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(2)证明:由(1)知,△BCP≌△DCP,∴∠CBP=∠CDP,∵PE=PB,∴∠CBP=∠E,
∴∠CDP=∠E,∵∠1=∠2,∴180°-∠1-∠CDP=180°-∠2-∠E,即∠DPE=
∠DCE,∵AB∥CD,∴∠DCE=∠ABC=90°,∴∠DPE=∠ABC=90°;
(3)解:在菱形ABCD 中,BC=DC,∠BCP=∠DCP,
BC=DC,
在△BCP 和△DCP 中, ∠BCP=∠DCP,∴△BCP≌△DCP(SAS);∴∠CBP=
PC=PC,
∠CDP,∵PE=PB,∴∠CBP=∠E,∴∠CDP=∠E,同理可得:∠DPE=∠DCE,∵AB∥
CD,∴∠DCE=∠ABC=58°,∴∠DPE=∠ABC=58°.
第二部分 整合提升
专题一 分类讨论思想
1.A 2.D 3.C 4.B 5.D 6.C
7.解:(1)yA=27x+270,yB=30x+240;
(2)当yA=yB 时,27x+270=30x+240,解得x=10;
当yA>yB 时,27x+270>30x+240,解得x<10;
当yA10.
∴当2≤x<10时,到B 超市购买划算;当x=10时,两家超市都一样;当x>10时,到A
超市购买划算;
(3)∵x=15>10,
∴①选择在A 超市购买,yA=27×15+270=675(元);
②可先在B 超市购买10副羽毛球拍,送20个羽毛球,然后在A 超市购买剩下的羽毛球
(10×15-20=130个),则共需费用:10×30+130×3×0.9=651(元),∵651<675,∴最省钱
的购买方案是:先在B 超市购买10副羽毛球拍,然后在A 超市购买130个羽毛球.
专题二 数形结合思想
2
1.3 2.B 3.C 4.D 5.A
6.解:(1)方法1:设乙车休息了th,根据题意,得
·19·

400
200+ ·(5 t+2
)=400,解得t=0.5.即乙车休息了0.5h.
400 方法2:(400-200)÷ -2=0.5(h),即乙车休息了5 0.5h.
(2)设 y乙 与 x 的 函 数 解 析 式 为 y乙 =kx+b,把(2.5,200),(5,400)代 入,得
2.5k+b=200, k=80,
解得 所以y乙=80x(2.5≤x≤5).5k+b=400, b=0,
(3)相遇前:100x+80x+40=400,解得x=2;
相遇后:80x+200+80(x-2.5)=440,解得x=2.75.
综上可知,x=2或x=2.75.
7.解:(1)乙 0.6
(2)1 3 (1,100) (3,450)
k+b=100, k=175,
(3)设AB 所在直线关系式为y=kx+b,依题意,得 解得 所以3k+b=450, b=-75,
y=175x-75.当y=800时,x=5.所以甲、乙两队同时到达终点.
专题三 转化与化归思想
1
1.36.(1)证明:∵PB=PD,∴∠PBD=∠2,
∵AB=BC,∠ABC=90°,∴∠C=45°.
∵BO⊥AC 于点O,∴∠1=45°,∴∠1=∠C=45°.
∵∠3=∠PBD-∠1,∠4=∠2-∠C,∴∠3=∠4.
又∵BO⊥AC,DE⊥AC,∴∠BOP=∠PED=90°.
∵PB=DP,∴△BPO≌△PDE;
(2)证明:由(1)可得∠3=∠4,∵BP 平分∠ABO,
∴∠ABP=∠3,∴∠ABP=∠4.
又∵∠A=∠C,PB=DP,
∴△ABP≌△CPD,∴AP=CD;
·20·
(3)CD'与AP'的数量关系:
2
CD'=3AP'.
专题四 方程与函数思想
1.C 2.D 3.B 4.B 5.23或32
6.解:(1)设每轮传染中平均一个人传染了x 个人,由题意,得
1+x+x(1+x)=64,
解之,得x1=7,x2=-9(不合题意,舍去).
答:每轮传染中平均一个人传染了7个人;
(2)7×64=448(人).
答:第三轮将又有448人被传染.
专题五 数学建模思想
1.解:(1)设 种 植 草 皮 的 面 积 为 x 亩,则 种 植 树 木 的 面 积 为 (30-x)亩,则
x≥10,
30-x≥10,
解得18≤x≤20.答:种植草皮的最小面积是18亩;
3
x≥ (30-x), 2
(2)由题意,得y=8000x+12000(30-x)=360000-4000x,当x=20时,y 有最小值
280000元.
2.长为13m,宽为10m.
3.每件应降价5元或11元.
4.解:(1)甲的总分:66×10%+89×40%+86×20%+68×30%=79.8(分);
(2)设趣题巧解所占的百分比为x,数学应用所占的百分比为y.
20+60x+80y=70,
由题意,得 20+80x+90y=80,
x=0.3,
解得 y=0.4.
∴甲的总分:20+89×0.3+86×0.4=81.1>80.
·21·

