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26.2 二次函数的图象和性质
1.二次函数的图象形状
二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象是一条抛物线,抛物线是轴对称图形.
2.二次函数的图象性质核心公式
(1)对称轴公式:抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的对称轴为直线
b
x=-2a.
2
(2)顶点坐标公式:抛物线的顶点坐标为(
b,4ac-b- );当抛物线的解析式化为顶点式2a 4a y=
a(x-h)2+k(a≠0)时,顶点坐标为(h,k),对称轴为直线x=h.
(3)开口方向与最值:当a>0时,抛物线开口向上,顶点是抛物线的最低点,此时函数有最小
值, 4ac-b
2
y最小值= (或当x=h 时,y最小值=k);当a<0时,抛物线开口向下,顶点是抛物线的4a
2
最高点,此时函数有最大值, 4ac-by最大值= (或当4a x=h
时,y最大值=k).
(4)增减性:当a>0时,在对称轴左侧(
b
x<- 或2a x),y 随x 的增大而减小;在对称轴右
侧( bx>- 或x>h),y 随x 的增大而增大;当a<0时,在对称轴左侧(
b
2a x<-
或
2a x),y
随x 的增大而增大;在对称轴右侧(
b
x>- 或x>h),y 随x 的增大而减小2a .
3.二次函数图象的平移规律
抛物线y=ax2(a≠0)通过平移可得到y=a(x-h)2+k(a≠0)的图象,平移规律为:“左加右
减自变量,上加下减常数项”.即:向左平移m 个单位,解析式变为y=a(x+m)2;向右平移m
个单位,解析式变为y=a(x-m)2;向上平移n 个单位,解析式变为y=ax2+n;向下平移n
个单位,解析式变为y=ax2-n.
4.二次函数与坐标轴的交点
与y 轴的交点:令x=0,则y=c,交点坐标为(0,c);与x 轴的交点:令y=0,则ax2+bx+c=
2
0(a≠0),当Δ=b2-4ac>0时,抛物线与x 轴有两个不同交点,坐标为(
-b+ b -4ac,)和
2a 0
(-b- b
2-4ac,0);当Δ=b22a -4ac=0
时,抛物线与x 轴有一个交点(顶点在x 轴上),坐标
为( b- ,0);当Δ=b2-4ac<0时,抛物线与2a x
轴无交点.
80
例1 二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示,则一次函数y=bx+a 的图象大致是 ( )
A. B. C. D.
解析:∵二次函数图象的开口向上,∴a>0,∵二次函数的对称轴在y 轴右侧,根据左同右异可知
b<0,∴一次函数y=bx+a 的图象经过第一、二、四象限.故选D.
例2 如图,这是二次函数y=ax2+bx+c图象的一部分,且过点A(3,0),对称轴是直线x=1,
下列结论错误的是 ( )
A.b2-4ac>0 B.ac<0 C.2a-b=0 D.a-b+c=0
解析:∵抛物线与x 轴有两个交点,∴b2-4ac>0,故A正确,不符合题意;∵抛物线开口向上,
与y 轴交于负半轴,∴a>0,c<0,∴ac<0,故B正确,不符合题意;∵二次函数图象的对称轴是
b
直线x=1,∴- =1,∴2a+b=0,故C错误,符合题意;∵二次函数过点A(3,0),二次函数图2a
象的对称轴是直线x=1,∴二次函数与x 轴的另一个交点为(-1,0),∴a-b+c=0,故D正
确,不符合题意.故选C.
例3 抛物线y=-2(x-1)2+3的图象向左平移2个单位,再向上平移3个单位,所得的抛物
线的函数解析式是 ( )
A.y=-2(x-1)2+6 B.y=-2(x-1)2-6
C.y=-2(x+1)2+6 D.y=-2(x+1)2-6
解析:∵抛物线y=-2(x-1)2+3的顶点坐标为(1,3),∴向左平移2个单位,再向上平移3个
单位后的顶点坐标是(-1,6),∴所得抛物线解析式是y=-2(x+1)2+6.故选C.
