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2026学年八年级数学下学期期末测试卷
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分）
1．某校开展“运用几何画板，探寻美丽的数学世界”活动，下面是活动的部分作品，其中是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
2．已知，，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
3．若不等式组的解集是，则a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
4．已知三个实数满足则下列结论一定成立的是（ ）．
A． B． C． D．
5．如图，在4×4的网格中，每个小正方形的边长均为1，点A、B、C都在格点上，为的角平分线，则的长为（ ）
A． B． C． D．
6．如图，等边与关于直线对称，，且的边长为，为线段上一动点，则的最小值是（　　）．
A． B． C． D．
7．如图，中，是的中点，过点作于点，的垂直平分线分别交，于点，，且，连接，．若，，则的长为（ ）
A． B． C． D．
8．如图，点在边上，将沿翻折，使点的对应点落在边上，若，，，则的长为（ ）
A． B． C． D．
9．对于分式：，，，，，在每个式子前添“+”或“-”号，并求和的绝对值，称此操作为“绝对和差操作”
例如：，，…下列说法：
①对于“绝对和差操作，若，则化简后的结果为；
②至少存在一种“绝对和差操作”使化简后的结果为常数；
③所有可能的“绝对和差操作”化简后有32种不同结果；
其中正确的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
10．如图，的对角线相交于点O，的平分线与边相交于点P，过点O作平行于的直线交于点E，若，，则的长为（ ）
A．8 B．9 C．10 D．12
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分）
11．若关于的不等式组无解，则的取值范围是_________．
12．若，则____________．
13．若关于的分式方程的解为正整数，则整数的一个值可以是___________．
14．如图，在等腰中，，；在上取一点，以为底边作等腰三角形，且，连，______．
15．我国古代称直角三角形为“勾股形”，并且直角边中较短边为勾，另一直角边为股，斜边为弦．如图1，数学家刘徽（约公元225年-公元295年）将勾股形分割成一个正方形和两对全等的直角三角形，后人借助这种分割方法所得的图形证明了勾股定理。如图2所示的长方形，是由两个完全相同的“勾股形”拼接而成，若，，则长方形的面积为_____．
16．如图，垂直平分，交于E，，垂足为A，，则的长为_____．
三、解答题（本大题共8小题，满分72分）
17．（6分）（1）分解因式：；
（2）利用因式分解计算：．
18．（6分）（1）解不等式：
（2）解不等式组：，并把它的解集表示在数轴上．
19．（8分）已知分式．
(1)化简分式；
(2)若的值为方程的解，求该分式的值．
20．（8分）如图，在平面直角坐标系中，各顶点的坐标分别为点，点，点，将先向上平移3个单位长度，再向右平移6个单位长度，得到，其中点与点A对应，点与点对应，点与点对应．
(1)若将看成是由经过一次平移得到的，请写出这一平移的平移方向与平移距离；
(2)将绕点顺时针旋转，画出旋转后得到的，其中点与点A对应，点与点对应，分别写出点、点的坐标．
21．（10分）用如图（1）中的长方形和正方形木板作侧面和底面，做如图（2）的无盖竖式和有盖横式两种木箱，现在仓库里有块正方形木板和块长方形木板．
(1)当，，恰好将库存木板用完，则两种木箱各做了多少个？
(2)当时，且，恰好要将库存木板用完，求整数的值．
22．（10分）如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点．四边形的四个顶点都在格点上，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图（保留作图痕迹，画图过程用虚线，画图结果用实线）．
(1)在图1中画一条线段，使它平分四边形的面积；
(2)在图2的边上画点E，使．
23．（12分）阅读下列材料，并解答问题：
【材料1】我们知道，假分数可以化为整数与真分数的和的形式，例如：．在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为假分式；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为真分式，如，，…这样的分式是假分式；如与…这样的分式是真分式．类似的，假分式也可以化为整式与真分式的和（差）的形式．
例如：将分式化成一个整式与一个真分式的和（差）的形式．
方法1：；
方法2：由分母为，可设（a，b为待确定的系数），
，
对于任意x，上述等式均成立，
，解得，
．
，
这样，分式就被化成一个整式与一个真分式的和（差）的形式．
【材料2】对于式子，由知的最小值为1，所以的最大值为3，所以的最大值为5．
(1)分式是 分式（填“真”或“假”）；
(2)把分式化成一个整式与一个真分式的和（差）的形式；
(3)当时，求分式的最大值．
24．（12分）数学活动课上，老师让同学们准备两个等腰直角三角形纸片，将直角顶点重合到一起，利用图形的旋转开展探究活动．
(1)当两个等腰直角三角形纸片如图1放置时，，，点和点分别在和上，且，则与的数量关系是______，位置关系是______；
(2)将图1中的绕着点顺时针旋转，连接，在旋转过程中与的数量关系和位置关系与（1）中是否发生变化？请结合图2加以证明；
