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广东省汕头市潮阳实验学校2024-2025学年高一下学期期末测试数学试题
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.
1．已知，，则（　　）
A． B．
C． D．
2．已知，则的最小值为（　　）
A．5 B．6 C． D．
3．已知和是函数图象上的两点，则（　　）
A． B．
C． D．
4．若为关于的函数，则，有（　　）
A． B．
C． D．
5．在中，，则（　　）
A． B． C． D．
6．有下列一组数据：2，17，33，15，11，42，34，13，22，则这组数据的上四分位数是（　　）
A．11 B．13 C．22 D．33
7．已知正三棱柱的棱长均为为的中点，则四面体的体积为（　　）
A． B． C． D．
8．在2025揭阳马拉松比赛活动中，四位志愿者被随机分配到四个物资发放点（站点），每人原属站点分别为．规定每人不能分配到原属站点，则志愿者A被分配到站点4的概率是（　　）
A． B． C． D．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9．已知，且，，则（　　）
A．若，则最小正周期为
B．若，则在上单调递增
C．若，且在上单调递增，则
D．若，且在上无零点，则
10．已知定义域为，，且，当时，.则下列说法正确的有（　　）
A．直线是的对称轴
B．在上单调递减
C．
D．设与图象的第i个交点为（），若与的图象有个交点，则
11．如图，在平行四边形ABCD中，E，F分别是CD边上的两个三等分点，则下列选项正确的有（　　）
A． B．
C． D．
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12．已知为直角三角形，，，，为的中点.若点在射线上运动，则的最小值为　 　.
13．判断为　 　函数（选填 “奇” “偶” “非奇非偶”）
14．已知四点都在体积为的球的表面上，若AD是球的直径，且，，则三棱锥体积的最大值为　 　．
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15．在中， .
（1）求；
（2）已知平分，且位于上，，求的值.
16．潮汕英歌舞以其动作刚劲有力，节奏感强的特色，备受人们喜爱．某校组织英歌队进行训练并作了汇报表演，为了解训练成果，做了一次问卷调查，问卷所涉及的问题均量化成对应的分数（满分100分），从所有答卷中随机抽取100份的分数作为样本，将样本的分数（成绩均为不低于50分的整数且在组内均匀分布）分成五段：，得到如下所示的频数分布表．
样本分数段 [90，100]
频数 10 30 30 10
频率 0.1 0.3 0.3 0.1
（1）求频数分布表中和的值，并估计样本成绩的平均数；
（2）经计算，样本中分数在区间［50，60）内的平均数为56，方差为7；在区间[60，70）内的平均数为65，方差为4，求两组成绩的总平均数和总方差．
17．如图，已知AB是圆柱下底面圆的直径，点是下底面圆周上异于，的动点，CD，BE是圆柱的两条母线．
（1）求证：平面平面BCDE；
（2）若，圆柱的母线长为，求平面ADE与平面ABC夹角的余弦值．
18．已知函数的最大值为1．
（1）求常数的值；
（2）求函数的单调递减区间；
（3）设为函数的两个相异零点，求的最小值．
19．通过平面直角坐标系，我们可以用有序实数对表示向量．类似的，我们可以把有序复数对看作一个向量，记，称为复向量．类比平面向量的相关运算法则，对于，，我们有如下运算法则：①；②③；④．
（1）设，求和；
（2）类比平面向量数量积满足的运算律，得出复向量的一个相关结论：，判断上述结论是否正确，并说明理由；
（3）设，集合，求的最小值，并证明当取最小值时，对于任意的．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】并集及其运算
【解析】【解答】解：令，
解得，
则，
令，
解得，
则，
所以.
故答案为：C.
【分析】先利用一元二次不等式求解方法，从而得出集合A，再利用指数函数的单调性，从而得出集合B，再根据并集的运算法则，从而得出集合.
2．【答案】C
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【解答】解：因为，
当时取等号，
所以的最小值为.
故答案为：C.
【分析】根据基本不等式中“1”的妙用，对展开，再结合基本不等式求最值的方法，从而得出的最小值.
3．【答案】D
【知识点】有理数指数幂的运算性质；基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【解答】解：因为和是函数图象上的两点，
可得：，，
因为，，
所以，当且仅当时，即当时等号成立，
则.
故答案为：D.
【分析】利用代入法和，，再利用基本不等式求最值的方法，从而得出进而找出正确的选项.
