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(3)由0.9x+10<0.95x+2.5,解得x>150,
由0.9x+10>0.95x+2.5,解得x<150.
∴当小红累计购物超过150元时,在甲商场的实际花费少;
当小红累计购物超过100元而不到150元时,在乙商场的实际花费少.
1
13.解:设乙杯中液体深为xcm.∵∠ABP=30°,∠P=90°,∴AP=2AB=43cm.
根据两杯的高度相等,并且杯中的液体体积相等,可得π×(23)2×16=π×(43)2x,解得x
=4,即乙杯中液体的深度为4cm.
在Rt△ABP 中,由勾股定理,得BP= AB2-AP2=12cm.
1
∵S△ABP= ·AP·
1
BP= ·
43×12
2 2 AB
·h,∴h= =6(cm),
83
故点P 与液面的距离是16-6-4=6(cm).
14.解:(1)108 (2)大于180千瓦时小于或等于450千瓦时 (3)0.6 (4)因为328.5>
283.5,所以他家本月用电量超过450千瓦时,设直线BC 的解析式为y=kx+b,将(450,
283.5=450k+b, k=0.9,
283.5),(540,364.5)代入,得 解得 所以直线BC 的解析式为364.5=540k+b, b=-121.5,
y=0.9x-121.5,将y=328.5代入,得328.5=0.9x-121.5,解得x=500,所以小明家这个
月用电500千瓦时.
五、八年级下册分章复习
第1章 二次根式
[基础过关]
一、1.x≥0且
1
x≠3 2.9 3.2 4.2 5.0.3 1 6.1 7.-6 8. n+ (n+2= n+
·9·
) 11 n+2
二、9.D 10.B 11.D 12.D 13.C 14.C 15.D
三、 316.(1) (2)4 (3)2 (4)2 23+2
17.解:(1)m2+3n2 2mn
(2)4 2 1 1(答案不唯一)
a=m2+3n2,
(3)根据题意,得 ∵2mn=4,且m,n 为正整数,4=2mn,
∴m=2,n=1或m=1,n=2,
∴a=7或13.
[综合提升]
5 5 n n
1.2b 2.1 3.1 4. 5-26=5 26 n- 2 =n 5.-1 6.-1 7.Bn +1 n2+1
8.C 9.C 10.B 11.C
(x+2 )(x-2 ) x(x+2 ) x=2-1,
12.解:原式=y y y · y , ,(x+2y)2
将 代入 得原式
x-2 =xy =1.y
y=2+1
[中考热身]
1.-2 2.B 3.B
4.解: 2 1x-1+ ·(2 ) (x+1 x -1 =2x+1)+x-1=3x+1,
当 3-1x= 时,3 3x+1= 3-1+1= 3.
5.解:(1)∵汽车在每小时70~110公里之间(含70公里和110公里)行驶时,每公里耗
油 1 45018+x2 升,
1 450 x 450∴y=x× + 2 = + (70≤x≤110);18 x 18 x
(2)根据材料得:当
x 450时有最小值,解得
18=x x=90.
·10·

∴该汽车的经济时速为90公里/时,
当x=90时,百公里耗油量为100× 1 45018+ ≈8100 11.1(升).
第2章 一元二次方程
[基础过关]
一、1.3x2-5x-2=0 2.4 3.x2-70x+825=0 4.x1= 3+1,x2=- 3+1 5.±1
9 3
6.(1)25 5 (2)16 4 7.17 8.3200
(1-x)2=2500
二、9.B 10.A 11.D 12.C 13.C 14.A 15.D 16.C
三、17.(1)x1=0,x2=-2 (2)x1=4,x2=12 18.长为15m,宽为10m.
[综合提升]
1.- 3 2.20 3.x1=-4,x2=-1 4.2 5.1 -3 6.1 7.C 8.A
[中考热身]
1.3 13 2.20% 3.B 4.A 5.C 6.D
7.(1)A=3(x+1) (2)36或-36
8.解:设购进第一批衬衫x 件,购进单价为y 元,则购进第二批衬衫为2x 件,购进单价
xy=8000, x=100,
为(y+8)元.依题意,可得 解得2x(y+8)=17600, y=80,
∴第一批衬衫可盈利:(100-80)×100=2000(元),
第二批衬衫可盈利:(100-88)×(200-10)+10×(100×0.8-88)=12×190-80=2280
-80=2200(元).
