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广东省江门市第二中学2025-2026学年下学期期中考试七年级数学试题
1．下列数中，小于-2的数是（　　）
A．- B．- C．- D．-1
2．在下列各组运动项目的图标中，能将其中一个图形只经过平移得到另一个图形的是（　　）
A． B．
C． D．
3．下列各组数中，是二元一次方程的一个解的是（　　）
A． B． C． D．
4．如图，与是（　　）
A．对顶角 B．同位角 C．内错角 D．同旁内角
5．不等式的解集在数轴上表示正确的是（　　）.
A． B．
C． D．
6．数学课上，老师提出了一个问题：如何作一条直线的平行线？如图是小明同学的作法，老师对小明的作法表示了肯定，那么小明作图的原理是（　　）
A．两直线平行，同旁内角互补 B．同位角相等，两直线平行
C．同旁内角互补，两直线平行 D．两直线平行，同位角相等
7．若点在第二象限，则点一定在（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
8．已知，，则（　　）
A． B． C． D．
9．已知关于、的方程组的解满足，则的值为（　　）
A． B．2 C． D．
10．如图，直线经过原点，点在轴上，为线段上一动点，若，，，则长度的最小值为（　　）
A．1 B．0.625 C．2.5 D．1.25
11．的算术平方根是　 　，的立方根是　 　．
12．点M，N，P，Q在数轴上的位置如图所示，这四个点中有一个点表示实数，这个点是　 　．
13．2026年春晚<<武>>机器人表演武术，动作精准，难度极高，视觉冲击力极强意义重大．如图，这是捕捉某款机器人表演的姿态，图为其某一瞬间姿态的平面示意图，其中，，，若，则　 　度．
14．如图，将沿着点到的方向平移到的位置，，，平移距离为，则阴影部分面积为　 　．
15．把6个大小完全相同的长方形按如图所示的位置摆放在平面直角坐标系中．已知点A的坐标为．则点的坐标为　 　．
16．计算：
17．解不等式，并写出它的非正整数解．
18．在平面直角坐标系中，三角形ABC的三个顶点的位置如图所示，点的坐标是，现将三角形平移，使点A平移到点，点，分别是B，C的对应点．
（1）请画出平移后的三角形，并直接写出点，的坐标；
（2）若三角形内部一点P的坐标为，写出点P的对应点的坐标；
（3）求三角形的面积．
19．茶道被视为一种修身养性的生活艺术，图中的茶筒、茶漏、茶夹、茶匙、茶针、茶则等六样器具，被饮茶爱好者统称为“茶道六君子”．某网店销售甲、乙两种“茶道六君子”套装，若购买1套甲种套装和3套乙种套装共需用200元；若购买2套甲种套装和2套乙种套装共需用240元．
（1）求甲、乙两种套装的单价．
（2）某学校社团开展茶文化学习活动，需要从该网店购进甲、乙两种套装共10套，且总金额不超过500元，请通过计算说明最多可购买多少套甲种套装．
20．如图，已知，．
（1）求证：；
（2）若平分，，于点，求的度数．
21．阅读材料，回答以下问题：
材料一：
材料二：
我们可以用以下方法表示无理数的小数部分．
我们可以用以下方法求无理数的近似值（保留两位小数）．
， 即 的整数部分为2． 的小数部分为．
∵面积为107的正方形的边长是，且， ∴设，其中，画出边长为的正方形，如图1： 根据图中面积，得， 当较小时，忽略，得． 解得
（1）利用材料一中的方法，的小数部分是__________；
（2）利用材料二中的方法，探究的近似值.（保留两位小数，并写出求解过程）
22．对于关于，的二元一次方程组（其中，，，，，是常数），给出如下定义：若该方程组的解满足，则称这个方程组为“开心”方程组．
（1）下列方程组是“开心”方程组的是________（只填写序号）；
；；
（2）若关于，的方程组是“开心”方程组，求的值；
（3）若对于任意的有理数，关于，的方程组都是“开心”方程组，求的值．
23．如图1，在平面直角坐标系中，是坐标原点，点的坐标为，将向上平移4个单位长度，再向左平移3个单位长度得到对应线段．连接、、．
（1）点的坐标为__________，点的坐标为__________；
（2）在轴上是否存在一点，使得三角形的面积等于三角形面积的一半？若存在，请求出点的坐标，若不存在，请说明理由；
（3）如图2，若是直线上的一个动点，连接、，当点在直线上运动时，直接写出，，之间的数量关系
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】实数的大小比较
【解析】【解答】A、∵ >2，∴- <-2，故A选项符合题意；
B、∵ <2，∴- >-2，故B选项不符合题意；
C、∵ <2，∴- >-2，故C选项不符合题意；
D、∵1<2，∴-1>-2，故D选项不符合题意，
故答案为：A.