4．【答案】D
【知识点】函数的概念及其构成要素；函数解析式的求解及常用方法；函数单调性的性质
【解析】【解答】解：对于A：令，得，
令，可得，
与函数定义不符，故A错误；
对于B：令，得，
令，得，
与函数定义不符，故B错误；
对于C：因为需要满足，当时没有定义，故C错误；
对于D：因为 对所有实数 成立，
令 （)，
由在上单调递增，
则 ，
代入得 （)，
因为在上单调递增，
所以，都有唯一的与之对应，
则有唯一的与之对应，故D正确.
故答案为：D.
【分析】利用函数的对应关系、函数的定义域、换元法求函数解析式结合函数定义，从而逐项判断找出正确的选项.
5．【答案】B
【知识点】两角和与差的正弦公式；二倍角的正切公式；同角三角函数间的基本关系；正弦定理的应用
【解析】【解答】解：由，
得，
则，
在中，，
则，且，
所以，
则，得，
所以，，
则．
故答案为：B．
【分析】利用同角三角函数的基本关系式、正弦定理、三角形内角和定理、诱导公式、两角和的正弦公式，从而化简得到的值，再利用同角三角函数基本关系式得到的值，再根据二倍角的正切公式，从而求出的值.
6．【答案】D
【知识点】用样本估计总体的百分位数
【解析】【解答】解：将该组数据从小到大排列为2，11，13，15，17，22，33，34，42，共有9个数据，
由题意，则，
所以，这组数据的上四分位数是从小到大排列的第7个数，即33.
故答案为：D．
【分析】根据题意结合百分位数定义，从而得出这组数据的上四分位数.
7．【答案】A
【知识点】柱体的体积公式及应用；锥体的体积公式及应用
【解析】【解答】解：如图所示，
几何体为正三棱柱，且所有棱长均为，
底面ABC为正三角形，侧面为正方形，
则
．
故答案为：A．
【分析】根据已知条件和棱锥的体积公式、棱柱的体积公式，再结合作差法得出四面体的体积.
8．【答案】B
【知识点】古典概型及其概率计算公式
【解析】【解答】解：因为A被分配到站点4与被分配到站点2和站点3的机会是相等的，
且A必然在站点2，3，4中的某一个，
则A在站点2，3，4中的概率都是．
故答案为：B．
【分析】利用A必然在站点2，3，4中的某一个的机会均等结合古典概率公式，从而得出志愿者A被分配到站点4的概率.
9．【答案】A,C
【知识点】含三角函数的复合函数的周期；含三角函数的复合函数的单调性；函数零点存在定理
【解析】【解答】解：由题意可知：，
因为，所以.
对于A，当时，，
则最小正周期为，故A正确；
对于B，当时，，
令，
则，
所以，函数的单调递增区间为，
因为不在单调递增区间内，故B错误；
对于C，令，
则，
因为函数在上单调递增，
所以，
令，；
令，，
所以，故C正确；
对于D，若函数无零点，
则，
所以
因为函数在上无零点，
所以，
令，；
令，；
令，；
所以，故D错误.
故答案为：AC.
【分析】根据题意结合代入法得到的值，再利用的值结合正弦型函数的最小正周期公式，则判断出选项A；利用的值得出函数的解析式，再利用正弦型函数的单调性，则判断出选项B；利用的取值范围和正弦型函数的单调性，从而得出的取值范围，则判断出选项C；利用的取值范围和零点存在性定理，从而得出的取值范围，则判断出选项D，从而找出正确的选项.
10．【答案】A,C,D
【知识点】函数单调性的判断与证明；函数的奇偶性；奇偶函数图象的对称性；函数的周期性
【解析】【解答】解：由题意可知：，
则函数关于对称，
因为，
所以，函数为奇函数，
则，
所以，
则，
所以4为函数的一个周期.
对于A，由函数关于对称，且4为函数的一个周期，
则是的对称轴，故A正确；
对于B，因为，
所以，函数在的单调性与函数在单调性相同，
由，，且函数为上的奇函数，
所以函数在单调递增，故B错误；
对于C，因为，
所以
又因为，
所以，故C正确；
对于D，因为函数为上的奇函数，函数也为上的奇函数，
则可知两函数图象在轴的左右两边交点个数相同，且对应交点的横坐标互为相反数，都过原点，
所以，故D正确.
故答案为：ACD.
【分析】 由已知条件和函数的奇偶性以及函数的周期性，从而得出4为函数的一个周期.再利用函数图象的对称性和函数的周期性，从而得出直线是的对称轴，则判断出选项A；利用函数的单调性和奇偶性，则判断出选项B；利用已知条件求和得出的值，则判断出选项C；利用奇函数的性质可知两函数图象在轴的左右两边交点个数相同且对应交点的横坐标互为相反数且都过原点，从而得出，则判断出选项D，进而找出说法正确的选项.