(3)将绕着点顺时针旋转到图3的位置，过点作于点，延长交于点．求证：为的中点．
参考答案
一、选择题
1．C
解： A、不是中心对称图形，故选项不符合题意；
B、不是中心对称图形，故选项不符合题意；
C、是中心对称图形，故选项符合题意；
D、不是中心对称图形，故选项不符合题意；
故选：C．
2．C
解：∵ ，．
∴A． ，A错误；
B．， B错误；
C．．与选项一致， C正确；
D．，D错误．
3．C
解：，
解不等式，得，
∴原不等式组可化为 ，
∵不等式组的解集是，
根据“同小取小”的规律，可得，
解得．
4．D
解：将代入，
得，
，
∴，
∴，
，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
A. ，结论错误，不符合题意；
B. ，结论错误，不符合题意；
C. ，结论错误，不符合题意；
D. ，结论正确，符合题意．
故选：D．
5．B
解：由图可知，， ， ，
∴，
∴为等腰直角三角形，
∵为的角平分线，
∴是斜边上的中线，
∴．
故选：B．
6．D
如图，连接，
∵等边与关于直线对称，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵在与中，
，
∴，
∴，
∴，
∴的最小值为．
7．D
解：如图所示，延长至点，使，连接，
∵，
∴，
∵点是的中点，
∴，
又∵，
∴，
∴，，，
∵垂直平分线段，
∴，，，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
故选：D．
8．A
解：四边形是平行四边形，，，
，，
点在边上，将沿翻折，使点的对应点落在边上，
，，
，
，
，
．
9．C
【详解】①
，
∵，
∴，
∴原式，故①正确；
②举例：
，
即至少存在一种“绝对和差操作”使化简后的结果为常数，故②正确；
③，，，，这5个分式，每个分式有正负两种情况，
则组合的可能有：（种），
又∵，
∴至少有两种情况的结果相同，
∴所有可能的“绝对和差操作”化简后不可能有32种不同结果，故③错误，
故正确的有2个，
故选：C．
10．C
解：如图，过点P作交射线于点F，
四边形是平行四边形，
，，，
，
平分，
，
，
，
∵，
∴，
∴四边形为平行四边形，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，即，
∴，
∴．
故选：C．
二、填空题
11．
解：
解不等式①得：；
解不等式②得：；
不等式组无解，
，
解得.
12．0
解：
将，代入上式，得
原式
，
故答案为：0．
13．(或或，写出一个即可)
解：分式方程两边同乘，得，
展开整理得，即，
解得；
∵方程的解为正整数，且，
∴是8的正约数，2，4，，
当时，，此时，符合条件；
当时，，此时，符合条件；
当时，，此时，符合条件；
当时，，此时(增根，舍去)；
故整数的一个值可以是(或或)；
故答案为：(或或，写出一个即可)．
14．
解：连接，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，，，，，
∴，，
∴是等边三角形，
∴，，
∴，，
∴，
∴．
故答案为：．
15．
解：设阴影部分小三角形长直角边边长为x，
∵，，
∴，，，
在中，，
即，
解得，，
而长方形面积为，
故答案为：．
16．9.6
解：∵垂直平分，
∴，
∴，
∴，即，
∵，
∴，
∴，
∵，垂直平分，
∴，，
∴四边形为平行四边形，
∴，
设，则，
在中，，
在中，，
∴，
即，解得，
∴，
∴，，
∴．
三、解答题
17．（1）解：
．
（2）解：
．
18．（1）解：
去分母，得，
去括号，得，
移项，得，
合并同类项，得，
系数化为1，得．
（2）解：
解不等式 ，
去括号，得，
移项，得，
即，
∴．
解不等式 ，
去分母，得，
去括号，得，
合并同类项，得，
移项，得．
∴ 不等式组的解集为 ．
不等式组的解集在数轴上表示为：
19．（1）解：
；
（2）解：对于方程，
去分母，得，
解得．
检验：把代入，得，
分式方程的解为，
原分式的值为．
20．（1）解：如图：连接，
根据勾股定理可得：，
∴是由沿方向一次平移个单位长度得到的．
（2）解：如图：即为所求；
由坐标系可得：点、点．
21．（1）解：设无盖竖式木箱做了个，有盖横式木箱做了个，
根据题意得：，
解得：．
答：无盖竖式木箱做了个，有盖横式木箱做了个；
（2）解：设无盖竖式木箱做了个，则有盖横式木箱做了个，
根据题意得：，
，
，
解得：，
又，均为整数，
可以为或100，
或．
答：的值为或．
22．（1）解：由题意知，，，，
∴四边形是平行四边形；
则连接，交于O，做一条过O的线段即可；
（2）解：如图，取格点M，连接交于E，点即为所求；
证明：由勾股定理可知：，，，
∴是等腰直角三角形，
∴，
即．
23．（1）解：是真分式．
（2）解：设，
则 ，
解得，
.
（3）解：考虑，求其最小值，
∵，，
当时，最小为1
最大为1．
24．（1）解：∵，，
∴，
∴，
延长，交于点，
∵，
∴，
∴与的数量关系是相等，位置关系是垂直，
故答案为：相等，垂直；
（2）解：不发生变化，理由如下：
如图1，延长交于点P，交于点，
∵，
∴，
即，
∵，
在和中，
，
∴，
∴ ，
∴，
∴，
∴；
（3）证明：如图2，分别过两点作交于点，交的延长线于点，
∵，，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
在和中，
，
∴，
同理可证，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，即M为的中点．

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