【分析】观察各选项，可知各选项中的数均为负数，根据两个负数，绝对值大的反而小逐项进行比较即可.
2．【答案】C
【知识点】平移的性质
【解析】【解答】解：能将其中一个图形只经过平移得到另一个图形的是选项C，选项A、B、D无法通过平移得到．
故答案为：C
【分析】根据平移性质即可求出答案.
3．【答案】D
【知识点】二元一次方程组的解
【解析】【解答】解：A、把x=1，y=3代入方程，左边=5×1-3=2≠右边=4，故不符合题意；
B、把x=3，y=1代入方程，左边=5×3-1=14≠右边=4，故不符合题意；
C、把x=0，y=4代入方程，左边=5×0-4=-4≠右边=4，故不符合题意；
D、把x=2，y=6代入方程，左边=5×2-4=4=右边=4，故符合题意；
故答案为：D.
【分析】把各项中xy的值分别代入方程进行检验即可.
4．【答案】C
【知识点】内错角的概念
【解析】【解答】解：两条直线被第三条直线所截，两个角分别在截线的两侧，且夹在两条被截直线之间，具有这样位置关系的一对角叫做内错角，
则与符合内错角的定义，它们是内错角，
故选：C．
【分析】根据内错角的定义即可求出答案.
5．【答案】D
【知识点】在数轴上表示不等式的解集
【解析】【解答】解：因为不等式为，所以数轴上表示时，方向应向右，且端点处应为实心圆点．观察选项可知，只有D选项符合题意．
故答案为：D
【分析】将解集在数轴上表示出来即可.
6．【答案】B
【知识点】作图﹣平移；同位角相等，两直线平行
【解析】【解答】解：利用平移的性质得到，
可知小明作图的原理是同位角相等两直线平行，
故选：B．
【分析】根据平移性质，结合直线平行判定定理即可求出答案.
7．【答案】C
【知识点】点的坐标与象限的关系
【解析】【解答】解：点在第二象限，
，，
，，
点一定在第三象限.
故答案为：C.
【分析】第二象限的点的横坐标小于0，纵坐标大于0；第三象限的点横坐标、纵坐标都小于0.
8．【答案】B
【知识点】二次根式的性质与化简
【解析】【解答】解：∵，
∴，
故选：B．
【分析】根据题意，结合二次根式性质即可求出答案.
9．【答案】D
【知识点】二元一次方程组的解；加减消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】解：，
，得，
，
，
，
.
故答案为：D.
【分析】观察方程组，由得到x+y的值，再根据列出关于k的方程，进而求得k的值.
10．【答案】D
【知识点】坐标与图形性质；垂线段最短及其应用；三角形的面积；几何图形的面积计算-割补法
【解析】【解答】解：∵为线段上一动点，
∴当时，的长度最小，
则：，
∵，，，
∴，
∴，
∴；
故选D．
【分析】根据垂线段最短可得当时，的长度最小，再根据三角形面积即可求出答案.
11．【答案】9；
【知识点】求算术平方根；开立方（求立方根）
【解析】【解答】解：，81的算术平方根是9，
则的算术平方根是9，
的立方根是，
故答案为：9，．
【分析】根据算术平方根、立方根的定义即可求出答案.
12．【答案】点P
【知识点】实数在数轴上的表示；无理数的估值
【解析】【解答】解：∵
∴，
∴
故答案为：点P．
【分析】估算无理数的范围即可求出答案.
13．【答案】100
【知识点】平行线的应用-求角度；平行公理的推论
【解析】【解答】解：过点作，如图所示：
∵，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴
∵
∴
∴．
【分析】过点作，根据直线平行性质及角之间的关系即可求出答案.
14．【答案】48
【知识点】平移的性质
【解析】【解答】解：由平移的性质知，，，
，
．
故答案为：48．
【分析】由平移的性质知，，，根据边之间的关系可得OE，再根据梯形面积即可求出答案.