11．【答案】A,B,D
【知识点】平面向量减法运算；向量加法的三角形法则；平面向量的共线定理；平面向量的基本定理
【解析】【解答】解：对于A，由题意知，E，F分别是边上的两个三等分点，且与方向相同，
则，故A正确；
对于，因为，故B正确；
对于C，因为，故C错误；
对于，因为，
所以，故D正确．
故答案为：ABD．
【分析】根据已知条件和三角形法则、向量的减法运算、向量共线定理、平面向量基本定理，从而逐项判断找出正确的选项.
12．【答案】
【知识点】函数的最大（小）值；平面向量数量积的坐标表示
【解析】【解答】解：由题意，则以点为原点，建立平面直角坐标系，
则，
所以，直线的方程为，
设点，
所以，
则，
当时，的最小值为：.
故答案为：.
【分析】利用已知条件，以直角顶点为原点，两直角边所在直线为坐标轴建立平面直角坐标系，从而得出点的坐标和向量的坐标，再利用数量积的坐标表示和二次函数求最值的方法，从而得出的最小值.
13．【答案】奇
【知识点】函数的奇偶性
【解析】【解答】解：由题意，可知，
解得，
所以，函数的定义域为，
因为，
所以，
则，
又因为函数的定义域关于原点对称，
所以为奇函数.
故答案为：奇.
【分析】根据偶次根式函数求定义域的方法、对数型函数求定义域的方法、分母不为0结合交集的运算法则，从而得出函数的定义域，再利用函数奇偶性的定义，从而判断出货时的奇偶性.
14．【答案】
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用；球的表面积与体积公式及应用；解三角形的实际应用；三角形中的几何计算；锥体的体积公式及应用
【解析】【解答】解：设球的半径为，
因为球的体积为，所以，解得，
，
设的外接圆半径为，圆心为，
根据正弦定理，知，则，
，
是球的直径，是AD的中点，
点到平面ABC的距离为，
在中，根据余弦定理，得，
则，
，当且仅当时，等号成立，
的面积，
三棱锥体积的最大值．
故答案为：.
【分析】根据几何关系得出点到平面ABC的距离为定值，当面积最大时，三棱锥体积最大，求得面积的最大值，再利用三棱锥的体积公式可得.
15．【答案】（1）解：因为，
可得（*）
由正弦定理，则其中为三角形外接圆半径，
可得，
由余弦定理，则，
所以，
代入（*），可得，
因为，
所以，
则，
解得，
又因为，
所以.
（2）解：如图，
由，
可得，
则，
因为点位于上，
所以，点是上靠近点的三等分点，
则，
又因为平分，
由角分线定理，得，
由正弦定理，得，
则，
因为，
所以，
代入得，
则，
解得，
因为，所以，
则，
所以.
【知识点】平面向量的基本定理；二倍角的余弦公式；运用诱导公式化简求值；正弦定理的应用；余弦定理的应用
【解析】【分析】（1）利用二倍角的余弦公式、三角形内角和定理、诱导公式、正弦定理、余弦定理，从而化简得到，再利用三角形中角C的取值范围得出角A的余弦值，再利用三角形中角A的取值范围，从而得出角的值.
（2）利用已知条件结合图形，从而将向量等式转化得到，进而得出点是上靠近点的三等分点，则得出的值，再由三角形角平分线定理得出，再利用正弦定理得到，再结合（1）中角A的值得出，再根据两角差的正弦根式和同角三角函数基本关系式，从而得出角C的正切值，再利用三角形中角C的取值范围和三角形内角和定理，从而得出角B的值和角C的值，进而得出的值.
（1）由题，
可得（*）
由正弦定理，其中为三角形外接圆半径，
可得，
又由余弦定理，，
即，
代入（*），可得，而，故，
则，解得，因为，所以.
（2）如图，由，可得，
即，又位于上，则点是上靠近点的三等分点，
则，因为平分，所以由角分线定理得，
由正弦定理得，则，
因为，则，代入得，
即，解得，而，故，
则，故.
16．【答案】（1）解：由，
解得，
则，
所以，平均数的估计值为
（2）解：由表可知，
分数在区间内的频数为10，在区间内的频数为20，
则两组成绩的总平均数为，
所以两组成绩的总方差为：，
则两组成绩的总平均数是62，总方差是23．
【知识点】分层抽样方法；众数、中位数、平均数；极差、方差与标准差
【解析】【分析】(1)根据已知条件和频率的基本性质，从而得出的值，再结合平均数公式，从而估计出样本成绩的平均数.