81
1.如图,二次函数y=ax2+bx+c(a,b,c为常数,a≠0)的图象与x 轴交于点A(3,0),与y 轴交
于点B,对称轴为直线x=1,下列四个结论:①abc>0;②2a+c>0;③am2+bm≤-a(m 为任
意实数); 若 3 3④ - )
A.①② B.①③ C.②③ D.①④
2.下列关于二次函数y=(x-3)2-4的说法正确的是 ( )
A.图象是一条开口向下的抛物线 B.顶点坐标是(-3,-4)
C.函数图象与y 轴交于正半轴 D.y 有最大值,最大值为-4
3.将抛物线
1
y= x2 平移后得到抛物线
1
y= (x-1)2,则平移的方式是 (2 2
)
A.向上平移1个单位 B.向下平移1个单位
C.向左平移1个单位 D.向右平移1个单位
4.如图,P 是抛物线y=-x2+x+3在第一象限上的点,过点P 分别向x 轴和y 轴引垂线,垂足
分别为A,B,则四边形OAPB 周长的最大值为 ( )
A.6 B.7 C.8 D.9
5.已知一条抛物线经过A(0,10),B(m+2,n),C(4-m,n),D(3,1)四点,则抛物线的解析式为
( )
A.y=x2+6x+10 B.y=x2+3x+10
C.y=x2-6x+10 D.y=x2-3x+10
82
6.如图,两抛物线的函数解析式分别为y=x2 和y=-x2+2x,则阴影部分面积为 .
7.如图,在等腰直角三角形ABC 中,∠ACB=90°,点A,B 在抛物线y=x2 上,点C 在y 轴上,
A,B 两点的横坐标分别为1和b(b>1),b的值为 .
8.已知二次函数y=x2-2bx+c(b,c为常数),当b-1≤x≤b+2时,该函数的最大值与最小值
的差是-2k,求k的值.
83位数是7.5,小明得7分,超过甲组的中位数,低 7.x=3或x=- 7 8.4或-2 9.7 10.10
于乙组的中位数,所以应该是甲组的学生; 11.解:(1)∵AB=x,∴BC=36-2x,y=x(36-
(3)从统计图和表格中可以看出:乙组的平均分、 2x),∵0<36-2x≤18,∴9≤x<18.∴y 与x
中位数都高于甲组,方差小于甲组,且集中在中 之间的函数解析式为y=-2x2+36x(9≤x<
上游,所以乙组成绩好于甲组. 18);(2)由题意:-2x2+36x=160,解得x1=
第三部分 探究先飞 10,x2=8,∵x2=8时,36-2×8=20>18,不符
合题意,舍去,∴x 的值为10;(3)∵y=-2x2+
第二十五章 一元二次方程 36x=-2(x-9)
2+162,∴x=9时,y 有最大
值162m2,设购买了乙种绿色植物a 棵,购买了
25.1 一元二次方程 丙种绿色植物b 棵,由题意:14(400-a-b)+
16a+28b=8600,∴a+7b=1500,∴b的最大值
1.B 2.A 3.C 4.B 5.A 6.D 7.0 为214,此时a=2.需要种植的面积=0.4×(400-
8.2 9.-1 214-2)+1×2+0.4×214=161.2(m2)<162m2,
25.2 降次———解一元二次方程 ∴丙种植物最多可以购买214棵,此时这批植物
可以全部栽种到这块空地上.
1.C 2.D 3.A 4.C 5.A
6.x =1,x =3 7.4 8.14 9.3 第二十六章 二次函数1 2
10.(1)x2-5x+6=0,∴(x-2)(x-3)=0,∴x-
2=0或x-3=0,∴x 2 二次函数1=2,x2=3;(2)4x - 26.1
42x+1=0,∵a=4,b=-42,c=1,∴b2- 1.D 2.D 3.B 4.D 5.B 6.C 7.0
( )2 , 42± 16 4ac= -42 -4×4×1=16∴x= 2×4 =
1
8.y=4x2+260x+4000 9.S=πr2 10.-2
2
2±1 2+1 2-1 11.解:∵函数y=(m+1)xm +1 是关于x 的二次函, ,
2 ∴x1= 2 x2= 2 . 数,∴m2+1=2,m+1≠0,解得m=1,∴m 的
11.解:(1)∵方程有两个实数根x ,x ,∴Δ≥0,即 1 2 值为1.
1
-(2a-1) 2-4a2≥0,∴a≤ ;(4 2
)∵x1+x2= 26.2 二次函数的图象和性质
2a-1,xx 2 21 2=a ,由 x1+x22-x1x2=6得,
( )2 1.D 2.C 3.D 4.C 5.C 6.1 7.2x1+x2 -3x1x2=6,∴(2a-1)2-3a2=6,
8.解:∵y=x2-2bx+c=(x-b)2-b2+c,∴顶点
解得a1=-1,
1
a2=5,∵a≤ ,4 ∴a=-1.
坐标为 (b,c-b2),∵1>0,即抛物线开口向上,
12.解:(1)根据题意得:Δ=(2m)2-4(m2+m)> ∴最小值为c-b2,∴当b-1≤x≤b+2时,该函
0,解得:m<0.∴m 的取值范围是m<0;(2)根 数的最小值为c-b2,∵b-(b-1)据题意得:x1+x2=-2m,x1x2=m2+m,∵x21 ∴当x=b+2时,函数取得最大值,为y=(b+
+x22 = 12,∴ (x1+x2)2 - 2x1x2 = 12, 2)
2-2b(b+2)+c=-b2+4+c,由题意可得:
∴(-2m)2-2(m2+m)=12,∴解得:m = -b2+4+c-(c-b2)=-2k,解得:1 k=-2.
