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专题二 数形结合思想
一、理论指导 C.S<1
数学家华罗庚说得好:“数缺形时少直观,形少 D.由n 决定,S 与1大小关系不定
数时难入微;数形结合百般好,隔离分家万事休.”可 【分析】 本题用初中数学直接求解较难,但如果与
见数形结合思想是数学中重要的思想方法之一,它 图形结合起来,直观易懂.
包含“以形取数”和“以数辅形”两个方面. 【解】 解法一:如图(1),在边长为1的正方形内,依
数是形的抽象概括,形是数的直观体现.在数学 次用线段把它一分为二.n 次等分后,图中各矩形的
中,数和形是两个最重要的研究对象,它们之间有着 1,1,1,…,1面积依次为 n.
十分密切的联系.在一定条件下,数和形之间相互转 2 4 8 2
化、相互渗透.根据具体情形,把图形的性质问题转 1显然,最后两个矩形面积均为 n,这时前面n 个
化为数量关系问题,或者把数量关系问题转化为图 2
形性质问题,使复杂的问题简单化、抽象的问题具体 1 1 1 … 1 1矩形的面积之和为S=2+4+8+ + n=1- n
化,化难为易,获得简单易行的解决方案. 2 2
、 ,故选 类似地用图(),()也可得出结论二 典型例题 <1 C. 2 3 .
【例1】 小芳的爷爷每天坚持体育锻炼,某天他慢步
行走到离家较远的公园,打了一会儿太极拳,然后沿
原路跑步到家里,下面能够反映当天小芳爷爷离家
第 的距离y(米)与时间x(分钟)之间的关系的大致图
二 象是 ( ) 解法二:利用数轴,我们可以把数轴上的一个长度
部 单位1按照上面的方法进行n 次等分,n 次等分后,对
分 1 1 1
应的各点表示的数从右到左依次为 , , ,…,
1,
2 4 8 2n
整
合 A B 1 1 1 1 1显然S=2+4+
…
8+ + n=1- <1
,故选C.
提 2 2
n
升 【例3】 A,B 两点在一次函数图象上的位置如图所
示,两点的坐标分别为A(x+a,y+b),B(x,y),下
列结论正确的是 ( )
C D
【分析】 本题考查了函数图象的表示方法,正确理
解题意是解题的关键.
【解】 小芳爷爷离家外出进行体育锻炼,开始慢步
行走,说明离家的距离逐步变大;但行至公园时,打
, A.a>0 B.a<0了一会儿太极拳 这时离家的距离是不变的,故可排
,; , , C.b=0 D.ab<0除选项A D 返回时 沿原路跑步到家里 离家的距
【分析】 本题考查了一次函数图象的性质,函数图
离逐渐变小,直至为0,
说明返回比开始出来的速度
象问题一直是中考考查的重要内容.
要快,故可排除选项B.所以本题选C.
【解】 由图象可知【 】 x+a,y+bb<0,因此本题选B.
要弄清题意所反映的问题可分为几段,以及在这个
【评注】 一次函数解析式中 , 对一次函数图象的
过程中变化的量及不变的量, kb再确定大致图象.
影响:
【例2】 设n 为正整数,
1 1 1 1
S=2+4+ +
…+ n,那8 2 ①当k>0时,y 随x 的增大而增大,当k<0时,
么S 与1的大小关系是 ( ) y 随x 的增大而减小;
A.S>1 ②k 决定着一次函数图象的倾斜程度,k 越
B.S=1 大,其图象与x 轴的夹角就越大;
58
③b决定着直线与y 轴的交点,当b 大于0时, (1)分别求出表示甲、乙两同学登山过程中路程
交点在y 轴正半轴;当b 小于0时,交点在y 轴负 s(km)与时间t(h)的函数关系式(不要求写出自变量
半轴; t的取值范围);
④直线y=kx+b可以看作由直线y=kx 平移 (2)当甲到达山顶时,乙行进到山路上的某点A
b 个长度单位得到(当b>0时,向上平移;当b<0 处,求A 点距山顶的距离;
时,向下平移); (3)在(2)的条件下,设乙同学从A 处继续登山,
⑤直线y=kx+b ,y=kx+b 的几种位置关 甲同学到达山顶后休息1h,沿原路下山,在1 1 2 2 B 点处
系:平行:k1=k2,b1≠b2;重合:k1=k2,b1=b2;关于 与乙相遇,此时点B 与山顶距离为1.5km,相遇后
y 轴对称:k +k =0,b =b ;关于x 轴对称:k +k 甲、乙各自按原来的路线下山和上山,求乙到达山顶1 2 1 2 1 2
=0,b1+b2=0;垂直:k 时,甲离山脚的距离是多少千米1k2=-1. .