（2）根据分层抽样的分法得到分数在和的人数，再结合平均数公式和方差公式，从而得出两组成绩的总平均数和总方差．
（1）由，
解得，则，
平均数的估计值为．
（2）由表可知，分数在区间内的频数为10，在区间内的频数为20，
故两组成绩的总平均数，
两组成绩的总方差．
所以两组成绩的总平均数是62，总方差是23．
17．【答案】（1）证明：因为AB是底面圆的一条直径，点是下底面圆周上异于A，B的动点，
所以，
又因为CD是圆柱的一条母线，所以底面ABC，
因为底面ABC，所以，
又因为平面平面BCDE，且，
所以平面BCDE，
因为平面ACD，所以平面平面BCDE．
（2）解：如图所示，过点A作圆柱的母线AM，连接DM，EM，
因为底面底面DME，即求平面ADE与平面DME的夹角，
又因为M，E在底面ABC的射影为A，B，且AB为下底面圆的直径，
所以EM为上底面圆的直径，
因为AM是圆柱的母线，所以平面DME，
又因为DE平面DME，所以．
因为EM为上底面圆的直径，所以，
又因为平面，
所以平面AMD，
因为平面AMD，所以，
又因为平面平面，
所以为平面ADE与平面DME的夹角，
因为在底面ABC的射影为，
所以，
则，
又因为母线长为，所以，
因为平面平面DME，
所以，
则，
所以，
则平面ADE与平面ABC夹角的余弦值为．
【知识点】平面与平面垂直的判定；二面角及二面角的平面角
【解析】【分析】（1）先利用线面垂直判定定理证得平面BCDE，再根据面面垂直判定定理证得平面平面BCDE.
（2）先作出底面的垂线，再由垂足作两个面的交线的垂线，再连接交线的垂足与斜足构成二面角的平面角，再解三角形即可.
（1）因为AB是底面圆的一条直径，是下底面圆周上异于A，B的动点，
所以，
又因为CD是圆柱的一条母线，所以底面ABC，
而底面ABC，所以，
因为平面平面BCDE，且，
所以平面BCDE，
又因为平面ACD，所以平面平面BCDE．
（2）如图所示，过点A作圆柱的母线AM，连接DM，EM．
因为底面底面DME，所以即求平面ADE与平面DME的夹角．
因为M，E在底面ABC的射影为A，B，且AB为下底面圆的直径，
所以EM为上底面圆的直径，
因为AM是圆柱的母线，所以平面DME，
因为DE平面DME，所以．
又因为EM为上底面圆的直径，所以，
因为平面，所以平面AMD，
因为平面AMD，所以，又因为平面平面，
所以为平面ADE与平面DME的夹角，
又因为在底面ABC的射影为，所以，
所以，又因为母线长为，所以，
又因为平面平面DME，所以，
所以，
所以，
即平面ADE与平面ABC夹角的余弦值为．
18．【答案】（1）解：因为
．
又因为，
所以．
（2）解：由（1）知，，
令，
解得，
所以，函数的单调递减区间为．
（3）解：令，
得，
因为为的两个相异零点，
所以，
①，且，
或，且，
此时；
②因为，
所以
，
则，
综上所述，，
则的最小值为．

【知识点】简单的三角恒等变换；含三角函数的复合函数的单调性；含三角函数的复合函数的值域与最值；函数的零点与方程根的关系
【解析】【分析】（1）先利用两角和差的余弦公式结合辅助角公式化简函数为正弦型函数，再结合正弦型函数求值域的方法和已知条件，从而得出实数a的值.
（2）利用（1）中a的值得出函数的解析式，再利用正弦型函数判断单调性的方法，从而得出正弦型函数的单调递减区间.
（3）根据函数零点个数结合特殊值列式，再根据不等式的基本性质得出的最小值.
（1）
．
因为，所以．
（2）由（1）知，，
令，
解得，
所以函数的单调递减区间为．
（3）令，得，
因为为的两个相异零点，所以，
①，且，
或，且，
此时．
②，
，
所以．
综上所述，，即的最小值为．
19．【答案】（1）解：由，
得，
因为，
所以．
（2）解：设，
所以，
，
因为，
所以则结论正确．
（3）解：不妨令，
则，
所以
，
当时，取得最小值3，
此时，
设满足条件的，
则，
所以
．
【知识点】函数的最大（小）值；向量的模；平面向量数量积的坐标表示；平面向量的数量积运算；复数代数形式的混合运算
【解析】【分析】（1）利用已知条件和数量积定义和向量的坐标运算以及向量求模公式，从而得出和.
（2）根据所给定义和向量的代数运算以及数量积运算法则，从而判断出结论正确．
（3） 设满足条件的，根据所给条件计算取得最小值，再计算证明即可.