15．【答案】
【知识点】坐标与图形性质；二元一次方程组的应用-几何问题
【解析】【解答】解：设小长方形的长为x，宽为y，
根据题意得：，
解得：，
，，
则点的坐标为
故答案为：．
【分析】设小长方形的长为x，宽为y，根据题意建立方程组，解方程组即可求出答案.
16．【答案】解：原式．
【知识点】二次根式的加减法；实数的绝对值；求算术平方根；开立方（求立方根）
【解析】【分析】根据算术平方根，立方根，绝对值性质化简，再计算加减即可求出答案.
17．【答案】解：，
去分母得：，
去括号，移项得：，
合并同类项得：，
解得：，
∴它的非正整数解为：-4，-3，-2，-1，0．
【知识点】解一元一次不等式；一元一次不等式的特殊解
【解析】【分析】去分母，去括号，移项，合并同类项，未知数系数化为1解不等式，再求出非正整数解.
18．【答案】（1）如图，三角形即为所求，
如图所示，为所求三角形，，.
（2）解：，， A到是向左移5个单位，向下移2个单位，
∵点P的坐标为，
∴点P的对应点的坐标，
故答案为：．
（3）
【知识点】三角形的面积；坐标与图形变化﹣平移；作图﹣平移；几何图形的面积计算-割补法
【解析】【分析】
此题考查平面直角坐标系中点的平移、割补法求图形面积.（1）根据A点的平移路径，确定的平移规律，画出平移后的图形并写出对应点坐标；
（2）由A点的坐标变化总结平移规律，推导任意点P的对应点坐标；
（3）利用割补法，将置于矩形中，通过矩形面积减去周围直角三角形面积，求出目标三角形的面积.
（1）如图，三角形即为所求，
如图所示，为所求三角形，，；
（2），，
A到是向左移5个单位，向下移2个单位，
∵点P的坐标为，
∴点P的对应点的坐标，
故答案为：．
（3）
19．【答案】（1）解：设甲种套装的单价为元，乙种套装的单价为元，
根据题意得：，
解得：．
答：甲种套装的单价为80元，乙种套装的单价为40元；
（2）解：设购买套甲种套装，则购买套乙种套装，
根据题意得：，
解得：，
又为正整数，
的最大值为2．
答：最多购买2套甲种套装．
【知识点】一元一次不等式的应用；二元一次方程组的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设甲种套装的单价为元，乙种套装的单价为元，根据“购买1套甲种套装和3套乙种套装共需用200元；购买2套甲种套装和2套乙种套装共需用240元”，可列出关于，的二元一次方程组，解方程组即可求出答案.
（2）设购买套甲种套装，则购买套乙种套装，利用总价单价数量，结合总价不超过500元，可列出关于的一元一次不等式，解不等式即可求出答案.
20．【答案】（1）证明：，
，
，
，
；
（2）解：设，
由（1）知，
，
平分，
，
，
，，
，
，
解得：，
．
【知识点】平行线的判定与性质；三角形外角的概念及性质；角平分线的概念
【解析】【分析】（1）根据直线平行判定定理及性质即可求出答案.
（2）设，根据直线平行性质可得，根据角平分线定义可得，根据三角形外角性质可得∠DCB，再根据直线平行性质建立方程，解方程即可求出答案.
（1）证明：，
，
，
，
；
（2）解：设，
由（1）知，
，
平分，
，
，
，，
，
，
解得：，
．
21．【答案】（1）
（2）解：面积为145的正方形的边长是，且，
设，其中，
画出边长为的正方形，如图：
根据图中面积，得，
当较小时，忽略，得．
解得．
．
【知识点】无理数的估值
【解析】【解答】（1）解： ，
，即，
的整数部分是5，
的小数部分是．
故答案为：
【分析】（1）估算无理数的范围即可求出答案.
（2）根据正方形面积可得面积为145的正方形的边长是，且，设，其中，画出边长为的正方形，根据题意建立方程，解方程即可求出答案.
