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26.3 二次函数与一元二次方程
二次函数解析式常见有以下几种形式:
(1)一般式:y=ax2+bx+c(a,b,c为常数,a≠0);
(2)顶点式:y=a(x-h)2+k(a,h,k为常数,a≠0);
(3)交点式:y=a(x-x1)(x-x2)(x1,x2 为抛物线与x 轴交点的横坐标,a≠0).
二次函数与一元二次方程、不等式的关系:
根的判别式 二次函数的图象 二次函数与x 轴的交点坐标 一元二次方程根的情况
抛物线y=ax2a>0 +bx+c(a 一元二次方程ax2+bx
≠0)与x 轴交于(x1,0),
+c=0(a≠0)有两个不相
(x2,0)(x1Δ>0 等的实数根
-b± b2-4ac
x1,2 = ,此2a -b± b
2-4ac
x1,2=
a<0 2a时称抛物线与x 轴相交
a>0
抛物线y=ax2+bx+c(a
一元二次方程ax2+bx
≠0)与x 轴交切于(
b
- ,
Δ=0 2a +c=0
(a≠0)有两个相等
0)这一点,此时称抛物线与 的实数根 bx1=x2=-2a
x 轴相切a<0
a>0
抛物线y=ax2+bx+c(a 一元二次方程ax2+bx+
Δ<0 ≠0)与x 轴无交点,此时称 c=0(a≠0)在实数范围内
抛物线与x 轴相离 无解(或称无实数根)
a<0
84
求一元二次方程的近似解的方法:(1)作出函数的图象,并由图象确定方程的解的个数;(2)由图
象与y=h 的交点位置确定交点横坐标的范围;(3)观察图象求得方程的根(由于作图或观察存在
误差,由图象求得的根一般是近似的).
例1 对于二次函数
1
y=- x2+x-4,下列说法正确的是 (4
)
A.当x>0时,y 随x 的增大而增大 B.当x=2时,y 有最大值-3
C.图象的顶点坐标为(-2,-7) D.图象与x 轴有两个交点
解析: 1 1∵二次函数y=- x2+x-4=- (
1
4 4 x-2
)2-3,∴a=-4<0
,顶点坐标为(2,-3),
1
∴当x=2时,二次函数y=- x24 +x-4
的最大值为-3;当x<2时,y 随x 的增大而增大;当
x>2时,y 随x 的增大而减小,∵Δ=12-4× 1-4 ×(-4)=-3<0,∴图象与x 轴没有交点,
综上所述,A,C,D错误,B正确.故选B.
例2 若A(-2,y1),B(-1,y2),C(2,y3)为二次函数y=x2+2x+2的图象上的三点,则y1,
y2,y3 的大小关系是 ( )
A.y1解析: 2∵对称轴为直线x=- ,且 , 到对称轴直线 的距离为 ,2×1=-1 a=1>0 ∴A x=-1 1B
到对称轴直线x=-1的距离为0,C 到对称轴直线x=-1的距离为3,∵0<1<3,根据抛物线
开口向上,离对称轴越近,函数值越小,∴y2例3 抛物线y=x2+bx+3的对称轴为直线x=1,若关于x 的一元二次方程x2+bx+3-t=
0(t为实数)在-1A.2≤t<11 B.t≥2 C.6解析:∵y=x2+bx+3的对称轴为直线x=1,∴b=-2,∴y=x2-2x+3,∴一元二次方程x2
+bx+3-t=0的实数根可以看作y=x2-2x+3与函数y=t的图象有交点,∵方程在-1<4的范围内有实数根,当x=-1时,y=6;当x=4时,y=11;函数y=x2-2x+3在x=1时
有最小值2;∴2≤t<11.故选A.
例4 如图,已知抛物线y=ax2+c与直线y=kx+m 交于A(-3,y1),B(1,y2)两点,则关于x
的不等式ax2+c≥-kx+m 的解集是 ( )
A.x≤-3或x≥1 B.x≤-1或x≥3 C.-3≤x≤1 D.-1≤x≤3
85
解析:∵y=kx+m 与y=-kx+m 的图象关于y 轴对称,∴直线y=-kx+m 与抛物线y=
ax2+c的交点A',B'与点A,B 也关于y 轴对称,如图所示:
∵A(-3,y1),B(1,y2),∴A'(3,y1),B'(-1,y2),根据函数图象得:不等式ax2+c≥-kx+m
的解集是-1≤x≤3.故选D.