（1）由，
得，
．
．
（2）设，
，
，
因为，
所以，故正确．
（3）不妨令，则，
则
，
当时，取得最小值3，
此时，
设满足条件的，
则，
．
1 / 1广东省汕头市潮阳实验学校2024-2025学年高一下学期期末测试数学试题
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.
1．已知，，则（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】并集及其运算
【解析】【解答】解：令，
解得，
则，
令，
解得，
则，
所以.
故答案为：C.
【分析】先利用一元二次不等式求解方法，从而得出集合A，再利用指数函数的单调性，从而得出集合B，再根据并集的运算法则，从而得出集合.
2．已知，则的最小值为（　　）
A．5 B．6 C． D．
【答案】C
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【解答】解：因为，
当时取等号，
所以的最小值为.
故答案为：C.
【分析】根据基本不等式中“1”的妙用，对展开，再结合基本不等式求最值的方法，从而得出的最小值.
3．已知和是函数图象上的两点，则（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】有理数指数幂的运算性质；基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【解答】解：因为和是函数图象上的两点，
可得：，，
因为，，
所以，当且仅当时，即当时等号成立，
则.
故答案为：D.
【分析】利用代入法和，，再利用基本不等式求最值的方法，从而得出进而找出正确的选项.
4．若为关于的函数，则，有（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】函数的概念及其构成要素；函数解析式的求解及常用方法；函数单调性的性质
【解析】【解答】解：对于A：令，得，
令，可得，
与函数定义不符，故A错误；
对于B：令，得，
令，得，
与函数定义不符，故B错误；
对于C：因为需要满足，当时没有定义，故C错误；
对于D：因为 对所有实数 成立，
令 （)，
由在上单调递增，
则 ，
代入得 （)，
因为在上单调递增，
所以，都有唯一的与之对应，
则有唯一的与之对应，故D正确.
故答案为：D.
【分析】利用函数的对应关系、函数的定义域、换元法求函数解析式结合函数定义，从而逐项判断找出正确的选项.
5．在中，，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】两角和与差的正弦公式；二倍角的正切公式；同角三角函数间的基本关系；正弦定理的应用
【解析】【解答】解：由，
得，
则，
在中，，
则，且，
所以，
则，得，
所以，，
则．
故答案为：B．
【分析】利用同角三角函数的基本关系式、正弦定理、三角形内角和定理、诱导公式、两角和的正弦公式，从而化简得到的值，再利用同角三角函数基本关系式得到的值，再根据二倍角的正切公式，从而求出的值.
6．有下列一组数据：2，17，33，15，11，42，34，13，22，则这组数据的上四分位数是（　　）
A．11 B．13 C．22 D．33
【答案】D
【知识点】用样本估计总体的百分位数
【解析】【解答】解：将该组数据从小到大排列为2，11，13，15，17，22，33，34，42，共有9个数据，
由题意，则，
所以，这组数据的上四分位数是从小到大排列的第7个数，即33.
故答案为：D．
【分析】根据题意结合百分位数定义，从而得出这组数据的上四分位数.
7．已知正三棱柱的棱长均为为的中点，则四面体的体积为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】柱体的体积公式及应用；锥体的体积公式及应用
【解析】【解答】解：如图所示，
几何体为正三棱柱，且所有棱长均为，
底面ABC为正三角形，侧面为正方形，
则
．
故答案为：A．
【分析】根据已知条件和棱锥的体积公式、棱柱的体积公式，再结合作差法得出四面体的体积.
8．在2025揭阳马拉松比赛活动中，四位志愿者被随机分配到四个物资发放点（站点），每人原属站点分别为．规定每人不能分配到原属站点，则志愿者A被分配到站点4的概率是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】古典概型及其概率计算公式
【解析】【解答】解：因为A被分配到站点4与被分配到站点2和站点3的机会是相等的，
且A必然在站点2，3，4中的某一个，
则A在站点2，3，4中的概率都是．
故答案为：B．
【分析】利用A必然在站点2，3，4中的某一个的机会均等结合古典概率公式，从而得出志愿者A被分配到站点4的概率.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9．已知，且，，则（　　）
A．若，则最小正周期为
B．若，则在上单调递增
C．若，且在上单调递增，则
D．若，且在上无零点，则
【答案】A,C
【知识点】含三角函数的复合函数的周期；含三角函数的复合函数的单调性；函数零点存在定理
【解析】【解答】解：由题意可知：，
因为，所以.