（1）解： ，
，即，
的整数部分是5，
的小数部分是．
（2）解：面积为145的正方形的边长是，且，
设，其中，
画出边长为的正方形，如图：
根据图中面积，得，
当较小时，忽略，得．
解得．
．
22．【答案】（1）
（2）解：∵，
∴两式子相加得，
整理得，
∵关于，的方程组是“开心”方程组，
∴，
即，
解得或；

（3）解：关于，的方程组都是“开心”方程组，
∴
即把代入，
得
整理得，
∴，
故或，
当时，；
∵，
∴，
则，
整理得，
∵对于任意的有理数，关于，的方程组都是“开心”方程组，
∴，
即，
则
∴，
此时；
当时，；
∵，
∴，
则，
整理得，
∵对于任意的有理数，关于，的方程组都是“开心”方程组，
∴，
即，
则
∴，
此时；
综上：的值为或．

【知识点】解二元一次方程组；代入消元法解二元一次方程组；加减消元法解二元一次方程组；实数的混合运算（含开方）
【解析】【解答】
（1）
解：∵，
∴，
∵中的，
故不是“开心”方程组；
∵中的
∴是“开心”方程组；
∵，
∴，
把代入，
得，
解得，
把代入，
∴，
∵，
故不是“开心”方程组；
故答案为：．
【分析】
（1）根据题干给出的“开心”方程组的定义，对给出的三个方程组逐一验证判断，即可得到结论。（2）先通过消元整理原方程组，得到，再根据“开心”方程组的定义可得，将代入该等式求解，即可得到k的值。
（3）根据“开心”方程组的定义列出方程组，解方程组得到两组解：，和，，再将两组解分别代入方程，结合对任意m都成立的条件列式计算，即可得到所求结果.
（1）解：∵，
∴，
∵中的，
故不是“开心”方程组；
∵中的
∴是“开心”方程组；
∵，
∴，
把代入，
得，
解得，
把代入，
∴，
∵，
故不是“开心”方程组；
故答案为：．
（2）解：∵，
∴两式子相加得，
整理得，
∵关于，的方程组是“开心”方程组，
∴，
即，
解得或；
（3）解：关于，的方程组都是“开心”方程组，
∴
即把代入，
得
整理得，
∴，
故或，
当时，；
∵，
∴，
则，
整理得，
∵对于任意的有理数，关于，的方程组都是“开心”方程组，
∴，
即，
则
∴，
此时；
当时，；
∵，
∴，
则，
整理得，
∵对于任意的有理数，关于，的方程组都是“开心”方程组，
∴，
即，
则
∴，
此时；
综上：的值为或．
23．【答案】（1）；.
（2）解：，，
，
三角形的面积等于三角形面积的一半，
，
设点，则，
，解得：或，
点的坐标为或.
（3）解：①当点在线段的延长线上时，.②当点在线段上时，.③当点在线段的反向延长线上时，．
【知识点】坐标与图形性质；平行公理及推论；平行线的判定与性质；三角形的面积；利用三角形的中线求面积
【解析】【解答】（1）解：由题意可知，是坐标原点，点的坐标为，将向上平移4个单位长度，再向左平移3个单位长度得到对应线段，则点，即，点，即，
故答案为：；.
（3）解：根据平移的性质得：，
①如图，
当点在线段的延长线上时，过点作，
，
，
，
，
.
②如图，
当点在线段上时，过点作，
，
，
，
，
.
③如图，
当点在线段的反向延长线上时，过点作，
，
，
，
，
；
综上可知，当点在线段的延长线上时，，当点在线段上时，，当点在线段的反向延长线上时，．
【分析】（1）根据题目情境，结合平移法则即可得点，即，点，即，即可得答案.
故答案为：；.
（2）根据、两点坐标，求出，根据角形的面积等于三角形面积的一半，
从而求出，设点，则，根据三角形面积公式即可列方程，解出即可得点的坐标为或.
（3）根据平移的性质得平行，当点在线段的延长线上时，过点作，即可得
相等，根据平行，得平行，即可得相等，进一步得，同理得当点在线段上时，，当点在线段的反向延长线上时，，综合即可得答案.
