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专题三 转化与化归思想
一、理论指导 【例3】 如图,已知圆柱的高为80cm,底面半径为
在解决数学问题时,常常把遇到的生疏的、复杂 10cm,轴截面上有两点P,Q,PA=40cm,B1Q=
的、未解决的数学问题转化为熟悉的、简单的、已解 30cm,则圆柱侧面上P,Q 两点的最短距离是多少
决的数学问题,使问题得以解决.解决数学问题的过
程就是不断地把未知转化为已知的过程,这就是数
学的转化思想.
二、典型例题
【例1】 李老师开车从甲地到相距240千米的乙地, 【分析】 将圆柱侧面沿母线AA1 展开,得到如下图
如果油箱剩余油量y(升)与行驶里程x(千米)之间 所示的矩形
,从而将曲面上的问题转化成平面上的
, , 问题,B,B1 分别为中点,则P,Q 两点间的最短距离是一次函数关系 其图象如图所示 那么到达乙地时
即为线段 的长
油箱剩余油量是 升. PQ .【解】 过点Q 作QS⊥AA1 于S,在Rt△PQS 中,
PS=AA1-AP-A1S=AA1-AP-B1Q=80
-40-30=10(cm),
1
QS=BA= · ( ),2 2πR=πR=10πcm
∴ PQ = PS2+QS2 = 102+(10π)2 =
【分析】 本题主要考查一次函数图象及其应用. 10 π2+1( ) cm .
【解】 第 由给予的图象,设一次函数解析式为y=kx
故P,Q 两点间最短距离为10 π2+1cm. 二
+35,将(160,25)代入,
1
得k=- ,再将 代 部16 x=240 分
1
入y=- x+35,得此时y=20.故答案为16 20.
整
【评注】 利用待定系数法确定一次函数的解析式. 合
【例2】 如图,分别以正方形 ABCD 的边AB,AD 【例4】 如下图,在六边形 ABCDEF 中,若∠A= 提
为直径画半圆,若正方形的边长为a,求阴影部分的 ∠B=∠C=∠D=∠E=∠F,且 AB+BC=11, 升
面积. AF-CD=3,则BC+DE= .
【分析】 通过辅助线把不规则的图形化成规则的
图形.
【解】 延长 , , , ,
【 BA EF AB DC分析】 从表面上看,图中的阴影部分是复杂的、分 CD,FE 分别交于G,H,R,将
散的图形,要设法通过变换将其转化为简单的、集中
原图形补成△GHR.易证△GHR,
的图形. △GAF,△HCB,△RED 均 为
【解】 连 接 DB,AC,可 知 阴 影 部 分 的 面 积 等 于 等 边 三 角 形,且 设 △GAF,
△BCD 的面积. △HCB,△RED 的边长分别为
1
∴S =S = a2. x,y,z.∵GH=HR=GR,∴x+y+AB=y+z+阴影 △BCD 2 CD=z+x+EF.
又∵AB+BC=11,AF-CD=3,∴x+11=y
+z+CD.
∴y+z=x+11-CD=x+11-(x-3)=14,
即BC+DE=14.
故答案为14.
61
三、专项训练 根据上述思路,请你完整地书写本题的证明
1.直线y=3x-1和直线y=x-k的交点在第 过程;
四象限,则k的取值范围是 . (2)特殊位置,证明结论
2.不等式4x-a≤0的正整数解是1,2,则a 的 图②(备用图),若BP 平分∠ABO,其余条件不
取值范围是 . 变.求证:AP=CD;
3.如果不等式(a-1)x>a-1的解为x<1,则 (3)知识迁移,探索新知
a 的取值范围是 ( ) 图③,若点P 是一个动点,当点P 运动到OC 的
A.a<0 B.a<1 中点P'时,满足题中条件的点D 也随之在直线BC
C.a>1 D.a≤1 上运动到点D',请直接写出CD'与AP'的数量关系.