对于A，当时，，
则最小正周期为，故A正确；
对于B，当时，，
令，
则，
所以，函数的单调递增区间为，
因为不在单调递增区间内，故B错误；
对于C，令，
则，
因为函数在上单调递增，
所以，
令，；
令，，
所以，故C正确；
对于D，若函数无零点，
则，
所以
因为函数在上无零点，
所以，
令，；
令，；
令，；
所以，故D错误.
故答案为：AC.
【分析】根据题意结合代入法得到的值，再利用的值结合正弦型函数的最小正周期公式，则判断出选项A；利用的值得出函数的解析式，再利用正弦型函数的单调性，则判断出选项B；利用的取值范围和正弦型函数的单调性，从而得出的取值范围，则判断出选项C；利用的取值范围和零点存在性定理，从而得出的取值范围，则判断出选项D，从而找出正确的选项.
10．已知定义域为，，且，当时，.则下列说法正确的有（　　）
A．直线是的对称轴
B．在上单调递减
C．
D．设与图象的第i个交点为（），若与的图象有个交点，则
【答案】A,C,D
【知识点】函数单调性的判断与证明；函数的奇偶性；奇偶函数图象的对称性；函数的周期性
【解析】【解答】解：由题意可知：，
则函数关于对称，
因为，
所以，函数为奇函数，
则，
所以，
则，
所以4为函数的一个周期.
对于A，由函数关于对称，且4为函数的一个周期，
则是的对称轴，故A正确；
对于B，因为，
所以，函数在的单调性与函数在单调性相同，
由，，且函数为上的奇函数，
所以函数在单调递增，故B错误；
对于C，因为，
所以
又因为，
所以，故C正确；
对于D，因为函数为上的奇函数，函数也为上的奇函数，
则可知两函数图象在轴的左右两边交点个数相同，且对应交点的横坐标互为相反数，都过原点，
所以，故D正确.
故答案为：ACD.
【分析】 由已知条件和函数的奇偶性以及函数的周期性，从而得出4为函数的一个周期.再利用函数图象的对称性和函数的周期性，从而得出直线是的对称轴，则判断出选项A；利用函数的单调性和奇偶性，则判断出选项B；利用已知条件求和得出的值，则判断出选项C；利用奇函数的性质可知两函数图象在轴的左右两边交点个数相同且对应交点的横坐标互为相反数且都过原点，从而得出，则判断出选项D，进而找出说法正确的选项.
11．如图，在平行四边形ABCD中，E，F分别是CD边上的两个三等分点，则下列选项正确的有（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A,B,D
【知识点】平面向量减法运算；向量加法的三角形法则；平面向量的共线定理；平面向量的基本定理
【解析】【解答】解：对于A，由题意知，E，F分别是边上的两个三等分点，且与方向相同，
则，故A正确；
对于，因为，故B正确；
对于C，因为，故C错误；
对于，因为，
所以，故D正确．
故答案为：ABD．
【分析】根据已知条件和三角形法则、向量的减法运算、向量共线定理、平面向量基本定理，从而逐项判断找出正确的选项.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12．已知为直角三角形，，，，为的中点.若点在射线上运动，则的最小值为　 　.
【答案】
【知识点】函数的最大（小）值；平面向量数量积的坐标表示
【解析】【解答】解：由题意，则以点为原点，建立平面直角坐标系，
则，
所以，直线的方程为，
设点，
所以，
则，
当时，的最小值为：.
故答案为：.
【分析】利用已知条件，以直角顶点为原点，两直角边所在直线为坐标轴建立平面直角坐标系，从而得出点的坐标和向量的坐标，再利用数量积的坐标表示和二次函数求最值的方法，从而得出的最小值.
13．判断为　 　函数（选填 “奇” “偶” “非奇非偶”）
【答案】奇
【知识点】函数的奇偶性
【解析】【解答】解：由题意，可知，
解得，
所以，函数的定义域为，
因为，
所以，
则，
又因为函数的定义域关于原点对称，
所以为奇函数.
故答案为：奇.
【分析】根据偶次根式函数求定义域的方法、对数型函数求定义域的方法、分母不为0结合交集的运算法则，从而得出函数的定义域，再利用函数奇偶性的定义，从而判断出货时的奇偶性.
14．已知四点都在体积为的球的表面上，若AD是球的直径，且，，则三棱锥体积的最大值为　 　．
【答案】
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用；球的表面积与体积公式及应用；解三角形的实际应用；三角形中的几何计算；锥体的体积公式及应用
【解析】【解答】解：设球的半径为，
因为球的体积为，所以，解得，
，
设的外接圆半径为，圆心为，
根据正弦定理，知，则，
，
是球的直径，是AD的中点，
点到平面ABC的距离为，
在中，根据余弦定理，得，
则，
，当且仅当时，等号成立，
的面积，
三棱锥体积的最大值．
故答案为：.
