1台 A型机器人、3台 B型机器人，共需 260万元 ”和“ 买 3台 A型机器人、2台 B型机器人，共需 360万元 ”列出方程组求解即可.
21．【答案】同旁内角互补，两直线平行；E；AB∥DE；内错角相等，两直线平行；两直线平行，同位角相等
【知识点】平行线的判定与性质；推理与论证
【解析】【解答】解：证明：∠ADC＋∠DCE＝180°（已知），
∴AD∥CE（同旁内角互补，两直线平行），
∴∠2＝∠E（两直线平行，内错角相等），
∵∠1＝∠E（已知），
∴∠1＝∠2（等量代换），
∴AB∥DE（内错角相等，两直线平行），
∴∠B＝∠CDE（两直线平行，同位角相等）．
故答案为：同旁内角互补，两直线平行；E；AB∥DE；内错角相等，两直线平行；两直线平行，同位角相等．
【分析】根据平行线的性质和判定进行证明即可．
22．【答案】（1）解：∵一块面积为100cm2的正方形纸片，
∴
∴正方形纸片的边长为10cm.
（2）解：设长方形的长为2x cm，宽为x cm，
由题意得，2x x＝72，
解得x＝6或x＝ 6（舍去），
∴2x＝12，
∵12＞10，
∴长方形的长大于正方形的边长，
∴不同意小明的说法，小丽不能用这块纸片裁出想要的纸片．
【知识点】二次根式的实际应用；算术平方根的实际应用
【解析】【分析】（1）根据正方形的面积公式求解即可；
（2）设长方形的长为2x cm，宽为x cm，根据长方形的面积公式建立方程求出长方形的长，再与正方形的边长比较即可得到结论．
23．【答案】（1）①③
（2）解：∵点A（1，2）和点B（4，a）互为“2026阶元元点”，
∴1×4＋2a＝2026，
∴a＝1011
（3）解：由条件可知|m＋7|＝|3m 1|，
∴m＋7＝3m 1或m＋7＝ （3m 1），
∴m＝4或m＝ ；
当m＝4时，m＋7＝11，3m 1＝11，
∵点C（m＋7，3m 1）与点A（1，2）互为“a阶元元点”，
∴a＝1×11＋2×11＝33；
当m＝ 时，m＋7＝，3m 1＝ ，
∵点C（m＋7，3m 1）与点A（1，2）互为“a阶元元点”，
∴a＝1×＋2×( )＝ 11＝ ；
综上所述，a的值为33或 ．
【知识点】解含绝对值符号的一元一次方程；点的坐标；分类讨论
【解析】【解答】解：（1）①∵1×4＋2×2＝8，
∴点（4，2）是点A（1，2）的“8阶元元点”；
②∵2×1＋1×2＝4≠8，
∴点（2，1）不是点A（1，2）的“8阶元元点”；
③∵ 2×1＋5×2＝8，
∴点（ 2，5）是点A（1，2）的“8阶元元点”；
故答案为：①③；
【分析】（1）根据“8阶元元点”的定义逐一判断即可；
（2）根据“2026阶元元点”的定义可得1×4＋2a＝2026，解方程即可得到答案；
（3）平面直角坐标系中，一点到x轴的距离为该点纵坐标的绝对值，到y轴的距离为该点横坐标的绝对值，据此建立关于m的方程求出m的值，进而得到点C的横纵坐标，再根据“a阶元元点”的定义求解即可．
24．【答案】（1）45°
（2）解：如图，过点B作BK∥MN，
由（1）得∠ABC＝α＋45°，∠ABK＝∠BAP＝45°，
∴∠ABD＝∠ABC＝α＋15°．
∴∠KBD＝∠ABK ∠ABD＝45° (α＋15°)＝30° α，
∵BK∥PQ，
∴∠BDP＝∠KBD＝30° α；
（3）解：∵∠ABC＝α＋45°，∠ABD＝∠ABC，
∴∠ABD＝α＋15°，∠CBD＝∠ABC＝α＋30°．
分两种情况：
当点E在直线MN下方时，如图，过点F作FT∥MN，过点B作BI∥MN，
∵∠MCE＝∠BCE，
∴∠MCF＝∠MCB＝α，
∵FT∥MN，BI∥MN，
∴∠TFC＝∠MCF＝α，∠CBI＝∠MCB＝α，BI∥FT，
∴∠DBI＝∠CBD ∠CBI＝α＋30° α＝30° α，
∵BI∥FT，
∴∠TFD＝∠IBD＝30° α，
∴∠BFC＝∠TFD＋∠TFC＝30° α＋α＝30°；