【例4】 如图,在平面直角坐标系中△ABC 的两个 【分析】 根据图象理解横轴、纵轴表示的相应的量,
顶点A,B 的坐标分别为(-2,0),(-1,0),BC⊥x 将本题转化为函数问题,利用函数的解析式解题.
轴.将△ABC 以y 轴为对称轴对称变换,得到△A' 【解】 (1)设甲、乙两同学登山过程中,路程s(km)
B'C'(A 和A',B 和B',C 和C'分别是对应顶点).直 与时间t(h)的函数关系式分别为s甲=k1t,s乙=k2t.
线y=x+b 经过点A,C',则点C'的坐标是 由题意,得6=2k1,6=3k2,所以k1=3,k2=2.
. 所以关系式分别为s甲=3t,s乙=2t;
(2)甲到达山顶时,由图象可知,当s甲=12,代入
s甲=3t,得t=4.
所以s乙=2×4=8(km),所以12-8=4(km). 第
答:当甲到达山顶时,乙距山顶的距离为4km; 二
【 】 部分析 本题综合考查平面直角坐标系、一次函数、 (3)由图象知:甲到达山顶并休息1h后点D 的 分
轴对称变换等知识,解题的关键是灵活利用轴对称 坐标为(5,12),
3
由题意,得点B 的纵坐标为12- =
变换的坐标特点及一次函数图象上点的坐标与解析 2 整
式之间的关系解题. 21, 21代入 ,解得: 合
2 s乙=2t t=4.
【解】 因为点A(-2,0)在直线y=x+b 上,则b= 提
所以点B 21,212,直线的解析式为y=x+2;由B 和B'关于y 轴 . 升4 2
对称,则B'的坐标为(1,0),当x=1时,y=1+2= 设过B,D 两点的直线关系式为s=kt+b,由题
3,则点C'的坐标为(1,3).故答案为(1,3). 21 21
【评注】 平面直角坐标系中,关于x 轴的对称点的 , 2=4k+b
, k=-6,
意 得 解得
坐标特征是:横坐标不变,纵坐标互为相反数;关于y 12=5k+b,
b=42.
轴的对称点的坐标特征是:纵坐标不变,横坐标互为 所以直线BD 的关系式为s=-6t+42.
相反数.函数图象上点的坐标适合函数解析式. 当乙到达山顶时,s乙=12,得t=6,把t=6代入
【例5】 甲、乙两名同学进行登山比赛,图中表示甲 s=-6t+42,得s=6.
同学和乙同学沿相同的路线同时从山脚出发到达山 答:乙到达山顶时,甲离山脚的距离为6km.
顶过程中,各自行进的路程随时间变化的图象,根据 三、专项训练
图象中的有关数据回答下列问题: 1.如图,我国古代数学家得出的“赵爽弦图”是
由四个全等的直角三角形和一个小正方形密铺成的
大正方形.若小正方形与大正方形的面积之比为1∶
13,则直角三角形较短的直角边a 与较长的直角边b
的比值为 .
59

2.正比例函数y=kx(k≠0)的图象在第二、四 (2)求乙车与甲车相遇后y乙 与x 的函数解析
象限,则一次函数y=x+k的图象大致是 ( ) 式,并写出自变量x 的取值范围;
(3)当两车相距40km时,直接写出x 的值.