4.将五个边长都为2cm的正方形按如图所示 (不必写解答过程)
摆放,点A,B,C,D 分别是四个正方形的中心,则图
中四块阴影面积的和为 ( )
A.2cm2
B.4cm2
第 C.6cm2
二 D.8cm2部
分 5.如图,汽车在东西向的公路l 上行驶,途中
A,B,C,D 四个十字路口都有红绿灯,AB 之间的距
整 离为800m,BC 为1000m,CD 为1400m,且l上各
合 路口的红绿灯设置为:同时亮红灯或同时亮绿灯,每
提 次亮红(绿)灯的时间相同,红灯亮的时间与绿灯亮
升 的时间也相同.若绿灯刚亮时,甲汽车从A 路口以每
小时30千米的速度沿l向东行驶,同时乙汽车从D
路口以相同的速度沿l向西行驶,这两辆汽车通过四
个路口时都没有遇到红灯,则每次绿灯亮的时间可
能设置为 ( )
A.50秒 B.45秒
C.40秒 D.35秒
6.第一节数学课后,老师布置了一道课后练习:
如图①,已知在 Rt△ABC 中,AB=BC,∠ABC=
90°,BO⊥AC 于点O.点P,D 分别在AO 和BC 上,
PB=PD,DE⊥AC 于点E.
求证:△BPO≌△PDE.
(1)理清思路,完成解答
本题证明的思路可以用下列框图表示:
62(2)证明:由(1)知,△BCP≌△DCP,∴∠CBP=∠CDP,∵PE=PB,∴∠CBP=∠E,
∴∠CDP=∠E,∵∠1=∠2,∴180°-∠1-∠CDP=180°-∠2-∠E,即∠DPE=
∠DCE,∵AB∥CD,∴∠DCE=∠ABC=90°,∴∠DPE=∠ABC=90°;
(3)解:在菱形ABCD 中,BC=DC,∠BCP=∠DCP,
BC=DC,
在△BCP 和△DCP 中, ∠BCP=∠DCP,∴△BCP≌△DCP(SAS);∴∠CBP=
PC=PC,
∠CDP,∵PE=PB,∴∠CBP=∠E,∴∠CDP=∠E,同理可得:∠DPE=∠DCE,∵AB∥
CD,∴∠DCE=∠ABC=58°,∴∠DPE=∠ABC=58°.
第二部分 整合提升
专题一 分类讨论思想
1.A 2.D 3.C 4.B 5.D 6.C
7.解:(1)yA=27x+270,yB=30x+240;
(2)当yA=yB 时,27x+270=30x+240,解得x=10;
当yA>yB 时,27x+270>30x+240,解得x<10;
当yA10.
∴当2≤x<10时,到B 超市购买划算;当x=10时,两家超市都一样;当x>10时,到A
超市购买划算;
(3)∵x=15>10,
∴①选择在A 超市购买,yA=27×15+270=675(元);
②可先在B 超市购买10副羽毛球拍,送20个羽毛球,然后在A 超市购买剩下的羽毛球
(10×15-20=130个),则共需费用:10×30+130×3×0.9=651(元),∵651<675,∴最省钱
的购买方案是:先在B 超市购买10副羽毛球拍,然后在A 超市购买130个羽毛球.
专题二 数形结合思想
2
1.3 2.B 3.C 4.D 5.A
6.解:(1)方法1:设乙车休息了th,根据题意,得
·19·

400
200+ ·(5 t+2
)=400,解得t=0.5.即乙车休息了0.5h.
400 方法2:(400-200)÷ -2=0.5(h),即乙车休息了5 0.5h.
(2)设 y乙 与 x 的 函 数 解 析 式 为 y乙 =kx+b,把(2.5,200),(5,400)代 入,得
2.5k+b=200, k=80,
解得 所以y乙=80x(2.5≤x≤5).5k+b=400, b=0,
(3)相遇前:100x+80x+40=400,解得x=2;
相遇后:80x+200+80(x-2.5)=440,解得x=2.75.