1.若抛物线y=x2+x-1与x 轴的交点坐标为(m,0),则代数式m2+m+119的值为 ( )
A.118 B.119 C.120 D.121
2.如图,抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的对称轴为直线x=1,与y 轴交于点B(0,-2),
点A(-1,m)在抛物线上,则下列结论中错误的是 ( )
A.ab<0
B.一元二次方程ax2+bx+c=0的正实数根在2和3之间
m+2
C.a= 3
D.点P1(t,y1),
1
P2(t+1,y2)在抛物线上,当实数t> 时,3 y13.已知二次函数y=x2-2bx+2b2-4c(其中x 是自变量)的图象经过不同两点A(1-b,m),
B(2b+c,m),且该二次函数的图象与x 轴有公共点,则b+c的值为 ( )
A.-1 B.2 C.3 D.4
4.如图,抛物线
1
y1= (2x+1
)2+1与y2=a(x-4)2-3交于点A(1,3),过点A 作x 轴的平行
线,分别交两条抛物线于B,C 两点,且D,E 分别为顶点.则下列结论:
2
①a= ;②AC=AE;③△ABD 是等腰直角三角形;3 ④
当x>1时,y1>y2,其中正确结论的个
数是 ( )
86
A.1 B.2 C.3 D.4
5.关于抛物线y=x2-(a+1)x+a-3,下列说法错误的是 ( )
A.开口向上 B.当a=3时,经过坐标原点O
C.抛物线与直线y=1无公共点 D.不论a 为何值,都过定点
6.已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示,则下列结论:①b2-4ac>0;②3是方
程ax2+bx+c=0的一个根;③当-13时,y<0.其中错
误的是 .(填序号)
第6题 第8题
7.若二次函数y=x2+bx-5的对称轴为直线x=2,则关于x 的方程x2+bx-5=2x-13的解
为 .
8.如图,直线y=kx+b与抛物线y=-x2+2x+3交于点A,B ,且点A 在y 轴上,点B 在x 轴
上,则不等式-x2+2x+39.已知函数y=x2-mx+m-2.
(1)求证:不论m 为何实数,此二次函数的图象与x 轴都有两个不同的交点;
(2)若m=2,求函数与x 轴的交点坐标.
10.已知抛物线y1=-x2+mx+n,直线y2=kx+b,y1 的对称轴与y2 交于点A(-1,5),点A
与y1 的顶点B 的距离是4.
(1)求y1 的解析式;
(2)若y2 随着x 的增大而增大,且y1 与y2 都经过x 轴上的同一点,求y2 的解析式.
87位数是7.5,小明得7分,超过甲组的中位数,低 7.x=3或x=- 7 8.4或-2 9.7 10.10
于乙组的中位数,所以应该是甲组的学生; 11.解:(1)∵AB=x,∴BC=36-2x,y=x(36-
(3)从统计图和表格中可以看出:乙组的平均分、 2x),∵0<36-2x≤18,∴9≤x<18.∴y 与x
中位数都高于甲组,方差小于甲组,且集中在中 之间的函数解析式为y=-2x2+36x(9≤x<
上游,所以乙组成绩好于甲组. 18);(2)由题意:-2x2+36x=160,解得x1=
第三部分 探究先飞 10,x2=8,∵x2=8时,36-2×8=20>18,不符
合题意,舍去,∴x 的值为10;(3)∵y=-2x2+
第二十五章 一元二次方程 36x=-2(x-9)
2+162,∴x=9时,y 有最大
值162m2,设购买了乙种绿色植物a 棵,购买了
25.1 一元二次方程 丙种绿色植物b 棵,由题意:14(400-a-b)+
16a+28b=8600,∴a+7b=1500,∴b的最大值
1.B 2.A 3.C 4.B 5.A 6.D 7.0 为214,此时a=2.需要种植的面积=0.4×(400-
8.2 9.-1 214-2)+1×2+0.4×214=161.2(m2)<162m2,
25.2 降次———解一元二次方程 ∴丙种植物最多可以购买214棵,此时这批植物
可以全部栽种到这块空地上.
1.C 2.D 3.A 4.C 5.A
6.x =1,x =3 7.4 8.14 9.3 第二十六章 二次函数1 2
10.(1)x2-5x+6=0,∴(x-2)(x-3)=0,∴x-
2=0或x-3=0,∴x 2 二次函数1=2,x2=3;(2)4x - 26.1
42x+1=0,∵a=4,b=-42,c=1,∴b2- 1.D 2.D 3.B 4.D 5.B 6.C 7.0
( )2 , 42± 16 4ac= -42 -4×4×1=16∴x= 2×4 =
1
8.y=4x2+260x+4000 9.S=πr2 10.-2
2
2±1 2+1 2-1 11.解:∵函数y=(m+1)xm +1 是关于x 的二次函, ,
2 ∴x1= 2 x2= 2 . 数,∴m2+1=2,m+1≠0,解得m=1,∴m 的
11.解:(1)∵方程有两个实数根x ,x ,∴Δ≥0,即 1 2 值为1.
1
-(2a-1) 2-4a2≥0,∴a≤ ;(4 2
)∵x1+x2= 26.2 二次函数的图象和性质
2a-1,xx 2 21 2=a ,由 x1+x22-x1x2=6得,
( )2 1.D 2.C 3.D 4.C 5.C 6.1 7.2x1+x2 -3x1x2=6,∴(2a-1)2-3a2=6,
8.解:∵y=x2-2bx+c=(x-b)2-b2+c,∴顶点
解得a1=-1,
1
a2=5,∵a≤ ,4 ∴a=-1.