当点E在直线MN上方时，如图，过点F作FT∥MN，过点B作BI∥MN，
∵∠MCE＝∠BCE，
∴∠MCF＝∠MCB＝α，
∵FT∥MN，BI∥MN，
∴∠TFC＝∠MCF＝α，∠CBI＝∠MCB＝α，BI∥FT，
∴∠DBI＝∠CBD ∠CBI＝α＋30° α＝30° α，
∵BI∥FT，
∴∠TFD＝∠IBD＝30° α，
∴∠BFC＝∠TFD ∠TFC＝30° α α＝30° α，
∴∠BFC＝30° ∠MCB．
综上，当点E在直线MN上方时，∠BFC＝30° ∠MCB；当点E在直线MN下方时，∠BFC＝30°．
【知识点】平行线的性质；平行线的应用-求角度；平行线的应用-证明问题；平行公理的推论；分类讨论
【解析】【解答】解：（1）如图，过点B作BK∥MN，
∴∠CBK＝∠MCB＝α．
∵BK∥MN，MN∥PQ，
∴BK∥PQ，
∴∠ABK＝∠BAP＝45°．
∴∠ABC＝∠CBK＋∠ABK＝α＋45°．
当AB⊥BC时，∠ABC＝α＋45°＝90°，
解得α＝45°，
故答案为：45°；
【分析】（1）过点B作BK∥MN，则BK∥PQ，由平行线的性质得∠CBK＝∠MCB＝α，∠ABK＝∠BAP＝45°．进而可得∠ABC＝∠CBK＋∠ABK＝α＋45°，由此可解；
（2）由（1）得∠ABC＝α＋45°，∠ABK＝∠BAP＝45°，根据∠KBD＝∠ABK ∠ABD求出∠KBD，进而根据平行线的性质可解；
（3）分点E在直线MN的上方、下方两种情况，根据平行线的判定与性质，结合前两问结论，分别求解即可．
25．【答案】（1）-2；-3
（2）解：如图1，过点A作AG⊥y轴于点G，过点B作BH⊥x轴于点H，延长HB，GA交于点T，连接OA，
由（1）得A（ 2， 4），B（ 4， 3），
∴AG＝2，OG＝4，OH＝4，BH＝3，BT＝ 3 （ 4）＝1，AT＝ 2 （ 4）＝2，
∴S△AOB＝S长方形OHTG S△BOH S△AOG S△ABT
＝4×4 ×3×4 ×2×4 ×1×2
＝5；
∵三角形ABD和三角形COD的面积相等，
∴S△ABD＋S△AOD＝S△COD＋S△AOD，
∴S△AOC＝S△AOB＝5，
∴OC AG＝5，
∴OC＝5，
∴点C的坐标为（0，5）；
（3）解：如图2，将线段MA平移得到线段NS，连接AS（其中点M与点N是对应点），
∴AS∥MN，AS＝MN，SN＝AM＝10，
∵AB∥MN，
∴AB∥AS，
∴A、B、S三点共线，
∵MN∥AB，
∴S△ABM＝S△ABN；
∵平行线间的距离处处相等，
∴S△AMN＝S△ANS，
∴S四边形ABMN＝S△ABM＋S△AMN＝S△ABN＋S△ANS＝S△BNS；
∵垂线段最短，
∴点B到NS的距离一定不大于BN的长，
∴当BN⊥NS时，△BNS的面积有最大值，最大值为×10×8＝40，
∴四边形ABMN的面积的最大值为40．
【知识点】三角形的面积；算术平方根的性质（双重非负性）；绝对值的非负性；几何图形的面积计算-割补法
【解析】【解答】解：（1）∵依题意得：
，
解得：
，
故答案为： 2； 3；
【分析】（1）根据非负数的性质求解即可；
（2）过点A作AG⊥y轴于点G，过点B作BH⊥x轴于点H，延长HB，GA交于点T，连接OA，可求出△AOB的面积，再证明S△AOC＝S△AOB，据此利用三角形的面积公式求解即可；
（3）将线段MA平移得到线段NS，连接AS（其中点M与点N是对应点），则AS＝MN，SN＝AM＝10，AS∥MN，可证明A、B、S三点共线，可证明S四边形ABMN＝S△BNS；根据点B到NS的距离一定不大于BN的长，故当BN⊥NS时，△BNS的面积有最大值，最大值为×10×8＝40，则四边形ABMN的面积的最大值为40．
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