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山东省德州市天衢新区2026年九年级第一次模拟检测 数学·试题
一、单选题
1．如图为食堂“光盘行动”宣传标语展板，则下列选项中是该展板的左视图的是（ ）
A． B． C． D．
2．若在实数范围内有意义，则实数的值可以是（ ）
A．3 B． C．1 D．
3．如图是集热板示意图，集热板与太阳光线垂直时，光能利用率最高．春分日德州正午太阳光线与水平面的夹角为．当光能利用率最高时，集热板与水平面夹角的度数是（ ）
A． B． C． D．
4．小明想知道图钉的钉尖朝上的概率大概是多少，以下做法正确的是（ ）
A．画树状图求概率
B．列表格求概率
C．抛掷次，其中有次钉尖朝上，则钉尖朝上的概率约为
D．抛掷次，钉尖朝上有次，则钉尖朝上的概率约为
5．计算的结果是（ ）
A． B． C． D．
6．质量分数为的稀硫酸是化学课堂上的常用试剂，该试剂可利用质量分数为的浓硫酸添加蒸馏水稀释而成．现要把的上述浓硫酸稀释为的稀硫酸，若设需要加入的蒸馏水，可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
7．如图，在中，点D在上，，，，E，F分别是的中点，则的长为（ ）
A．12 B．10 C．13 D．11.5
8．小星在阅读《天工开物》时，看到一种名为桔槔的古代汲水工具（如图），有一横杆固定于桔槔上的点，并可绕点转动．在横杆处连接一竹竿，在横杆处固定的物体，且．若图中人物竖直向下施加的拉力为，当改变点与点的距离时，横杆始终处于水平状态，小星发现与有一定的关系，他记录了拉力的大小与的变化情况如图所示，下列说法错误的是（ ）
A．拉力的大小与符合反比例函数关系
B．当的长增大时，拉力在减小
C．的长每增大，所施加的拉力就减小
D．当的长从增加到时，所施加的拉力减小了
9．如图，在中，按如下步骤作图：
①在和上分别截取，，使，分别以点M和N为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点O，作射线交于点D，
②分别以点C和D为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点P和Q，作直线交于点E，交于点F．
根据以上作图，若，，，则线段的长为（　　）
A． B． C．5 D．
10．已知点，在抛物线上，若，则下列判断正确的是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
11．如图为小明微信账单，其中，收到微信红包元显示“”．则扫码付款元，在阴影处显示的是______．
12．已知点关于原点的对称点为点，则______．
13．如图，将正方形绕点逆时针旋转得到正方形，若，则的长为______．
14．两个非零实数，满足，，且，则的值为______．
15．如图，在扇形中，，点，分别在，上，于点，连接，，．若，，则图中阴影部分面积为______．
三、解答题
16．计算、化简：
(1)；
(2)．
17．为了解我区城乡艺术教育质量发展情况，某调查小组从农村和城区各抽取所学校进行艺术抽测，每个学校均随机抽测了名学生，数据分析如下．
【收集与整理】
农村学校名学生的艺术成绩（单位：分）：，，，，，，，，，；
城区学校名学生的艺术成绩（单位：分）：，，，，，，，，，．
【描述与分析】
城乡学生艺术成绩的平均数、中位数、众数和方差如表：
统计量 平均数 中位数 众数 方差
农村
城区
根据以上信息，回答下列问题：
(1)直接写出表格中、的值，______，______；
(2)【迁移与应用】
若从本次艺术成绩在分以上的名学生中，任意选择两名学生参加艺术展演，请用列表法或画树状图的方法求出所选两名学生恰好都是城区学生的概率；
(3)请从以上统计量中，任选一个统计量，对这两所学校的艺术成绩进行对比分析，并对艺术教学提出一条合理化建议．
18．如图1，张老师家的洗手盆上装有一种抬起式水龙头．洗手盆及水龙头示意图如图2，开启前把手与水平线平行，完全开启后，把手与水平线的夹角为，此时把手端点A、出水口点B和落水点C在同一直线上，且所成的直线与洗手盆底的夹角为，，．
(1)水龙头从闭合到完全开启，求A点上升的高度；
(2)求的长．（结果精确到，参考数据：，，，）