∴这两批衬衫总盈利:2000+2200=4200(元).
答:在这两笔生意中,商家共盈利4200元.
第3章 数据分析初步
[基础过关]
一、1.3 2.众数 3.2 4.9,9 5.93 6.6 10
二、7.A 8.C 9.D 10.B 11.C 12.C 13.B
·11·
三、14.解:(1)甲组数据从小到大排列为60,70,70,80,89,91,92,96,98,100,
所以 89+91a=70,m= 2 =90
,b=96;
(2)
[综合提升]
1.10 2.0.8 3.丙 4.B 5.(1)15 5.5 6 1.8 (2)①平均数或中位数或众数
②不能 理由略
[中考热身]
1.15.6 2.A 3.D 4.C
5.解:(1)极差=73-30=43,众数:50
(2)5÷7≈0.71
(3)从(1)(2)和条形图可看出从周一到周五的空气质量好,周六和周日的空气质量差.(答
案不唯一,合理即可)
第4章 平行四边形
[基础过关]
4 一、1.68 2.3 3.答案不唯一,如AD=BC 或AB∥DC 4.3 5.3
二、6.D 7.B 8.A 9.C 10.C 11.B
三、12.相等,连接BD,根据平行四边形对角线互相平分可得结论.
13.证明:(1)在△ABE 与△AFE 中,
∠B=∠AFE,∠AEB=∠AEF,AE=AE,
∴△ABE≌△AFE(AAS);
(2)平行四边形ABCD 中,∵AD∥BC,∴∠ADF=∠DEC.
·12·
∵AB∥CD,∴∠C=180°-∠B.
又∠AFD=180°-∠AFE,∠B=∠AFE,∴∠AFD=∠C.
在△ADF 与△DEC 中,由三角形内角和定理,得:
∠FAD=180°-∠ADF-∠AFD,∠CDE=180°-∠DEC-∠C,
∴∠FAD=∠CDE.
[综合提升]
1.C 2.B 3.C 4.A
5.证明:∵四边形ABCD 是平行四边形,
∴AB=CD,∠A=∠C.
又∵AE=CF,
∴△ABE≌△CDF,
∴BE=DF.
[中考热身]
1.28 2.C 3.C 4.C 5.D
6.证明:(1)∵四边形 ABCD 是平行四边形,∴AB=CD,AB∥CD,∴∠ABD=
∠CDB,∵∠1=∠2,∴∠AEB=∠CFD.∴△ABE≌△CDF,∴BE=DF;
(2)由(1)得,△ABE≌△CDF,∴AE=CF,∵∠1=∠2,EF=FE,∴△AFE≌△CEF,
∴∠AFE=∠CEF,∴AF∥CE.
第5章 特殊平行四边形
[基础过关]
一、 11.120 18 2.5 3.10 4.163 5. n-1 6.22+24
二、7.C 8.A 9.C 10.B 11.C
三、12.证明:(1)∵四边形ABCD 是矩形,∴∠B=∠D=90°,BC=DA,AB=CD,又E,F
1 1 分别是边AB,CD 的中点,∴BE= ,2AB DF=2CD.∴BE=DF
,∴△BEC≌△DFA(SAS);
(2)∵四边形ABCD 是矩形,∴AE∥CF,AB=CD,又E,F 分别是边AB,CD 的中点,
·13·
1
∴AE= ,
1
2AB CF=2CD.∴AE=CF.∴
四边形AECF 是平行四边形.
13.证明:∵四边形ABCD 是正方形,∴AD=BA,∠BAD=90°.∵DE⊥AG,∴∠DEG
=∠AED=90°,∴∠ADE+∠DAE=90°.又∵∠BAF+∠DAE=∠BAD=90°,∴∠ADE
=∠BAF.∵BF∥DE,∴ ∠AFB = ∠DEG = ∠DEA =90°.在 △ABF 与 △DAE 中,
∠AFB=∠DEA,
∠BAF=∠ADE,∴△ABF≌△DAE.∴BF=AE.∵AF=AE+EF,∴AF=BF+EF.
BA=AD,
14.(1)证明:∵四边形ABCD 是正方形,∴CD=CB.