∴甲能获得一等奖.
专题六 跨学科试题
1.(x+1,y+2) 祝你成功
2.A
3.2小时或6小时
4.解:(1)设小货车原计划每辆每次运送帐篷x 顶,则大货车原计划每辆每次运送帐篷
(x+200)顶,根据题意,得
2[8x+2(x+200)]=16800,解得x=800,
x+200=800+200=1000.
答:大、小货车原计划每辆每次分别运送帐篷1000顶,800顶;
(2)根据题意,得2(
1
1000-200m) 1+2m +8(800-300)(1+m)=14400,
化简为m2-23m+42=0,解得m1=2,m2=21.
∵1000-200m 不能为负数,且
1
m 为整数,∴m2=21不符合实际,舍去2 .
故m 的值为2.
第三部分 探究先飞
九年级上册预习检测
一 二次函数
一、1.y=x2
1
+8x 2.2或4 3.y=- 28x 4.-1± 3 5.-1 6.y=x
2-1 7.二
8.m≥-2
二、9.A 10.C 11.A 12.B 13.C 14.C
2
三、 解: 49 315. y=-2 3x+ ,开口向下,对称轴是直线 ,顶点坐标为 3 494 +8 x=-4 - ,4 8 .
16.(1)a=6 (2)有最小值2.
17.解:(1)当x=0时,y=-2.
∴A(0,-2).
·22·专题四 方程与函数思想
一、理论指导 【例2】 甲、乙两个工程队分别同时开挖两段河渠,
方程思想是指在解决问题时,通过等量关系将 所挖河渠的长度y(m)与挖掘时间x(h)之间的关系
已知与未知联系起来,建立方程或方程组,然后运用 如图所示,根据图象所提供的信息解答下列问题:
方程的知识使问题得以解决的方法.函数描述了自
然界中量与量之间的依存关系.函数思想的实质是
剔除问题的非本质特征,用联系和变化的观点研究
问题,将问题中的量转化为函数关系去解决.
二、典型例题
【 】 ()乙队开挖到例1 如图是在同一坐标系内作出的一次函数 , 1 30m
时,用了 h,开挖
y1
的图象l ,l ,设 =kx+b , =kx+b ,则 6h
时,甲队比乙队多挖了 m;
y2 1 2 y1 1 1 y2 2 2
, (2)请你求出:
y1=k1x+b1方程组 的解是 ( ) 甲队在 的时段内, 与 之间的函y2=kx+b ① 0≤x≤6 y x2 2
数关系式;
②乙队在2≤x≤6的时段内,y 与x 之间的函
数关系式;
(3)当x 为何值时,甲、乙两队在施工过程中所
挖河渠的长度相等 第
二
【分析】 写出实际问题中的函数关系解析式是中考 部
考查的重要内容之一,要学会从图表所提供的信息 分
中,分析其数量关系.特别是这种折线段,要善于在
x=-2, x=-2, 自变量x 的各个区段中识别其函数关系 整
A. B.y=2 . 合y=3 【解】 (1)2 10 提
x=-3, x=-3, (2)①设甲队在0≤x≤6时段内y 与x 之间的C. D. 升y=3 y=4 函数关系式为y=k1x,由图象过点(6,60),∴6k1=
【分析】 由函数图象上点的坐标,利用待定系数法 60,k1=10,∴y=10x;
确定函数解析式,然后联立两函数关系式,再解方程 ②设乙队在2≤x≤6时段内y 与x 之间的函数
组求解. 关系式为y=k2x+b,由图象过点(2,30),(6,50)得
【解】 在l1 上找两点(1,2)和(4,1),求出过这两点 2k2+b=30, k2=5,
1 7 解 得 ∴y=5x+20(2≤x≤
的l1 的一次函数为y=- x+ ;在l2 上找两点 6k2+b=50, b=20,3 3
6);(-1,0)和(0,-3),求出过这两点的l2 的一次函数
(3)由题意得,10x=5x+20,
为y=-3x-3.
解得
1 7 x=4
,

y=-3x+
,
3 x=-2,解 方 程 组 得 故 应 所以当x 为4时,甲、乙两队所挖的河渠长度=3,
y=-3x-3, y 相等.
选B. 【例3】 为了创建全国卫生城市,某社区要清理一个
【评注】 用一次函数图象求二元一次方程组的解的 卫生死角内的垃圾,租用甲、乙两车运送,两车各运
步骤是:①将二元一次方程组中的两个方程转化为 12趟可完成,需支付运费4800元.已知甲、乙两车单
一次函数表达式;②在同一坐标系中,作出这两个一 独运完此垃圾,乙车所运趟数是甲车的2倍,且乙车
次函数的图象;③两图象(两直线)的交点坐标即为 每趟运费比甲车少200元.
所求方程组的解. (1)求甲、乙两车单独运完此堆垃圾各需运多
63