综上可知,x=2或x=2.75.
7.解:(1)乙 0.6
(2)1 3 (1,100) (3,450)
k+b=100, k=175,
(3)设AB 所在直线关系式为y=kx+b,依题意,得 解得 所以3k+b=450, b=-75,
y=175x-75.当y=800时,x=5.所以甲、乙两队同时到达终点.
专题三 转化与化归思想
1
1.36.(1)证明:∵PB=PD,∴∠PBD=∠2,
∵AB=BC,∠ABC=90°,∴∠C=45°.
∵BO⊥AC 于点O,∴∠1=45°,∴∠1=∠C=45°.
∵∠3=∠PBD-∠1,∠4=∠2-∠C,∴∠3=∠4.
又∵BO⊥AC,DE⊥AC,∴∠BOP=∠PED=90°.
∵PB=DP,∴△BPO≌△PDE;
(2)证明:由(1)可得∠3=∠4,∵BP 平分∠ABO,
∴∠ABP=∠3,∴∠ABP=∠4.
又∵∠A=∠C,PB=DP,
∴△ABP≌△CPD,∴AP=CD;
·20·
(3)CD'与AP'的数量关系:
2
CD'=3AP'.
专题四 方程与函数思想
1.C 2.D 3.B 4.B 5.23或32
6.解:(1)设每轮传染中平均一个人传染了x 个人,由题意,得
1+x+x(1+x)=64,
解之,得x1=7,x2=-9(不合题意,舍去).
答:每轮传染中平均一个人传染了7个人;
(2)7×64=448(人).
答:第三轮将又有448人被传染.
专题五 数学建模思想
1.解:(1)设 种 植 草 皮 的 面 积 为 x 亩,则 种 植 树 木 的 面 积 为 (30-x)亩,则
x≥10,
30-x≥10,
解得18≤x≤20.答:种植草皮的最小面积是18亩;
3
x≥ (30-x), 2
(2)由题意,得y=8000x+12000(30-x)=360000-4000x,当x=20时,y 有最小值
280000元.
2.长为13m,宽为10m.
3.每件应降价5元或11元.
4.解:(1)甲的总分:66×10%+89×40%+86×20%+68×30%=79.8(分);
(2)设趣题巧解所占的百分比为x,数学应用所占的百分比为y.
20+60x+80y=70,
由题意,得 20+80x+90y=80,
x=0.3,
解得 y=0.4.
∴甲的总分:20+89×0.3+86×0.4=81.1>80.
·21·

∴甲能获得一等奖.
专题六 跨学科试题
1.(x+1,y+2) 祝你成功
2.A
3.2小时或6小时
4.解:(1)设小货车原计划每辆每次运送帐篷x 顶,则大货车原计划每辆每次运送帐篷
(x+200)顶,根据题意,得
2[8x+2(x+200)]=16800,解得x=800,
x+200=800+200=1000.
答:大、小货车原计划每辆每次分别运送帐篷1000顶,800顶;
(2)根据题意,得2(
1
1000-200m) 1+2m +8(800-300)(1+m)=14400,
化简为m2-23m+42=0,解得m1=2,m2=21.
∵1000-200m 不能为负数,且
1
m 为整数,∴m2=21不符合实际,舍去2 .
故m 的值为2.
第三部分 探究先飞
九年级上册预习检测
一 二次函数
一、1.y=x2
1
+8x 2.2或4 3.y=- 28x 4.-1± 3 5.-1 6.y=x
2-1 7.二
8.m≥-2
二、9.A 10.C 11.A 12.B 13.C 14.C
2
三、 解: 49 315. y=-2 3x+ ,开口向下,对称轴是直线 ,顶点坐标为 3 494 +8 x=-4 - ,4 8 .
16.(1)a=6 (2)有最小值2.
17.解:(1)当x=0时,y=-2.
∴A(0,-2).
·22·

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