∵AC 是正方形的对角线,∴∠DCA=∠BCA.
又CE=CE,∴△BEC≌△DEC;
(2)解:∵∠DEB=140°,
由△BEC≌△DEC 可得∠DEC=∠BEC=70°,
∴∠AEF=∠BEC=70°.
又∵AC 是正方形的对角线,∠DAB=90°,∴∠DAC=∠BAC=45°.
在△AEF 中,∠AFE=180°-70°-45°=65°.
15.证明:(1)根据作图步骤①和②可知PQ 是AC 的垂直平分线.
∵PQ 是AC 的垂直平分线,
∴CD=AD,ED⊥AC.
∵CF∥AB,
∴ ∠DCF=∠DAE.
∵ ∠DCF=∠DAE,CD=AD,∠CDF=∠ADE,
∴ △AED≌△CFD;
(2)∵ △AED≌△CFD,
∴FD=ED,AD=CD.
∴四边形AECF 为平行四边形.
又∵PQ 是AC 的垂直平分线,
∴ 四边形AECF 是菱形.
·14·

[综合提升]
1.答案不唯一,如AC=BD 2.17 3.C 4.C 5.A 6.C
7.证明:∵四边形ABCD 是菱形,∴OD=OB,∠COD=90°.
∵DH⊥AB 于H,∴∠DHB=90°,∴OH=OD=OB,∴∠OHB=∠OBH.
又∵AB∥CD,∴∠OBH=∠ODC,∴∠OHB=∠ODC.
在Rt△COD 中,∠ODC+∠OCD=90°,
在Rt△DHB 中,∠DHO+∠OHB=90°,
∴∠DHO=∠DCO.
8.证明:∵四边形ABCD 是平行四边形,∴OA=OC.又∵AF=CE,∴AF-OA=CE-
OC,即OF=OE.同理OG=OH.∴四边形EGFH 是平行四边形.∴GF∥HE.
9.解:(1)由图形折叠可得BE=EG,DF=FG,∵正方形ABCD 的边长为3,BE=1,∴
EG=1,EC=BC-BE=3-1=2,CF=3-FD=3-FG,在Rt△ECF 中,EF2=EC2+CF2,
∴(1+GF)2=22+(3-GF)2,解得
3, 3 5GF=2 ∴EF=1+ =
;
2 2
( 3 3 1 1 32)∵GF=DF= , , 的面积 ·2 ∴CF=CD-DF=2 ∴△CEF =2CE FC=2×2×2
3
=2.
10.(1)证明:∵四边形ABCD 是正方形,∴AD∥BC,AD=BC,∴∠DAE=∠BCF;∵
DE∥BF,∴∠DEF=∠BFE,∵∠DEF+∠DEA=180°,∠BFE+∠BFC=180°,∴∠DEA
=∠BFC,∴△ADE≌△CBF AAS ;
(2)解:如图所示,连接BD 交AC 于点O,
∵四边形ABCD 是正方形,∴AC=BD,AC⊥BD,AB=BC=3,∠ABC=90°,∴AC=
AB2+BC2=32;由(1)得△ADE≌△CBF,∴CF=AE=1,∴EF=AC-AE-CF=32
, 1 1 1 1-2 ∴S四边形BEDF=S△DEF+S△BEF=2EF
·OD+ EF·2 OB= EF
·
2 OD+OB =2EF
·15·
· 1
BD=2× 32-2 ×32=9-32.
[中考热身]
1.4 2.C 3.A
4.(1)证明:∵四边形ABCD 是平行四边形,
∴AD∥BC,
∴∠ADB=∠CBD.
∵OB=OD,∠DOE=∠BOF,
∴△DOE≌△BOF;
(2)解:当∠DOE=90°时,四边形BFDE 为菱形.
∵△DOE≌△BOF,
∴OE=OF.
∵OB=OD,
∴四边形BFDE 为平行四边形.
∵∠DOE=90°,
∴EF⊥BD,
∴ BFDE 为菱形.
5.(1)证明:在正方形ABCD 中,∵BC=DC,∠B=∠CDF,又∵BE=DF,
∴△CBE≌△CDF(SAS),∴CE=CF;
(2)解:GE=BE+GD 成立.
理由是:由(1)得:△CBE≌△CDF,∴∠BCE=∠DCF,
∴∠BCE+∠ECD=∠DCF+∠ECD,即∠BCD=∠ECF=90°.