（1）解：由题意可知，是坐标原点，点的坐标为，将向上平移4个单位长度，再向左平移3个单位长度得到对应线段，
则点的坐标为，即；点的坐标为，即，
故答案为：，；
（2）解：，，
，
三角形的面积等于三角形面积的一半，
，
设点，则，
，
解得：或，
点的坐标为或；
（3）解：由平移的性质可知，，
①如图，当点在线段的延长线上时，过点作，
，
，
，
，
；
②如图，当点在线段上时，过点作，
，
，
，
，
；
③如图，当点在线段的反向延长线上时，过点作，
，
，
，
，
；
综上可知，当点在线段的延长线上时，；当点在线段上时，；当点在线段的反向延长线上时，．
1 / 1广东省江门市第二中学2025-2026学年下学期期中考试七年级数学试题
1．下列数中，小于-2的数是（　　）
A．- B．- C．- D．-1
【答案】A
【知识点】实数的大小比较
【解析】【解答】A、∵ >2，∴- <-2，故A选项符合题意；
B、∵ <2，∴- >-2，故B选项不符合题意；
C、∵ <2，∴- >-2，故C选项不符合题意；
D、∵1<2，∴-1>-2，故D选项不符合题意，
故答案为：A.
【分析】观察各选项，可知各选项中的数均为负数，根据两个负数，绝对值大的反而小逐项进行比较即可.
2．在下列各组运动项目的图标中，能将其中一个图形只经过平移得到另一个图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】平移的性质
【解析】【解答】解：能将其中一个图形只经过平移得到另一个图形的是选项C，选项A、B、D无法通过平移得到．
故答案为：C
【分析】根据平移性质即可求出答案.
3．下列各组数中，是二元一次方程的一个解的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】二元一次方程组的解
【解析】【解答】解：A、把x=1，y=3代入方程，左边=5×1-3=2≠右边=4，故不符合题意；
B、把x=3，y=1代入方程，左边=5×3-1=14≠右边=4，故不符合题意；
C、把x=0，y=4代入方程，左边=5×0-4=-4≠右边=4，故不符合题意；
D、把x=2，y=6代入方程，左边=5×2-4=4=右边=4，故符合题意；
故答案为：D.
【分析】把各项中xy的值分别代入方程进行检验即可.
4．如图，与是（　　）
A．对顶角 B．同位角 C．内错角 D．同旁内角
【答案】C
【知识点】内错角的概念
【解析】【解答】解：两条直线被第三条直线所截，两个角分别在截线的两侧，且夹在两条被截直线之间，具有这样位置关系的一对角叫做内错角，
则与符合内错角的定义，它们是内错角，
故选：C．
【分析】根据内错角的定义即可求出答案.
5．不等式的解集在数轴上表示正确的是（　　）.
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】在数轴上表示不等式的解集
【解析】【解答】解：因为不等式为，所以数轴上表示时，方向应向右，且端点处应为实心圆点．观察选项可知，只有D选项符合题意．
故答案为：D
【分析】将解集在数轴上表示出来即可.
6．数学课上，老师提出了一个问题：如何作一条直线的平行线？如图是小明同学的作法，老师对小明的作法表示了肯定，那么小明作图的原理是（　　）
A．两直线平行，同旁内角互补 B．同位角相等，两直线平行
C．同旁内角互补，两直线平行 D．两直线平行，同位角相等
【答案】B
【知识点】作图﹣平移；同位角相等，两直线平行
【解析】【解答】解：利用平移的性质得到，
可知小明作图的原理是同位角相等两直线平行，
故选：B．
【分析】根据平移性质，结合直线平行判定定理即可求出答案.
7．若点在第二象限，则点一定在（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】C
【知识点】点的坐标与象限的关系
【解析】【解答】解：点在第二象限，
，，
，，
点一定在第三象限.
故答案为：C.
【分析】第二象限的点的横坐标小于0，纵坐标大于0；第三象限的点横坐标、纵坐标都小于0.
8．已知，，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】二次根式的性质与化简
【解析】【解答】解：∵，
∴，
故选：B．
【分析】根据题意，结合二次根式性质即可求出答案.
9．已知关于、的方程组的解满足，则的值为（　　）
A． B．2 C． D．
【答案】D
【知识点】二元一次方程组的解；加减消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】解：，
，得，
，
，
，
.
故答案为：D.
【分析】观察方程组，由得到x+y的值，再根据列出关于k的方程，进而求得k的值.
10．如图，直线经过原点，点在轴上，为线段上一动点，若，，，则长度的最小值为（　　）
A．1 B．0.625 C．2.5 D．1.25
【答案】D
【知识点】坐标与图形性质；垂线段最短及其应用；三角形的面积；几何图形的面积计算-割补法
【解析】【解答】解：∵为线段上一动点，
∴当时，的长度最小，
则：，
∵，，，
∴，
∴，
∴；
故选D．
【分析】根据垂线段最短可得当时，的长度最小，再根据三角形面积即可求出答案.
