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26.1 二次函数
1.二次函数的定义:一般地,形如y=ax2+bx+c(a,b,c是常数,a≠0)的函数,叫作二次函数.
其中x 是自变量,a,b,c分别是函数解析式的二次项系数、一次项系数和常数项.注意:二次函
数的判断方法:①函数解析式是整式;②化简后自变量的最高次数是2;③二次项系数不为0.
2.二次函数的定义域:一般情况下,二次函数的自变量x 的取值范围是全体实数;但在实际问题
中,自变量的取值范围需根据具体情境确定.
例1 下列函数是二次函数的是 ( )
A.y=ax2+bx+c B.y=3-2x C.y=2(x-1)2-3 D.y=x3-2x+5
解析:A.当a=0时不是二次函数,故此选项不符合题意;B.y=3-2x 是一次函数,故此选项不
符合题意;C.y=2(x-1)2-3=2x2-4x-1是二次函数,故此选项符合题意;D.y=x3-2x+
5,未知数的最高次是3,不是二次函数,故此选项不符合题意.故选C.
例2 若y=(m-3)x2+4x-2是关于x 的二次函数,则m 的取值范围是 ( )
A.m≠1 B.m>1 C.m<3 D.m≠3
解析:由二次函数的定义可得m-3≠0,解得m≠3.故选D.
1.长方形的周长为14cm,其中一边为x(0( )
A.y=(14-x)2 B.y=(7-x)2
C.y=x(14-x) D.y=x(7-x)
2.下列函数中,是二次函数的是 ( )
A.y=ax2+bx+c B.y=(2x-1)2-4x2
a b
C.y= 2+ +c(a≠0) D.y=(x-1)(x-2)x x
3.下列函数中,是二次函数的是 ( )
A.y=-3x+5 B.y=2x2
C.y=(
3
x+1)2-x2 D.y=x2
78
4.二次函数y=2x(x-3)的二次项系数与一次项系数的和为 ( )
A.2 B.-2
C.-1 D.-4
5.下列函数中,是二次函数的是 ( )
1
A.y=x+2 B.y=3
(x-1)2
( )2 2 1
C.y= x+1 -x D.y= 2-xx
6.若函数y=(m+2)x2+3mx+1是二次函数,则 ( )
A.m≥-2 B.m≠2
C.m≠-2 D.m=-2
7.在二次函数y=-x2+1中,二次项系数、一次项系数、常数项的和为 .
8.如图所示,在一幅长80cm、宽50cm的矩形风景画的四周镶一条金色纸边,制成一幅矩形挂
画,设整个挂画总面积为ycm2,金色纸边的宽为 xcm,则y 与x 之间的函数解析式
是 .
9.水中涟漪(圆形水波)不断扩大,记它的半径为r,则圆面积S 与r的函数关系为 (r>
0).(结果保留π)
1
10.二次函数y=3x- x2 的二次项系数是2 .
2
11.若函数y=(m+1)xm +1 是关于x 的二次函数,求m 的值.
79位数是7.5,小明得7分,超过甲组的中位数,低 7.x=3或x=- 7 8.4或-2 9.7 10.10
于乙组的中位数,所以应该是甲组的学生; 11.解:(1)∵AB=x,∴BC=36-2x,y=x(36-
(3)从统计图和表格中可以看出:乙组的平均分、 2x),∵0<36-2x≤18,∴9≤x<18.∴y 与x
中位数都高于甲组,方差小于甲组,且集中在中 之间的函数解析式为y=-2x2+36x(9≤x<
上游,所以乙组成绩好于甲组. 18);(2)由题意:-2x2+36x=160,解得x1=
第三部分 探究先飞 10,x2=8,∵x2=8时,36-2×8=20>18,不符
合题意,舍去,∴x 的值为10;(3)∵y=-2x2+
第二十五章 一元二次方程 36x=-2(x-9)
2+162,∴x=9时,y 有最大
值162m2,设购买了乙种绿色植物a 棵,购买了
25.1 一元二次方程 丙种绿色植物b 棵,由题意:14(400-a-b)+
16a+28b=8600,∴a+7b=1500,∴b的最大值
1.B 2.A 3.C 4.B 5.A 6.D 7.0 为214,此时a=2.需要种植的面积=0.4×(400-
8.2 9.-1 214-2)+1×2+0.4×214=161.2(m2)<162m2,
25.2 降次———解一元二次方程 ∴丙种植物最多可以购买214棵,此时这批植物
可以全部栽种到这块空地上.
1.C 2.D 3.A 4.C 5.A
6.x =1,x =3 7.4 8.14 9.3 第二十六章 二次函数1 2
10.(1)x2-5x+6=0,∴(x-2)(x-3)=0,∴x-
2=0或x-3=0,∴x 2 二次函数1=2,x2=3;(2)4x - 26.1
42x+1=0,∵a=4,b=-42,c=1,∴b2- 1.D 2.D 3.B 4.D 5.B 6.C 7.0
( )2 , 42± 16 4ac= -42 -4×4×1=16∴x= 2×4 =
1
8.y=4x2+260x+4000 9.S=πr2 10.-2
2
2±1 2+1 2-1 11.解:∵函数y=(m+1)xm +1 是关于x 的二次函, ,
2 ∴x1= 2 x2= 2 . 数,∴m2+1=2,m+1≠0,解得m=1,∴m 的
11.解:(1)∵方程有两个实数根x ,x ,∴Δ≥0,即 1 2 值为1.
1
-(2a-1) 2-4a2≥0,∴a≤ ;(4 2
)∵x1+x2= 26.2 二次函数的图象和性质
2a-1,xx 2 21 2=a ,由 x1+x22-x1x2=6得,
( )2 1.D 2.C 3.D 4.C 5.C 6.1 7.2x1+x2 -3x1x2=6,∴(2a-1)2-3a2=6,
8.解:∵y=x2-2bx+c=(x-b)2-b2+c,∴顶点
解得a1=-1,
1
a2=5,∵a≤ ,4 ∴a=-1.
坐标为 (b,c-b2),∵1>0,即抛物线开口向上,
12.解:(1)根据题意得:Δ=(2m)2-4(m2+m)> ∴最小值为c-b2,∴当b-1≤x≤b+2时,该函
0,解得:m<0.∴m 的取值范围是m<0;(2)根 数的最小值为c-b2,∵b-(b-1)据题意得:x1+x2=-2m,x1x2=m2+m,∵x21 ∴当x=b+2时,函数取得最大值,为y=(b+
+x22 = 12,∴ (x1+x2)2 - 2x1x2 = 12, 2)
2-2b(b+2)+c=-b2+4+c,由题意可得:
∴(-2m)2-2(m2+m)=12,∴解得:m = -b2+4+c-(c-b2)=-2k,解得:1 k=-2.
-2,m2=3(不合题意,舍去),∴m 的值是-2.
26.3 二次函数与一元二次方程
25.3 实际问题与一元二次方程
1.C 2.D 3.C 4.B 5.C 6.③
1.D 2.B 3.D 4.B 5.C 6.C 7.x1=2,x2=4 8.x<0或x>3
13

