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2026学年七年级数学下学期期末检测卷
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分）
1．已知，，且，则的值为（　　）
A．或 B．2或10 C．10 D．
2．已知关于x，y的二元一次方程组的解满足，则k的取值范围是（ ）．
A． B． C． D．
3．如图，直线，射线交于点F，连接，若，，则的度数为（ ）．
A． B． C． D．
4．若是无理数，是有理数，则下列结论正确的是（ ）
A．一定是无理数 B．一定是无理数
C．一定是有理数 D．一定是无理数
5．一把直尺和一块含角的三角板按如图所示的位置放置，如果，那么图中与相等的角有（ ）
A．7个 B．6个 C．5个 D．4个
6．如表是当x取不同值时对应的整式的值，小明不小心打翻了墨水在纸上，导致表格部分数据看不见，则a，b的值分别为（　　）
x 1 2
7 3 1
A．， B．，
C．， D．，
7．若关于的不等式组恰有个整数解，且关于，的方程组也有整数解，则所有符合条件的整数的和为（ ）．
A． B． C． D．
8．某气象台发现：在某段时间里，如果早晨下雨，那么晚上是晴天；如果晚上下雨，那么早晨是晴天，已知这段时间有9天下了雨，并且有6天晚上是晴天，7天早晨是晴天，则这一段时间有（ ）
A．9天 B．11天 C．13天 D．22天
9．如图，平面直角坐标系内，动点第1次从点运动到点，第2次运动到点，第3次运动到点按这样的规律，第2026次运动到点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
10．如图，点在的延长线上，与交于点，且，，是的余角的倍，点是线段上的一动点，点是线段上一点且满足，平分．下列结论：；；平分；；．其中结论正确的个数是（ ）
A．个 B．个 C．个 D．个
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分）
11．已知（其中为相邻的两个正整数），则的值为________．
12．关于x的不等式组有且只有4个整数解，则常数m的取值范围是______．
13．如图是某中学七、八、九年级为贫困山区儿童捐款的统计图，已知该校七、八、九年级共有学生人，请根据统计图计算七、八、九年级共捐款__________元．
14．如图，AB∥CD，BE∥DF，∠DBE和∠CDF的角平分线交于点G．当∠BGD＝65°时，∠BDC＝________度.
15．幻方是古老的数字问题，我国古代的《洛书》中记载了最早的幻方九宫格．将9个数填入幻方的空格中，要求每一横行、每一竖列以及两条斜对角线上的3个数之和相等．如表为一个三阶幻方的一部分，则图中右上角空格中的值为___．
16．如图，在平面直角坐标系中，长方形与长方形，顶点，，．将长方形与长方形分别以每秒2个单位长度和每秒1个单位长度的速度向右平移．同时，动点M从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿折线运动，当长方形与长方形的重叠面积为1时，点M的坐标是________．
三、解答题（本大题共8小题，满分72分）
17．（6分）已知的立方根是3，的算术平方根是4，c是的整数部分．
(1)求的值；
(2)求的平方根．
18．（6分）如图是两人玩的一盘五子棋，已知白棋①的坐标为，黑棋②的坐标为．
(1)请你根据题意，补充原点O和y轴；
(2)写出黑棋③和白棋④的坐标；
(3)五子棋的比赛规则是：两人各执一种颜色的棋子，每人每次在棋盘网格的格点处下一子，轮流下，最先在棋盘横向、竖向、斜向形成连续的相同色五个棋子的一方为胜．现轮到黑棋下，要使黑棋这一步下完后胜出，请直接写出这一步黑棋的坐标．
19．（8分）2026年的3月29日是全国中小学生安全教育日，某校为加强学生的安全意识，组织了全校学生参加安全知识竞赛，从中抽取了部分学生成绩（得分取正整数，满分为100分）进行统计，绘制了图中两幅不完整的统计图．
(1)________，________；
(2)补全频数直方图；
(3)该校共有2000名学生．若成绩在70分以下（含70分）的学生安全意识不强，有待进一步加强安全教育，则该校安全意识不强的学生约有多少人？
20．（8分）如图是由8个同样大小的立方体组成的二阶魔方，体积为．
(1)求这个魔方的棱长；
(2)图中阴影部分是一个正方形，求阴影部分的面积及其边长．
(3)把正方形放到数轴上，如图，使得点A与1重合，数轴上有一个动点E，若，则点E在数轴上表示的数为______．
21．（10分）对于的不等式（其中），我们称不等式“”是它的“逆不等式”，不等式“”是它的“否不等式”．
(1)对于不等式，它的“逆不等式”是___________；它的“逆不等式”和“否不等式”解集的公共部分是___________；
(2)对于的不等式（其中），
①若它的“逆不等式”和“否不等式”有相同的解集，求的数量关系；（用等式表示）
②若存在唯一的负整数，使得它的“逆不等式”和“否不等式”同时成立，直接写出的取值范围．
22．（10分）阅读下列解方程组的方法，然后解答问题：
解方程组时，小明发现如果用常规的代入消元法、加减消元法来解，计算量大，且易出现运算错误，他采用下面的解法比较简单：
得：，即③
得：④
得：，，代入③得．
所以这个方程组的解是．
(1)请你运用小明的方法解方程组．
(2)规律探究：猜想关于，的方程组，的解是______．
23．（12分）小语爸爸开了一家茶叶专卖店，包装设计专业毕业的小语为爸爸设计了一款纸质长方体茶叶包包装盒（纸片厚度不计）．如图，阴影部分是裁剪掉的部分，沿图中实线折叠做成的长方体纸盒的上下底面是正方形，有三处长方形形状的“接口”用来折叠后粘贴或封盖．
（1）若小语用长，宽的长方形纸片，恰好能做成一个符合要求的包装盒，盒高是盒底边长的倍，三处“接口”的宽度相等．则该茶叶盒的容积是多少？
（2）小语爸爸的茶叶专卖店以每盒元购进一批茶叶，按进价增加作为售价，第一个月由于包装粗糙，只售出不到一半但超过三分之一的量；第二个月采用了小语的包装后，马上售完了余下的茶叶，但每盒成本增加了元，售价仍不变，已知在整个买卖过程中共盈利元，求这批茶叶共进了多少盒？
24．（12分）数学兴趣小组围绕“三角形的内角和是”，进行了一系列探究，过程如下：