19．在平面直角坐标系中，直线与双曲线的交点是．
(1)求和的值：
(2)已知对于函数，当时，都有，请直接写出的取值范围．
20．某快递公司需将一批总重为吨的物品从仓库运往配送中心．现有下表所示两种类型货车可供调配：
类型 甲型 乙型
满载（吨）
价格（元）
(1)若公司一次性派出两种货车共辆，恰好运完所有物品，且公司要求每辆货车必须满载运输，求甲、乙两种货车各派出多少辆？
(2)若快递公司派出甲型、乙型货车共辆，其中甲型货车不少于辆，要求预算运输费用不超过元，请设计一种运输方案使总费用最低，并计算最低费用．
21．已知内接于，，为的直径，连接．
(1)如图1，若，求的度数；
(2)如图2，过点作的切线，与的延长线交于点，若，，求的半径．
22．已知抛物线（为常数）经过点．
(1)求该抛物线的解析式；
(2)若过点与轴平行的直线交抛物线于，两点，且点恰为线段的中点，求的值；
(3)直线：（为常数），向下平移9个单位长度得到直线．设，抛物线的一段夹在直线，之间，求的最大值．
23．综合与实践
【问题情境】
数学兴趣小组对“矩形的折叠”作了如下探究．将矩形纸片先沿折叠，折痕与边，分别交于点，，点的对应点记为，点的对应点记为．
(1)【特例探究】
角的探究：如图1，连接，与交于点，当点，，三点共线时，与相等的角为______（写出一个即可）；
(2)线段的探究：如图2，当为的中点时，点恰好落在边上．
①猜想，，三条线段的数量关系，并说明理由；
②延长交于点，连接，，判断与的位置关系，并说明理由．
(3)【深入探究】
如图3，将矩形纸片更换为平行四边形、，，，为的中点，当所在直线垂直于平行四边形的一边所在直线时，直接写出的值．
参考答案
1．B
解：该展板的左视图是
2．A
解：∵在实数范围内有意义，
∴，
∴，
结合选项可得，实数的值可以是．
3．A
解：根据题意可得，
∴，
∴．
4．D
解：∵抛掷图钉时，钉尖朝上与钉尖朝下不是等可能事件，
∴不能使用画树状图或列表法求概率，
∴选项、不正确，
∵抛掷次，试验次数过少，频率不稳定，不能用来估计概率，
∴选项不正确，
∵抛掷次，属于大量重复试验，可以用该频率估计钉尖朝上的概率，，
∴选项正确．
5．D
解：．
6．C
解：根据题意可得．
7．B
解：如图，连接．
，为的中点，
，．
在中，由勾股定理得．
，
．
在中，由勾股定理得．
为的中点，，
．
8．C
解：由图象中数据发现：
，
拉力与距离的乘积不变，
拉力的大小与之间满足反比例函数关系，故A正确，不符合题意；
由图象可得，当的长增大时，拉力在减小，故B正确，不符合题意；
由图象知，当时，，当时，，当时，，
，
的长每增大，所施加的拉力不一定减小，故C错误，符合题意；
当的长从增加到时，所施加的拉力减小了，故D正确，不符合题意．
9．D
解：连接，
由作法得平分，垂直平分，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴
∴，
∵，，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
故选：D．
10．C
解：∵，
∴当时，，
∴抛物线过点，
∴抛物线的开口向上，对称轴为，
∴抛物线上的点离对称轴越远，函数值越大，
∵，
∴，
∵，，
∴点到对称轴的距离大于点到对称轴的距离，小于到对称轴的距离，
∴．
11．
解：扫码付款元，在阴影处显示的是．
12．/0.5
解：∵点与点关于原点对称，
，
解得，，
∴．
故答案为：．
13．
解：连接、，如图所示：
∵正方形绕点A逆时针旋转得到正方形，
∴，，
∴是等边三角形，
∴，
∵四边形是正方形，，
∴，，
∴，
∴．
14．
解：由题意得，，满足方程，且，因此，是一元二次方程的两个不相等的实数根．
根据根与系数的关系可得：，．
，．
．
对所求式子变形得：．
将，，代入得：．
15．
解：连接，设，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴阴影部分面积为．
16．(1)
(2)
（1）解：
．
（2）解：
．
17．(1)，；
(2)；
(3)见解析．
（1）解：，
城区学校10名学生的艺术成绩中出现次数最多的是87，
∴．
（2）解：农村学校分以上学生有人，分别记为，，城区学校分以上学生有人，分别记为，，画树状图如下：