又∵∠GCE=45°,∴∠GCF=∠GCE=45°.
∵CE=CF,∠GCE=∠GCF,GC=GC,∴△ECG≌△FCG(SAS),
∴GE=GF,∴GE=DF+GD=BE+GD.
六、八年级下册过关检测
3 一、 25
1.2 2.-2a 2b 3.8 4.2011 5.2 13
或62 6.22 7.4 8.12 9.
等
·16·第2章 一元二次方程
(2)写出根的判别式,配方后得到完全平方式,
进行解答.
【解答过程】 (1)解:已知1为原方程的一个根,则1
1.一元二次方程 1+m+m-2=0,∴m= ,
只含有一个未知数,并且未知数的最高次数是 2
二次的整式方程叫作一元二次方程.它的一般形式 代回 方 程 得: 1 3x2+ x- =0,∴另 一 根 为
为:ax2+bx+c=0(a≠0),其中ax2 叫作二次项,a 2 2
叫作二次项的系数;bx 叫作一次项,b 叫作一次项的 3- ;2
系数;c叫作常数项. (
2)证明:在x2+mx+m-2=0中,a=1,b=
2.一元二次方程的解法 m,c=m-2,∴b2-4ac=m2-4(m-2)=(m-2)2
(1)因式分解法:通过因式分解,将方程变形为 +4≥4>0.
一边是两个一次因式的积,另一边是0,根据ab=0, ∴不论m 取何实数,该方程都有两个不相等的
那么a=0或b=0,把原方程转化为两个一元一次方 实数根.
程来求解的方法叫作因式分解法. 【易错点睛】 此类问题容易出错的地方是第(2)问
(2)直接开平方法:用直接开平方法解形如(x- 中利用根的判别式对b2-4ac中的a,b,c与一元二
a)2=b(b≥0)的方程,得解为x=±b+a. 次方程x2+mx+m-2=0中的系数搞混.
(3)配方法:先对原一元二次方程配方,使它出 【方法规律】 一元二次方程的问题除了会解方程, 第
现完全平方式后,再用开平方法来求解的方法叫作 更要熟知一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根 一
配方法. 的判别式Δ=b2-4ac.当Δ>0时,方程有两个不相 部
(4)公式法:先把方程整理成一般形式ax2+bx 等的实数根;当Δ=0时,方程有两个相等的实数根; 分
+c=0,确定出a,b,c的值,然后,在b2-4ac≥0的 当Δ<0时,方程没有实数根.
前 提 下,把 a,b,c 的 值 代 入 求 根 公 式 x = 【例2】 近几年,我国经济高速发展,但退休人员待 夯
实
-b± b2-4ac 遇持续偏低.为了促进社会公平,国家决定大幅增加,就可以得出方程的实数根.这种解 基2a 退休人员退休金.企业退休职工李师傅2023年的月 础
法叫作公式法. 退休金为1500元,2025年达到2160元.设李师傅的
3.列一元二次方程解应用题的一般步骤 月退休金从2023年到2025年年平均增长率为x,可
①审题:整体地、系统地审读问题; 列方程为 ( )
②设元:设未知数; A.2016(1-x)2=1500
③列式:
根据问题中的等量关系式列出方程; B.1500(1+x)2=2160
④求解:解方程; C.1500(1-x)2=2160
⑤检验:检查解的合理性,是否存在; D.1500+1500(1+x)+1500(1+x)2=2160
⑥作答:书写答案. 【解题思路】 根据题意列出2024年的月退休金,再
列出2025的月退休金,然后根据2025年的月退休金
达到2160元为相等关系列方程求解.
【解答过程】 解:根据题意可知,2024年的月退休金
【例1】 已知关于x 的方程x2+mx+m-2=0. 为1500(1+x),2025年 的 月 退 休 金 为1500(1+
(1)若该方程的一个根为1,求m 的值及该方程 x)(1+x),所以方程为1500(1+x)2=2160,故选B.
的另一根; 【易错点睛】 此类问题容易出错的地方是(1)没有
(2)求证:不论m 取何实数,该方程都有两个不 认真审题,“增长”还是“减少”时出现列代数式的错
相等的实数根. 误;(2)误认为2160元是这三年的和而得到答案D.