【分析】根据几何关系得出点到平面ABC的距离为定值，当面积最大时，三棱锥体积最大，求得面积的最大值，再利用三棱锥的体积公式可得.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15．在中， .
（1）求；
（2）已知平分，且位于上，，求的值.
【答案】（1）解：因为，
可得（*）
由正弦定理，则其中为三角形外接圆半径，
可得，
由余弦定理，则，
所以，
代入（*），可得，
因为，
所以，
则，
解得，
又因为，
所以.
（2）解：如图，
由，
可得，
则，
因为点位于上，
所以，点是上靠近点的三等分点，
则，
又因为平分，
由角分线定理，得，
由正弦定理，得，
则，
因为，
所以，
代入得，
则，
解得，
因为，所以，
则，
所以.
【知识点】平面向量的基本定理；二倍角的余弦公式；运用诱导公式化简求值；正弦定理的应用；余弦定理的应用
【解析】【分析】（1）利用二倍角的余弦公式、三角形内角和定理、诱导公式、正弦定理、余弦定理，从而化简得到，再利用三角形中角C的取值范围得出角A的余弦值，再利用三角形中角A的取值范围，从而得出角的值.
（2）利用已知条件结合图形，从而将向量等式转化得到，进而得出点是上靠近点的三等分点，则得出的值，再由三角形角平分线定理得出，再利用正弦定理得到，再结合（1）中角A的值得出，再根据两角差的正弦根式和同角三角函数基本关系式，从而得出角C的正切值，再利用三角形中角C的取值范围和三角形内角和定理，从而得出角B的值和角C的值，进而得出的值.
（1）由题，
可得（*）
由正弦定理，其中为三角形外接圆半径，
可得，
又由余弦定理，，
即，
代入（*），可得，而，故，
则，解得，因为，所以.
（2）如图，由，可得，
即，又位于上，则点是上靠近点的三等分点，
则，因为平分，所以由角分线定理得，
由正弦定理得，则，
因为，则，代入得，
即，解得，而，故，
则，故.
16．潮汕英歌舞以其动作刚劲有力，节奏感强的特色，备受人们喜爱．某校组织英歌队进行训练并作了汇报表演，为了解训练成果，做了一次问卷调查，问卷所涉及的问题均量化成对应的分数（满分100分），从所有答卷中随机抽取100份的分数作为样本，将样本的分数（成绩均为不低于50分的整数且在组内均匀分布）分成五段：，得到如下所示的频数分布表．
样本分数段 [90，100]
频数 10 30 30 10
频率 0.1 0.3 0.3 0.1
（1）求频数分布表中和的值，并估计样本成绩的平均数；
（2）经计算，样本中分数在区间［50，60）内的平均数为56，方差为7；在区间[60，70）内的平均数为65，方差为4，求两组成绩的总平均数和总方差．
【答案】（1）解：由，
解得，
则，
所以，平均数的估计值为
（2）解：由表可知，
分数在区间内的频数为10，在区间内的频数为20，
则两组成绩的总平均数为，
所以两组成绩的总方差为：，
则两组成绩的总平均数是62，总方差是23．
【知识点】分层抽样方法；众数、中位数、平均数；极差、方差与标准差
【解析】【分析】(1)根据已知条件和频率的基本性质，从而得出的值，再结合平均数公式，从而估计出样本成绩的平均数.
（2）根据分层抽样的分法得到分数在和的人数，再结合平均数公式和方差公式，从而得出两组成绩的总平均数和总方差．
（1）由，
解得，则，
平均数的估计值为．
（2）由表可知，分数在区间内的频数为10，在区间内的频数为20，
故两组成绩的总平均数，
两组成绩的总方差．
所以两组成绩的总平均数是62，总方差是23．
17．如图，已知AB是圆柱下底面圆的直径，点是下底面圆周上异于，的动点，CD，BE是圆柱的两条母线．
（1）求证：平面平面BCDE；
（2）若，圆柱的母线长为，求平面ADE与平面ABC夹角的余弦值．
【答案】（1）证明：因为AB是底面圆的一条直径，点是下底面圆周上异于A，B的动点，
所以，
又因为CD是圆柱的一条母线，所以底面ABC，
因为底面ABC，所以，
又因为平面平面BCDE，且，
所以平面BCDE，
因为平面ACD，所以平面平面BCDE．
（2）解：如图所示，过点A作圆柱的母线AM，连接DM，EM，
因为底面底面DME，即求平面ADE与平面DME的夹角，
又因为M，E在底面ABC的射影为A，B，且AB为下底面圆的直径，
所以EM为上底面圆的直径，
因为AM是圆柱的母线，所以平面DME，
又因为DE平面DME，所以．
因为EM为上底面圆的直径，所以，
又因为平面，
所以平面AMD，
因为平面AMD，所以，
又因为平面平面，
所以为平面ADE与平面DME的夹角，
因为在底面ABC的射影为，
所以，
则，
又因为母线长为，所以，
因为平面平面DME，
所以，
则，
所以，
则平面ADE与平面ABC夹角的余弦值为．
【知识点】平面与平面垂直的判定；二面角及二面角的平面角
【解析】【分析】（1）先利用线面垂直判定定理证得平面BCDE，再根据面面垂直判定定理证得平面平面BCDE.