总共有种可能的结果，每种结果出现的可能性相同，其中所选两名学生恰好都是城区学生的结果有种，
∴（所选两名学生恰好都是城区学生）．
（3）解：从平均数看，城区学校和农村学校的艺术成绩水平相同，建议继续保持城乡优质均衡发展；
从中位数看，城区学校的艺术成绩高于农村学校的艺术成绩，建议加强农村学校艺术教学；
从众数看，城区学校的艺术成绩高于农村学校的艺术成绩，建议提高农村学校艺术教学水平；
从方差看，城区学校艺术成绩的方差大于农村学校艺术成绩的方差，城区学校艺术成绩波动较大，建议减小两极分化程度．
18．(1)A点上升的高度
(2)的长为
（1）解：过点A作于G，作于N，
在中，，，
由题意得，．
答：A点上升的高度．
（2）解：∵，，
∴，
∵，
∴，
∴四边形为矩形，
∴，．
在中，，，
∴，
∴，
∴，
在中，，，
∴，
∴．
答：的长为．
19．(1)，；
(2)．
（1）解：∵直线与双曲线的交点是，
∴，
解得．
（2）解：在中，
当时，，
∴过点，
在中，
当时，，
把代入，得，
当时，直线与直线平行，
∵当时，，
∴．
20．(1)派甲型货车辆，乙型货车辆，恰好一次性运完吨物品
(2)当派甲型货车辆，乙型货车辆，总费用最低
【分析】本题考查了二元一次方程组和一元一次不等式组的应用，解题的关键是理解题意，正确找出数量关系．
（1）设甲型货车辆，乙型货车辆，根据题意列出方程组即可求解；
（2）设甲型货车辆，乙型货车为辆，根据题意列不等式组求出的范围，再计算费用即可．
【详解】（1）解：设甲型货车辆，乙型货车辆，
由题意得：，
解得：，
答：派甲型货车辆，乙型货车辆，恰好一次性运完吨物品；
（2）设甲型货车辆，乙型货车为辆，
根据题意得：，
解得：，
当时，此时运费元，
当时，此时运费元，
当时，此时运费元，
当时，此时运费元，
综上可知：当派甲型货车辆，乙型货车辆，总费用最低．
21．(1)见解析；
(2)的半径为．
（1）解：是的直径，
.
，
，由三角形内角和，
得.
.
，
（2）解：连接并延长，交于点，连接
，
是的垂直平分线，
，
又为的切线，
由（1）得
四边形是矩形
，
，
在中，.
设的半径为，则：，，
在中，由勾股定理，得：，
，
；
的半径为.
22．(1)
(2)的值为
(3)6
（1）解：把代入得
解得：
该抛物线的解析式为；
（2）解：设，
点恰为线段的中点，
，
抛物线，
对称轴为直线，
点、关于对称轴对称，
，
解得，
当时，，
的值为；
（3）解：当直线与抛物线相切，即只有一个交点时，的值最大，如图，
，
即，
由，解得，
此时直线：，
直线：向下平移9个单位长度得到直线，
直线：
由，解得，，
，
当，时，
的最大值.
23．(1)或；
(2)，理由见解析；
，理由见解析；
(3)的值为或．
（1）解：∵四边形是矩形，
∴，
∴，，
由折叠可得，，，
∴，
又∵，
∴，
又∵点、、三点共线，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴与相等的角为或．
（2）解：，理由：
由折叠可得，，，，
∵四边形是矩形，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵为的中点，
∴，
∴，
∴．
，理由：
∵四边形是矩形，
∴，
由折叠可得，，，
∴，
∵为的中点，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∴点、在线段的垂直平分线上，
∴．
（3）解：当时，如图，垂足为点，过点作于，连接交于，
∵，四边形是平行四边形，
∴，，，，
由折叠可得，，，，，，
∵，
∴，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵为的中点，
∴，
∴，
∵，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
∴，
∴四边形是矩形，
，
设，则，，
∵，
∴，
∴，
解得，
∴，
∴；
当时，如图，垂足为点，延长交于点，
由折叠可得，，，，，，
∴，
∵为的中点，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
∴的值为或．

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