【解题思路】 (1)将x=1代入方程x2+mx+m-2 【方法规律】 增长(降低)率是列方程解实际问题最
=0得到m 的值,再把m 的值代入方程,重新解一元 常见的题型之一,对于平均增长率问题,正确理解有
二次方程求出另一根; 关“增长”问题的一些词语的含义是解答这类问题的
33
关键,常见的词语有:“增加”“增加到”“增加了几倍” 时加上 ,使得方程左边配成一个完全平
“增长到几倍”“增长率”等等.弄清基数、增长(减少) 方式.
后的量及增长(减少)次数. 3.现有一块长80cm、宽60cm的矩形钢片,将
【例3】 楚天汽车销售公司5月份销售某种型号汽 它的四个角各剪去一个边长为xcm的小正方形,做
车.当月该型号汽车的进价为30万元/辆,若当月销售 成一个底面积为1500cm2 的无盖的长方体盒子,根
量超过5辆,每多售出1辆,所有售出的汽车进价均 据题意列方程,化简可得 .
降低0.1万元/辆.根据市场调查,月销售量不会突破 4.方程x2-2x-2=0的解是 .
30台. 5.将4个数a,b,c,d 排成2行2列,两边各加
(1)设当月该型号汽车的销售量为x 辆(x≤30, a b a b
一条竖直线记成 ,定义 =ad-bc,上
且x 为正整数),实际进价为y 万元/辆,求y 与x 的 c d c d
函数关系式; x+2 x-2
() 述记号就叫作 阶行列式
,若 ,则
2 已知该型号汽车的销售价为 万元/辆,公
2 =10
32 2-x x+2
司计划当月销售利润25万元,那么该月需售出多少 x= .
辆汽车 (销售利润=销售价-进价) 6.(1)x2+10x+ =(x+ )2;
【解题思路】 (1)按销售量进行分类,再合理表示出
()2 32x - x+ =(x- )2.
函数关系式,即:若当月销售量超过5辆,每多售出1 2
辆,所有售出的汽车进价均降低0.1万元/辆,则有进 7.已知三角形的两边长分别为4和6,第三边长
价y=30-0.1(x-5);(2)由销售利润=销售价- 是方 程 x
2-17x+70=0 的 根,则 三 角 形 的 周
第 进价来考虑,因为进价不相同,所以需要分当x≤5 长是 .
一 和5部 时,可列出方程(32+0.1x-30.5)x=25. 价,每部售价由3200元降到了2500元.设平均每月
分 【解答过程】 解:(1)当x≤5时,y=30; 降价的百分率为x,根据题意列出的方程是
当
夯 5时,y=-0.1x+30.5. .
实 30(x≤5), 二、选择题∴y= (且x 为正整
基 -0.1x+30.5(5础 数); 方程,则 ( )
(2)当x≤5时,(32-30)×5=10<25,不 合 A.a>0 B.a≠0
题意; C.a=1 D.a≥0
当5x2+15x-250=0,x1=-25(舍去),x2=10. 的值是 ( )
答:该月需售出10辆汽车. A.4 B.-4
【易错点睛】 此类问题容易出错的地方是(1)不能 C.2 D.-2
正确分类;(2)不能按分类要求合理地表示出函数关 11.一元二次方程x2-5x=-8的根的情况是
系或列出方程. ( )
【 方法规律】 (1)按销售量进行分类,再合理表示出 A.有两个不相等的实数根
函数关系式;(2)
按进价不同进行分类,再确定符合 B.有两个相等的实数根
题意的方程. C.只有一个实数根
D.没有实数根
12.用配方法解一元二次方程x2-2x-5=0,
下列配方正确的是 ( )
一、填空题 A.(x+1)2=6
1.将方程3x2=5x+2化为一元二次方程的一 B.(x+1)2=9
般形式是 . C.(x-1)2=6
2.用配方法解方程x2-4x=5时,方程两边同 D.(x-1)2=9
34
13.一元二次方程x2+px-2=0的一个根为 18.如图,有一面积为150m2 的长方形鸡场,鸡
2,则p 的值为 ( ) 场的一边靠墙(墙长18m),另三边用竹篱笆围成,如
A.1 果竹篱笆的长为35m,则鸡场的长与宽各为多少米
B.2
C.-1
D.-2
14.某商品原售价289元,经过连续两次降价后
售价为256元,设平均每次降价的百分率为x,则下
面所列方程中正确的是 ( )
A.289(1-x)2=256
B.256(1-x)2=289
C.289(1-2x)=256
D.256(1-2x)=289
15.已知一元二次方程x2-6x+c=0有一个根 1.关于x 的方程(m- 3)
2
xm -1-x+3=0是
为2,则c的值为 ( ) 一元二次方程,则 的值为
m .