(1)【论证】如图1，延长至点D，过点A作，就可以说明成立，即：三角形的内角和为．请完成上述说理过程．
(2)【应用】如图2，在中，的平分线与的角平分线交于点P，过点A作在射线上，且的延长线与的延长线交于点D．
①求的度数；
②设，请用α的代数式表示．
(3)【拓展】如图3，在中，，过点A作，直线与相交于A点右侧的点P，∠APN=75 , ABC绕点A以每秒的速度顺时针方向旋转，同时绕点P以每秒的速度顺时针方向旋转，与重合时再绕着点P以原速度逆时针方向旋转,当旋转一周时,运动全部停止.设运动时间为t秒，在旋转过程中，是否某一时刻，使得与的一边平行？若存在，求t的值；若不存在，请说明理由．
参考答案
一、选择题
1．B
解：∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，即，
∵时，无论a取4或，都不满足，故舍去，
∵时，和都满足，
当时，，
当时，，
∴的值为2或10．
2．C
解：
①②得：
∴
将代入②得：
∵
∴
∴
故选：C．
3．D
解：∵，
∴，
∵，
∴．
故选：D．
4．A
解：∵ a 是无理数，b 是有理数，
A：假设是有理数，则，由于有理数减有理数仍为有理数，故a为有理数，与已知矛盾，∴一定是无理数，A 正确；
B：若，则为有理数，∴ B 错误；
C：例如（无理数），则为无理数，∴ C 错误；
D：若，则无实数意义；若，且为有理数，则为有理数，与已知矛盾，故为无理数，但由于 a 可能为负数，∴不一定是无理数，D 错误；
因此，正确答案为 A，
故选：A．
5．B
解：对图中顶点进行标注，如下图所示：
∵，，
∴，
又∵，
∴，，
又∵，，，
综上，，
共有7个角为，
∴共有6个角与相等．
6．C
解：由表格中数据可知，当时，，
当时，，
∴，
解得：．
故选：C．
7．C
解：，
由①得，
由②得，
∴不等式组的解集为，
∵该不等式组恰有个整数解，
∴，
解得，
，
由④得，
将代入③，得，
，
化简，得，
当时，方程无解，故舍去；
当时，，
∵和都是整数，
∴是的因数，
∴，，，即，，，，，，此时和都是整数，
又∵，
∴，，，
∴所有符合条件的整数的和为．
8．B
解：根据题意设有x天早晨下雨，这一段时间有y天，有9天下雨，
即早上下雨或晚上下雨都可称之为当天下雨，
①总天数﹣早晨下雨=早晨晴天；
②总天数﹣晚上下雨=晚上晴天；
列方程组，
解得，
所以一共有11天，
故选B．
9．D
解：根据点运动规律可得，点每运动1次横坐标向右移动一个单位长度，纵坐标每移动5次为一个循环周期，
∴，
∴点的横坐标为，
纵坐标为2，
∴点的坐标是，
故选：D．
10．C
解：和是、被直线所截形成的内错角，且，
，
故正确；
，
，
又，
，
，
故正确；
，
，
，
，
平分，
故正确；
，
，
，
，
设，
是的余角的倍，
，
解得：，
，
在中，，
，
，
故正确；
平分，
，
由可知平分，
，
，
故错误；
综上所述，结论正确的个数是.
故选：C．
二、填空题
11．
解：∵，
∴，
即，
又∵，为相邻的两个正整数，
∴，，
∴，
故答案为：．
12．
解：解不等式，得；
解不等式，得．
所以不等式组的解集为．
因为有且只有4个整数解，所以整数解为，
因此，
解得．
故答案为：．
13．
解：因为七年级的人数占整个扇形的，
所以七年级的人数为（人）；
同理可得八年级的人数为（人）；
九年级的人数为（人）；
所以全校的捐款总数为（元）．
故答案为：．
14．50
解：∵BE∥DF,
∴∠EBD+∠BDF=180°,
∴∠EBD+∠CDF+∠BDC=180°,
∵BG、DG是∠DBE和∠CDF的角平分线，
∴∠EBD=2∠GBD, ∠CDF=2∠CDG,
∴2∠GBD+2∠CDG+∠BDC=180°,
∵∠BGD=65°,
∴∠GBD+∠GDB=115°,