A B C D
3.在北京召开的国际数学家大会,会标取材于
我国古代数学家赵爽的《勾股圆方图》,它是由四个
全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大
正方形(如下图所示).如果大正方形的面积是13,小
正方形的面积为1,直角三角形较短直角边为a,较长
直角边为b,那么(a+b)2 的值为 ( )
7.第三届南宁国际龙舟赛在南湖举行,甲、乙两
队在比赛时,路程y(m)与时间x(min)的函数图象
A.13 B.19 如图所示,根据函数图象填空和解答问题:
C.25 D.169
第 4.已知两点A(3,2)与B(1,-1),点P 在y 轴
二 上且使PA+PB 最短,则P 的坐标是 ( )
部
分 A. , 10 - B.(0,2 0)
11 整 C.0,6 D. 10,-4
合
提 5.如图,宽为50cm的矩形图案由10个全等的
升 小长方形拼成,其中一个小长方形的面积为 ( ) (1)最先到达终点的是 队,该队比另一
队领先 min到达;
(2)在比赛过程中,乙队在 min和
min时两次加速,图中点A 的坐标是 ,
A.400cm2 B.500cm2 点B 的坐标是 ;
C.600cm2
(
D.4000cm2 3
)假设乙队在第一次加速后,始终保持这个速
6.甲、乙两辆汽车分别从A,B 两地同时出发, 度继续前进,那么甲、乙两队谁先到达终点 请说明
沿同一条公路相向而行,乙车出发2h后休息,与甲 理由.
车相遇后,继续行驶.设甲、乙两车与B 地的路程分
别为y甲(km),y乙(km),甲车行驶的时间为x(h),
y甲,y乙 与x 之间的函数图象如图所示,结合图象解
答下列问题:
(1)乙车休息了 h;
60(2)证明:由(1)知,△BCP≌△DCP,∴∠CBP=∠CDP,∵PE=PB,∴∠CBP=∠E,
∴∠CDP=∠E,∵∠1=∠2,∴180°-∠1-∠CDP=180°-∠2-∠E,即∠DPE=
∠DCE,∵AB∥CD,∴∠DCE=∠ABC=90°,∴∠DPE=∠ABC=90°;
(3)解:在菱形ABCD 中,BC=DC,∠BCP=∠DCP,
BC=DC,
在△BCP 和△DCP 中, ∠BCP=∠DCP,∴△BCP≌△DCP(SAS);∴∠CBP=
PC=PC,
∠CDP,∵PE=PB,∴∠CBP=∠E,∴∠CDP=∠E,同理可得:∠DPE=∠DCE,∵AB∥
CD,∴∠DCE=∠ABC=58°,∴∠DPE=∠ABC=58°.
第二部分 整合提升
专题一 分类讨论思想
1.A 2.D 3.C 4.B 5.D 6.C
7.解:(1)yA=27x+270,yB=30x+240;
(2)当yA=yB 时,27x+270=30x+240,解得x=10;
当yA>yB 时,27x+270>30x+240,解得x<10;
当yA10.
∴当2≤x<10时,到B 超市购买划算;当x=10时,两家超市都一样;当x>10时,到A
超市购买划算;
(3)∵x=15>10,
∴①选择在A 超市购买,yA=27×15+270=675(元);
②可先在B 超市购买10副羽毛球拍,送20个羽毛球,然后在A 超市购买剩下的羽毛球
(10×15-20=130个),则共需费用:10×30+130×3×0.9=651(元),∵651<675,∴最省钱
的购买方案是:先在B 超市购买10副羽毛球拍,然后在A 超市购买130个羽毛球.
专题二 数形结合思想
2
1.3 2.B 3.C 4.D 5.A
6.解:(1)方法1:设乙车休息了th,根据题意,得
·19·

400
200+ ·(5 t+2
)=400,解得t=0.5.即乙车休息了0.5h.
400 方法2:(400-200)÷ -2=0.5(h),即乙车休息了5 0.5h.