坐标为 (b,c-b2),∵1>0,即抛物线开口向上,
12.解:(1)根据题意得:Δ=(2m)2-4(m2+m)> ∴最小值为c-b2,∴当b-1≤x≤b+2时,该函
0,解得:m<0.∴m 的取值范围是m<0;(2)根 数的最小值为c-b2,∵b-(b-1)据题意得:x1+x2=-2m,x1x2=m2+m,∵x21 ∴当x=b+2时,函数取得最大值,为y=(b+
+x22 = 12,∴ (x1+x2)2 - 2x1x2 = 12, 2)
2-2b(b+2)+c=-b2+4+c,由题意可得:
∴(-2m)2-2(m2+m)=12,∴解得:m = -b2+4+c-(c-b2)=-2k,解得:1 k=-2.
-2,m2=3(不合题意,舍去),∴m 的值是-2.
26.3 二次函数与一元二次方程
25.3 实际问题与一元二次方程
1.C 2.D 3.C 4.B 5.C 6.③
1.D 2.B 3.D 4.B 5.C 6.C 7.x1=2,x2=4 8.x<0或x>3
13

9.(1)证明:∵b2-4ac=m2-4(m-2)=(m-2)2 92×7+80×2+74×1 (分) 乙 将 被
+4>0,故二次函数的图象与x 轴都有两个不同 7+2+1
=87.8 .∴
的交点;(2)解:当m=2时,y=x2-2x,与x 轴
录用.
的交点为(0,0),(2,0). 18.
证明:∵AB∥CD,∴∠CDF=∠BEF,∠DCF=
点 是 的中点,
10.解:(1)∵抛物线y1=-x2+mx+n,直线y =
∠EBF.∵ F BC ∴BF=CF.
2
kx+b,y1 的对称轴与y2 交于点A(
,
-1,5),点A ∠CDF=∠BEF
在△DCF 和△EBF 中,∠DCF=∠EBF,
与y1 的顶点B 的距离是4.∴B(-1,1)或(-1,

FC=FB,
), m 4×
(-1)n-m2
9 ∴ - ,2×(-1)= -1 4×(-1) = ∴△DCF≌△EBF(AAS).∴DC=BE.
1或9,解得m=-2,n=0或8,∴y 的解析式 ∵DC∥BE,∴四边形DBEC 是平行四边形.1
2 2 ; 19.解:云梯够长.理由如下:如图,连接为y = -x -2x 或y = -x -2x+8 AM.1 1
(2)①当y1 的解析式为y1=-x2-2x 时,抛物
线与x 轴交点是(0,0)和(-2,0),∵y1 的对称
轴与y2 交于点A(-1,5),∴y1 与y2 都经过x
轴上的同一点(-2,0),把(-1,5),(-2,0)代
-k+b=5
,
k=5
,
入得 解得 ∴y =5x+10;
-2k+b=0,
2
b=10,
②当y1=-x2-2x+8时,解-x2-2x+8=0 由题意,得AC=6m,∠ACM=90°,OM=21m,
得x=-4或2,
∵y2 随着x 的增大而增大,且 OC=3m,∴CM=OM-OC=18m.∴AM=
过点A(-1,5),∴y1 与y2 都经过x 轴上的同 AC2+CM2=6 10 m.∵6 10<20,∴云梯
一点(-4,0),把(-1,5),(-4,0)代 入 得 够长.
5 k= , 20.解:(1)根 据 题 意,得 y=(9-6)x+(12--k+b=5, 3 5 20 解得 ∴y2=3x+3. 8)(5000-x)=-x+20000,∴ 与x 的函数解-4k+b=0, y20b= ,
3 析式为y=-x+20000;(2)∵购买康乃馨的数
第四部分 新知测效 量不少于百合花的数量的
1, 1
4 ∴x≥
(
4 5000-
x). 解得x≥1000.∵-1<0,∴当x=1000
暑期学情测评(一) 时,y 最大,最大值为-1000+20000=19000
(元).所以当x=1000时,商家获得最大利润,
1.C 2.C 3.D 4.C 5.C 6.D 7.C
最大利润是19000元.
8.D 9.B 10.C
21.解:(1)四条边都相等的四边形是菱形;(2)∵四
11.8 12.y=2x-1 13.135° 14.44 边形ABCD 是矩形,∴∠D=∠B=90°,AD=
15.3+ 13 16.4- 6 BC.在图2②中,∠AED=∠CEB,∴△AED≌
17.解:(1)甲的平均成绩为
1
×(88+84+86)= △CEB(AAS).∴AE=CE.在图2③中,由折叠3
重合可得,AE=AF,CE=CF,∴AE=AF=
86(分),乙的平均成绩为
1
3×
(92+80+74)= CE=CF.∴四边形AECF 是菱形;(3)∵四边形
82(分),∴ 甲 将 被 录 用;(2)甲 的 成 绩 为 AMCN 是菱形
,∴AN=CN.设AN=CN=x,则
88×7+84×2+86×1 BN=8-x.在 Rt△CBN 中
,CB2+BN2=
(分),乙 的 成 绩 为
7+2+1 =87 CN2,∴62+(8-x)2=x2.解 得 x=6.25.
14

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