9.(1)证明:∵b2-4ac=m2-4(m-2)=(m-2)2 92×7+80×2+74×1 (分) 乙 将 被
+4>0,故二次函数的图象与x 轴都有两个不同 7+2+1
=87.8 .∴
的交点;(2)解:当m=2时,y=x2-2x,与x 轴
录用.
的交点为(0,0),(2,0). 18.
证明:∵AB∥CD,∴∠CDF=∠BEF,∠DCF=
点 是 的中点,
10.解:(1)∵抛物线y1=-x2+mx+n,直线y =
∠EBF.∵ F BC ∴BF=CF.
2
kx+b,y1 的对称轴与y2 交于点A(
,
-1,5),点A ∠CDF=∠BEF
在△DCF 和△EBF 中,∠DCF=∠EBF,
与y1 的顶点B 的距离是4.∴B(-1,1)或(-1,

FC=FB,
), m 4×
(-1)n-m2
9 ∴ - ,2×(-1)= -1 4×(-1) = ∴△DCF≌△EBF(AAS).∴DC=BE.
1或9,解得m=-2,n=0或8,∴y 的解析式 ∵DC∥BE,∴四边形DBEC 是平行四边形.1
2 2 ; 19.解:云梯够长.理由如下:如图,连接为y = -x -2x 或y = -x -2x+8 AM.1 1
(2)①当y1 的解析式为y1=-x2-2x 时,抛物
线与x 轴交点是(0,0)和(-2,0),∵y1 的对称
轴与y2 交于点A(-1,5),∴y1 与y2 都经过x
轴上的同一点(-2,0),把(-1,5),(-2,0)代
-k+b=5
,
k=5
,
入得 解得 ∴y =5x+10;
-2k+b=0,
2
b=10,
②当y1=-x2-2x+8时,解-x2-2x+8=0 由题意,得AC=6m,∠ACM=90°,OM=21m,
得x=-4或2,
∵y2 随着x 的增大而增大,且 OC=3m,∴CM=OM-OC=18m.∴AM=
过点A(-1,5),∴y1 与y2 都经过x 轴上的同 AC2+CM2=6 10 m.∵6 10<20,∴云梯
一点(-4,0),把(-1,5),(-4,0)代 入 得 够长.
5 k= , 20.解:(1)根 据 题 意,得 y=(9-6)x+(12--k+b=5, 3 5 20 解得 ∴y2=3x+3. 8)(5000-x)=-x+20000,∴ 与x 的函数解-4k+b=0, y20b= ,
3 析式为y=-x+20000;(2)∵购买康乃馨的数
第四部分 新知测效 量不少于百合花的数量的
1, 1
4 ∴x≥
(
4 5000-
x). 解得x≥1000.∵-1<0,∴当x=1000
暑期学情测评(一) 时,y 最大,最大值为-1000+20000=19000
(元).所以当x=1000时,商家获得最大利润,
1.C 2.C 3.D 4.C 5.C 6.D 7.C
最大利润是19000元.
8.D 9.B 10.C
21.解:(1)四条边都相等的四边形是菱形;(2)∵四
11.8 12.y=2x-1 13.135° 14.44 边形ABCD 是矩形,∴∠D=∠B=90°,AD=
15.3+ 13 16.4- 6 BC.在图2②中,∠AED=∠CEB,∴△AED≌
17.解:(1)甲的平均成绩为
1
×(88+84+86)= △CEB(AAS).∴AE=CE.在图2③中,由折叠3
重合可得,AE=AF,CE=CF,∴AE=AF=
86(分),乙的平均成绩为
1
3×
(92+80+74)= CE=CF.∴四边形AECF 是菱形;(3)∵四边形
82(分),∴ 甲 将 被 录 用;(2)甲 的 成 绩 为 AMCN 是菱形
,∴AN=CN.设AN=CN=x,则
88×7+84×2+86×1 BN=8-x.在 Rt△CBN 中
,CB2+BN2=
(分),乙 的 成 绩 为
7+2+1 =87 CN2,∴62+(8-x)2=x2.解 得 x=6.25.
14

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