（2）先作出底面的垂线，再由垂足作两个面的交线的垂线，再连接交线的垂足与斜足构成二面角的平面角，再解三角形即可.
（1）因为AB是底面圆的一条直径，是下底面圆周上异于A，B的动点，
所以，
又因为CD是圆柱的一条母线，所以底面ABC，
而底面ABC，所以，
因为平面平面BCDE，且，
所以平面BCDE，
又因为平面ACD，所以平面平面BCDE．
（2）如图所示，过点A作圆柱的母线AM，连接DM，EM．
因为底面底面DME，所以即求平面ADE与平面DME的夹角．
因为M，E在底面ABC的射影为A，B，且AB为下底面圆的直径，
所以EM为上底面圆的直径，
因为AM是圆柱的母线，所以平面DME，
因为DE平面DME，所以．
又因为EM为上底面圆的直径，所以，
因为平面，所以平面AMD，
因为平面AMD，所以，又因为平面平面，
所以为平面ADE与平面DME的夹角，
又因为在底面ABC的射影为，所以，
所以，又因为母线长为，所以，
又因为平面平面DME，所以，
所以，
所以，
即平面ADE与平面ABC夹角的余弦值为．
18．已知函数的最大值为1．
（1）求常数的值；
（2）求函数的单调递减区间；
（3）设为函数的两个相异零点，求的最小值．
【答案】（1）解：因为
．
又因为，
所以．
（2）解：由（1）知，，
令，
解得，
所以，函数的单调递减区间为．
（3）解：令，
得，
因为为的两个相异零点，
所以，
①，且，
或，且，
此时；
②因为，
所以
，
则，
综上所述，，
则的最小值为．

【知识点】简单的三角恒等变换；含三角函数的复合函数的单调性；含三角函数的复合函数的值域与最值；函数的零点与方程根的关系
【解析】【分析】（1）先利用两角和差的余弦公式结合辅助角公式化简函数为正弦型函数，再结合正弦型函数求值域的方法和已知条件，从而得出实数a的值.
（2）利用（1）中a的值得出函数的解析式，再利用正弦型函数判断单调性的方法，从而得出正弦型函数的单调递减区间.
（3）根据函数零点个数结合特殊值列式，再根据不等式的基本性质得出的最小值.
（1）
．
因为，所以．
（2）由（1）知，，
令，
解得，
所以函数的单调递减区间为．
（3）令，得，
因为为的两个相异零点，所以，
①，且，
或，且，
此时．
②，
，
所以．
综上所述，，即的最小值为．
19．通过平面直角坐标系，我们可以用有序实数对表示向量．类似的，我们可以把有序复数对看作一个向量，记，称为复向量．类比平面向量的相关运算法则，对于，，我们有如下运算法则：①；②③；④．
（1）设，求和；
（2）类比平面向量数量积满足的运算律，得出复向量的一个相关结论：，判断上述结论是否正确，并说明理由；
（3）设，集合，求的最小值，并证明当取最小值时，对于任意的．
【答案】（1）解：由，
得，
因为，
所以．
（2）解：设，
所以，
，
因为，
所以则结论正确．
（3）解：不妨令，
则，
所以
，
当时，取得最小值3，
此时，
设满足条件的，
则，
所以
．
【知识点】函数的最大（小）值；向量的模；平面向量数量积的坐标表示；平面向量的数量积运算；复数代数形式的混合运算
【解析】【分析】（1）利用已知条件和数量积定义和向量的坐标运算以及向量求模公式，从而得出和.
（2）根据所给定义和向量的代数运算以及数量积运算法则，从而判断出结论正确．
（3） 设满足条件的，根据所给条件计算取得最小值，再计算证明即可.
（1）由，
得，
．
．
（2）设，
，
，
因为，
所以，故正确．
（3）不妨令，则，
则
，
当时，取得最小值3，
此时，
设满足条件的，
则，
．
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