(2)设 y乙 与 x 的 函 数 解 析 式 为 y乙 =kx+b,把(2.5,200),(5,400)代 入,得
2.5k+b=200, k=80,
解得 所以y乙=80x(2.5≤x≤5).5k+b=400, b=0,
(3)相遇前:100x+80x+40=400,解得x=2;
相遇后:80x+200+80(x-2.5)=440,解得x=2.75.
综上可知,x=2或x=2.75.
7.解:(1)乙 0.6
(2)1 3 (1,100) (3,450)
k+b=100, k=175,
(3)设AB 所在直线关系式为y=kx+b,依题意,得 解得 所以3k+b=450, b=-75,
y=175x-75.当y=800时,x=5.所以甲、乙两队同时到达终点.
专题三 转化与化归思想
1
1.36.(1)证明:∵PB=PD,∴∠PBD=∠2,
∵AB=BC,∠ABC=90°,∴∠C=45°.
∵BO⊥AC 于点O,∴∠1=45°,∴∠1=∠C=45°.
∵∠3=∠PBD-∠1,∠4=∠2-∠C,∴∠3=∠4.
又∵BO⊥AC,DE⊥AC,∴∠BOP=∠PED=90°.
∵PB=DP,∴△BPO≌△PDE;
(2)证明:由(1)可得∠3=∠4,∵BP 平分∠ABO,
∴∠ABP=∠3,∴∠ABP=∠4.
又∵∠A=∠C,PB=DP,
∴△ABP≌△CPD,∴AP=CD;
·20·
(3)CD'与AP'的数量关系:
2
CD'=3AP'.
专题四 方程与函数思想
1.C 2.D 3.B 4.B 5.23或32
6.解:(1)设每轮传染中平均一个人传染了x 个人,由题意,得
1+x+x(1+x)=64,
解之,得x1=7,x2=-9(不合题意,舍去).
答:每轮传染中平均一个人传染了7个人;
(2)7×64=448(人).
答:第三轮将又有448人被传染.
专题五 数学建模思想
1.解:(1)设 种 植 草 皮 的 面 积 为 x 亩,则 种 植 树 木 的 面 积 为 (30-x)亩,则
x≥10,
30-x≥10,
解得18≤x≤20.答:种植草皮的最小面积是18亩;
3
x≥ (30-x), 2
(2)由题意,得y=8000x+12000(30-x)=360000-4000x,当x=20时,y 有最小值
280000元.
2.长为13m,宽为10m.
3.每件应降价5元或11元.
4.解:(1)甲的总分:66×10%+89×40%+86×20%+68×30%=79.8(分);
(2)设趣题巧解所占的百分比为x,数学应用所占的百分比为y.
20+60x+80y=70,
由题意,得 20+80x+90y=80,
x=0.3,
解得 y=0.4.
∴甲的总分:20+89×0.3+86×0.4=81.1>80.
·21·

∴甲能获得一等奖.
专题六 跨学科试题
1.(x+1,y+2) 祝你成功
2.A
3.2小时或6小时
4.解:(1)设小货车原计划每辆每次运送帐篷x 顶,则大货车原计划每辆每次运送帐篷
(x+200)顶,根据题意,得
2[8x+2(x+200)]=16800,解得x=800,
x+200=800+200=1000.
答:大、小货车原计划每辆每次分别运送帐篷1000顶,800顶;
(2)根据题意,得2(
1
1000-200m) 1+2m +8(800-300)(1+m)=14400,
化简为m2-23m+42=0,解得m1=2,m2=21.
∵1000-200m 不能为负数,且
1
m 为整数,∴m2=21不符合实际,舍去2 .
故m 的值为2.
第三部分 探究先飞
九年级上册预习检测
一 二次函数
一、1.y=x2
1
+8x 2.2或4 3.y=- 28x 4.-1± 3 5.-1 6.y=x
2-1 7.二
8.m≥-2
二、9.A 10.C 11.A 12.B 13.C 14.C
2
三、 解: 49 315. y=-2 3x+ ,开口向下,对称轴是直线 ,顶点坐标为 3 494 +8 x=-4 - ,4 8 .
16.(1)a=6 (2)有最小值2.
17.解:(1)当x=0时,y=-2.
∴A(0,-2).
·22·

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