11．的算术平方根是　 　，的立方根是　 　．
【答案】9；
【知识点】求算术平方根；开立方（求立方根）
【解析】【解答】解：，81的算术平方根是9，
则的算术平方根是9，
的立方根是，
故答案为：9，．
【分析】根据算术平方根、立方根的定义即可求出答案.
12．点M，N，P，Q在数轴上的位置如图所示，这四个点中有一个点表示实数，这个点是　 　．
【答案】点P
【知识点】实数在数轴上的表示；无理数的估值
【解析】【解答】解：∵
∴，
∴
故答案为：点P．
【分析】估算无理数的范围即可求出答案.
13．2026年春晚<<武>>机器人表演武术，动作精准，难度极高，视觉冲击力极强意义重大．如图，这是捕捉某款机器人表演的姿态，图为其某一瞬间姿态的平面示意图，其中，，，若，则　 　度．
【答案】100
【知识点】平行线的应用-求角度；平行公理的推论
【解析】【解答】解：过点作，如图所示：
∵，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴
∵
∴
∴．
【分析】过点作，根据直线平行性质及角之间的关系即可求出答案.
14．如图，将沿着点到的方向平移到的位置，，，平移距离为，则阴影部分面积为　 　．
【答案】48
【知识点】平移的性质
【解析】【解答】解：由平移的性质知，，，
，
．
故答案为：48．
【分析】由平移的性质知，，，根据边之间的关系可得OE，再根据梯形面积即可求出答案.
15．把6个大小完全相同的长方形按如图所示的位置摆放在平面直角坐标系中．已知点A的坐标为．则点的坐标为　 　．
【答案】
【知识点】坐标与图形性质；二元一次方程组的应用-几何问题
【解析】【解答】解：设小长方形的长为x，宽为y，
根据题意得：，
解得：，
，，
则点的坐标为
故答案为：．
【分析】设小长方形的长为x，宽为y，根据题意建立方程组，解方程组即可求出答案.
16．计算：
【答案】解：原式．
【知识点】二次根式的加减法；实数的绝对值；求算术平方根；开立方（求立方根）
【解析】【分析】根据算术平方根，立方根，绝对值性质化简，再计算加减即可求出答案.
17．解不等式，并写出它的非正整数解．
【答案】解：，
去分母得：，
去括号，移项得：，
合并同类项得：，
解得：，
∴它的非正整数解为：-4，-3，-2，-1，0．
【知识点】解一元一次不等式；一元一次不等式的特殊解
【解析】【分析】去分母，去括号，移项，合并同类项，未知数系数化为1解不等式，再求出非正整数解.
18．在平面直角坐标系中，三角形ABC的三个顶点的位置如图所示，点的坐标是，现将三角形平移，使点A平移到点，点，分别是B，C的对应点．
（1）请画出平移后的三角形，并直接写出点，的坐标；
（2）若三角形内部一点P的坐标为，写出点P的对应点的坐标；
（3）求三角形的面积．
【答案】（1）如图，三角形即为所求，
如图所示，为所求三角形，，.
（2）解：，， A到是向左移5个单位，向下移2个单位，
∵点P的坐标为，
∴点P的对应点的坐标，
故答案为：．
（3）
【知识点】三角形的面积；坐标与图形变化﹣平移；作图﹣平移；几何图形的面积计算-割补法
【解析】【分析】
此题考查平面直角坐标系中点的平移、割补法求图形面积.（1）根据A点的平移路径，确定的平移规律，画出平移后的图形并写出对应点坐标；
（2）由A点的坐标变化总结平移规律，推导任意点P的对应点坐标；
（3）利用割补法，将置于矩形中，通过矩形面积减去周围直角三角形面积，求出目标三角形的面积.