∴∠GBD+∠CDG+∠BDC=115°,
∴∠2GBD+2∠CDG+2∠BDC=230°，
∴∠BDC=50°.
故答案为：50.
15．4
解：根据题意得：，
即，
，
；
故答案为：4．
16．、
解：由题意知，，，，矩形的周长为，
设运动时间为，则运动过程中的点坐标为，，，，
当长方形与长方形的重叠部分在长方形的左侧时，如图，
∵高必为2，重叠部分也为矩形，面积为1，
∴底为，即，
∴，
解得，
此时，点走的路程为，位置在线段上，
∴；
当长方形与长方形的重叠部分在长方形的右侧时，如图，
∵高必为2，重叠部分也为矩形，面积为1，
∴底为，即，
∴，
解得，
此时，点走的路程为，，位置在线段上，
∴；
故答案为：、 ．
三、解答题
17．（1）解：∵的立方根是3，的算术平方根是4，
∴，，
∴，，
∵，
∴，
∵是的整数部分，
∴；
（2）解：∵，，，
∴，
∴的平方根为．
18．（1）解：建立如图所示的平面直角坐标系：
（2）结合（1），可知黑③坐标为，白④坐标为；
（3）要使黑棋这一步要赢，这一步黑棋的坐标为或．
19．（1）解：∵本次调查的总人数为÷（人），
∴，
组所占百分比为，
所以组的百分比为，
则，
故答案为：，；
（2）解：组人数为（人），
故组的频数为，
补全统计图如下：
（3）解：（）（人），
答：该校安全意识不强的学生约有人．
20．（1）解：设这个魔方的棱长为x，
则，
解得：
故这个魔方的棱长为2；
（2）棱长为2，
每个小立方体的棱长都是1，
阴影部分；
阴影部分正方形的边长为：；
（3）正方形的边长为，点A与1重合，，
动点E在点左边时，数轴上表示的数为：，
动点E在点右边时，数轴上表示的数为：，
故答案为：或．
21．（1）解：由题意得，不等式，它的“逆不等式”是，“否不等式”为，
∴，
解得不等式组的解集为：，
故答案为：；
（2）解：①由题意得：和有相同的解集，
∵解集的不等号发生了改变，
∴为一正一负，
当时，由解得：；由解得，
∴，
∴，
∴，
∴，
当时，由解得：；由解得，
∴，
∴，
∴，
∴，
综上可得：的数量关系为：且；
②设，
当时，由解得：；由解得，
则解集有无数负整数，不符合题意，舍；
当时，由解得：；由解得，
则解集无负整数，不符合题意，舍；
当时，由解得：；由解得，
则解集为，
即：；
当时，由解得：；由解得，
则解集为，
即：，
∵存在唯一的负整数，
∴或，
∴或，
∴或．
22．（1）解：，
得：，即，
：，
得，，
把代入得，
所以这个方程组的解是；
（2）解：
得：，
∴，
∵，
∴，
得：，
得，，
把代入得，
这个方程组的解是．
23．（1）设设盒底边长为，接口的宽度为，则盒高是，根据题意得：
解得：
茶叶盒的容积是：
答：该茶叶盒的容积是
（2）设第一个月销售了盒，第二个月销售了盒，根据题意得：
化简得：①
第一个月只售出不到一半但超过三分之一的量
即
由①得：
解得：
是整数，所以为5的倍数
或者
或者
答：这批茶叶共进了或者盒．
24．（1）论证：
延长至D，过点A作，

∴，
∵，
∴，
即三角形的内角和为．
（2）应用：
如图，

∵，
∴，
∵是的角平分线，
∴，
∴，
又，
∴，
∴，
∴；
②∵是的角平分线，
∴，
在中，，
∵，
∴，即，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
（3）拓展：
∵当旋转一周运动停止，
∴总时间（秒），
如图，与重合前，

当时，， 得
当与重合时，重合时间为秒，此时

当再以原速返回，如图

当时，，
解得，
如图，当时，

,
解得，
当时，如图，,

∵，
∴，
∴
综上，t的值为秒或15秒或秒或秒或秒．

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