A.2 B.3 2.已知: a2-4a+4=0,则5a2= .
C.4 D.8 3.关于x 的方程a(x+m)2+b=0的解是 x
2 116.已知关于x 的方程kx +(1-k)x-1=0, =-2,x2=1(a,m,b均为常数,a≠0),则方程a(x
下列说法正确的是 ( )
+m+2)2 +b=0的解是 .
A.当k=0时,方程无解 第
4.孔明同学在解一元二次方程x2-3x+c=0 一
B.当k=1时,方程有一个实数解
时,正确解得x1=1,x2=2,则c的值为 . 部
C.当k=-1时,方程有两个相等的实数解 2
5.已知关于, x
的方程x +mx-6=0的一个根 分
D.当k≠0时 方程总有两个不相等的实数解
为2,则、 m=
,另一根是 .
三 解答题
如图,邻边不等的矩 夯 6.
17.解下列方程. 实
形花圃 ,它的一边
(1)2
ABCD AD
x +2x=0; 基
利用已有的围墙,另外三边所 础
围的栅栏的总长度是6m.若
矩形的面积为4m2,则 AB 的长度是 m.
(可利用的围墙长度超过6m)
7.下列各方程一定是关于x 的一元二次方程
的是 ( )
5
A. x2
1
2 +x=0
B.ax2+bx+c=0
(2)2(x-4)2+16=x2. C.(n2+1)x2+n=0
D.mx2+3x=2x(x-1)+2
8.已知关于x 的方程kx2+(2k+1)x+(k-1)
=0有实数根,则k的取值范围为 ( )
1
A.k≥-8
1
B.k>-8
1
C.k≥- 且8 k
≠0
1
D.k<-8
35
7.(广州中考题)已知多项式A=(x+2)2+(1
-x)(2+x)-3.
(1)化简多项式A;
()若( )2 ,求 的值
1.( ) ,
1 , 2 x+1 =6 A .乐山中考题 若m 为正实数 且m-m=3
则 1m2- 2= .m
2.(宜宾中考题)某城市居民最低生活保障在
2018年是240元,经过连续两年的增加,到2020年
提高到345.6元,则该城市两年来最低生活保障的平
均年增长率是 .
3.(兰州中考题)一元二次方程ax2+bx+c=0
(a≠0)有两个不相等的实数根,下列选项正确的是
( )
A.b2-4ac=0
B.b2-4ac>0
C.b2-4ac<0
D.b2-4ac≥0
4.(玉林防城港中考题)x 1,x2 是关于x 的一元 8.(达州中考题)某服装商预测一种应季衬衫能
第 二次方程x2-mx+m-2=0的两个实数根,是否存 畅销市场,就用8000元购进一批衬衫,面市后果然供
一
在实数 1 1部 m 使等式 + =0成立 则正确的结 不应求
,服装商又用17600元购进了第二批这种衬
x1 x2
分 衫,所购数量是第一批购进数量的2倍,但单价贵了论是 ( )
8元.商家销售这种衬衫时每件定价都是100元,最 时成立
夯 A.m=0 后剩下10件按八折销售,很快售完.在这两笔生意
实 B.m=2时成立 中,商家共盈利多少元
基 C.m=0或2时成立
础 D.不存在
5.(江津中考题)已知关于x 的一元二次方程
(a-1)x2-2x+1=0有两个不相等的实数根,则a
的取值范围是 ( )
A.a<2
B.a>2
C.a<2且a≠1
D.a<-2
6.(成都中考题)已知关于x 的一元二次方程
mx2+nx+k=0(m≠0)有两个实数根,则下列关于
判别式n2-4mk的判断正确的是 ( )
A.n2-4mk<0
B.n2-4mk=0
C.n2-4mk>0
D.n2-4mk≥0
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