（1）如图，三角形即为所求，
如图所示，为所求三角形，，；
（2），，
A到是向左移5个单位，向下移2个单位，
∵点P的坐标为，
∴点P的对应点的坐标，
故答案为：．
（3）
19．茶道被视为一种修身养性的生活艺术，图中的茶筒、茶漏、茶夹、茶匙、茶针、茶则等六样器具，被饮茶爱好者统称为“茶道六君子”．某网店销售甲、乙两种“茶道六君子”套装，若购买1套甲种套装和3套乙种套装共需用200元；若购买2套甲种套装和2套乙种套装共需用240元．
（1）求甲、乙两种套装的单价．
（2）某学校社团开展茶文化学习活动，需要从该网店购进甲、乙两种套装共10套，且总金额不超过500元，请通过计算说明最多可购买多少套甲种套装．
【答案】（1）解：设甲种套装的单价为元，乙种套装的单价为元，
根据题意得：，
解得：．
答：甲种套装的单价为80元，乙种套装的单价为40元；
（2）解：设购买套甲种套装，则购买套乙种套装，
根据题意得：，
解得：，
又为正整数，
的最大值为2．
答：最多购买2套甲种套装．
【知识点】一元一次不等式的应用；二元一次方程组的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设甲种套装的单价为元，乙种套装的单价为元，根据“购买1套甲种套装和3套乙种套装共需用200元；购买2套甲种套装和2套乙种套装共需用240元”，可列出关于，的二元一次方程组，解方程组即可求出答案.
（2）设购买套甲种套装，则购买套乙种套装，利用总价单价数量，结合总价不超过500元，可列出关于的一元一次不等式，解不等式即可求出答案.
20．如图，已知，．
（1）求证：；
（2）若平分，，于点，求的度数．
【答案】（1）证明：，
，
，
，
；
（2）解：设，
由（1）知，
，
平分，
，
，
，，
，
，
解得：，
．
【知识点】平行线的判定与性质；三角形外角的概念及性质；角平分线的概念
【解析】【分析】（1）根据直线平行判定定理及性质即可求出答案.
（2）设，根据直线平行性质可得，根据角平分线定义可得，根据三角形外角性质可得∠DCB，再根据直线平行性质建立方程，解方程即可求出答案.
（1）证明：，
，
，
，
；
（2）解：设，
由（1）知，
，
平分，
，
，
，，
，
，
解得：，
．
21．阅读材料，回答以下问题：
材料一：
材料二：
我们可以用以下方法表示无理数的小数部分．
我们可以用以下方法求无理数的近似值（保留两位小数）．
， 即 的整数部分为2． 的小数部分为．
∵面积为107的正方形的边长是，且， ∴设，其中，画出边长为的正方形，如图1： 根据图中面积，得， 当较小时，忽略，得． 解得
（1）利用材料一中的方法，的小数部分是__________；
（2）利用材料二中的方法，探究的近似值.（保留两位小数，并写出求解过程）
【答案】（1）
（2）解：面积为145的正方形的边长是，且，
设，其中，
画出边长为的正方形，如图：
根据图中面积，得，
当较小时，忽略，得．
解得．
．
【知识点】无理数的估值
【解析】【解答】（1）解： ，
，即，
的整数部分是5，
的小数部分是．
故答案为：
【分析】（1）估算无理数的范围即可求出答案.
（2）根据正方形面积可得面积为145的正方形的边长是，且，设，其中，画出边长为的正方形，根据题意建立方程，解方程即可求出答案.
（1）解： ，
，即，
的整数部分是5，
的小数部分是．
（2）解：面积为145的正方形的边长是，且，
设，其中，
画出边长为的正方形，如图：
根据图中面积，得，
当较小时，忽略，得．
解得．
．
22．对于关于，的二元一次方程组（其中，，，，，是常数），给出如下定义：若该方程组的解满足，则称这个方程组为“开心”方程组．
（1）下列方程组是“开心”方程组的是________（只填写序号）；
；；
（2）若关于，的方程组是“开心”方程组，求的值；
（3）若对于任意的有理数，关于，的方程组都是“开心”方程组，求的值．
【答案】（1）
（2）解：∵，
∴两式子相加得，
整理得，
∵关于，的方程组是“开心”方程组，
∴，
即，
解得或；

（3）解：关于，的方程组都是“开心”方程组，
∴
即把代入，
得
整理得，
∴，
故或，
当时，；
∵，
∴，
则，
整理得，
∵对于任意的有理数，关于，的方程组都是“开心”方程组，
∴，
即，
则
∴，
此时；
当时，；
∵，
∴，
则，
整理得，
∵对于任意的有理数，关于，的方程组都是“开心”方程组，
∴，
即，
则
∴，
此时；
综上：的值为或．

【知识点】解二元一次方程组；代入消元法解二元一次方程组；加减消元法解二元一次方程组；实数的混合运算（含开方）
【解析】【解答】
（1）
解：∵，
∴，
∵中的，
故不是“开心”方程组；
∵中的
∴是“开心”方程组；
∵，
∴，
把代入，
得，
解得，
把代入，
∴，
∵，
故不是“开心”方程组；
故答案为：．
【分析】
（1）根据题干给出的“开心”方程组的定义，对给出的三个方程组逐一验证判断，即可得到结论。（2）先通过消元整理原方程组，得到，再根据“开心”方程组的定义可得，将代入该等式求解，即可得到k的值。
（3）根据“开心”方程组的定义列出方程组，解方程组得到两组解：，和，，再将两组解分别代入方程，结合对任意m都成立的条件列式计算，即可得到所求结果.