-2,m2=3(不合题意,舍去),∴m 的值是-2.
26.3 二次函数与一元二次方程
25.3 实际问题与一元二次方程
1.C 2.D 3.C 4.B 5.C 6.③
1.D 2.B 3.D 4.B 5.C 6.C 7.x1=2,x2=4 8.x<0或x>3
13

9.(1)证明:∵b2-4ac=m2-4(m-2)=(m-2)2 92×7+80×2+74×1 (分) 乙 将 被
+4>0,故二次函数的图象与x 轴都有两个不同 7+2+1
=87.8 .∴
的交点;(2)解:当m=2时,y=x2-2x,与x 轴
录用.
的交点为(0,0),(2,0). 18.
证明:∵AB∥CD,∴∠CDF=∠BEF,∠DCF=
点 是 的中点,
10.解:(1)∵抛物线y1=-x2+mx+n,直线y =
∠EBF.∵ F BC ∴BF=CF.
2
kx+b,y1 的对称轴与y2 交于点A(
,
-1,5),点A ∠CDF=∠BEF
在△DCF 和△EBF 中,∠DCF=∠EBF,
与y1 的顶点B 的距离是4.∴B(-1,1)或(-1,

FC=FB,
), m 4×
(-1)n-m2
9 ∴ - ,2×(-1)= -1 4×(-1) = ∴△DCF≌△EBF(AAS).∴DC=BE.
1或9,解得m=-2,n=0或8,∴y 的解析式 ∵DC∥BE,∴四边形DBEC 是平行四边形.1
2 2 ; 19.解:云梯够长.理由如下:如图,连接为y = -x -2x 或y = -x -2x+8 AM.1 1
(2)①当y1 的解析式为y1=-x2-2x 时,抛物
线与x 轴交点是(0,0)和(-2,0),∵y1 的对称
轴与y2 交于点A(-1,5),∴y1 与y2 都经过x
轴上的同一点(-2,0),把(-1,5),(-2,0)代
-k+b=5
,
k=5
,
入得 解得 ∴y =5x+10;
-2k+b=0,
2
b=10,
②当y1=-x2-2x+8时,解-x2-2x+8=0 由题意,得AC=6m,∠ACM=90°,OM=21m,
得x=-4或2,
∵y2 随着x 的增大而增大,且 OC=3m,∴CM=OM-OC=18m.∴AM=
过点A(-1,5),∴y1 与y2 都经过x 轴上的同 AC2+CM2=6 10 m.∵6 10<20,∴云梯
一点(-4,0),把(-1,5),(-4,0)代 入 得 够长.
5 k= , 20.解:(1)根 据 题 意,得 y=(9-6)x+(12--k+b=5, 3 5 20 解得 ∴y2=3x+3. 8)(5000-x)=-x+20000,∴ 与x 的函数解-4k+b=0, y20b= ,
3 析式为y=-x+20000;(2)∵购买康乃馨的数
第四部分 新知测效 量不少于百合花的数量的
1, 1
4 ∴x≥
(
4 5000-
x). 解得x≥1000.∵-1<0,∴当x=1000
暑期学情测评(一) 时,y 最大,最大值为-1000+20000=19000
(元).所以当x=1000时,商家获得最大利润,
1.C 2.C 3.D 4.C 5.C 6.D 7.C
最大利润是19000元.
8.D 9.B 10.C
21.解:(1)四条边都相等的四边形是菱形;(2)∵四
11.8 12.y=2x-1 13.135° 14.44 边形ABCD 是矩形,∴∠D=∠B=90°,AD=
15.3+ 13 16.4- 6 BC.在图2②中,∠AED=∠CEB,∴△AED≌
17.解:(1)甲的平均成绩为
1
×(88+84+86)= △CEB(AAS).∴AE=CE.在图2③中,由折叠3
重合可得,AE=AF,CE=CF,∴AE=AF=
86(分),乙的平均成绩为
1
3×
(92+80+74)= CE=CF.∴四边形AECF 是菱形;(3)∵四边形
82(分),∴ 甲 将 被 录 用;(2)甲 的 成 绩 为 AMCN 是菱形
,∴AN=CN.设AN=CN=x,则
88×7+84×2+86×1 BN=8-x.在 Rt△CBN 中
,CB2+BN2=
(分),乙 的 成 绩 为
7+2+1 =87 CN2,∴62+(8-x)2=x2.解 得 x=6.25.
14

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