少趟; 观察图1可以得出:直线x=1与直线y=2x+
(2)若单独租用一台车,租用哪台车合算 1 的 交 点 P 的 坐 标 (1,3)就 是 方 程 组
【分析】 本题综合考查了有关工程问题的分式方程 x=1, x=1,的解,所以这个方程组的解为的应用、一元一次方程的应用、方案决策问题,解决 2x-y+1=0 y=3.
此问题的关键是弄清题意,找出题目中的等量关系, 在直角坐标系中,x≤1表示一个平面区域,即直
列出方程求出所需的量,再进行计算比较. 线x=1以及它左侧的部分,如图2;y≤2x+1也表
【解】 (1)设甲车单独运完此堆垃圾需运x 趟,则乙 示一个平面区域,即直线y=2x+1以及它下方的部
, :12 12车单独运完此堆垃圾需2x 趟 依题意得 x+2x=1
分,如图3.
根据以上内容,回答下列问题:
解得:x=18
(1)在直角坐标系(图4)中,用作图象的方法求
经检验x=18是原方程的解
x=-2,
∴2x=36 出方程组 的解;: =-2x+2答 甲 车 单 独 运 完 此 堆 垃 圾 需18趟,乙 车 需 y
36趟; x≥-2,
(2) ()设甲车每趟需运费a 元,则乙车每趟需运费 2 用阴影表示 y≤-2x+2,所围成的区域.
(a-200)元,依题意得: y≥0
12a+12(a-200)=4800 【分析】 本题是一道集阅读理解与解答于一体的综
解得:a=300 合型创新考题,要注意在阅读的过程中理解用函数
第
∴a-200=100 图象解方程组及不等式组的方法.二
部 ∴单独租用甲车的费用=300×18=5400(元) 第(1)小题画直线x=-2和y=-2x+2,根据
分 单独租用乙车的费用=100×36=3600(元) 这两条直线的交点可确定方程组的解.
5400>3600 第(2)小题在直角坐标系中,x≥-2表示直线x
整 ∴单独租用乙车合算. =-2以及它右侧的部分;y≤-2x+2表示直线y
合
提 【评注】 在列方程解决实际问题时,我们一是要注 =-2x+2以及它下方的部分
;y≥0表示直线y=0
升 意审题,找到题目中的相等关系;二是设未知数,注 以及它上方的部分.这三部分的公共部分就是所围
意选择和题目中各个量关系都密切的量,注意根据 成的区域.
问题情况灵活选择设法.如直接设、间接设、设多元 【解】 (1)如图,在直角坐标系内分别作直线x=-2
等;三是求分式方程的解,验根应从两个方面出发: 和直线y=-2x+2,观察图象可知这两条直线的交
一方面是方程的本身,另一方面是实际问题,根既要 x=-2,
点为 ( , ),所 以 方 程 组 的 解
使方程的本身有意义,又要符合实际意义;四是合算 P -2 6 y=-2x+2
的问题就是方案选择问题,也就是比较谁少的问题, x=-2,
一定要把方案选择转化为求哪几个量,再进行计算 为 y=6;
比较.
x≥-2,
【例4】 我们知道,在数轴上,x=1表示一个点,而 (2)如图所示的阴影部分即为 y≤-2x+2,所
在平面直角坐标系中,x=1表示一条直线;我们还知
y≥0
道,以二元一次方程2x-y+1=0的所有解为坐标
围成的区域.
的点组成的图形就是一次函数y=2x+1的图象,它
也是一条直线,如图1.
64


三、专项训练 5.一个两位数,十位数字与个位数字之和是5,
1.已知一个多边形的内角和为540°,则这个多 把这个数的十位数字与个位数字对调后,所得的新
边形为 ( ) 两位数与原两位数的乘积是736,求原来的两位数.
A.三角形
B.四边形
C.五边形
D.六边形
2.如图,把直线y=-2x 向上平移到直线AB,
直线AB 经过点(m,n),且2m+n=6,则直线AB
的表达式是 ( )
A.y=-2x-3
B.y=-2x-6
C.y=-2x+3
第
D.y=-2x+6
二
3.如图,一次函数的图象过点A,且与正比例函 部
数y=-x 的图象交于点B,则该一次函数的表达 6.有一人患了流感,经过两轮传染后共有64人 分
式为 ( ) 患了流感. 整
(1)求每轮传染中平均一个人传染了几个人; 合
(2)如果不及时控制,第三轮将又有多少人被 提
传染 升
A.y=-x+2
B.y=x+2
C.y=x-2
D.y=-x-2
4.一次函数y1=kx+b与y2=x+a 的图象如
图所示,则下面结论:①k<0;②a>0;③当x<3时,
y1A.0
B.1
C.2
D.3
65

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