（1）解：∵，
∴，
∵中的，
故不是“开心”方程组；
∵中的
∴是“开心”方程组；
∵，
∴，
把代入，
得，
解得，
把代入，
∴，
∵，
故不是“开心”方程组；
故答案为：．
（2）解：∵，
∴两式子相加得，
整理得，
∵关于，的方程组是“开心”方程组，
∴，
即，
解得或；
（3）解：关于，的方程组都是“开心”方程组，
∴
即把代入，
得
整理得，
∴，
故或，
当时，；
∵，
∴，
则，
整理得，
∵对于任意的有理数，关于，的方程组都是“开心”方程组，
∴，
即，
则
∴，
此时；
当时，；
∵，
∴，
则，
整理得，
∵对于任意的有理数，关于，的方程组都是“开心”方程组，
∴，
即，
则
∴，
此时；
综上：的值为或．
23．如图1，在平面直角坐标系中，是坐标原点，点的坐标为，将向上平移4个单位长度，再向左平移3个单位长度得到对应线段．连接、、．
（1）点的坐标为__________，点的坐标为__________；
（2）在轴上是否存在一点，使得三角形的面积等于三角形面积的一半？若存在，请求出点的坐标，若不存在，请说明理由；
（3）如图2，若是直线上的一个动点，连接、，当点在直线上运动时，直接写出，，之间的数量关系
【答案】（1）；.
（2）解：，，
，
三角形的面积等于三角形面积的一半，
，
设点，则，
，解得：或，
点的坐标为或.
（3）解：①当点在线段的延长线上时，.②当点在线段上时，.③当点在线段的反向延长线上时，．
【知识点】坐标与图形性质；平行公理及推论；平行线的判定与性质；三角形的面积；利用三角形的中线求面积
【解析】【解答】（1）解：由题意可知，是坐标原点，点的坐标为，将向上平移4个单位长度，再向左平移3个单位长度得到对应线段，则点，即，点，即，
故答案为：；.
（3）解：根据平移的性质得：，
①如图，
当点在线段的延长线上时，过点作，
，
，
，
，
.
②如图，
当点在线段上时，过点作，
，
，
，
，
.
③如图，
当点在线段的反向延长线上时，过点作，
，
，
，
，
；
综上可知，当点在线段的延长线上时，，当点在线段上时，，当点在线段的反向延长线上时，．
【分析】（1）根据题目情境，结合平移法则即可得点，即，点，即，即可得答案.
故答案为：；.
（2）根据、两点坐标，求出，根据角形的面积等于三角形面积的一半，
从而求出，设点，则，根据三角形面积公式即可列方程，解出即可得点的坐标为或.
（3）根据平移的性质得平行，当点在线段的延长线上时，过点作，即可得
相等，根据平行，得平行，即可得相等，进一步得，同理得当点在线段上时，，当点在线段的反向延长线上时，，综合即可得答案.
（1）解：由题意可知，是坐标原点，点的坐标为，将向上平移4个单位长度，再向左平移3个单位长度得到对应线段，
则点的坐标为，即；点的坐标为，即，
故答案为：，；
（2）解：，，
，
三角形的面积等于三角形面积的一半，
，
设点，则，
，
解得：或，
点的坐标为或；
（3）解：由平移的性质可知，，
①如图，当点在线段的延长线上时，过点作，
，
，
，
，
；
②如图，当点在线段上时，过点作，
，
，
，
，
；
③如图，当点在线段的反向延长线上时，过点作，
，
，
，
，
；
综上可知，当点在线段的延长线上时，；当点在线段上时，；当点在线段的反向延长线上时，．
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